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TALLER 2
MODELAR MEDIANTE ECUACIONES
Grados 7mo a 9no
Universidad de Puerto Rico en Bayamón
Departamento de Matemáticas
Preparado porSandro Molina Cabrera, Ph.D.
TABLA DE CONTENIDO
PRE–PRUEBA 3
OBJETIVOS 4
JUSTIFICACIÓN 5
INTRODUCCIÓN 6
TRADUCCIÓN 7
GUÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS 9
PROBLEMAS 10
PROBLEMAS DE PROMEDIO 10
PROBLEMAS CON NÚMEROS 11
PROBLEMAS CON EDADES 12
PROBLEMAS CON DINERO 14
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 15
PROBLEMAS CON MEZCLAS 17
PROBLEMAS DE TRABAJO 19
PROBLEMAS ADICIONALES 23
POS–PRUEBA 24
RESPUESTAS 25
RESPUESTAS DE LA PRE–PRUEBA 25
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS EN EL MÓDULO 25
RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS ADICIONALES 27
RESPUESTAS DE LA POS–PRUEBA 27
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PRE–PRUEBA
Nombre: Escuela:
Instrucciones: En los problemas 2 al 8 establezca la ecuación pero NO la resuelva.
1. Traduzca el siguiente enunciado al lenguaje matemático: El largo de un rectángulo es
3 más que dos veces su ancho.
2. Un estudiante en un curso de cálculo obtuvo 45, 86 y 71 en los exámenes parciales.
Éste desea saber qué puntuación necesita obtener en el cuarto examen para tener 80
de promedio. Establezca una ecuación que modele este problema.
3. Un número aumentado en una tercera parte del mismo resulta ser 60. ¿Cuál es éste
número? Establezca una ecuación que modele este problema.
4. Un hombre tiene tres veces la edad de su hijo. En 15 años, su edad será el doble de
la edad que su hijo tendrá para entonces. ¿Qué edades tienen el hombre y su hijo?
Establezca una ecuación que modele esta situación.
5. Suponga que el precio de la seda es seis veces el precio del lino. María compró 20
metros de seda y 35 metros de lino por $542.50. ¿Cuál es el precio de la seda y del
lino? Establezca una ecuación que modele este problema.
6. El perímetro de una cancha de tenis es de 42 metros. El largo de la cancha es 2
metros más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la cancha? Establezca una
ecuación que modele el perímetro de la cancha en términos de su ancho.
7. Una compañía de licores tiene una solución de alcohol concentrada al 40%. Se desea
mezclar alcohol puro con la solución al 40% para obtener una solución con una
concentración de alcohol al 55%. ¿Cuántas onzas de solución al 40% y de alcohol
puro hay que mezclar para obtener 42 onzas de una solución de alcohol al 55%?
Establezca una ecuación que modele este problema.
8. A José le toma 60 minutos podar la grama de un patio, pero Tomás lo poda en 40
minutos. Establezca una ecuación que modele el tiempo que le tomará a ambos
podar el patio, si trabajan juntos usando 2 podadoras.
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OBJETIVOS
Al terminar el estudio de este módulo, el participante podrá:
1. traducir frases a expresiones matemáticas.
2. establecer una guía para modelar problemas aplicados.
3. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de promedio.
4. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas con números.
5. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de edades.
6. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de dinero.
7. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas geométricos.
8. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de mezclas.
9. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de trabajo.
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JUSTIFICACIÓN
Uno de los procesos medulares usados para estudiar problemas aplicados es el modelar
mediante ecuaciones. Este se usa ampliamente tanto en áreas de las ciencias puras
(Física, Biología, etc.) como en los campos más aplicados del saber humano (Negocios,
Ingeniería, etc.). Además de ser una de las aplicaciones más importantes de las
ecuaciones, el modelar mediante ecuaciones involucra el análisis detallado de una
situación verbal para traducirla al lenguaje de las matemáticas. Esto provee una
excelente oportunidad para desarrollar el razonamiento lógico. Por estas razones,
modelar mediante ecuaciones forma parte del material cubierto en cursos de
matemáticas a varios niveles.
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INTRODUCCIÓN
DEFINICIÓN Una ecuación es un enunciado que nos dice que dos expresiones son
iguales.
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones:
1. 5 + 3 = 8
2. x + 30 = 12x
3. E = mc2
Resolver problemas aplicados utilizando ecuaciones involucra una serie de pasos que nos
conducen a un problema matemático. Primero el problema aplicado se describe en
palabras obteniendo lo que se conoce como un problema verbal. Luego se traduce la
información contenida en esta descripción verbal del problema al lenguaje de las
matemáticas. Para esto utilizamos la siguiente estrategia: se introducen símbolos,
usualmente letras, para representar las cantidades desconocidas y luego se hallan
relaciones que involucren estos símbolos. Estas relaciones se traducen a ecuaciones. Este
proceso se conoce como modelar mediante ecuaciones.
DEFINICIÓN Modelar mediante ecuaciones es el proceso de construir una o mas
ecuaciones que describan un problema aplicado.
ProblemaAplicado
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
descripciónverbal⎯ →⎯⎯⎯
ProblemaVerbal
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
lenguaje de lasmatemáticas⎯ →⎯⎯⎯⎯
ProblemaMatemático
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Es importante señalar que la ecuación o ecuaciones que se obtengan deben describir el
problema. Una vez se obtiene una solución matemática, se debe revisar que ésta tenga
sentido, tanto en el contexto del problema verbal como en el contexto del problema
aplicado.
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TRADUCCIÓN
Una destreza necesaria para modelar problemas mediante ecuaciones es el traducir al
lenguaje matemático la información presentada en el problema verbal. Esto conlleva la
selección de símbolos que representen las cantidades mencionadas. A continuación
presentamos una tabla con algunas palabras claves y la operación a la que traducen.
Adición Sustracción Multiplicación División Exponentes
más menos por entre elevado
más que menos que multiplicar dividir exponente
añadir quitar veces cociente cuadrado
aumentar disminuir producto mitad (÷2) cubo
sumar restar de tercio (÷3)
agregar sustraer doble (x2) cuarto (÷4)
más largo más corto triple (x3) parte
diferencia por
NOTAS:
1. La palabra es y las frases es igual y lo mismo se traducen como =.
2. La palabra por, dependiendo del contexto, puede traducirse como un producto o una
división.
Veamos algunos ejemplos donde se traducen descripciones verbales al lenguaje
matemático.
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EJEMPLOS Traduzca las siguientes descripciones verbales a expresiones o ecuaciones
matemáticas
1. La edad de José es tres veces la de Miguel
Traducción: Refiriéndonos a la tabla, veces significa multiplicación. Si x denota la
edad de Miguel entonces la edad de José es 3x.
2. El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura.
Traducción: Refiriéndonos a la tabla, por significa multiplicación y mitad significa
dividir en 2. Luego introducimos símbolos que denoten las cantidades
mencionadas en el problema. Así, si A denota el área del triángulo, b la base y h
la altura, entonces A =b2h .
3. Trabajo es igual a fuerza por distancia.
Traducción: Si T denota trabajo, F denota fuerza y d distancia entonces T=Fd.
EJERCICIOS Traduzca las siguientes descripciones verbales a expresiones o
ecuaciones matemáticas
1. El área de un rectángulo es el producto del largo y el ancho del rectángulo.
2. Presión es fuerza por cada unidad de área.
3. La ganancia total de vender cierta cantidad de neveras es $325 por nevera
multiplicado por el número de neveras vendidas.
4. La edad de Juan es 12 años más que el doble de la edad de Carlos.
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GUÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS
Hay una serie de principios que sirven de guía al modelar un problema con ecuaciones.
1. Leer cuidadosamente el problema. Leer varias veces de ser necesario. Pensar en los
datos que se ofrecen, en la desconocida y en la pregunta.
2. Introducir notación. En particular, denotar la cantidad desconocida por una letra.
3. Organizar la información. Por ejemplo, se puede utilizar una tabla.
4. Hacer un dibujo, si es apropiado. El dibujo no tiene que ser a escala pero debe
representar la situación planteada en el problema.
5. Determinar una o más relaciones que involucren la desconocida. Estas relaciones
pueden estar descritas en palabras en el enunciado del problema o pueden ser
relaciones ya conocidas.
6. Formular una o más ecuaciones. Estas ecuaciones tienen que describir en términos
matemáticos las relaciones dadas en palabras en el problema. Revise que estas
ecuaciones tengan sentido en el contexto del problema. Si hay más de una ecuación
trate de combinarlas para obtener una sola ecuación.
NOTA: En un problema aplicado donde se exija que se halle el valor de la desconocida
entonces se tendría que:
7. Resolver la ecuación.
8. Verificar las soluciones. Estas no sólo tienen que hacer sentido matemáticamente sino
que también en el contexto del problema.
NOTA: En este taller estableceremos ecuaciones que modelen problemas aplicados (es
decir sólo usaremos los pasos del 1 al 5). NO RESOLVEREMOS ESTAS ECUACIONES.
La resolución de ecuaciones se tratará en el siguiente taller.
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PROBLEMAS
Hemos dividido los problemas verbales en distintos tipos, para facilitar su estudio.
Aunque los problemas están enunciados para ser resueltos, recuerde que nosotros sólo
estableceremos la ecuación que modela el problema.
PROBLEMAS DE PROMEDIO
En este tipo de problema buscamos algún elemento de un promedio, por ejemplo una
nota en el promedio de notas de una clase.
EJEMPLO
Un estudiante en un curso de cálculo obtuvo 65, 78 y 81 en los exámenes parciales.
Éste desea saber que puntuación necesita obtener en el cuarto examen para tener 80
de promedio. Establezca una ecuación que modele este problema.
SOLUCIÓN: Una vez hemos leído el problema introducimos un símbolo que denote la
desconocida. Llamemos x a la puntuación en el examen final. Este problema no se presta
para hacer un dibujo.
Ahora veamos si aparece alguna relación en el problema que involucre la desconocida. Se
desea hallar la puntuación que el estudiante debe obtener en el cuarto examen para
tener 80 de promedio. Lo que se busca es el promedio de las 4 puntuaciones de los
exámenes, es decir,
65 + 78 + 81+ x4
= 80 .
Esta es una ecuación que modela la situación presentada en el problema.
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EJERCICIOS
1. Un estudiante en un curso de álgebra tiene puntuaciones de 75, 83, 71 y 85 en las 4
pruebas que ha tomado hasta ahora. El estudiante desea saber que puntuación debe
obtener en la próxima prueba para tener un promedio a 80. Establezca una ecuación
que modele este problema.
2. En un curso de precálculo Lidia ha obtenido 70, 85 y 45 en los tres exámenes que se
han ofrecido hasta ahora. Ella desea obtener un 75 de promedio. ¿Qué puntuación ha
de obtener en el cuarto examen para obtener el promedio que desea? Establezca una
ecuación que le indique cuánto debe sacar en el último examen.
PROBLEMAS CON NÚMEROS
Este tipo de problema enuncia relaciones entre ciertos números.
EJEMPLOS
1. Un número aumentado en una cuarta parte del mismo resulta ser 40. Se desea hallar
este número. Establezca una ecuación que modele este problema.
SOLUCIÓN: La cantidad desconocida en este problema es un número. Llamemos x a
ese número. La cuarta parte de este número es x4
. El problema nos dice que el número
en cuestión aumentado por su cuarta parte es 40. Luego
x + x4= 40 .
Esta ecuación modela la situación descrita en el problema.
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2. Un número es nueve más que otro. Si la suma de ambos es 54, ¿cuáles son los dos
números? Establezca una ecuación que modele esta situación.
SOLUCIÓN: Las desconocidas en este problema son dos números. Denotemos estos
números por x y y . ¿Qué relación hay entre x y y ? El problema nos indica que uno de
estos números es nueve más que el otro. Si seleccionamos uno de estos números, digamos
y , entonces y = x + 9 . Tenemos otra relación entre x y y . La suma de x y y es 54.
Luego, x + y = 54 . Como y = x + 9 tenemos que
x + (x + 9) = 54 .
EJERCICIOS
1. Un número es 21 menos que la mitad de otro. Si la diferencia de ambos es 30 halle
los dos números. Establezca una ecuación que modele esta situación.
2. La suma de tres números consecutivos es 144. Determine estos tres números.
Establezca una ecuación que modele esta situación.
PROBLEMAS CON EDADES
En este tipo de problemas se nos presentan una serie de datos sobre las edades de varios
sujetos y las relaciones que existen entre éstas.
EJEMPLOS
1. Un hombre tiene ocho veces la edad de su hijo. En dos años su edad será seis veces la
edad que su hijo tendrá para entonces. ¿Qué edad tienen el padre y su hijo
actualmente? Establezca una ecuación que modele esta situación.
SOLUCIÓN: Las desconocidas en este problema son las edades actuales del padre y de
su hijo. Como el hijo es menor que su padre denotemos por x la edad actual del hijo.
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Como la edad actual del padre es 8 veces la edad actual de su hijo, tenemos que 8x
representa la edad actual del padre. Para obtener la edad que tendrán en 2 años
sumamos 2 a x y a 8x . Organicemos la información que tenemos en una tabla.
Sujetos Edad Actual Edad Dentro de 2 Años
Padre 8x 8x + 2
Hijo x x + 2
Veamos qué relaciones hay entre las edades. El problema nos dice que la edad que
tendrá el padre dentro de dos años será 6 veces la edad que tendrá el hijo para ese
entonces. Luego
8x + 2 = 6(x + 2) .
2. Las edades de Diana, Olga y Susana suman 51 años. Diana tiene 6 años más que el
doble de la edad de Olga. Susana tiene 3 años menos que Olga. ¿Qué edad tienen
Diana, Olga y Susana? Establezca una ecuación que modele este problema.
Solución: Analizando el problema notamos que las edades de Diana y Susana están
dadas en términos de la edad de Olga. Usemos x para denotar la edad de Olga. Luego
Sujeto Edad
Olga x
Diana 2x + 6
Susana x − 3
También sabemos que las edades de Diana, Olga y Susana suman 51 años. Luego
tenemos la ecuación
x + (2x + 6) + (x − 3) = 51
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EJERCICIOS
1. Jorge es el doble de viejo que Luis. Hace cinco años sus edades sumaban 25 años.
¿Qué edad tienen Jorge y Luis? Establezca una ecuación que modele este problema.
2. Carmen tiene una tercera parte de la edad que tiene actualmente su madre. Dentro
de cuatro años ella tendrá la edad que su madre tenía hace treinta años. ¿Qué edad
tienen Carmen y su Madre? Establezca una ecuación que modele este problema.
PROBLEMAS CON DINERO
En este tipo de problema se nos presenta cantidades de dinero, precios, etc.
EJEMPLOS
1. Suponga que el precio de la seda es el triple del precio del algodón. Rosa compró 10
metros de seda y 15 metros de algodón por $39.95. ¿Cuál es el precio de la seda?
Establezca una ecuación que modele este problema.
SOLUCIÓN: Como el precio de la seda es el triple del precio del algodón
representaremos el precio del algodón por x . Luego el precio de la seda es 3x . Con estos
símbolos organizamos los datos
Tela Cantidad (metros) Precio Costo
Algodón 15 x 15x
Seda 10 3x 10(3x) = 30x
El costo de las telas se obtiene multiplicando el precio por la cantidad de tela comprada.
El problema nos indica que Rosa gastó un total de $39.95. Este total es la suma del
costo de la seda y del algodón, luego tenemos
15x + 30x = 39.95
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2. Luz y Otto recibieron la misma cantidad de dinero de sus padres. Luz lo usó para
comprar 3 paquetes de frutas y le sobraron $10.50, mientras que Otto lo usó para
comprar 6 paquetes de las mismas frutas y le sobraron $2.40. ¿Cuál es el precio de un
paquete de frutas? Establezca una ecuación que modele este problema.
SOLUCIÓN: Comencemos por denotar el precio de los paquetes de fruta por x. Luz
compró 3 paquetes y le sobraron $10.50. Luego la cantidad de dinero, en dólares, que
tenía Luz era
3x +10.50
Otto compró 6 paquetes y le sobraron $2.50. Luego la cantidad de dinero, en dólares,
que tenía Otto era
6x + 2.50
Como recibieron la misma cantidad de dinero tenemos que
3x +10.50 = 6x + 2.50 .
EJERCICIOS
1. Si el precio del paladio es 8 veces el precio del tungsteno y se pagaron $524.50 al
comprar 20 onzas de paladio y 35 de tungsteno, ¿cuál es el precio del paladio?
Establezca una ecuación que modele este problema.
2. En una feria se cobraba $2.00 por adulto y 60 centavos por niño. Se recolectaron
$655.40 por 775 admisiones. ¿Cuántos adultos y cuántos niños asistieron a la feria?
Establezca una ecuación que modele este problema.
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
En este tipo de problema los datos son presentados con relación a una situación
geométrica y por lo tanto, hacer un dibujo es muy conveniente.
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EJEMPLOS
1. El perímetro de una cancha de baloncesto es de 160 metros. El largo de la cancha es 5
metros más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la cancha? Establezca una
ecuación que modele el perímetro de la cancha en términos de su ancho.
SOLUCIÓN: Hagamos un dibujo de la situación.
Denotemos por a el ancho de la cancha. Como el largo es
5 metros más que el ancho tenemos que el largo de la
cancha está representado por a + 5 . ¿Cómo están relacionados el
largo y el ancho de la cancha? Se nos pide modelar el perímetro de la cancha en
términos de su ancho. Como la cancha es rectangular, su perímetro P es
P = 2l + 2a
donde l denota el largo y a el ancho. Luego l = a + 5 y substituyendo tenemos que
160 = 2a + 2(a + 5) .
2. El perímetro de un rectángulo es de 42 pulgadas y su área es de 68 pulgadas
cuadradas. Halle las dimensiones de la cancha. Establezca una ecuación que modele el
perímetro del rectángulo en términos de su ancho.
SOLUCIÓN: Sabemos que la fórmula para el perímetro de un rectángulo es P = 2l + 2a ,
donde a es el ancho del rectángulo y l el largo. También
sabemos que la fórmula para el área de un rectángulo es
A = la . Como el área del rectángulo es 68 pulgadas
cuadradas luego 68 = la . Dividiendo entre a obtenemos
que l = 68a
. Sustituyendo en P = 2l + 2a obtenemos que
a
a + 5
a
l
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P = 2l + 2a42 = 2l + 2a
42 = 2 68a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ 2a
EJERCICIOS
1. El largo de un pedazo rectangular de terreno es 60 yardas más que el doble de su
ancho. El perímetro es de 540 yardas. Establezca una ecuación que modele el
problema.
2. Un triángulo tiene de base 5 metros menos que el doble de su altura. Si el área del
triángulo es 45 metros cuadrados, ¿cuál es la altura del triángulo? Establezca una
ecuación que modele el problema.
PROBLEMAS CON MEZCLAS
En este tipo de problema se busca determinar la cantidad de ingredientes a mezclar,
sujeto a que la mezcla resultante tenga ciertas características específicas.
EJEMPLOS
1. En cierta prueba médica diseñada para medir la tolerancia al azúcar, un adulto toma
una solución al 30% de glucosa. Para poder administrarle esta prueba a un niño, la
concentración de glucosa debe disminuirse al 20%. Para obtener la concentración
deseada, se mezcla la solución de glucosa al 30% con agua pura para preparar 7 onzas
de una solución de glucosa al 20%. ¿Cuántas onzas de la solución de glucosa al 30% y
cuántas onzas de agua pura hay que mezclar para obtener las 7 onzas de la solución
de glucosa al 20%? Establezca una ecuación que modele este problema.
SOLUCIÓN: Digamos que x representa la cantidad de onzas de agua pura que se usará
para preparar la solución. Como hay que preparar 7 onzas, la diferencia 7 − x representa
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las onzas de la solución al 30% de glucosa a añadirse. La cantidad de glucosa en la
solución de glucosa al 30% es 0.30(7 − x) onzas*.
Como se añade agua pura, esta tiene una concentración de 0% de glucosa y por lo tanto
la cantidad de glucosa que aporta el agua pura es 0 onzas. Las onzas de glucosa en la
solución final son 0.20(7)=1.4 onzas. Organicemos esta información en una tabla:
Cantidad (onzas) Por ciento Onzas de Glucosa
Solución de glucosa al 30% 7 − x 0.30 .30 7 − x( )
Agua Pura x 0 0x = 0
Solución de glucosa al 20% 7 0.20 0.20(7) = 1.40
La suma de las onzas de glucosa en la solución al 30% y las del agua deben ser iguales a
las onzas en la solución al 20%. Luego
0.30 7 − x( ) + 0 = 1.400.30 7 − x( ) = 1.40
2. Una aleación contiene 7.5% de oro por peso. Se desea añadir cierta cantidad de
gramos de oro puro y cierta cantidad de gramos de la aleación que contiene 7.5% de
oro para preparar 200 gramos de otra aleación que sea 10% oro por peso. ¿Cuántos
gramos de oro puro y cuántos gramos de aleación con 7.5% de oro hay que añadir
para obtener los 200 gramos de aleación con 10% de oro? Establezca una ecuación que
modele este problema.
SOLUCIÓN: Digamos que la cantidad de gramos de oro puro para la nueva aleación es
x. Luego 200 − x representa la cantidad de aleación con 7.5% de oro a usarse pues se
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* Recuerde que para cambiar de por ciento a decimal se divide por 100. Por ejemplo, 30% = 30/100 = 0.30. Note que esto es equivalente a mover el punto decimal dos lugares hacia la izquierda.
desean 200 gramos de aleación al 10%. Los gramos de oro en la aleación al 7.5% son
0.075(200 − x) . Note que el por ciento de oro en el oro puro es de 100% = 1.00.
Cantidad (gramos) Por ciento Gramos de Oro
Oro puro x 1.00 x
Aleación con 7.5% de oro 200 − x 0.075 .075 200 − x( )
Mezcla 200 0.10 0.10(200) = 20
Obtenemos la ecuación que modela este problema al sumar los gramos de oro que
contiene la aleación al 7.5% con los gramos de oro puro e igualar esta suma a 20:
x + .075 200 − x( ) = 20
EJERCICIOS
1. Para llenar un radiador se tiene una solución con 40% de anticongelante, la cual se
quiere mezclar con anticongelante puro para obtener 8 cuartos de una solución que
contenga 60% de anticongelante. Si queremos saber las cantidades a mezclar,
establezca una ecuación que modele este problema.
2. Leche con 30% de grasa debe mezclarse con leche con 2% de grasa para obtener 720
galones de una mezcla de leche que sea 4.5% de grasa. Si queremos saber las
cantidades a mezclar, establezca una ecuación que modele este problema.
PROBLEMAS DE TRABAJO
En este tipo de problema se presentan dos sujetos o máquinas que realizan una tarea
con distinta rapidez. Luego se pregunta cuánto tiempo tomará realizar la misma tarea si
los sujetos o las máquinas la realizan simultáneamente.
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EJEMPLOS
1. A José le toma 90 minutos podar la grama de un patio, pero su hermano lo poda en
60 minutos. Establezca una ecuación que modele el tiempo que le tomará a ambos
podar el patio, si trabajan juntos usando 2 podadoras.
SOLUCIÓN: ¿Qué parte del patio podan José y su hermano en un minuto si trabajan
por separado? Si dividimos el patio en 90 partes iguales, entonces José podará 1 parte
de 90 por minuto. Es decir
190
: parte del patio podada por José en un minuto
Ahora, si dividimos el patio en 60 partes iguales, entonces José podará 1 parte de 60 en
un minuto. Es decir
160
: parte del patio podada por el hermano de José en un minuto
Denotemos por t el tiempo, en minutos, que le toma a ambos podar el patio. Luego, si
dividimos el patio en t partes iguales José y su hermano podarán 1 parte de t en un
minuto. Es decir
1t: parte del patio podada por los dos en un minuto
Si José y su hermano trabajan juntos tenemos que
Parte podada porJosé en un minuto
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
Parte podada por elhermano en un minuto
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
Parte podada porambos en un minuto
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Luego,
190
+160
=1t
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2. Usando una manguera se puede llenar una piscina en 8 horas. Otra manguera de
mayor diámetro puede llenarla en 5 horas. Establezca una ecuación que modele el
tiempo que le tomará a ambas mangueras llenar la piscina si se usan
simultáneamente.
SOLUCIÓN: ¿Qué parte de la piscina llenan las mangueras en una hora si se usan por
separado? Si dividimos la piscina en 8 partes iguales, la primera manguera llenará 1
parte de 8 en una hora. Es decir
18
: parte de la piscina llenada por la primera manguera en una hora
Ahora, si dividimos la piscina en 5 partes iguales, la segunda manguera llenará 1 parte
de 5 en una hora. Es decir
15
: parte de la piscina llenada por la segunda manguera en una hora
Si t denota el tiempo que le toma a ambas mangueras llenar el tanque y si dividimos el
tanque en t partes iguales, las mangueras llenarán 1 parte de t en una hora. Es decir
1t: parte de la piscina llenada por ambas mangueras en una hora
Tenemos que al usar ambas mangueras simultáneamente
Parte de la piscina llenadapor la primera mangera
en 1 hora
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ +
Parte de la piscina llenadapor la segunda mangera
en 1 hora
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
Parte de la piscina llenadapor ambas mangeras
en 1 hora
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
Luego,
15+18=1t
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EJERCICIOS
1. Pedro puede construir una acera en 15 días y Gabriel lo puede hacer en 10. ¿Cuánto
tiempo demorarán en construir la acera si trabajan juntos? Establezca una ecuación
que modele este problema.
2. Un tanque puede ser llenado por un grifo en 30 minutos y vaciado por un desagüe en
50 minutos. Si tanto el grifo como el desagüe se abren, establezca una ecuación que
modele cuánto tardará en llenarse el tanque. (Sugerencia: Observe que el desagüe
disminuye la cantidad de agua en el tanque)
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PROBLEMAS ADICIONALES
1. Un estudiante en un curso de álgebra obtuvo 76, 82, 71 y 84 en cuatro pruebas. ¿Qué
puntuación tiene que obtener en la quinta prueba para tener un promedio de 75?
Establezca una ecuación que modele este problema.
2. Un número disminuido en una cuarta parte del mismo resulta ser 75. ¿Cuál es este
número? Establezca una ecuación que modele este problema.
3. Suponga que el precio del acero es cinco veces el precio de la madera. Roberto
compró 25 metros de acero y 30 metros de madera por $1,230. ¿Cuál es el precio del
acero y de la madera? Establezca una ecuación que modele este problema.
4. La altura de un triángulo es 5 metros más que el doble de su base. Si el área del
triángulo es 50 metros cuadrados, ¿cuál es la altura del triángulo? Establezca una
ecuación que modele el problema.
5. Una solución salina contiene 25% de sal. Se desea mezclar esta solución salina con
agua pura para obtener 6 litros de una solución que contenga un 20% de sal.
¿Cuántos litros de la solución al 25% y de agua pura hay que mezclar? Establezca
una ecuación que modele este problema.
6. Un césped de 40 pies de largo por 26 de ancho tiene una acera de ancho uniforme
que lo circunda. Si el área de la acera es de 432 pies cuadrados, establezca una
ecuación para hallar su ancho.
7. La suma de tres números pares consecutivos es 204. ¿Cuales son estos números?
Establezca una ecuación que modele este problema.
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POS–PRUEBA
Nombre: Escuela:
Instrucciones: En los problemas 2 al 8 establezca la ecuación que modela el problema pero no la resuelva.
1. Traduzca el siguiente enunciado al lenguaje matemático: El ancho de un rectángulo
es 2 menos que tres veces su largo.
2. Un estudiante en un curso de cálculo obtuvo 82, 45 y 73 en los exámenes parciales.
Éste desea saber qué puntuación necesita obtener en el cuarto examen para tener 80
de promedio. Establezca una ecuación que modele este problema.
3. Un número aumentado en una cuarta parte del mismo resulta ser 75. ¿Cuál es éste
número? Establezca una ecuación que modele este problema.
4. Un hombre tiene tres veces la edad de su hijo. En 20 años, su edad será el doble de
la edad que su hijo tendrá para entonces. ¿Qué edades tienen el hombre y su hijo?
Establezca una ecuación que modele esta situación.
5. Suponga que el precio de la seda es cinco veces el precio del lino. María compró 25
metros de seda y 30 metros de lino por $430.50. ¿Cuál es el precio de la seda y del
lino? Establezca una ecuación que modele este problema.
6. El perímetro de una cancha de tenis es de 62 metros. El largo de la cancha es 6
metros más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la cancha? Establezca una
ecuación que modele el perímetro de la cancha en términos de su ancho.
7. Una compañía de licores tiene una solución de alcohol concentrada al 60%. Se desea
mezclar alcohol puro con la solución al 60% para obtener una solución con una
concentración de alcohol al 75%. ¿Cuántas onzas de solución al 60% y de alcohol
puro hay que mezclar para obtener 50 onzas de una solución de alcohol al 75%?
Establezca una ecuación que modele este problema.
8. A José le toma 30 minutos podar la grama de un patio, pero Tomás lo poda en 20
minutos. Establezca una ecuación que modele el tiempo que le tomará a ambos
podar el patio, si trabajan juntos usando 2 podadoras.
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RESPUESTAS
RESPUESTAS DE LA PRE–PRUEBA
1. l = 2a + 3 , donde l representa el largo del rectángulo y a su ancho.
2.45 + 86 + 71+ x
4= 80 , donde x representa la puntuación del cuarto examen.
3. x + x3= 60 , donde x representa el número que se desea determinar.
4. 3x +15 = 2(x +15) , donde x representa la edad del hijo.
5. 35x + 20(6x) = 542.50 , donde x representa el costo del lino.
6. 42 = 2a + 2(a + 3) , donde a representa el ancho de la cancha
7. x + 0.40(42 − x) = 0.55(42) , donde x representa la cantidad de alcohol puro añadido.
8.160
+140
=1t, donde t representa el tiempo que le toma a José y Tomás podar el patio
juntos.
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS EN EL MÓDULO
Traducción (pág. 8)1. A = la , donde A representa el área, l el largo y a ancho del rectángulo
2. P =FA
, donde P representa la presión, F la fuerza, A el área
3. G = 325x , donde x es el número de neveras vendidas y G la ganancia
4. La edad de Juan está representada por 2x +12 , donde x es la edad de Carlos.
25
Problemas de promedio (pág. 11)
1.75 + 83+ 71+ 85 + x
5= 80 , donde x es la puntuación de la próxima prueba
2.70 + 85 + 45 + x
4= 75 , donde x es la puntuación del cuarto examen
Problemas con números (pág. 12)
1. x − x2− 21⎛
⎝⎜⎞⎠⎟= 30 , donde x es el segundo número
2. x + (x +1) + (x + 2) = 144 , donde x es el primero de los números
Problemas con edades (pág. 14)1. (x − 5) + (2x − 5) = 25 , donde x es la edad actual de Luis
2.x3+ 4 = x − 30 , donde x representa la edad actual de la madre de Carmen
Problemas con dinero (pág. 15)1. 35x + 20(8x) = 524.50 , donde x representa el precio de tungsteno
2. 0.60x + 2(775 − x) = 655.95 , donde x representa el numero de niños
Problemas geométricos (pág. 17)1. 2a + 2(2a + 60) = 540 , donde a representa el ancho del rectángulo
2. 45 =2h − 5( )h2
, donde h es la altura del triángulo
Problemas con mezclas (pág. 19)1. x + 0.40(8 − x) = 0.60(8) , donde x representa los cuartos de anticongelante puro
2. 0.30x + 0.02(720 − x) = 0.045(720) , donde x representa los galones de leche con 30%
de grasa
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Problemas de trabajo (pág. 22)
1.115
+110
=1t, donde t representa el tiempo que le toma a Pedro y a Gabriel construir
la acera juntos.
2.130
−150
=1t, donde t representa el tiempo que tarda en llenarse el tanque
RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS ADICIONALES
1.76 + 82 + 71+ 84 + x
5= 75 , donde x representa la puntuación del quinto examen.
2. x − x4= 75 , donde x representa el número que se quiere buscar.
3. 30x + 25 5x( ) = 1,230 , donde x es el precio de la madera.
4. 50 =b 2b + 5( )
2, donde b es la base del triángulo.
5. 0.25 6 − x( ) = 0.20 6( ) , donde x representa los litros de agua pura.
6. 40 + 2x( ) 26 + 2x( ) − 40 26( ) = 432 , donde x es el ancho de la acera.
7. 2n + 2 n +1( ) + 2 n + 2( ) = 204 , donde 2n es el primero de los números pares.
RESPUESTAS DE LA POS–PRUEBA
1. a = 3l − 2 , donde l representa el largo del rectángulo y a su ancho.
2.82 + 45 + 73+ x
4= 80 , donde x representa la puntuación del cuarto examen.
3. x + x4= 75 , donde x representa el número que se desea determinar.
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4. 3x + 20 = 2(x + 20) , donde x representa la edad del hijo.
5. 30x + 25(5x) = 430.50 , donde x representa el costo del lino.
6. 62 = 2a + 2(a + 6) , donde a representa el ancho de la cancha
7. x + 0.60(50 − x) = 0.75(50) , donde x representa la cantidad de alcohol puro añadido.
8.130
+120
=1t, donde t representa el tiempo que le toma a José y Tomás podar el patio
juntos.
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