Taller 3 matemáticas básicas: Preparación 3er parci al. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. jaimeaj@gmail.com. itm. 2011-2

Referencias:

STEWART, James y otros. Precálculo. Quinta edición. México: Thomson, 2007.

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

1. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales

a)

−=−−=+

2

12

yx

yx b)

=+=+

524

42

yx

yx c)

=−=+

4520

3410

yx

yx d)

− + =− =

x y

x y

2 5

2 4 3

e) 2 5 8 0

4 11 0

x y

x y

− + =− + + =

f)

=+=−

1

43

yx

yx g)

x y

x y

− =− + =

7 5

2 5 21 h)

=+

=+

3

424

236

yx

yx

i)

=+−=+

1264

52

yx

yx j)

−=−−=+

1236

824

yx

yx

k)

=−+

=−

032

1443

yx

yx

l)

−=−

=+

2

1943

02

12

yx

yx

2. Resuelva los siguientes SEL y muestre su representación gráfica:

a)

=−−=+−

2025

3648

yx

yx

b)

=+−−=−1896

422114

yx

yx

c)

=−−=+−2172

191113

yx

yx

d)

=−−=+−

211612

36129

yx

yx

e)

−=−

=+−

622

7

4

9

314

7

8

9

yx

yx

f)

=+=+−54

43

yx

yx

3. Dos muchachos están a 100 metros de distancia. Si corren en sentidos opuestos, uno hacia el otro, se encuentran en 10 segundos, pero si corren en el mismo sentido él más rápido alcanza al otro en 50 segundos. Halla la velocidad de cada uno

4. Un cliente de una cafetería compra una mezcla de dos tipos de café: uno proveniente de Kenia que cuesta 3.50 dólares cada libra y uno de Sri Lanka, que cuesta 5.60 dólares la libra. Compra tres libras de la mezcla, que le cuesta 11.55 dólares. ¿Cuántas libras de cada clase de café van en la mezcla?

5. Un químico tiene dos grandes recipientes de solución de ácido sulfúrico, con diferentes concentraciones de ácido en cada contenedor. Al mezclar 300 mL de la primera solución y 600 mL de la segunda obtiene una mezcla que es ácido al 15%, en tanto que 100 mL de la primera mezclada con 500 mL de la segunda da una mezcla de ácido al 12%. ¿Cuáles son las concentraciones de ácido sulfúrico en los recipientes originales?

6. Calcule el área de un triángulo que se encuentra en el primer cuadrante y está limitado por las rectas 4 -2x =y ; 20 +4x - =y y por el eje x.

7. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?

8. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

9. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

10. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.

11. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana $5 000= diarios menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el segundo sólo 24. Si el primero ha ganado $330.000=. más que el segundo calcula el salario diario de cada obrero.

12. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.

13. La gerente de un restaurante quiere comprar 200 juegos de platos. Un modelo cuesta $25 000 por juego, mientras que otro cuesta $45 000 por juego. Si sólo dispone de $7 400 000 para este gasto, ¿cuántos juegos debe pedir de cada modelo?

14. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?

15. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?

Sistemas de ecuaciones lineales 3x3

16. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales

a)

1 2 3

1 3

1 2

5

3 0

2 1

x x x

x x

x x

− + = −− + = + =

b)

1 2 3

1 3

1 2

0

3 0

2 0

x x x

x x

x x

− + =− + = + =

c)

=+=−

=−

42

1632

6

zy

zx

yx

d)

=−−−=−+−

=−+

7343

7322

032

321

321

321

xxx

xxx

xxx

e)

=++=++

=−−

235

2223

032

zyx

zyx

zyx

f)

=++−−=+−

−=+−

1252

15234

4

zyx

zyx

zyx

g)

=−−=−+=−+

46

127

15936

zyx

zyx

zyx

h)

=+−=−+−

=+−

10889

3232

1425

zyx

zyx

zyx

i)

=−+=−+

−=+−

1323

1542

3235

zyx

zyx

zyx

17. Tres amigos suben a una báscula de dos en dos. Andrés y Benjamín suman 173 kg., Andrés y Carlos 152 kg., mientras que entre Benjamín y Carlos pesan 165 kg. ¿Cuánto pesa cada uno?

18. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

• El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.

• El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.

• El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

¿Qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre?

19. Una compañía produce tres marcas de alicates: groso, transverso y ergos los costos de producción de una unidad son $28 000=, $39 000=, y $47 000= y sus precios de venta $36 000=, $49 000= y $61 000= respectivamente. Si la producción diaria de 350 alicates representa un costo total de $13 616 000= y por su venta se facturan $17 484 000=, determine cuantos alicates de cada marca son elaborados diariamente.

20. Un inversionista posee tres grupos de acciones: A, B y C. Los precios de las acciones al cierre en tres días comerciales consecutivos se proporcionan en la tabla.

Acciones A Acciones B Acciones C

Lunes $10 $25 $29

Martes $12 $20 $32

Miércoles $16 $15 $32

A pesar de la volatilidad en los precios de las acciones, el valor total de las acciones del inversionista permanece sin cambios en 74 000 dólares al final de cada uno de estos tres días. ¿Cuánto posee de cada acción el inversionista?

21. Hacer prendas de vestir Un fabricante de ropa hace sacos, camisas y pantalones. Los tiempos necesarios para cortar, coser y empacar cada artículo se muestran en la tabla. ¿Cuántos de cada uno debe hacer para usar todas las horas de mano de obra disponibles?

Sacos Camisa

s Pantalones

Tiempo disponiCortar 20 min 15 min 10 min 115hr

Coser 60 min 30 min 24 min 280 hr Empacar 5 min 12 min 6 min 65 hr

22. Encuéntrense a, b, y c tales que la parábola y = ax2 + bx + c pase por los puntos (—2, —32), (1, 4), y (3, —12).

23. Hay tres cadenas que pesan 450, 610 y 950 onzas, cada una de las cuales está formada por eslabones de tres tamaños diferentes. Cada cadena tiene 10 eslabones pequeños. Las cadenas tienen también 20, 30 y 40 eslabones medianos y 30, 40 y 70 eslabones grandes, respectivamente. Encuentra los pesos de los eslabones pequeños, los medianos y los grandes.

24.La tienda local de artículos para jardín almacenó tres marcas de fertilizante de fosfato-potasio-nitrógeno con las composiciones indicadas en la siguiente tabla.

MARCA FOSFATO POTASIO NITRÓGENO

A 10% 30% 60%

B 20% 40% 40%

C 20% 30% 50%

Un análisis del suelo muestra que Laura López necesita fertilizante para su jardín con 19 por ciento de fosfato, 34 por ciento de potasio y 47 por ciento de nitrógeno. ¿Puede obtener la mezcla correcta mezclando las tres marcas? Si es así, ¿cuántas libras de cada una debe mezclar para obtener 100 libras de la mezcla deseada?

25. Nutrición Una bióloga está efectuando un experimento sobre los efectos de varias combinaciones de vitaminas. Quiere alimentar a cada uno de sus conejos de laboratorio con una dieta que contenga exactamente 9 mg de niacina, 14 mg de tiamina y 32 mg de riboflavina. Tiene tres tipos distintos de marcas comerciales de alimento; su contenido vitamínico por onza se proporciona en la tabla. ¿Cuántas onzas de cada tipo de alimento deben comer todos los días los conejos para cumplir con los requisitos del experimento?

Tipo A TipoB TipoC

Niacina (mg) 2 3 1 Tiamina (mg) 3 1 3 Riboflavina (mg)

8

5

7

Sistemas de ecuaciones lineales mxn

26. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales:

=++−=+−+

=−+−−=+−+

162423

22

484725

21623

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

−=+−+−−=++−

=+−+=−+−

125

4754

03222

15923

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

Descomposición en fracciones parciales

27. Descomponga la expresión en sumas parciales:

A. ( )( )32

18

+−−xx

x B. ( )( )14

29

+−−

xx

x C.

124

342 −−

+xx

x

D. xx

x

4

1252 −

− E. F. ( )( )52

20192

2

−+++

xx

xx

G. xxx

xx

54

155423

2

−−−−

H. ( )( )651

1132 +−+−

xxx

x I. ( )21

32

−+

x

x

J. ( )2

4522

2

+−

xx

x K.

23

2

53

255019

xx

xx

−−+

L. 2510

102 ++

−xx

x

M. ( )( )122

62

−+−

xx

x N.

( )( )22

2

11

2

+−+xx

xx O.

482

2915423

23

−+−−+−

xxx

xxx

P. xx

xx

4

101333

2

−−+

Q. R. ( )( )( )321

1154 2

−+−−−xxx

xx

S. ( )( )52

20192

−+++xxx

xx

T. ( ) ( )22

2

11

2

+−+xx

xx

U. ( )2

452

2

+−

xx

x

28. Descomponga en fracciones parciales:

A. B. C.

D. E. ( )( )121

4322

2

+−+−

xxx

xx

F.

G. H. I.

29. Plantear la descomposición en fracciones parciales para la expresión racional. No determne el valor de las constantes:

A. B. C.

D. E. ( )22 16

13

−

+

x

x

F.

TRIGONOMETRÍA

30. Convierta el ángulo a grados:

i. 9

π

ii. 21.4 iii. 23.1 iv.

3

5π

31. Convierta el ángulo a radianes

i. º35 ii. 28º iii. 94º iv. 712º

v. 43.17º vi. 321.92º vii. 19º15’23” viii. 983º21’14”

32. Encuentre el “ángulo de referencia” correspondiente a cada ángulo. (expresado en las mismas unidades –grados o radianes- del ángulo dado)

i. 312º ii. 94º iii.

3

19π

iv. 1.27

v. 9

8π

vi. 896º vii.

2

11π

viii. 17.23

33. Calcule el valor de la expresión sin usar calculadora:

i. 3

2csc

π

ii. º420cot iii.

12

23cos

π

iv. º205tan

v. 2

9sec

π

vi. º15cot− vii. º315csc viii.

6

19sec

π

ix. º315csc− x. º195tan xi.

3

8πsen

xii. º285cos

34. Encuentre el valor exacto de la expresión sin utilizar calculadora (Utilice las identidades trigonométricas):

i. º20cos

º20º20tan

sen− ii.

12sec

1

12 2

2

ππ +sen

iii. º80cscº80sen iv.

º25

º25cosº25cot

sen−

35. θ es un ángulo agudo. Encuentre sin usar calculadora, el valor exacto de todas las funciones trigonométricas para θ si:

i. 3

1=θsen ii. 2

1tan =θ

iii. 2

2=θsen iv. 4csc =θ

v. 3sec =θ vi.

3

7cot =θ

36. Elabore la representación gráfica de la función trigonométrica:

i. senxy 2= ii. xy cos23−= iii.

−=3

3π

xseny

37. Encuentre el valor de x

6

b) x

20°

a)

12

x40°

7c)

60°x

d)

6x

y

20°40°

38. Encuentre el valor de x

18

x110°

8

a) b)

40°

80°12

x

c)

12

50°

70°

x

39. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54º. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.

40. Un poste está amarrado al suelo por dos cuerdas de 4 y 5 metros cada una, ubicadas en sentido contrario una de la otra. Si las bases de las cuerdas están colineales con la base del poste, y se encuentran a 7 m de distancia entre ellas:

a) ¿Qué ángulo forma cada cuerda con el piso?

b) ¿Cual es la altura del poste?

41. Dado tan 4θ = , use las identidades trigonométricas para encontrar el valor de:

i. θ2sec ii. θcot iii.

−θπ2

cot iv. θ2csc

42. Si un hombre mira hacia delante, observa un árbol que está a 4m de distancia. Su parte más alta tiene un ángulo de elevación de 70°. Si mira h acia atrás, observa un poste a 2m cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de 35°. Deter mina la distancia entra las partes más altas de ambos objetos.

43. Halle la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma hora que un árbol de 21 m. proyecta una sombra de 24 m.

44. Halle la altura de una antena de radio si su sombra mide 100 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 30º con la horizontal

45. Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora y media?

46. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40º. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

47. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla la altura de la torre.

48. Clara y Mauricio quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspondiente al vértice en el que está Clara es de 25º y el ángulo del vértice en el que está Mauricio es de 140º.¿A qué distancia se encuentra Clara del castillo? ¿A qué distancia está Mauricio?

49. Para medir la altura de una torre CD nos hemos situado en los puntos A y B, cuya distancia es de 150 m y hemos tomado las medidas que aparecen en la figura.

Calcula la altura de la torre.

50. Encuentre el valor exacto de la expresión, no use calculadora:

i.

−

2

1tan 1sen ii.

−

2

2cos 1sen

iii.

−

4

5coscos 1 π

iv.

−

4

3cos1 π

sen

v.

−

2

1tansec 1

vi. ( )( )2tancsc 1 −−

51. Verifique la identidad

i. xxsenx tansec = ii. xxsenx coscot =

iii. θθθ

tancot1

tan1 =++

iv. θθ

θθ

θcsc2

cos1

cos1=++

+ sen

sen

v. θθ 22 csc)(cot1 =−+ vi. θθθθ 22coscottan sen=−

vii. θ

θθθsen+

=−1

costansec viii. θθ

θθθθ

tansec1sectan

1sectan +=+−−+

ix. ( ) ( )22 cos2cos xxsensenxx +−=− x. ( ) xxsenx cos1.sec 2 =−

xi. xsenxsenx

2sec21

1

1

1 =−

++

xii. x

xxsenxsenx

2

2222

csc

sec.tan =−

xiii. xxxsenxsen 2222 tantan =+ xiv. (1+ tan2α) cos2α = 1

xv. ( )

2xsen1xsenxcos

2xcosxcosxsen +=−

⋅+

xvi. (senα + cscα)2 = sen2α + cot2α + 3

xvii. α

αα

αα

csc2cos1

cos1=++

+ sen

sen

xviii. α

ααα

coscot

csc =+ tgg

52. Encuentre el valor exacto de la expresión (no use calculadora)

i.

+ −−

5

3

2

1cos 11 sensen ii.

−− −−

5

4cos

5

3 11sensen

iii.

+ −−

13

12cos

3

4tancos 11 iv.

−− −−

5

3

12

5tancos 11 sen

53. Resuelva la ecuación para πθ 20 <≤ :

i. 03cos2 =+θ ii. ( )( ) 0221cos2 =−+ θθ sen

iii. θθ cos12 2 +=sen iv. θθ tan1sec2 +=

v. xx sec2

1cos =

vi. xsenxsen =22

vii. 22 =−

xsen

xsen

viii. xsenx 22cos3 =