Universidad de AntioquiaFacultad de Ingenierıa

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Nota: ”Casi” todos los puntos del tercer parcial salen de este taller.

1. Determine cuales de las siguientes funciones son transformaciones lineales

(a) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (0,−cos(y))

(b) T : R2 −→ R, T (x, y) = x/y

(c) T : P2(x) −→ P2(x), T (p(x)) = 1 + p(x)

(d) T : P1(x) −→ P2(x), T (p(x)) = xp(x)

(e) T : P2(x) −→ P3(x), T (p) = 2p− x2p′

(f) T : P3(x) −→ P3(x), T (p) = 2x3p( 1x) + x2p

′.

(g) T : R3 −→ R, T (v) = u · v, con u = (1, 2, 4)

(h) T : P2(x) −→ R2×2, T (ax2 + bx+ c) =

(ab a− b2c −3b+ c

)(i) T : R2×2 −→ R2×2, T (A) = At − adj(A).

(j) T : R3 −→ P3(x), T (a, b, c) = (a+ b)x3 + (aπ + c)x2 + (a− 5c)x+ 1 + b

(k) T : R3×3 −→ R3×3, T (A) = adj(A).

2. En R3, sean H el plano con ecuacion 2x − 5y + z = 0, y T : R3 −→ R3 definida porT (u) = Proy

Hu. Pruebe que T es lineal. Ayuda u1 = 1√

5[−1, 0, 2] , u2 = 1√

6[2, 1, 1] es

una base ortonormal para H.

3. Hallar la representacion matricial AT , y el kernel (o nucleo), de las siguientes transforma-ciones lineales usando las bases indicadas

(a) T : P1(x) −→ P3(x), T (p(x)) = x2p(x) + 2xp(x), bases canonicas

(b) T : R2×2 −→ R2×2, T (A) = At − 3A bases canonicas

(c) T : P3(x) −→ P2(x), T (p(x)) = 3p′(x), base canonica B1 para P3(x) yB2 = {x2 − 2x− 1,−2x2 + 2x, x2} para P2(x)

(d) T : P2(x) −→ P3(x), T (p(x)) = p′(x) +∫p(x)dx, bases canonicas

(e) T : P2(x) −→ P1(x), T (ax2 + bx + c) = (a + b)x + c − a, base canonica B1 paraP2(x) y B2 = {x− 2, x+ 1} para P1(x).

(f) T : P2(x) −→ P2(x), T (p) = x2p( 1x)− 2p

′(x), base canonica B1 para P2(x) (espacio

de salida) y B2 = {x2 − 2x− 1,−2x2 + 2x, x2} para P2(x) (espacio de llegada).

4. Halle el Kernel y la representacion matricial (usando bases canonicas) de la transformacionlineal del ejercicio 2.

Algebra lineal- Taller

5. Sea V = gen {1, sen(x), cos(x)}, y sea T : V −→ V definida por T (f) = f′. Halle la

representacion matricial de T respecto a la base {1, sen(x), cos(x)}.

6. Encuentre una transformacion lineal T : R3 −→ R2 tal queKerT = {(x, y, z) : x− y + 3z = 0},y su imagen sea la recta generada por el vector (1,−3).

7. Pruebe que T : Rm×n −→ Rn×m, T (A) = At es un isomorfismo.

8. Para las transformaciones lineales T del problema 2 y las que funciones que son linealesen el punto 1, determine cuales de estas son isomorfismos.

9. Encuentre un isomorfismo entre las matrices simetricas de orden n × n y las matricestriangular superior de orden n× n

10. Sean V = P4 y W = {p ∈ P5 : p(0) = 0}, pruebe que V ∼= W .

11. Demuestre que T : Rn −→ Rn es un isomorfismo si y solo si AT es invertible.

12. Sea T : R2 −→ R2 una isometrıa, pruebe que T conserva los angulos, i.e. , el angulo entrex y y es igual al angulo entre T (x) y T (y).

13. Sea T : R3 −→ R3 lineal tal que

T

2/31/3−2/3

=

1/√

2

1/√

20

, T

1/32/32/3

=

−1/√

6

1/√

6

2/√

6

, T

2/3−2/31/3

=

1/√

3

−1/√

3

1/√

3

pruebe que T es isometrıa.

14. Falso o verdadero En las siguientes afirmaciones marque F si es falso, V si es verdaderojustifique con una demostracion o un contraejemplo.

a.( ) Si Q es una matriz ortogonal entonces det(Q) = ±1.

b.( ) Si T es una transformacion lineal entonces T (xy) = T (x)T (y) para todo x, y.

c.( ) Si T es una transformacion lineal es posible hallar u1, u2, w diferentes tales queT (u1) = T (u2) = w.

d.( ) Existe T : R2 −→ R2 t.q. T (1, 2) = (4, 5), T (2, 1) = (1, 4) y T (1, 1) = (10, 8).

e.( ) Si AT es la matriz asociada a un isomorfismo T entonces Det(AT ) = 0.

f.( ) Si T es una isometrıa es posible hallar u1, u2, w diferentes tales queT (u1) = T (u2) = w.

g.( ) Si T : R3 −→ R2 lineal es tal que T (2, 0, 0) = (0, 0), T (1, 2, 0) = (0, 0), entoncesKer(T ) =Plano XY

h.( ) Si T : Rn → Rn es una isometrıa entonces T es un isomorfismo.

i.( ) Si S, T : Rn → Rn, T es lineal y S isomorfismo entonces S(T ) y T (S) son isomorfis-mos.

j.( ) Si S, T : Rn → Rn, son isometrıas entonces S(T ) y T (S) son isometrıas.