8/18/2019 TALLER DE FUNCIONES VECTORIALES

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TALLER DE FUNCIONES VECTORIALES

CALCULO INTEGRAL

INTEGRANTES:

PROGRAMA:INGENIERÍA INDUSTRIAL

DOCENTE:

GRUPO:AN 2016 – 1

UNIVERSIDAD DE LA COSTA – CUC

BARRANQUILLA, 08 DE MARZO DE 2016

DEREVIACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

1. Dada la función⃗r (t )=

3

2 e

2 t î+ln t 2  ̂j−3 t −1 /2 k̂ 

  hallar.

  r ´  (t )

 ⃗ r ´ 

(t )∗⃗r (t  )

  ‖⃗r (t )‖

  r ́ ́   (t )

Solución

 

⃗r ́   (t )=3e2 t î+2

t  ̂j−

3

2t −3/2

k̂ 

 

⃗r ´ (t )∗⃗r (t  )=(

3

2 e

2t , ln t 

2,−3 t 

−12 )(3e2 t ,

 2

t   ,3

2 t −32 )

¿ 9

2e2 t +

2

t   ln t 

2−9

2 t −2

 

−3 t −1 /2¿2

lnt 

2

¿

2

+¿32

e2t ¿2+¿

¿‖⃗r (t )‖=√ ¿

  ¿√ 94 e4 t +ln2 t 2+9 t −1

 

⃗r ´ ´  ( t )=6e2 t î−2

t 2

 ̂j−9

4t −5/2

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EVALUAR LAS INTEGRALES

5.   ∫0

π /4

[sec ( t  ) tan (t ) î+ tan (t )  ̂j+2sen (t ) cos  (t ) k̂ ]dt 

Solución:

¿∫0

π /4

sec t tan t dt  î+∫0

π /4

tan t dt   ̂j+2∫0

π /4

sent  cos t dt  k̂ 

¿∫0

π /4

sent cos

2t 

dt  î−ln (cos t )∫0

π  /4

 ̂j+sen2 t ∫0

π /4

k̂ 

¿sec t ∫0

π /4

î+(−√ 22  −0)  ̂j+(

1

2−0) k̂ 

¿(   2√ 2−1) î−√ 22

 ̂j+1

2k̂ 

¿2−√ 2

2î−√ 2

2 ̂j+

1

2k̂ 

6.  ∫ [  1t 2 î−ln 2 t   ̂j+

1

2t 3e2 t 

k̂ ]dt Solución:

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¿−t −1 î−(tln2 t −t  ) ̂j+1

2∫t 3 e2 t dt  k̂ ∗∫ t 3 e2 t dt 

U=t 3  ; dv=e2t   ; du=3t 2   ; v=e2 t 

2

¿ t 

3

2 e

2 t −3

2∫t 2e2 t dt 

U=t 2   ; dv= e2t   ; du=dt ; v=e2 t 

2

¿t 3

2 e

2 t −3

4t 2

e2 t +

3

2 ( t 2 e2t −12∫e2 t dt )¿ t 

3

2 e

2 t −3

4t 2e2 t +

3

4 t e

2 t −3

4 ( e2 t 

2 )¿ e

2 t 

8(4 t 3−6 t 2+6 t −3 )

¿(−t −1, t −t  ln2 t , e2t 

8(4 t 3−6 t 2+6 t −33 )

 APLICACIÓN DE LA DERIVADA E INTERACIÓN 

7. El vector posición describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio, es dado por el modelo

  ⃗r (t )=⟨ et cos t , e

t sen

t , e

t ⟩ , con esta información hallar:  a velocidad 

  a rapide!

  a aceleración

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 " los # se$undos del movimiento.

Solución:

 

Velocid!d:

⃗v (t )=⃗r ́   (t )=⟨ et cost −et sent , et sen t −et cos t , e t ⟩

T=2 

⃗v (2 )= ⟨e2 (cos2−sen2 ) ,e2 (sen2−cos2 ) , e2 ⟩= ⟨−7,2 ;7,2 ;5,43 ⟩

  R!"ide#:

7,2¿2+(5,43)

¿¿2−7,2¿2+¿

¿¿

v (2 )=‖⃗v (2 )‖=√ ¿

 

 Acele$!ción:

a (t )=⟨2 (et cost −et sent  ) ,2 ( et sent −et cost ) , et ⟩

2t +

3,−

2t ,2

t +1

´v (t ) dt =∫(¿)dt 

r (t )=∫¿

r (t )=(t 2+3 t +c1 ,−t 2+c

2, t 

2+t +c3 )

⃗r %&' = ( ) * 2+ = %(), 2, &' = c ) = (), c 2 = 2, c 3 = & 

r %t& ' (t 2+3 t −1 ,−t 2+2 , t 2+t )

r %#& ' (4+6−1,−4+2 ,4+2 )

r %#& '(9 ,−2 ,6 )

 (. )onsidere una part*cula cuya aceleración viene dada por:

  a(t )  = 2i - 2+ * 2.  "dem+s

⃗v  %&' = 3i * . y   ⃗r %&' = ( i * 2+  

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allar :⃗v  %t'  y ⃗r %t'  cuando t = 2 

Solución:

v (t )=∫a ( t  )dt =∫ (2 ,−2 ,2 ) dt 

⃗v (t )=(2 t +c1 ,−2t +c2,2 t +c3)

Entonce/:

  ⃗v (0)=3 î+ k̂ =(3,0,1 )

' #%-& c 1 ' /, 0# %-& c #  ' - 

#%-& c / ' 1 ' c 1 ' /, c #  ' -, c / ' 1¿⃗v (t )=(2 t +3,−2t ,2 t +1 )

⃗v (2)=(7,−4,5 )