Taller 6 B9-10 Solucion
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7/26/2019 Taller 6 B9-10 Solucion
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7/26/2019 Taller 6 B9-10 Solucion
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Taller 6 Bloque 9-10
MAT-021
Departamento de Matematica
Universidad Tecnica Federico Santa Mara
29 de abril de 2016
1. Demuestre que en un triangulo de vertices A, B y C y lados opuestos a, b y c respectivamente. Elarea del triangulo es igual al producto de sus lados divido por cuatro veces el radio de la circunferenciacircunscrita al triangulo.
Solucion:Consideremos la circunferencia de radior circunscrita al trianguloABC.Podemos suponer que ninguno de los lados del tri angulo pasa por el centro de la circunferencia.Sabemos que, en todo triangulo, el area esta dada porarea= 12 base altura
Consideremos base como el lado c y la altura desde C, llamadahcPor otra parte, trazamos un diaametro desde el vertice B hasta el punto P en la circunferencia.Luego tenemos un trianguloCBP, el cual es rectangulo enC. El angulo en el vertice A del trianguloCBA es igual al angulo del del vertice P en el trianguloCBP.
En el triangulo CBA tenemos que hc = b sin() y en el triangulo ABC tenemos que sin() =
a
2rentonces hc= b
a
2rLuego el area del trianguloABC esta dada por
area=1
2c a
b
2r =
a b c4r
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2. Calcule, en caso que exista, el siguiente lmite
lmx2
3
3 3x3 1 +x6 +x x2
Solucion
lmx2
3
3 3x3 1 +x6 +x x2
= lmx2
3
3 3x3 (1 x)6 +x x2
( 3
3 3x3)2 + (1 x) 3
3 3x3 + (1 x)2
( 3
3 3x3)2 + (1 x) 3
3 3x3 + (1 x)2 =
lmx2
3(1 x3) (1 x)3
(x 3)(x+ 2)
( 3
3 3x3)2 + (1 x) 3
3 3x3 + (1 x)2 =
lmx2
3(1 x)(1 +x+x2) (1 x)3
(x 3)(x+ 2)
( 3
3 3x3)2 + (1 x) 3
3 3x3 + (1 x)2 =
lmx2
(1 x)(2 + 5x+ 2x2)(x 3)(x+ 2)
( 3
3 3x3)2 + (1 x) 3
3 3x3 + (1 x)2 =
lmx2
(1 x)(2 +x)(2x+ 1)(x 3)(x+ 2)
( 3
3 3x3)2 + (1 x) 3
3 3x3 + (1 x)2 =
lmx2
(1 x)(2x+ 1)(x 3)
( 3
3 3x3)2 + (1 x) 3
3 3x3 + (1 x)2 = 1
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3. Calcule, en caso que exista, el siguiente limite
lmx
2
3 + sen(x 2 )1 + cos(x)
Solucion
Seau = x entonces tenemos el lmite en la variable u
lmu0
2
3 + sin(u+/2)
1 + cos(+u) = lm
u0
2
3 + cos(u)
(1
cos(u))
2 +
3 + cos(u)
2 +
3 + cos(u)
=
lmu0
4 (3 + cos(u))(1 cos(u))(2 +
3 + cos(u))
= lmu0
1
2 +
3 + cos(u)=
1
4
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Control Taller 6 Bloque 9-10
MAT-021
Departamento de Matematica
Universidad Tecnica Federico Santa Mara
Nombre :
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1. Desde la ventana de una edificio a 3mt de altura se ve a una persona que se ubica en el suelo, con unangulo de depresion de 15. Luego se observa desde la misma ventana a otra persona, a nivel del suelo,que se encuentra un poco mas cerca de la base del edificio, con un angulo de depresion de 75. Calculela distancia entre las dos personas observadas.
Angulo de depresion: Es el angulo que se forma entre la visual de un observador que mira hacia abajoy la horizontal (a nivel del observador)Solucion
Desde el problema tenemos el siguiente triangulo (10pts)
En el triangulo ABD, tenemos sin(75) =3
a entonces a =
3
sin(75)(10pts)
En el trianguloBCD tenemos sin(60)
x =
sin(15)
a entonces x = a
sin(60)
sin(15) (10pts)
Por lo tanto,
x=3
3
2
1
sin(75) sin(15) (10pts)
Si calcula sin(75) sin(15) =1
4. se tiene que x =
3
3
8
La distancia entre las personas es de 3
3
8 metros (10pts)
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2. Calcular, en caso que exista, el siguiente lmite
lmx0
(1 cos(x+)) tan(3x)x
Solucion
lmx0
(1 cos(x+)) tan(3x)x
= lmx0
1 + cos(x)
x tan(3x) =(10pts) lm
x0
1 + cos(x)
x
sin(3x)
cos(3x)= (20pts)
lmx0
1 + cos(x)
cos(3x)
3 sin(3x)
3x (10pts)= 6 (10pts)