Universidad Distrital Francisco Jose de CaldasProyecto Curricular de Matematicas

Taller Anillos

1. Pruebe que el ideal I =< 2, x > es maximal en Z[x]. Describa los elemen-tos de Z[x]/I.

2. Sea I =< x > un ideal de Z[x]. Es I maximal?. Encuentre un anilloisomorfo a Z[x]/I.

3. Sea R el anillo de todas las funciones continuas sobre [0, 1] y sea I elconjunto de todas las funciones f(x) en R con f(1/2) = f(1/3) = 0.Pruebe que I es un ideal de R, que no es primo.

4. Sea A un anillo conmutativo con identidad y sea N el conjunto de todoslos elementos nilpotentes de A. Muestre que N es la interseccion de todoslos ideales primos de A.

5. Sea R un a nillo conmutativo y x una indeterminada. Sea f(x) un poli-nomio monico de R[x] de grado n 1 y use la notacion barra para denotarel paso al anillo cociente R[x]/ < f(x) >

Pruebe que todo elemento de R[x]/ < f(x) >= {a0 + a1x + a2x2 + an1xn1}

Pruebe que si q(x) y r(x) son polinomios distintos de R[x], ambos degrado menor que n entonces p(x) 6= q(x)

Si f(x) = g(x)q(x) donde ambos g(x) y q(x) son de grado menor quex, probar que g(x) es un divisor de cero en R[x]/ < f(x) >

6. Sea A un anillo conmutativo y R = A[x]. Muestre que el radical deJacobson de R coincide con el nilradical de R.

7. Muestre que todo polinomio irreducible en Zp[x] es un divisor de xpn x

para algun n.

1