Taller 6 trigonometria

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

PRIMER SEMESTRE DE 2012

TALLER No. 6

Elaborado por los docentes:

Oscar Serrano, Olga Lucía Duarte y Yolvi Adriana Córdoba

OBJETIVOS:

Reconocer y verificar identidades trigonométricas.

Resolver ecuaciones trigonoméricas.

Solucionar situaciones aplicando identidades y solucionando ecuaciones trigonométricas.

EJES TEMÁTICOS:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: Recíprocas, Pitagóricas, Cofunción. Suma y resta

de ángulos. Ángulo doble. Mitad de ángulo. Producto – suma y suma – producto. Entre

otras.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

BIBLIOGRAFÍA:

Los ejercicios y situaciones han sido tomados de los siguientes textos.

MARNETT, ZIEGLER, BYLEEN. Trigonometría Analítica. Editorial Thomson, séptima edición, 2001

BALEY, J. Y SARELL, G. Trigonometría, Editorial Mc Graw Hill, 2004. IBAÑEZ, P Y GARCÍA, G. Geometría y Trigonometría, Editorial Thomson, 2006. SWOKOWSKY, E. Y COLE, J. Algebra y trigonometría con geometría analítica, Editorial

Thomson, undécima edición, 2005.

TALLER 6

I. CONCEPTUALIZACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Demostrar una identidad trigonométrica consiste en transformar uno de los miembros de la igualdad, en términos del otro.

Para lograr esta transformación, se realizan sustituciones en las expresiones originales, utilizando para ello identidades trigonométricas ya conocidas.

Algunas recomendaciones útiles en la demostración de identidades trigonométricas son:

• Transformar el miembro más complicado de la igualdad en el miembro más simple.

• Expresar, si es posible, las funciones trigonométricas en términos de seno y coseno.

• Realizar las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación o factorización, entre otras, para escribir la expresión de la forma más simple posible.

• En ocasiones, es necesario transformar independientemente los dos miembros de la igualdad, hasta obtener expresiones idénticas.

Ejemplo




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Demostrar que la siguiente igualdad es identidad:

Solución

El miembro más complicado de la igualdad es:

. Esta expresión se multiplica por el

conjugado del denominador, así:

Por lo tanto, queda demostrado que:

.}

Demostrar las siguientes identidades:

1. 2.

3.

IDENTIDADES PITAGÓRICAS :

1. 2. 3.

IDENTIDADES PARA ANGULOS MEDIOS:

1.

2.

3.

IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES:

1. 2.

3.

IDENTIDADES DE PRODUCTOS:

1.

2.

3.

4.

IDENTIDADES PARA LA SUMA DE ANGULOS:

1. 2.

3.

IDENTIDADES PARA LA DIFERENCIA DE ANGULOS:

1. 2.

3.




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4. 5.

6.

7.

8.

cos

cot

sec

csc

11

9. 1 tansectansec

10.

tansec

sen

cos

1

11.

tan

sec

sec

tan 1

1

12.

tan

tan

sencsc

cos212

13.

csccos

sensen 12

3

14. senssec)sectan(sec 22244

15.

coscsc

tan

cot

1

1

16.

cossen

coscottan

221

17.

csccoscos

221

1

1

1

18.

csccotcsccotcsc

211

19.

cossen

cot

sen

21

20.

cscsec

tan

csc

sen

tan2

21.

cot

tan

cottantan

2

2

1

22. 1222 tancsctan

IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES:

1.

IDENTIDADES PARA LA SUMA DE ANGULOS: IDENTIDADES PARA LA DIFERENCIA DE ANGULOS:

1. 2.

3.




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Demostrar las siguientes identidades.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 10.

Determinar si la demostración es correcta o no.

Seleccionar la igualdad verdadera

La igualdad verdadera es:

a.

coscoscos

221

1

1

1

b.

seccoscos

21

1

c.

csccoscos

221

1

1

1

d.

csccoscos

2

1

1

1

1

La expresión

csc

cot

csc

cot

11 es igual a:

a. cos

2




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b. csc2

c. cos1

1

d. 1- csc2

Para que la igualdad

sea una identidad, la expresión que debe escribirse en el cuadro es:

a. b. c. d.

El error en la demostración de la identidad

se encuentra en:

a. No se puede simplificar la fracción

.

b. Al simplificar la fracción

hay un error.

c. No se puede simplificar

.

d. El producto de medio y de extremos en

está mal realizado.

ECUACIONES

Una ecuación trigonométrica es una igualdad que involucra como variable una función trigonométrica.

Para resolver una ecuación es un proceso en donde aplicamos todos los conceptos matemáticos, se sugiere el siguiente:

1. Expresar todas las funciones trigonométricas, en términos de funciones de un mismo ángulo.

2. Expresar todas las funciones en términos de una misma función. 3. Resolver la ecuación algebraicamente considerando como incógnita la única función

que entra ahora en la ecuación. 4. Hallar el valor de x para el rango que nos indica.

Ejemplo: Resolver la ecuación para el intervalo x є [0,2π] o 0 ≤ x ≤ 360.




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Solución:

, para que la ecuación sea igual a cero es necesario que el numerados sea igual

a cero.

, como es un producto con dos factores cada uno puede ser cero individualmente:

o , resolviendo para cada igualdad:

Solución:

Seleccionar la respuesta correcta

1. Es correcto a firmar que la ecuación a. Tiene solución única. b. Tiene dos soluciones. c. Tiene infinitas soluciones d. No es posible determinar sus soluciones.

2. Del ejercicio anterior el conjunto solución para sen x es: a. sen x = {1, 2/3} b. sen x = {1, 2} c. sen x = {1} d. sen x = {1, 2/3, 4, 8, 2/5, …}

3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones para 0 ≤ x ≤ 360º.

a.




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b. c.

d.

e.

f. g.

h. i. j. k. l. m. n. o. p.

II SOLUCIÓN DE SITUACIONES.

Resolver las siguientes situaciones.

1. Un generador de corriente alterna produce una corriente dada por la ecuación:

I = 30 sen 120 t donde t es el tiempo en segundos e I es la corriente en amperes. a. Calcule la t positive menor (con cuatro cifras significativas) tal que I = 25

amperes. b. Calcule la t positiva menor (con cuatro cifras significativas) tal que I = -10

amperes.

2. Un filtro polarizador para una cámara contiene dos placas paralelas de vidrio polarizador, una está fija y la otra puede girar. Si es el ángulo de rotación desde la posición de máxima transmisión de luz, entonces la intensidad de luz que

abandona el filtro es cos2ѳ multiplicado por la intensidad que ingresa al filtro.

a. Determine el ángulo ѳ positivo menor (en grados decimals, con dos decimales)

de modo que la intensidad de luz que abandona el filtro es 70% de la que ingresa.

Sugerencia: Resuelva I cos2ѳ = 0.70 I

b. Determine ѳ de modo que la luz que abandona el filtro sea 40% de la que

ingresa.

3. Un rectángulo está inscrito bajo la gráfica de

con el

eje x como base. a. Escriba una ecuación para el area A del rectángulo en términos de x. b. Grafique la ecuación determinada en la parte a. y describa la forma en que

cambia el area conforme x se mueve de o a 1. c. Determine el o los valores de x con tres decimales que originan un rectángulo

de una unidad cuadrada.




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4. Un arco de 12cm sobre un círculo tiene una cuerda de 10cm.

a. ¿Cuál es el radio del círculo (con cuatro decimales) b. ¿Cuál es la medida en radianes (con cuatro decimales) del ángulo central

subtendido por el arco?

5. La ecuación de movimiento para un peso suspendido por un resorte está dada por: y = - 1.8 sen 4t – 2.4 cos 4t donde y es el desplazamiento del peso en relación con su posición de equilibrio (la dirección positive es hacia arriba) y t es el tiempo en segundos.

a. Grafique y para

b. Dé el valor aproximado (con dos decimales)del (los) tiempo(s) t,

,

cuando el peso está dos pulgadas arriba de la posición de equilibrio.

c. Dé el valor aproximado (con dos decimales) del (los) tiempo (s) t,

cuando el peso está dos pulgadas arriba de la posición de equilibrio.

6. Un bote se aproxima a un risco vertical de 200 pies de altura. a. Escriba una ecuación para la distancia d desde el bote hasta la base del risco,

en términos del ángulo de elevación ѳ a partir del bote y hasta la parte superior

del risco.

b. Trace una gráfica de la ecuación anterior para 0

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