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El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo deotras ramas de las matemticas, tales como el lgebra, teora de los nmeros, yprobabilidad. Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoriaque han llamado la atencin de los matemticos. Por ejemplo, el problema de loscuadrados mgicos que son arreglos de nmeros con la propiedad de que lasuma de los elementos de cualquier columna, rengln o diagonal es el mismo

nmero, aparece en un viejo libro chino echado !!"" a. #. $os cuadradosmgicos de orden % ueron estudiados con ines msticos. $os coeicientes binomiales, que sonlos coeicientes enteros de la e&pansin de 'a(b)nueron conocidos en el siglo *++. El tringulode Pascal que es un arreglo triangular de los coeicientes binomiales ue desarrollado en el siglo*+++.

e puede considerar que en -ccidente la combinatoria surge en el siglo *++ con los trabajosde /laise Pascal y de Pierre 0ermat sobre la teora de juegos de a1ar. Estos trabajos, queormaron los undamentos de la teora de la probabilidad, contenan asimismo los principiospara determinar el nmero de combinaciones de elementos de un conjunto inito, y as seestableci la tradicional cone&in entre combinatoria y probabilidad.

El t2rmino 3combinatoria3 tal y como lo usamos actualmente ue introducido por 4ilhem $eibni1en su Dissertatio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidacin de lacombinatoria ue el artculo de Ars Conjectandi'el arte de conjeturar por 5. /ernoulli6 estetrabajo estaba dedicado a establecer las nociones bsicas de probabilidad. Para esto uenecesario introducir tambi2n un buen nmero de nociones bsicas de combinatoria pues seusaron uertemente como aplicaciones al clculo de probabilidades. e puede decir que con lostrabajos de $eibni1 y /ernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva eindependiente rama de las matemticas.

El matemtico sui1o $eonard Euler ue quien desarroll a principios del siglo *+++ una aut2ntica

escuela de matemtica combinatoria. En sus artculos sobre la particin y descomposicin deenteros positivos en sumandos, estableci las bases de uno de los m2todos undamentalespara el clculo de coniguraciones combinatorias, que es el m2todo de las uncionesgeneradoras.

OBJETIVO GENERAL 7tili1ar las t2cnicas de conteo para determinar el nmero de elementos de un espacio

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

Y NATURALES

SEMILLERO DE MATEMTICAS

GRADO 11

TALLER N 6

SEMESTRE II

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

RESEA HISTRICA

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Por ejemplo< lo hay una combinacin de las tres letras p, q y r, precisamente pqr. $as

combinaciones de p, q y r tomadas de dos en dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno p, q, r

!)!(

!

kkn

n

k

n

=

T(#$()< El nmero de combinaciones de n elementos tomados de > en >viene dado por la e&presin

N#"- i en las combinaciones de n elementos tomados de > en > cada ve1 se admitenrepeticiones, el nmero de tales combinaciones viene dado por

+k

kn 1

32.1

6

!2)!23(

!3

2

3==

=

Ejemplo< El nmero de combinaciones de las tres letras p, q y r tomadasde dos en dos cada ve1 es

6...2

4

2

123==

=

+

y si se admite repeticiones de letras

EJERCICIOS PROPUESTOS

PERMUTACIONES

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8. e quiere ormar nmeros de B

dgitos a partir de los nmeros !,

%, B y C.

!. #on las letras , , -6 F#untas

palabras se pueden ormarG

%. F#untos grupos de = letras se

pueden ormar con las letras

#HHEG F#untas

permutaciones se pueden ormar

!#, &/ &("$/ 0( & '&.$+++P+G

B. FDe cuntas maneras se puedenordenar en un estante C libros de

lgebra y % diccionarios con la

condicin de que siempre los

libros de algebra est2n juntos y

los diccionarios tambi2nG

C. e tienen los nmeros naturales

8, !, % y B. F#untos nmeros de

tres dgitos se pueden ormarG

=. F#untas ciras de B dgitos se

pueden ormar con los nmeros

del " al A, usndolos una sola

ve1G

I. i un estudiante tiene A libros y

desea ordenar a C de ellos sobre

un estante. FDe cuntas maneras

distintas puede hacerloG

J. F#untas seKales dierentes se

pueden ormar con 8" banderas

distintas, levantando al menos % y

no ms de = banderas en una de

un mstilG

A. FDe cuantas maneras dierentes

se pueden contestar un e&amen

de C preguntas, si hay que

responder a % de ellasG

8". FDe cuntas ormasdistintas pueden sentarseocho personas en una ila debutacasG

88. FDe cuntas ormasdistintas pueden sentarseocho personas alrededor deuna mesa redondaG

8!. #on las c i ras !, !, !, %, %,%, %, B, B6 Fcuntos nmerosde nueve ciras se puedenormarG

8%. F#untos nmeros decinco ciras distintas sepueden ormar con las cirasimparesG F#untos de ellosson mayores de I"."""G

8B. De cuntas ormas puedencolocarse los 88 jugadoresde un equipo de tbolteniendo en cuenta que elportero no puede ocupar otraposicin distinta que la

porteraG

8C. 7na mesa p residenc ia lest ormada por ochopersonas, Fde cuntasormas distintas se puedensentar, si el presidente y el

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secretario siempre vanjun tosG

8=. #ua tro l ib ros d is tintos dematemticas, seis dierentesde sica y dos dierentes dequmica se colocan en unestante. De cuntas ormasdistintas es posibleordenarlos si