Taller de Mate Matic as Me

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INSTITUTO ESTA DIRECCIÓN Curso Curso Curso Curso-Taller de matemá Taller de matemá Taller de matemá Taller de matemá ATAL DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE OAXA DE EDUCACIÓN PRIMARIA GENERAL SUBDIRECCIÓN TÉCNICA TALLER DE áticas áticas áticas áticas 2012 2012 2012 2012 ACA E MATEMÁTICAS

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taller sobre actividades de matemáticas

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  • INSTITUTO ESTATA

    DIRECCIN DE

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    TATAL DE EDUCACIN PBLICA DE OAXACA

    N DE EDUCACIN PRIMARIA GENERAL

    SUBDIRECCIN TCNICA

    TALLER DE

    mticasmticasmticasmticas 2012201220122012

    XACA

    DE MATEMTICAS

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    DIRECTORIO

    PROFR. VALERIO FABIN GARCA

    DIRECTOR DE EDUCACIN PRIMA

    PROFR. ANGEL JOAQUN MARTN

    SUBDIRECTOR TCNICO

    INTEGRANTES DE LA MESA TCN

    PROFRA. SOLEDAD PACHECO ROJ

    PROFRA. RITA RUIZ MALDONADO

    PROFR. RAMN BARROSO LPEZ

    PROFR. PEDRO ATANASIO GME

    PROFRA. LAURA RASGADO JUAN

    PROFRA. JUANA JIMNEZ CONTR

    PROFR. JOS MARTN CONTRERA

    PROFR. JAIME ENRIQUE HERNN

    PROFRA. IRMA FILIO LOZANO

    PROFR. HOMERO ENRQUEZ RAM

    PROFRA. GLADYS ARANGO MORA

    PROFR. FERNANDO ESTANISLAO A

    PROFR. ENRIQUE DAVID RODRGU

    PROFRA. DEISY GARCA GARCA

    PROFR. ANGEL ORTZ LPEZ

    PROFRA. ANA LUISA DAZA SOSA

    mticasmticasmticasmticas 2012201220122012

    CA

    IMARIA GENERAL

    RTNEZ CRUZ

    CNICA DEL NIVEL

    ROJAS

    ADO

    PEZ

    MEZ SANTIAGO

    AN

    NTRERAS

    ERAS MELCHOR

    NDEZ GARCA

    RAMREZ

    ORALES

    AO AQUINO CALVO

    GUEZ REYES

    SA

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    NDICE

    Presentacin...... 4 Introduccin...... 5 Propsito general...... 6 Propsitos especficos.... 6 SESIN I Qu son las matemticas?.... 7 Didctica de las matemticas.... 7 Qu es una situacin didctica?.... 8 Competencia matemtica.... 10 Competencias generales...... 11 Qu es un problema?.... 12 Caracterizacin de los problemas...... 13 La creacin matemtica.... 17 La metodologa de Polya..... 17 Tipos de problemas a trabajar en la Educacin Primaria... 19 Tipos de problemas de evaluacin en la resolucin de problemas.... 20 SESIN II Comprensin de los sistemas de numeracin... 26 Contar es el comienzo.... 28 El problema de la conservacin de la cantidad.. 29 Los modelos matemticos de construccin del nmero natural.. 32 Las cuatro operaciones bsicas con nmeros naturales.... 35 Las operaciones aditivas...... 35 La resta..... 39 Problemas de tipo multiplicativo.... 40 Prediccin y azar..... 42 Comparacin de probabilidades.... 44 Tratamiento de la informacin.... 44 SESIN III MEDICIN Gnesis de la idea de magnitud y medida en el nio.... 48 Medicin...... 54 GEOMETRA Qu es la geometra?.... 64 Figuras Geomtricas..... 66 Cuerpos geomtricos...... 70 Trigonometra...... 71 Plano cartesiano..... 72 Didctica de la geometra.... 73 Ensear geometra para qu?.... 77 Los niveles de razonamiento geomtrico.. 85 FRACCIONES Matemticas escolares: fracciones, decimales y razn.... 90 Medida.... 90 Reparto: cociente y nmeros decimales.... 92 Operador. Significado de la preposicin de.. 93 ndice comparativo.... 94 Pensamiento matemtico de los estudiantes: hacia la competencia matemtica con los nmeros racionales.. 95 La construccin de los significados: un modelo recursivo.. 97 Modos de representacin y su uso como instrumentos de aprendizaje.. 100 Significados adscritos a las representaciones.. 101 Relacin semntica-sintctica.... 102 Razonamiento proporcional.... 104 Comparaciones absolutas y relativas.... 106 BIBLIOGRAFA.... 109

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    PRESENTACIN

    El presente curso taller tiene la finalidad de coadyuvar al desempeo docente frente a la

    asignatura de matemticas, a travs de lecturas y actividades, proporcionando elementos

    bsicos para que el docente genere las estrategias adecuadas a su grupo escolar, de

    ninguna manera se pretende proporcionar tcnicas detalladas para cada uno de los

    contenidos o aspectos de las matemticas que se abordan a lo largo de la instruccin

    primaria, sino por el contrario se brinda una orientacin hacia una metodologa de resolucin

    de problemas que permita un quehacer docente acorde con los principios del aprendizaje

    matemtico, dinamizando las clases y combatiendo la aversin de los alumnos por las

    matemticas, involucrndolos de una manera significativa en sus aprendizajes.

    Reconocer la didctica y la gnesis del proceso de aprendizaje para abstraer conceptos de la

    realidad, en donde el nio requiere del acompaamiento del docente creando juntos las

    situaciones didcticas para desarrollar ese pensamiento lgico matemtico que es necesario

    para resolver los problemas que en la vida diaria se presentan, aunque no sean

    procedimientos cannicos en un inicio poco a poco se obtendr la convencionalidad al llegar

    al desarrollo de algoritmos.

    Es por ello que la Direccin de Educacin Primaria General a travs de la Subdireccin

    Tcnica y Mesa Tcnica del Nivel, elabor este material que servir como anlisis y aliento

    para involucrarse en el mundo de las matemticas desmitificndolas del quehacer metdico

    de antao.

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    INTRODUCCIN

    Muchos desarrollos importantes en las reas del conocimiento han partido de la necesidad de resolver problemas concretos, propios de los grupos sociales donde surgen. Las matemticas no son la excepcin pues son un producto del quehacer humano y su proceso de construccin est sustentado en abstracciones sucesivas. As los nmeros, tan familiares para todos, surgieron de la necesidad de contar y son tambin una abstraccin de la realidad que se fue desarrollando durante largo tiempo. Este desarrollo est adems estrechamente ligado a las particularidades culturales de los pueblos: todas las culturas tienen un sistema para contar, aunque no todas cuenten de la misma manera. El nio construye las estructuras lgicas reconstruyendo y reestructurando lgicamente su entorno, en interaccin constante. A travs de dos modalidades de estructuras, las llamadas estructuras lgico-matemticas, que organizan los objetos discontinuos (seriacin, clasificacin y nmero), las llamadas infralgicas organizan los objetos continuos (sustancia, peso, volumen, espacio, etc.). En la perspectiva constructivista los nios comparan, clasifican y ordenan en el espacio y el tiempo; gracias a estas acciones construyen sus conocimientos aritmticos, de manera que la experiencia del nio con los objetos, solo juegan el papel de soporte, es necesaria para el descubrimiento del nmero, pues es algo que no puede extraerse directamente de los objetos, en contra de lo que postula el empirismo. En la construccin de los conocimientos matemticos, los nios tambin parten de experiencias concretas. Paulatinamente, y a medida que van haciendo abstracciones, pueden prescindir de los objetos fsicos. El dilogo, la interaccin y la confrontacin de puntos de vista ayudan al aprendizaje y a la construccin de conocimientos; as, tal proceso es reforzado por la interaccin con los compaeros y con el maestro. El xito en el aprendizaje de esta disciplina depende, en buena medida, del diseo de actividades que promuevan la construccin de conceptos a partir de experiencias concretas, en la interaccin con los otros. En esas actividades las matemticas sern para el nio herramientas funcionales y flexibles que le permitirn resolver las situaciones problemticas que se le planteen. Las matemticas permiten resolver problemas en diversos mbitos, como el cientfico, el tcnico, el artstico y la vida cotidiana. Si bien todas las personas construyen conocimientos fuera de la escuela, stos no bastan para actuar eficazmente en la prctica diaria. El contar con las habilidades, los conocimientos y las formas de expresin que la escuela proporciona permite la comunicacin y comprensin de la informacin matemtica presentada a travs de medios de distinta ndole. Una de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las cuales los nios utilicen sus

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    conocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas, a partir de sus soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus formas de solucin para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las conceptualizaciones convencionales propias de las matemticas. En el presente cuadernillo se abordan las temticas elementales para el quehacer docente en la escuela primaria, iniciando en la primera sesin con el desarrollo del enfoque y la didctica de las matemticas. En la segunda y tercera sesin se abordan los principales algoritmos y sus distintos significados utilizados en este nivel para la resolucin de problemas matemticos en donde de manera implcita se desarrollan las habilidades del pensamiento lgico; remarcando en todo momento la accin participativa de los alumnos.

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    PROPSITO GENERAL

    Ofrecer a los docentes un espacio donde se puedan compartir experiencias y vivencias en los que se busque la vinculacin entre el hacer, el sentir y el pensar, examinando cada una de las dimensiones en relacin a la solucin de problemas, vistos desde la lgica matemtica, la didctica y las habilidades del pensamiento matemtico.

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    PRIMERA SESIN

    1. QU SON LAS MATEMTICAS?

    El trmino matemticas viene del griego "mthema", que quiere decir aprendizaje, estudio y ciencia. Y justamente las matemticas son una disciplina acadmica que estudia conceptos como la cantidad, el espacio, la estructura y el cambio. El alcance del concepto ha ido evolucionando con el tiempo, desde el contar y calcular hasta abarcar lo mencionado anteriormente. Aunque algunos las consideran como una ciencia abstracta, la verdad es que no se puede negar que est inspirada en las ciencias naturales, y uno de sus aplicaciones ms comunes se lleva a cabo en la Fsica.

    Las matemticas son algo ms que una vasta coleccin de conceptos y destrezas. Que han sido creadas en todas las culturas. Adems, los matemticos las practican como miembros de un grupo que responde a nuestra cultura evolutiva y contribuye a ella; y por ltimo, la cultura matemtica y las matemticas escolares no son idnticas. (Romberg, 1991)

    Las matemticas como el resto de las disciplinas cientficas, aglutinan un conjunto de conocimientos con caractersticas propias y una determinada estructura y organizacin internas. Lo que confiere un carcter distintivo al conocimiento matemtico es su enorme poder como instrumento de comunicacin conciso y sin ambigedades gracias a la amplia utilizacin de diferentes sistemas de notacin de naturaleza muy diversa, que ponen de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permiten anticipar y predecir hechos, situaciones o resultados que todava no se han producido.

    Las matemticas son una invencin de la razn humana, una vasta coleccin derivada de la bsqueda de soluciones a los problemas sociales. Las abstracciones e invenciones nos ayudan a dar sentido a nuestro mundo y a nosotros mismos. Esto es cierto, independientemente de que haga hincapi en la resolucin de problemas, la bsqueda o la aplicacin. La adquisicin de conceptos y las destrezas es intil a menos que se utilicen en la prctica de las matemticas.

    Las matemticas se conciben en el currculum oficial como un conjunto de conocimientos en evolucin continua y en cuyo desarrollo ha desempeado un papel importante su vinculacin a problemas prcticos del hombre

    2. DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS

    El objeto de estudio de la Didctica de Matemticas es la situacin didctica, definida por Brousseau (1982b) como: Un conjunto de relaciones establecidas explcita y/o implcitamente entre un

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    alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vas de constitucin.

    El objetivo fundamental de la Didctica de las Matemticas es averiguar cmo funcionan las situaciones didcticas, es decir, cules de las caractersticas de cada situacin resultan determinantes para la evolucin del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente, de sus conocimientos. Esto no significa que slo interese analizar las situaciones didcticas exitosas. Incluso si una situacin didctica fracasa en su propsito de ensear algo, su anlisis puede constituir un aporte a la didctica, si permite identificar los aspectos de la situacin que resultaron determinantes de su fracaso.

    La finalidad de la didctica de las matemticas es el conocimiento de los fenmenos y procesos relativos a la enseanza de las matemticas para controlarlos y, a travs de ese control, optimizar el aprendizaje de los alumnos.

    Para Romberg, la enseanza de las matemticas deber responder a varias perspectivas: formar la base de las matemticas del maana y preparar a los que van a usarlas para que lo hagan de forma consciente, tanto en el plano del desarrollo cientfico y tecnolgico como en el de la vida cotidiana y la participacin ciudadana.

    Las cuatro metas sociales generales para la enseanza de las matemticas son:

    Ser capaz de resolver problemas Aprender a comunicarse matemticamente Aprender a razonar matemticamente saber valorar las matemticas Tener confianza en su capacidad de hacer matemticas

    Las metas anteriores implican que los estudiantes deben tener numerosas y variadas experiencias relacionadas con las matemticas, que les permiten:

    Resolver problemas complejos. Leer y escribir y discutir matemticas. Formular conjeturas, probar y formular argumentos acerca de la validez de una conjetura. Valorar la empresa intelectual llamada matemtica, los hbitos del pensamiento matemtico y

    el papel de la matemtica en el quehacer humano. Explorar, adivinar y cometer errores para ganar confianza en sus recursos intuitivos

    personales.

    3. QU ES UNA SITUACIN DIDCTICA?

    Para Brousseau, la investigacin en Didctica debe ser capaz de prever los efectos de la situacin que ha elaborado, antes de ponerla a prueba en el aula; slo posteriormente podr contrastar sus previsiones con los comportamientos observados.

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    Las situaciones didcticas en su clasificacin Brousseau distinguen cuatro tipos:

    ACCIN: Las situaciones de accin, en las que se genera una interaccin entre los alumnos y el medio fsico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolucin del problema planteado.

    COMUNICACIN: Las situaciones de formulacin, cuyo objetivo es la comunicacin de informaciones, entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisndolo y adecundolo a las informaciones que deben comunicar.

    VALIDACIN: Las situaciones de validacin, en las que se trata de convencer a uno o varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que hacen. En este caso, los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobacin emprica de lo que dicen es cierto; hay que explicar que, necesariamente, deben ser as.

    INSTITUCIONALIZACIN: Las situaciones de institucionalizacin, destinadas a establecer convenciones sociales, en estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significacin socialmente establecida de un saber que ha elaborado por ellos en situaciones, de formulacin.

    Una situacin didctica es la parte en que la intencin de enseanza no aparece explcita para el alumno (en el enunciado del problema no aparece explcita mi intencin). Debe aparecer ante los alumnos como una interaccin con un medio (no didctico), de modo que sus decisiones se guen por la lgica de la situacin y no por la lectura de las intenciones del profesor. El alumno puede modificar sus decisiones tomando en cuenta la retroaccin que le proporciona el medio, y debe realizar un cambio de estrategias para llegar al saber matemtico, ya que la estrategia ptima es dicho saber. Para que se realice el cambio, el profesor debe introducir en la situacin las variables didcticas.

    Variable didctica Variable didctica es un elemento de la situacin que puede ser modificado por el maestro, y que afecta a la jerarqua de las estrategias de solucin que pone en funcionamiento el alumno. Es decir las variables didcticas son aquellas que el profesor modifica para provocar un cambio de estrategia en el alumno y que llegue al saber matemtico deseado.

    No podemos considerar que todo sea variable didctica en una situacin, sino slo aquel elemento de la situacin tal que si actuamos sobre l, podemos provocar adaptaciones y aprendizajes. La edad de los alumnos, sus conocimientos anteriores, juegan un papel importante en la correcta resolucin de una situacin. El maestro no puede, en el momento en el que construye la situacin, modificarlos. No se consideran variables didcticas de la situacin.

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    Una situacin es didctica cuando un individuo (generalmente el profesor) tiene la intencin de ensear a otro individuo (generalmente el alumno) un saber matemtico dado explcitamente y debe darse en un medio. Es muy importante que la intencin de enseanza no sea develada, debe permanecer oculta a los ojos del alumno. Puesto que el estudio de las situaciones didcticas tiene por finalidad conocer y controlar los fenmenos relativos a la enseanza de las matemticas es la comunicacin de sus resultados lo que permitir al maestro una mayor comprensin de su prctica laboral y un incremento de su control.

    EJEMPLO DE UNA SITUACIN DIDCTICA:

    Se le plantea a unos nios de 4 aos, que reproduzcan con pegatinas la cara de un robot (a la izquierda) que se les ha dejado en medio de la mesa. Para ello se les reparte el mismo robot pero sin ojos, nariz ni boca. Estos nios ya conocen la grafa de los nmeros hasta el 9, pero no han hecho clculo ni operaciones.

    La gran mayora de los nios es capaz de reproducir el modelo, pues lo tienen delante de la mesa durante la ejecucin del ejercicio.

    En un segundo momento se les pide hacer la misma actividad pero modificando una condicin: el nio est en una mesa, el modelo en otra mesa distinta, y las pegatinas en otra. Esto es lo que llamamos variable didctica, pues va a provocar que los nios no puedan simplemente copiar, sino que tendrn que memorizar de algn modo el nmero de pegatinas de cada color que tienen que coger y en qu fila y columna deben ponerla.

    Aqu los resultados no son tan exitosos. La mayora de los nios acierta con el nmero de pegatinas de cada color (nmero cardinal, como cantidad) pero no hay tanto acierto en la posicin de las pegatinas (nmero ordinal, como orden de posicin).

    4. CONTRATO DIDCTICO

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    Un contrato didctico es el conjunto de comportamientos del docente que son esperados por el alumno y el conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el docente (G) el conjunto de reglas que determinan explcitamente una pequea parte, pero sobre todo implcitamente lo que el profesor y el alumno deben hacer y de lo cual ser responsable frente al otro Guy Brosseau (1986) Es decir es lo que espera el alumno del profesor y viceversa (las expectativas que se tienen). Es la relacin entre el alumno y el profesor a la hora de ensear un saber concreto. COMPETENCIA MATEMTICA Por qu es necesario hablar de competencias en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas en el nivel de educacin primaria?

    - Porque se concibe que las competencias son manifestaciones o demostraciones de un saber. - Porque se considera que estn ligadas a los propsitos de los planes y programas educativos. - Porque las competencias tienen relacin con el grado de excelencia que un alumno alcanza en el aprendizaje de las matemticas. - Porque en este trabajo se describen las construcciones conceptuales de los docentes en el mbito de la escuela pblica de educacin primaria, la cual participa de manera activa y formal en la fabricacin de jerarquas de excelencia y por ende en la construccin de buenos o malos alumnos de matemticas, es decir, en sujetos competentes o no competentes.

    COMPETENCIAS GENERALES: 1.- RAZONAR. De manera general se entiende como facultad de pensar, discurrir y juzgar de lo malo y, lo falso. (Larousse, 1990). De manera particular destacan los siguientes procedimientos: organizar informacin; jerarquizar informacin; comprender el uso de los nmeros al operar, estimar, aproximar y representarlos grficamente; distinguir la naturaleza de los datos superfluos de los relevantes; discriminar informacin de cuestionamientos. Se puede decir que un alumno puede razonar sobre una situacin determinada cuando es capaz de reflexionar, exponer, disentir y/o argumentar, entre otros aspectos. 2.- MEMORIZAR. Se alude a aprender de memoria o fijar algo en la memoria por medio de repeticiones sistemticas. (Idem). Se consideran procedimientos tales como memorizar frmulas, tablas de multiplicar, definiciones, tcnicas, propiedades y repetir procedimientos paso a paso. 3.- RESOLVER PROBLEMAS. Los procesos considerados para esta categora son: elaborar sus propias estrategias; ser capaz de argumentar como resolvi un problema o lleg a una respuesta; plantear y resolver problemas de formas diferentes; plantear y resolver problemas en diversos contextos escolares; analizar las relaciones entre los datos que aparecen en los enunciados de los problemas.

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    4.- COMPRENDER. Se puede decir que un estudiante ha comprendido un tema matemtico cuando es capaz de poner ejemplos; cuando sigue estrategias de otros y usa pertinentemente los algoritmos convencionales de las operaciones. Cabe resaltar que muchos estudiantes durante el proceso de construccin de los conocimientos y saberes, no logran razonar el uso y/o utilidad de algunos de estos pero s los pueden comprender y en ocasiones utilizar con precisin. Es posible decir que existen alumnos que pueden comprender ms contenidos matemticos que razonar sobre su uso o argumentar la pertinencia de un proceso o resultado. 5. RELACIONAR. Implica reconocer regularidades o bien patrones, as como comprender y seguir las estrategias de otros. 6. PENSAR CREATIVAMENTE. Incluye cuestionar, observar, explorar, investigar, tener imaginacin espacial, aportar ideas nuevas. 7. COMUNICAR; EXPRESAR SUS IDEAS. Expresar con facilidad ideas de sus compaeros, expresar de maneras distintas, hacer notas. Es pertinente resaltar que estas categoras no se presentan de manera aislada en el actuar de los estudiantes, sino que se entrelazan durante el proceso de aprendizaje de las matemticas. La relacin que puede existir entre estas competencias generales y las seis actividades universales, que son importantes para el desarrollo de los aspectos matemticos de cualquier cultura, a saber: contar, localizar, medir, disear, jugar y explicar. (BISHOP, 1999).

    El currculum de matemticas de la etapa primaria expresa en trminos de capacidades las finalidades de la formacin. Muchas veces la nocin de competencia se vincula una competente prctica ser capaz de hacer y se vincula a saber cundo, cmo, y porqu utilizar determinados instrumentos.

    El maestro debe organizar el contenido matemtico para ensearlo (planificar) con unos objetivos en mente y, tambin, debe interpretar las producciones de los alumnos desde las cuales pueda realizar inferencias sobre el aprendizaje conseguido. As, tanto en la planificacin de la enseanza, durante la gestin de las interacciones con sus alumnos, como en la interpretacin y anlisis de sus producciones, el maestro debe ser explcito en lo que va a considerar competencia matemtica de sus alumnos.

    Se puede definir a las competencias matemticas como procesos intelectuales construidos a partir de la potenciacin de las capacidades innatas mediante la ejercitacin de habilidades y destrezas propiciadas por actividades didcticas formales e informales dentro del contexto escolar. Tales competencias se manifiestan en la prctica y tienen relacin tanto con los propsitos de la asignatura competencias de la disciplina como con competencias generales.

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    La principal razn de existir del matemtico es resolver problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten las matemticas es en problemas y soluciones.

    Paul R. Halmos.

    Qu es un problema? Un problema plantea una situacin que debe ser modelada para encontrar la respuesta a una pregunta que se deriva de la misma situacin (Parra, 1989). Pero tambin, un problema debera permitir derivar preguntas nuevas, pistas nuevas, ideas nuevas como lo seala Bouvier.

    Sin embargo, un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se lo plantea l mismo) dispone de los elementos para comprender la situacin que el problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera casi inmediata. Ciertamente, lo que es un problema para un individuo puede no serlo para otro porque est totalmente fuera de su alcance o porque para el nivel de conocimientos del individuo, el problema ha dejado de serlo.

    Un problema es una situacin que un individuo o grupo quiere o necesita resolver y para la cual no dispone, en principio, de un camino rpido y directo que le lleve a la solucin; consecuentemente eso produce un bloqueo. Conlleva siempre un grado de dificultad apreciable, es un reto que debe ser adecuado al nivel de formacin de la persona o personas que se enfrentan a l. Si la dificultad es muy elevada en comparacin con su formacin matemtica, desistirn rpidamente al tomar consciencia de la frustracin que la actividad les produce. Por el contrario, si es demasiado fcil y su resolucin no presenta especial dificultad ya que desde el principio ven claramente cul debe ser el proceso a seguir para llegar al resultado final, esta actividad no ser un problema para ellos sino un simple ejercicio. De este modo podemos decir que la actividad que para alumnos de ciertas edades puede concebirse como un problema, para otros no pasa de ser un mero ejercicio. Los ejercicios no implican una actividad intensa de pensamiento para su resolucin. Al realizarlos, el alumno se da cuenta muy pronto de que no le exigen grandes esfuerzos. Hacer ejercicios en serie puede provocar aburrimiento, ya que generalmente son repetitivos y pueden resultar poco interesantes. Sin embargo, en algunas ocasiones sirven para motivar a los alumnos, pues de esa manera toman conciencia de los conocimientos que van adquiriendo. Son un tipo de actividades muy abundantes en los libros de texto. Como profesores/as no debemos abusar de su realizacin, sino seleccionar cuidadosamente aquellos que nos resultan ms tiles para evaluar el grado de comprensin de los conceptos y la adquisicin de algoritmos matemticos por parte de los alumnos. Por contraposicin, los problemas no se resuelven con la aplicacin de una regla o receta conocida a priori. Exigen al resolutor sumergirse en su interior para navegar entre los conocimientos matemticos que posee y rescatar de entre ellos los que pueden serle tiles para aplicar en el proceso de resolucin. Puede servirse de experiencias anteriores que hagan referencia a situaciones parecidas, para rememorar cul fue el camino o va seguida, en caso de poder volver a utilizarlos en esta nueva situacin. Los problemas pueden tener una o varias soluciones y en muchos casos existen diferentes maneras de llegar a ella(s). Cuando un alumno o un grupo se implican en esta actividad, se vuelca en ella, muestra entusiasmo y desarrolla su creatividad personal. Es frecuente

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    manifestar cierto nivel de satisfaccin al descubrir el camino que le conduce al resultado final como fruto de la investigacin llevada a cabo. El tiempo que se dedica a la resolucin de un problema es bastante mayor que el que lleva la realizacin de un ejercicio. El cuadro que viene a continuacin recoge de una manera ms grfica y comparada las principales diferencias que existen entre estos dos tipos de actividades:

    No podemos proponer los mismos problemas a un matemtico, a un adulto, a un adolescente o a un nio, porque sus necesidades son diferentes. Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye a su propia percepcin del entorno fsico y social y componentes imaginadas y ldicas que despiertan su inters en mayor medida que pueden hacerlo situaciones reales que interesan al adulto.

    En consecuencia, la activacin del conocimiento matemtico mediante la resolucin de problemas reales no se consigue trasladando de forma mecnica situaciones reales, aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto, ya que stas pueden no interesar a los alumnos.

    CARACTERISTICAS DE LOS EJERCICIOS

    CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS

    Se ve claramente qu hay que hacer.

    Suponen un reto.

    La finalidad es la aplicacin mecnica de algoritmos.

    La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencias que se poseen, para rescatar aquellos que son tiles para llegar a la solucin esperada.

    Se resuelven en un tiempo relativamente corto.

    Requieren ms tiempo para su resolucin

    No se establecen lazos especiales entre el ejercicio y la persona que lo resuelve.

    La persona que se implica en la resolucin lo hace emocionalmente. El bloqueo inicial, debido a que la situacin le desconcierta, dar paso a la voluntariedad y perseverancia por encontrar la solucin y, por ltimo, al grado de satisfaccin una vez que esta se ha conseguido

    Generalmente tienen una sola solucin.

    Pueden tener una o ms soluciones y las vas para llegar a ellas pueden ser variadas.

    Son muy numerosos en los libros de texto.

    Suelen ser escasos en los libros de texto.

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    Resolucin de Problemas y Creatividad

    Evidentemente la resolucin de problemas est estrechamente relacionada con la creatividad, que algunos definen precisamente como la habilidad para generar nuevas ideas y solucionar todo tipo de problemas y desafos.

    La especie humana es creativa por naturaleza. Todo ser humano nace con un gran potencial para la creacin, pero mientras algunos lo aprovechan al mximo, otros casi al mximo, otros casi no lo utilizan. Sin embargo la creatividad, al igual que cualquier otra habilidad humana, puede desarrollarse a travs de la prctica y el entrenamiento adecuado. Lamentablemente tambin puede atrofiarse, si no se ejercita.

    El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y convergente.

    El primero consiste en la habilidad para pensar de manera original y elaborar nuevas ideas, mientras que el segundo se relaciona con la capacidad crtica y lgica para evaluar alternativas y seleccionar la ms apropiada.

    Evidentemente ambos tipos de pensamiento juegan un rol fundamental en la resolucin de problemas.

    Tres aspectos de la creatividad han recibido mucha atencin: el proceso creativo, las caractersticas de la personalidad creativa, y las circunstancias que posibilitan o favorecen el acto creativo. Como consecuencia de estos estudios se han desarrollado tcnicas y mtodos generales dirigidos a desarrollar el potencial creativo. En esta obra nos concentraremos en las tcnicas y estrategias especficas que han demostrado ser ms tiles para la resolucin de problemas matemticos. Sin embargo haremos a continuacin una breve resea de algunos de los mtodos ms generales, remitiendo al lector interesado a la bibliografa correspondiente.

    Invertir el problema

    Cada concepto tiene uno contrario y la oposicin entre ellos genera una tensin favorable al hecho creativo. Esta idea, que tiene profundas races tanto en la filosofa oriental como en la occidental, se refleja en la sabidura popular en aforismos tales como: Para saber mandar hay que aprender a obedecer o para ser un buen orador hay que saber escuchar. Como ejemplo de esta tcnica supongamos que deseamos disear un zapato que sea muy cmodo. El problema inverso seria disear un zapato incomodo.

    Pero el anlisis de este problema nos llevar seguramente a descubrir los factores que causan incomodidad, y al evitarlos habremos dado un buen paso hacia la solucin del problema original.

    Pensamiento lateral

    Consiste en explorar alternativas inusuales o incluso aparentemente absurdas para resolver un problema. En otras palabras: evitar los caminos trillados, intentar lo que nadie ha intentado, ensayar percepciones y puntos de vista diferentes.

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    Principio de discontinuidad

    La rutina suprime los estmulos necesarios para el acto creativo, por lo tanto experimenta un bloqueo temporal de su capacidad creadora. Interrumpa su programa cotidiano de actividades y haga algo diferente a lo acostumbrado. Vaya a dar un paseo por sitios que no conoce, ensaye una nueva receta de cocina, escuche msica diferente a la que escucha habitualmente, lea un libro que no tena pensado leer, asista a algn tipo de espectculo diferente a sus favoritos.

    Tormenta de cerebros (Brainstorming)

    Es una tcnica desarrollada en el mundo de la publicidad, en el cual del xito depende la generacin de nuevas y brillantes ideas. Para ello se rene un grupo de personas y se les invita a expresar todas las ideas que se les ocurran en relacin a un problema o tema planteado, sin importar lo estrafalarias o ridculas que parezcan. La evaluacin y la crtica se posponen, esperando crear un clima estimulante que favorezca el surgimiento de algunas ideas realmente tiles. La utilidad de esta tcnica es dudosa fuera de ciertos campos o situaciones muy especficas.

    Mapas mentales

    Es una tcnica desarrollada por Tony Buzan que trata de representar en forma grfica el carcter asociativo de la mente humana. Se comienza con la idea principal ubicada en el centro de la hoja y alrededor de ella se van colocando las ideas asociadas y sus respectivos vnculos. Utilizando diversos colores y smbolos esta tcnica puede llegar a ser muy til para organizar las ideas que van surgiendo en torno a un problema.

    Factores afectivos

    La resolucin de problemas no es un asunto puramente intelectual. Las emociones, y en particular el deseo de resolver un problema, tienen tambin una gran importancia.

    La incapacidad que manifiestan algunos alumnos para resolver incluso el ms sencillo no es producto por lo general de una deficiencia intelectual, sino de una absoluta falta de inters y motivacin. A veces no existe ni siquiera el deseo de comprender el problema, y por lo tanto el mismo no es comprendido. El profesor que desee realmente ayudar a un alumno con estas caractersticas debera ante todo despertarle su curiosidad dormida, motivarlo y transmitirle deseos de logro y superacin.

    Algunas creencias negativas para el proceso creativo estn asociadas a una baja autoestima y pueden tener races emocionales profundas. Por ejemplo, hay quienes enfrentados a un problema creen a priori que no podran resolverlo y que si lo intentan solo conseguiran terminar con un dolor de cabeza.

    El maestro o profesor debe en estos casos apelar a todas sus dotes y conocimientos como educador, aunque en casos extremos sera necesaria tambin la ayuda de un orientador o la de un psiclogo.

    En el polo opuesto, alguien que tenga confianza en su propia capacidad y crea que un problema es un desafo que vale la pena enfrentar y que resolverlo le proporcionara una satisfaccin intelectual al

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    mismo tiempo que sera una experiencia valiosa para su formacin, estar en excelentes condiciones psicolgicas para abordar el proceso resolutivo.

    Bloqueos mentales

    James Adams, profesor de diseo en la Universidad de Stanford, centra su enfoque de la creatividad en la superacin de los bloqueos mentales, barreras que nos impiden percibir un problema en la forma correcta y encontrarle solucin. Analiza diferentes tipos de bloqueos y propone ejercicios para identificarlos y superarlos.

    Su clasificacin es la siguiente:

    Bloqueos perceptivos: estereotipos, dificultad para aislar el problema, delimitar demasiado el espacio de soluciones, imposibilidad de ver el problema desde varios puntos de vista, saturacin, no poder utilizar toda la informacin sensorial.

    Bloqueos emocionales: miedo a cometer errores, a arriesgar, a fracasar; deseo de seguridad y orden; preferir juzgar ideas a concebirlas; inhabilidad para relajarse; falta de estimulo; entusiasmo excesivo; falta de control imaginativo.

    Bloqueos culturales: tabes; el peso de la tradicin; roles predeterminados asignados a la mujer y el hombre.

    Bloqueos ambientales: distracciones; falta de apoyo para llevar adelante una idea; falta de cooperacin entre colegas.

    Bloqueos intelectuales: inhabilidad para seleccionar un lenguaje apropiado para el problema (verbal, matemtico, visual); uso inadecuado de las estrategias; falta de informacin o informacin incorrecta.

    Bloqueos expresivos: tcnicas inadecuadas para registrar y expresar ideas (a los dems y a uno mismo).

    La Creacin Matemtica

    Una de las reflexiones ms profundas que se han hecho sobre la creatividad en matemtica es la realizada a principios de siglo por Henri Poincare, uno de los ms grandes matemticos de su tiempo. En una conferencia pronunciada ante la Sociedad Psicolgica de Paris hizo interesantsimas revelaciones sobre sus propias experiencias como creador:

    Qu es, de hecho, la creacin matemtica? No consiste en hacer combinaciones nuevas con entes matemticos ya conocidos. Cualquiera podra hacerlo, pero las combinaciones que se podran hacer sern un nmero limitado y en su mayora totalmente desprovistas de inters. Crear consiste precisamente en construir las combinaciones intiles, sino en construir las que son tiles y que estn en una minora. Crear es discernir, es escoger.

    -A menudo, cuando se trabaja en un problema difcil, no se consigue nada la primera vez que se comienza la tarea. Luego se toma un descanso ms o menos largo y uno se sienta de nuevo ante la

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    mesa. Durante la primera media hora se contina sin encontrar nada. Despus, de repente. La idea decisiva se presenta ante la mente.

    -Hay que hacer otra observacin a propsito de las condiciones de este trabajo inconsciente. Se trata de que tal trabajo no sea posible, y en todo caso no es fecundo, sino est por una parte precedido y por otro seguido de un perodo de trabajo consciente. Estas inspiraciones sbitas no se presentan ms que tras algunos esfuerzos voluntarios, aparentemente estriles, en los que uno ha credo no hacer nada interesante, y piensa haber tomado un camino falso totalmente. Estos esfuerzos no fueron, por tanto, tan estriles como se pensaba. Pusieron en movimiento la mquina inconsciente y sin ellos esta no habr funcionado ni hubiera producido nada. Poincare esboza luego una teora del trabajo del yo subliminal, en la cual atribuye un rol fundamental a la sensibilidad y el sentido esttico del matemtico en el proceso de seleccin, durante el trabajo inconsciente, de las combinaciones ms significativas.

    Una conclusin prctica: cuando un problema se resiste a nuestros mejores esfuerzos, nos queda todava la posibilidad de dejarlo durante un tiempo, descansar, dar un paseo, y volver a l ms tarde. Sin embargo, solamente aquellos problemas que nos han apasionado, mantenindonos en una considerable tensin mental, son los que vuelven ms tarde, transformados, a la mente consciente. La inspiracin o iluminacin sbita, que los antiguos consideraban un don divino, hay que merecerla.

    La metodologa de Polya

    En 1945 el insigne matemtico y educador George Polya (1887-1985). Public un libro que rpidamente se convertira en un clsico: How to solve it. En el mismo propone una metodologa en cuatro etapas para resolver problemas. A cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias que aplicadas adecuadamente ayudarn a resolver el problema. Las cuatro etapas y las preguntas a ellas asociadas se detallan a continuacin:

    Etapa I: Comprensin del problema.

    Cul es la incgnita? Cules son los datos? Cul es la condicin? Es la condicin suficiente para determinar la incgnita? Es insuficiente? Redundante? Contradictoria?

    Etapa II: Concepcin de un plan.

    Se ha encontrado con un problema semejante? Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? Conoce un problema relacionado con ste? Conoce algn teorema que le pueda ser til? Mire atentamente la incgnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incgnita o una incgnita similar. He aqu un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya. Podr utilizarlo? Podr emplear su resultado? Podr utilizar su mtodo? Podr utilizarlo introduciendo algn elemento auxiliar?

    Podr enunciar el problema en otra forma? Podra plantearlo en forma diferente nuevamente? Refirase a la definicin. Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algn problema similar. Podra imaginarse un problema anlogo un tanto ms accesible? Un problema ms general? Un problema ms particular? Un problema anlogo? Puede resolver una parte del problema? Considere solo una parte de la condicin; descarte la otra parte; en qu medida la

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    incgnita queda ahora determinada? En qu forma puede variar? Puede usted deducir algn elemento til de los datos? Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incgnita? Puede cambiar la incgnita? Puede cambiar la incgnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incgnita y los nuevos datos estn ms cercanos entre s?

    Ha empleado todos los datos? Ha empleado toda la condicin? Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

    Etapa III: Ejecucin del plan.

    Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.

    Puede ver claramente que el paso es correcto? Puede demostrarlo?

    Etapa IV. Visin retrospectiva.

    Puede usted verificar el resultado? Puede verificar el razonamiento? Puede obtener el resultado en forma diferente? Puede verlo de golpe? Puede emplear el resultado o el mtodo en algn otro problema?

    La primera etapa es obviamente insoslayable: es imposible resolver un problema del cual no se comprende el enunciado. Sin embargo, en nuestra prctica como docentes hemos visto a muchos estudiantes lanzarse a efectuar operaciones y aplicar formulas sin reflexionar siquiera un instante sobre lo que se les pide. Por ejemplo si en el problema aparece una funcin comienzan de inmediato a calcularle la derivada, independientemente de lo que diga el enunciado. Si el problema se plantea en un examen y luego, comentando los resultados, el profesor dice que el clculo de la derivada no se peda y ms aun que el mismo era irrelevante para la solucin del problema, algunos le respondern: O sea que no nos va a dar ningn punto por haber calculado la derivada? Este tipo de respuesta revela una incomprensin absoluta de lo que es un problema y plantea una situacin muy difcil al profesor, quien tendr que luchar contra vicios de pensamiento arraigados, adquiridos tal vez a lo largo de muchos aos.

    La segunda etapa es la ms sutil y delicada, ya que no solamente est relacionada con los conocimientos y la esfera de lo racional, sino tambin con la imaginacin y la creatividad. Observemos que las preguntas que Polya asocia a esta etapa estn dirigidas a llevar el problema hacia un terreno conocido. Con todo lo til que estas indicaciones son, sobre todo para el tipo de problemas que suele presentarse en los cursos ordinarios, dejan planteada una interrogante: Qu hacer cuando no es posible relacionar el problema con algo conocido? En este caso no hay recetas infalibles, hay que trabajar duro y confiar en nuestra propia creatividad e inspiracin.

    La tercera etapa es de carcter ms tcnico. Si el plan est bien concebido, su realizacin es factible y poseemos los conocimientos y el entrenamiento necesarios, deber ser posible llevarlo a cabo sin contratiempos. Sin embargo por lo general en esta etapa se encontrarn dificultades que nos obligarn a regresar a la etapa anterior para realizar ajustes al plan o incluso para modificarlo por completo. Este proceso puede repetirse varias veces.

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    La cuarta etapa es muchas veces omitida, incluso por solucionistas expertos. Polya insiste mucho en su importancia, no solamente porque comprobar los pasos realizados y verificar su correccin nos puede ahorrar muchas sorpresas desagradables, sino porque la visin retrospectiva nos puede conducir a nuevos resultados que generalicen, amplen o fortalezcan el que acabamos de hallar.

    TIPOS DE PROBLEMAS A TRABAJAR EN LA EDUCACION PRIMARIA

    Problemas aritmticos. De primer nivel:

    - de cambio Aditivo sustractivos - de combinacin -de comparacin -de igualacin -de repartos equitativo -de factor N

    de multiplicacin divisin -de razn

    -de producto cartesiano de segundo nivel

    de tercer nivel

    Problemas geomtricos

    Problemas de razonamiento lgico

    Problemas de recuento sistemtico

    Problemas de razonamiento inductivo

    Problemas de azar y probabilidad

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    HACIA UNA PROPUESTA DE EVALUACIN EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS:

    EVALUACIN CONSTRUCTIVA EN MATEMTICAS.PASOS PRCTICOS PARA PROFESORES* David Clark-Pag.86-Autoevaluacin del alumno.

    La evaluacin ocupa un lugar central en el currculum de las matemticas. Cuando la evaluacin se lleva a cabo bien, puede enriquecer a todos; informar los profesores cmo ensear de manera ms efectiva; informar a los estudiantes sobre lo que han aprendido, lo que an les falta por aprender y la mejor manera de aprenderlo; e informar a los padres sobre la mejor manera de apoyar el aprendizaje de sus hijos. Sin embargo, si se realiza pobremente, la evaluacin puede dar una imagen engaosa de las matemticas, de nuestros estudiantes y de nuestros objetivos. En el mejor de los casos, una mala evaluacin puede simplemente desinformarnos, decirnos poco sobre cmo mejorar nuestra enseanza y dar a los estudiantes poca informacin que pueda fomentar su aprendizaje. En el peor de los casos, puede ser definitivamente destructiva, recompensar el esfuerzo con un fracaso y producir un dao permanente en la confianza del estudiante respecto a su capacidad de entender y utilizar las matemticas.

    La idea de que la evaluacin puede y debe contribuir de manera constructiva al desarrollo del currculum es relativamente nueva. Para darnos cuenta del potencial positivo que tiene la evaluacin en nuestras aulas, necesitamos, en primer lugar, tener una idea clara de por qu se hace la evaluacin, qu es lo que estamos evaluando y cul es la mejor forma de hacerlo. Una vez que tenemos claridad del por qu, de qu y del cmo de la evaluacin, podemos pasar a la etapa esencial de integrar la evaluacin en nuestro currculum y en nuestra manera de ensear como elemento natural de los mismos, como parte central de nuestro diario quehacer.

    Para un profesor, la evaluacin es un proceso en el cual reunimos evidencias, hacemos inferencias, llegamos a conclusiones y actuamos segn dichas conclusiones. La evaluacin es constructiva cuando el foco de atencin en cada etapa del proceso es el aprendizaje matemtico del estudiante, es decir, cuando nos ayuda a fomentar el aprendizaje del estudiante.

    Para un estudiante, la evaluacin es una oportunidad de mostrar su entendimiento y sus habilidades matemticas. Adems, es una conversacin con el profesor sobre qu se ha aprendido y qu cosas permanecen oscuras, y sobre qu elementos fueron de utilidad y cules no en el aprendizaje del estudiante. Es una oportunidad de retroalimentacin recproca y es una fuente de sugerencia de accin. Se vuelve constructiva cuando valora lo que el estudiante ya puede hacer y le ayuda a aprender lo que todava no domina.

    *La evaluacin debe representar nuestros objetivos y valores sobre la instruccin. (Reflejar nuestros conocimientos y creencias sociales y fomentar su uso durante toda su vida).

    *La evaluacin es intercambio de informacin. (Facilitar el intercambio entre profesores y estudiantes y entre otros miembros de la comunidad escolar y ayudarnos a mantener un dilogo constructivo con nuestros estudiantes sobre su aprendizaje y nuestra enseanza).

    *La evaluacin debe optimizar la expresin del estudiante sobre su aprendizaje.

    *La evaluacin debe tener un valor instructivo.

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    *La evaluacin debe fomentar la accin.

    Una parte esencial del concepto de evaluacin constructiva es compartir la responsabilidad de la evaluacin entre profesor y estudiante. La implicacin de los estudiantes en el proceso de evaluacin proporciona una excelente oportunidad de desmitificarla e integrarla ms en el proceso de instruccin y de pasar del profesor al estudiante algo de responsabilidad y de la carga de trabajo asociada con la evaluacin.

    La autoevaluacin de los estudiantes es otro paso en esta direccin, un paso que tiene el tradicional beneficio de la explotacin de los sentimientos y las actitudes de los estudiantes, as como sus procesos cognitivos.

    En un tipo de evaluacin del estudiante, se le pide que responda cada dos semanas a preguntas como: En este momento Cul es la mayor preocupacin que afecta tu trabajo en Matemticas? Escribe un problema particular que encuentres difcil, y Cul fue la mejor cosa que te sucedi respecto a las matemticas en las ltimas dos semanas? Escribe un problema particular que hayas encontrado difcil. Escribe un problema nuevo que ahora ya puedas resolver, Cmo podramos mejorar las clases de matemticas?; cuestiones que requieren de reflexin sobre su aprendizaje y de que articulen las consecuencias de tal reflexin.

    Tales respuestas ofrecen un panorama de las percepciones, las concepciones y el entendimiento del estudiante a los que no se han tenido acceso mediante modos ms convencionales de evaluacin.

    Se debe reconocer la importancia de las actitudes y los sentimientos del estudiante como un factor positivo de un aprendizaje efectivo.

    Dicha evaluacin debe considerar el anlisis de las diversas fases que se involucran en el proceso de evolucin.

    La resolucin de problemas es una forma de pensar en la que el estudiante muestra diversidad de estrategias en diferentes momentos del proceso. En la fase de revisin es importante analizar el significado de la solucin, verificar las operaciones y pensar en conexiones o extensiones del problema y que adems se proporcione informacin relacionada con las actividades desarrolladas por el estudiante.

    Un Modelo de Evaluacin para el anlisis de este proceso incluye tres componentes:

    Primer momento: La parte relacionada con el entendimiento del problema.

    Segundo momento: Se relaciona con la habilidad del estudiante para seleccionar y usar estrategias de solucin (presentar un plan y realizarlo).

    Tercer momento: Aspectos relacionados con la razonable de la solucin y la extensin del problema.

    En los tres componentes debe incorporarse la presencia de aspectos metacognitivos (Segn SHOENFELD-1967 se relacionan con tres aspectos):

    1. El conocimiento de tu propio proceso,

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    2. Control o autorregulacin,

    3. Creencias e intuiciones.

    La evaluacin de estos aspectos se debe realizar con el diseo de actividades adecuadas que capturen informacin de cada momento. Una herramienta importante lo son las entrevistas (DAVIS-1984).

    PERKINS (1981) sugiere algunas ideas tiles en el uso de las entrevistas. Se dice al estudiante antes de empezar la entrevista que:

    Diga lo que est en su mente. Hable tan continuo como pueda.

    Hable tan telegrfico como pueda. No sobre explique o justifique. No trate de describir eventos pasados (que describa lo que hace en el momento).

    Es importante, para realizar una entrevista, sealar que tipo de problema trabajar el estudiante. Algunas caractersticas de problemas incluyen:

    Que implican un reto (son difciles pero accesibles). Que demanden un plan y una reflexin (no se pueden resolver instantneamente).

    Que permiten diferentes mtodos (estrategias) de solucin. Que incluyan, algunos, varias soluciones.

    Que incluyan una variedad de procesos matemticos y operaciones (pero no en formas obvias o rutinarias).

    Que cuando un estudiante los resuelva, debe ser posible identificar los procesos y operaciones empleadas, el plan para resolverlos y las estrategias usadas.

    Al seleccionar los problemas y realizar las entrevistas, el reporte de las cualidades mostradas por los estudiantes debe discutirse alrededor de los siguientes puntos:

    I. El nivel de desarrollo de las fases de entendimiento, diseo de un plan y su implantacin, y de la visin retrospectiva.

    II. El tipo de estrategias usadas en la resolucin del problema. III. La presencia de conceptos y procedimientos matemticos. Cuando un problema puede ser

    resuelto por medio de la aplicacin de diferente contenido matemtico es importante mencionar qu contenido fue usado y qu tipo de conexiones fueron explotadas.

    IV. El tipo de control y automonitoreo usado por el estudiante al resolver el problema. V. Las influencias del entrevistador. Es decir, el tipo de intervenciones y los efectos productivos

    en el trabajo del estudiante.

    Finalmente se debe reportar si el estudiante obtuvo la respuesta correcta, al problema, si lo hizo con o sin ayuda del entrevistador. Indicar la cantidad de tiempo en cada fase para obtener la solucin y los comentarios pertinentes adicionales.

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    Estas ideas resaltan los aspectos cualitativos de la evaluacin. Para aspectos de carcter cuantitativo es posible disear un instrumento que se asocie a algn nmero determinado. (Charles, Lester y ODaffer, 1987; Santos, 1993). El instrumento puede incluir los siguientes componentes:

    PUNTOS TRABAJO MOSTRADO POR LOS ESTUDIANTES 0-1 Nada de trabajo o ideas sin relacin 2-3 Identificar los datos pero sin procedimiento alguno 4-5 los Usa los datos pero la estrategia no es clara 6-7 Introduce un plan apropiado, pero ste es incompleto o pobremente aplicado 8-9 Existe un plan claro y apropiado, pero hay un error en los clculos o la resta es

    incompleta 10 Solucin completa y correcta.

    Adems, en el proceso de evaluacin se puede identificar algunos indicadores asociados con la solucin del problema, el desarrollo de la solucin, y respecto de la identificacin de las estrategias principales empleadas en cada solucin.

    En este instrumento se han identificado algunos componentes que pueden ayudar al instructor a tener una idea global del proceso de solucin del problema. Adems, la identificacin de los diversos momentos genera informacin relacionada con las dificultades que puedan mostrar los estudiantes en cada una de las fases. Es decir, entendimiento, uso de estrategias y evaluacin de la solucin. Estos instrumentos pueden ser ajustados por el instructor, de acuerdo con los tipos de problemas que considere en la evaluacin.

    SOLUCIN DESARROLLO ESTRATEGIAS USADAS

    Correcta Completo operaciones numricas

    Incorrecta Incompleto uso de lgebra

    Indeterminada no requerido lista sistemtica

    En blanco

    sin unidades lista sistemtica, una tabla o un diagrama

    sin contexto ensayo y error

    sin desarrollo

    bsqueda de patrones casos simples indeterminadas

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    EJEMPLO DE UN PROBLEMA:

    El trabajo alrededor del problema ayuda al maestro a valorar el potencial del problema y a preparar instrumentos para recabar informacin del proceso utilizado por los estudiantes al resolverlo.

    El fin de semana, Pedro y Mara visitaron una granja que produce gallinas y cerdos. Pedro cont un total de 19 cabezas, mientras que Mara dijo que haba 60 patas. Cuntas gallinas y cuntos cerdos haba en esa granja que visitaron?

    Es importante que antes de realizar la entrevista se trabaje el problema con detalle. Encontrar soluciones anticipadas. Esto nos ayudar a entender el trabajo de los estudiantes, orientndolos durante el proceso y aclararles que no se espera que sigan algunas formas de solucin en especial.

    POSIBLES SOLUCIONES:

    I) EL MTODO PICTRICO incluye el uso de figuras, dibujos o diagramas para representar el problema y usar como referencia para aumentar o disminuir la cantidad de acuerdo al nmero de patas.

    II) EL MTODO DE ENSAYO Y ERROR puede ser usado originalmente por el estudiante, empleando:

    a) Un Mtodo de intercambio, b) Un Mtodo de conteo, o c) La construccin de una tabla.

    III) EL MTODO DE CORRESPONDENCIA. La idea es pensar en una correspondencia entre el nmero de patas y cabeza (dos formas similares ilustran este proceso):

    a) Suponiendo que las gallinas se sostienen con una sola pata y que los cerdos solo con dos, ahora existen la mitad de patas pisando el suelo (30). En este nmero la cabeza de una gallina se cuenta solo una vez y la de los cerdos se cuenta dos veces. Restndole a 30 el nmero de cabezas (19) nos resulta el nmero de cabezas de cerdos. Esto es, 30-19= 11 cerdos y 8 gallinas.

    b) Otra variante es imaginarse que todos los animales se sostienen con dos patas (38),

    entonces 60-38= 22 patas en el aire, entonces hay 11 cerdos.

    IV) UN MTODO SEMIALGEBRAICO. Cuando el estudiante utilice g=# de gallinas y c=# de cerdos; puede escribir g+c=19 o g=19-c y poder explicar posibles combinaciones considerando el nmero de patas.

    V) EL MTODO ALGEBRAICO. Tambin puede ayudar a resolver el problema, representando la informacin dada en un sistema de ecuaciones. Ejemplo:

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    Nmero de gallinas = x; nmero de cerdos = y

    Nmero de cabezas x + y = 19 ________(1)

    Nmero de patas 2x + 4y = 60 ________ (2)

    Multiplicando (1) por 2 y restndolo a (2) se obtiene: 2y = 22; entonces y=11; x= 8

    Tambin puede usar una representacin algebraica donde se incluya una sola variable. Por ejemplo x puede representar el nmero de gallinas y (19-x) el nmero de cerdos. Esto lleva a que 2x+4(19- x) = 60, lo cual representa una ecuacin lineal; es decir, 2x+76 4x=60 de donde x=8.

    Otros aspectos importantes que deben estar presentes en la evaluacin del aprendizaje de los estudiantes incluyen:

    i) La participacin del estudiante en el diseo de problemas-proyecto, donde tenga que recolectar informacin de diversas fuentes.

    ii) La escritura de un Diario personal, en donde el estudiante reportar semanalmente sus experiencias en la resolucin de problemas y el aprendizaje de las Matemticas (identificar dificultades y reportar aspectos de mayor o menor inters).

    iii) Que el estudiante participe en el proceso de formular problemas durante y fuera de la instruccin, tomando en cuenta las siguientes variables:

    a) Se le d un problema y con base en el enunciado se le pide que formule un problema similar y que lo resuelva. b) Se le d una informacin incompleta y se le pide que complete la informacin, que plantee un problema y que lo resuelva.

    c) Se les pide que diseen sus propios problemas en donde seleccionen informacin adecuada, indicndoles el contexto (un problema de precios, de tiempo, de patrones, de demostracin, etc.)

    d) Se les da problemas con un exceso de informacin, pidiendo que identifiquen y reestructuren el problema y que lo resuelvan.

    e) Colocar semanalmente en un lugar del saln de clases una lista de 2 o 3 problemas para que se resuelvan (los problemas de la semana); la responsabilidad de disear dichos problemas puede ser por equipos, dando un espacio en la clase para discutir sus soluciones.

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    SESIN IISESIN IISESIN IISESIN II

    PROPSITO:

    Reconocer el proceso de abstraccin del concepto de nmeros en los nios y analizar situaciones en distintos aspectos de los nmeros que se ponen en juego para resolverlas, la importancia del conteo oral, el aspecto cardinal, el ordinal y la representacin.

    Diferenciar los distintos significados de los algoritmos de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin para apoyar en el desarrollo del pensamiento lgico-matemtico, as como adentrarse en la nocin de Prediccin y azar.

    COMPRENSIN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIN

    Por qu ha tenido tanto xito el sistema de numeracin de base? La respuesta es que las ventajas de una estructura de base y, por lo tanto de nuestro propio sistema de decenas, son muy grandes. Esta estructura hace posible que quien lo aprende forme el nombre de los nmeros y no sea necesario aprendrselos de memoria. Slo tenemos que recordar unas cuantas palabras y podemos formar el resto nosotros mismos. Cuando entendemos la lgica de un sistema de numeracin, podemos formar nmeros que nunca antes hemos odo.

    Un sistema de numeracin de base implica contar unidades de tamaos diferentes. En nuestro sistema de numeracin, por ejemplo contamos unidades, decenas, centenas (tambin denominadas ordenes) que pueden agruparse en diferentes clases, la clase de las unidades, la clase de los millares, la clase de los milln es, etc. Debido a que utilizamos un sistema de base 10, cuando tenemos diez unidades de cualquier tamao las reagrupamos en unidades del orden superior. El tamao de las unidades es importante tanto para contar como para ordenar cantidades.

    Conteo y dominio de las propiedades del sistema de numeracin: Hace tiempo que los maestros de matemticas se dieron cuenta de que es importante que los nios dominen la estructura del sistema decimal para poderlo utilizar al hacer cuentas.

    Saber contar y comprender el valor relativo de las unidades para contar y su composicin aditiva no son la misma cosa. Los nios y nias que no saben contar podran no ser capaces de comprender el valor relativo de las unidades ni obtener totales con unidades de diferente valor en el contexto del manejo de dinero.

    Ni la instruccin escolar ni la habilidad de escribir nmeros son cruciales para entender esos aspectos del nmero. Pueden dominarse a partir de la utilizacin del sistema de numeracin oral al menos en conjugacin con la familiaridad con el sistema monetario.

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    A lo largo de la historia ha habido distintos sistemas de numeracin, como el maya, el chino o el sistema romano, con smbolos y reglas diferentes a los nuestros. Nuestro sistema de numeracin decimal procede de la India, aunque fueron los rabes los que lo introdujeron en Europa.

    Terezinha Nunes y Peter Bryant. Las matemticas y su aplicacin: la perspectiva del nio. Pag. 61-96

    REGLAS DEL SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL: Se llama sistema decimal porque 10 unidades de un orden cualquiera forman 1 unidad del orden inmediato superior. Te puedes imaginar cada orden de unidades como si fuera el peldao de una escalera. Para subir un peldao hay que reunir 10 unidades en el peldao en el que ests situado. En cambio, si bajas la escalera, 1 unidad del peldao en el que ests equivale a 10 unidades del peldao siguiente, al que bajas

    Utilizamos diez caracteres, llamados cifras, que son: Es un sistema posicional porque el valor de una cifra depende de la posicin que ocupe dentro del nmero que estemos considerando. Por ejemplo, cuando escribimos el nmero 235,733:

    el primer 3 que escribimos pertenece a las decenas de millar (DM), y vale 30.000 unidades; el segundo 3 pertenece a las decenas (D), y vale 30 unidades; el tercer y ltimo 3 pertenece a las unidades (U).

    As pues, podemos descomponer un nmero como suma de los valores de sus cifras. Por ejemplo, el nmero 456,789 es la suma de:

    456,789 = 4 centenas de millar + 5 decenas de millar + 6 unidades de millar + 7 centenas + 8 decenas + 9 unidades = 4 CM + 5 DM + 6 UM + 7 C + 8 D + 9 U

    Para nmeros ms grandes, con ms de seis cifras, hemos de usar rdenes de unidades superiores a la centena de millar:

    Por ejemplo, el nmero 42, 345,678 es la suma de:

    42, 345,678 = 4 decenas de milln + 2 unidades de milln + 3 centenas de millar + 4 decenas de millar + 5 unidades de millar + 6 centenas + 7 decenas + 8 unidades = 4 Dm + 2 Um + 3 CM + 4 DM + 5 UM + 6 C + 7 D + 8 U

    CMO SE LEEN LOS NMEROS? Para leer cualquier nmero hemos de formar grupos de tres cifras, contndolas desde la derecha y recorriendo el nmero hacia la izquierda. Despus se lee cada uno de los grupos, empezando por el primero de la izquierda y avanzando hacia la derecha. Por ejemplo, para leer el nmero 215,367,498: Leemos los grupos empezando por el primero de la izquierda: doscientos quince millones trescientos sesenta y siete mil cuatrocientos noventa y ocho.

    Fjate que entre el primer y el segundo grupo va la palabra millones y entre el segundo y el tercer grupo la palabra mil.

    La posicin de los distintos matemticos y su relacin con las actividades reales del

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    sujeto los resume Droz as: Actividad del sujeto

    El numero es Perspectiva terica

    Clasificar Cardinal Cantor, Frege, Russell Comparar, seriar Ordinal Peano, Neumann, Weyl Denotar y componer Algebraico Hilbert Denotar y contar Constructivo Lorenzen Transformar Operador/ razn Euclides, Euler,Herbart contar Producto del conteo E. Cassier

    El examen detenido que este autor hace de las teoras anteriores le lleva a varias conclusiones que compartimos completamente:

    Ni filsofos ni matemticos pueden decir de manera unvoca qu son, de dnde vienen y para qu

    sirven los nmeros. Los nios no construyen una nocin del nmero ni una prctica del nmero. Hay nociones y usos

    mltiples del nmero que se solapan, se completan, se excluyen, etc. Los investigadores psicogenticos se reducen a una nica perspectiva que no permite dar cuenta de toda la

    riqueza del pensamiento y las actividades infantiles. CONTAR ES EL COMIENZO

    Los nmeros naturales son aquellos que utilizamos para contar (1, 2,3,) y el cero, permiten resolver una gran variedad de situaciones, por ejemplo: contar colecciones, compararlas e igualarlas, comunicar cantidades,

    expresar medidas, ordenar elementos.

    Resulta bastante difcil decir exactamente decir exactamente cuando los nios y nias comienzan a aprender matemticas. Formalmente, por supuesto, su carrera en las matemticas suele iniciarse en la escuela, pero sera absurdo decir que las primeras experiencias matemticas se dan slo cuando las ensea un maestro. Es perfectamente obvio para la mayora de los padres que sus hijos aprenden algo sobre los principios matemticos antes de ir a la escuela y, para la mayora de los maestros que los nios ya saben bastante antes de ir a la escuela.

    COMO SE APRENDE A CONTAR ADECUADAMENTE: Al contar debemos respetar una serie de principios sencillos pero necesitan ser explcitamente reconocidos. Comencemos con la manera en que la nia o el nio cuentan un solo conjunto de objetos visibles y tangibles y preguntarles cuntos objetos tiene. El primer Principio de correspondencia biunvoca: al contar, deben contarse todos los objetos, y cada uno debe contarse una sola vez. El segundo principio el de orden constante: cada vez que contamos debemos pronunciar palabras numricas en el mismo orden. El tercer principio de cardinalidad: se relaciona con la manera de decidir la cantidad real de objetos en el conjunto que se est contando, es decir cmo saber si el total de objetos corresponde a la ltima palabra numrica pronunciada al contar. Estos tres requerimientos son indisputables, un nio que no lo respeta no cuenta adecuadamente, y aquel que si lo respeta incesantemente si lo hace.

    COMO UTILIZAN LOS NIOS Y LAS NIAS EL CONTEO: PIAGET seal que si un nio cuente bien a pesar de no entender la naturaleza de esos nmeros cuyos nombres se ha aprendido hbilmente. Pero si ve que contar es una manera de encontrar una solucin a un problema

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    determinado, podemos estar razonablemente seguros de que ha mostrado una capacidad de entendimiento del sistema que le ha ayudado.

    Conjuntar objetos con nmeros iguales: Piaget y sus colaboradores fueron los primeros en sealar que cuando nios y nias aprenden a contar, todava les falta mucho camino por recorrer en la comprensin de la naturaleza del nmero. La base de este punto de vista provino de las muchas demostraciones que obtuvo de los nios y nias de alrededor de cinco aos que, si bien pudieron contar razonablemente bien, no lograron utilizar el conteo como herramienta cuando su uso les habra beneficiado.

    Comparacin de dos conjuntos: La manera como utilizan los nios y nias el conteo para obtener una medida del tamao de un conjunto puede analizarse de otra forma. Podemos mostrar dos conjuntos y preguntar si tienen el mismo nmero de elementos. Si los conjuntos estn dispuestos en hileras de elementos e una correspondencia biunvoca, los nios no tendrn que basarse en el conteo para compararlos. Pero si se les presenta de maneras diferentes (en hileras, extendidos), contar se vuelve necesario. Las investigaciones que realiz piaget acerca de cmo entienden los nios y las nias la conservacin implican dos tipos diferentes de conocimiento: la utilizacin del conteo frente a otras indicaciones para compara dos conjuntos, e inferencias lgicas sobre la cantidad en un conjunto sabiendo qu cantidad haba antes de que se realizara una modificacin.

    Como inferir un nmero a partir de un conjunto equivalente: Se analizo el siguiente caso. Deducen el nmero de elementos en un conjunto si cuentan su nmero con el otro? Olivie y peter analizaron esta pregunta l pedir a nios de 5 aos que repartieran equitativamente varios caramelos entre 2 muecos. Todos lo hicieron bien, al terminar el experimentador contaba en voz alta los caramelos que tena uno de los muecos y despus les preguntaba cuntos caramelos tendra el otro mueco. Aunque haba repartido los caramelos con cuidado, ninguno infiri inmediata y correctamente que el otro mueco tena la misma cantidad. Esta es una nueva demostracin de que si bien pueden aprender a contar, los ms pequeos no necesariamente se percatan de la importancia del conteo para medir el tamao de un conjunto y no siempre emplean inferencias transitivas para determinar el tamao de un conjunto si conocen el tamao de otro conjunto que tiene la misma cantidad.

    Terezinha Nunes y Peter Bryant. Las matemticas y su aplicacin: la perspectiva del nio. Pg. 35-60

    EL PROBLEMA DE LA CONSERVACION DE LA CANTIDAD La conservacin es para Piaget la permanencia del objeto (nmero de elementos, sustancia solida o liquida, etc.)Frente a un grupo de transformaciones (deformaciones, fraccionamiento, desplazamientos, etc.). Es decir, el reconocimiento de la igualdad, que requiere la construccin de invariantes, en donde reposa la construccin de la reversibilidad. La prueba clsica ms conocida de conservacin de las cantidades discretas es la siguiente. El experimentador dispone dos hileras, de siete fichas cada una, en correspondencia ptica, tal como sigue:

    A

    B

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    Y pregunta al nio si hay la misma cantidad de fichas rojas que azules. Despus procede a la vista del nio, a separar las fichas de una de las hileras hasta obtener una disposicin similar a la siguiente:

    A

    B De manera que la correspondencia visual se rompa. Pregunta despus: hay mas rojas o mas azules?, Cmo lo sabes? En otros casos los nios son invitados a construir una hilera de fichas equivalente a una dada. Piaget encuentra cuatro niveles de conducta:

    1. Ausencia de correspondencia trmino a trmino. Se da en nios de edades comprendidas entre los 4 y 5 aos, y se caracteriza porque usando una intuicin simple tiene ms en cuenta la configuracin global y esttica de las hileras (longitud de la misma) que la cantidad de fichas. Los individuos de esta etapa no saben servirse de la correspondencia trmino a trmino para responder a la cuestin y se hayan atrapados por las configuraciones figurativas de las fichas.

    2. Correspondencia trmino a trmino sin conservacin (5-6 aos). Si bien los nios son

    capaces de establecer una correspondencia trmino a trmino entre las fichas rojas y las azules, una vez que esta se rompe visualmente, porque las fichas se separan o se juntan, los individuos renuncian a la equivalencia numrica. Argumentan que hay ms fichas en la hilera B porque es ms larga, o bien en A porque las fichas estn ms juntas, segn se realice la centracin sobre uno u otro aspecto, longitud o densidad.

    3. Conservacin no duradera (en torno a los 7 aos). La conservacin depende de la transformacin realizada y del contexto, de manera que el individuo se muestra conservador en unos casos y en otros no. Segn Piaget, se trata de una etapa intermedia, por la que no pasan necesariamente todos los individuos; stos se encuentran sometidos a un conflicto, pues los datos emanados de la correspondencia trmino a trmino se contradicen con los ndices perceptivos, y la conservacin depende de si el individuo se centra en el resultado de la correspondencia trmino a trmino o en los ndices perceptivos.

    4. Conservacin necesaria (a partir de los 7 aos). El nio, a pesar de las transformaciones que pueden dar lugar a ndices perceptivos engaosos, afirma la conservacin de la cantidad, utilizando argumentos del tipo: Es parecido, no se ha aadido ni quitado nada, siempre es lo mismo, porque las fichas pueden volver a juntarse (o separarse, segn el caso), esta fila es ms larga pero en la otra las fichas estn ms

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    juntas, etc. Respuestas que ponen en evidencia comportamientos de compensacin (longitud/densidad), o reversibilidad en la correspondencia (juntar/separar).

    Hay una especie de regulacin interna que hace que la contraccin evolucione. As, el individuo es capaz de argumentar que si bien B es ms larga, en A las fichas estn ms juntas. La cuotidad

    Estudios posteriores de Pierre Grco han puesto de manifiesto que existe un estado intermedio entre la correspondencia trmino a trmino y la conservacin de la cantidad, en el que hay conservacin de lo que Grco ha denominado cuotidad o nmero contado (quotit en francs)1.

    Grco procede de la siguiente manera: en la prueba anterior de las fichas rojas y azules, se pide al nio que cuente las fichas que hay en A, se tapa B y se le pide que adivine, sin contar, cuntas hay en B. Despus, se le pide que cuente las fichas de B. Se le hace repetir el nmero de fichas encontrado para A y para B, que es el mismo. Se vuelve entonces a la situacin inicial, desplazando a continuacin las fichas de B, y se le pregunta: dnde hay ms, en A o en B?, cuntos hay en A y cuntos en B?

    Las respuestas obtenidas permiten, en primer lugar, diferenciar entre dos tipos de conservaciones: la relativa al nmero (la cuotidad), y la relativa a la cantidad. As, hay nios que prevn de forma acertada el nmero de fichas que habr en B, 7, si bien siguen diciendo que las 7 azules son ms grandes que las 7 rojas. Esta situacin, que puede parecer paradjica, es ms usual de lo que pudiera parecer, pues se da en el 20% de los nios de edades comprendidas entre 5 y 8 aos, que en el 75% de los casos dan juicios de no conservacin disociando cantidad y cuotidad. Segn Grco la conservacin de la cuotidad proviene de la accin de contar, que es utilizada muy tempranamente por los nios, y que es incluso aprendida como lita de carcter social. La cuotidad, a pesar de no tener el carcter enteramente cardinal, supone ya el carcter encajado de la serie numrica en el que se fundamentar despus la coordinacin operatoria. Como resultado de las diferentes experiencias llevadas a cabo, Grco afirma que hay una disociacin efectiva entre las conservaciones (de la cantidad o de la cuotidad) y el conteo instrumental-". Ms adelante, define operacionalmente la cuotidad como la anticipacin numrica demandada, considerando tres niveles distintos de conservacin:

    I. No conservacin del nmero ni de la cantidad. Il. No conservacin de la cantidad y conservacin del nmero.

    III. Conservacin del nmero y de la cantidad.

    Piaget y sus colaboradores estudian tambin el desarrollo y evolucin de la correspondencia

    trmino a trmino, y la seriacin, encontrando las mismas etapas que para la conservacin numrica. 1 La quotit se correspondera con lo que algunos autores han denominado posteriormente conteo numerado. La nocin de cuotidad tiene un cieno estatuto cardinal, si bien no se da la inclusin jerrquica de las clases propia de la cardinacin operatoria propiamente dicha.

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    Investigaciones posteriores han confirmado la veracidad de esta afirmacin, por lo que puede afirmarse lo siguiente.

    Existe un estrecho paralelismo, en las tres etapas del desarrollo, de las clasificaciones, las seriaciones y el nmero (Beth & Piaget).

    Adems, los errores cometidos por los individuos en los estadios I y II de construccin del nmero se corresponden con dificultades del mismo tipo en clasificaciones y seriaciones (Piaget &, Inhelder, Grco & Morf). Sin embargo, la mayora de las investigaciones posteriores a las de Piaget, parecen mostrar que no hay sincrona entre la adquisicin de la conservacin numrica y la seriacin y la inclusin; la adquisicin de esta ltima, as como de la transitividad (6-7 aos), sera posterior a la conservacin del nmero (5-6 aos).

    La afirmacin que acabamos de subrayar sirve a Piaget para establecer un hecho de gran trascendencia para la actuacin didctica en el aula:

    La serie de los nmeros se constituye en tanto que sntesis de la clasificacin y la ordenacin (Beth & Piaget).

    Un resultado interesante, debido tambin a Greco es el hecho de que la conservacin de la desigualdad es ms resistente a las transformaciones que dan lugar a ndices perceptivos engaosos que la conservacin de la igualdad; es decir, los nios conservan ms fcilmente la desigualdad numrica que la igualdad numrica. Una posible explicacin es que, para romper la desigualdad se necesita realizar una transformacin de aumento o de disminucin hasta obtener la igualdad. Si A < B, hay que aadir objetos a A, o quitar objetos de B, para llegar a la situacin A = B, transformaciones pertinentes desde un punto de vista cuantitativo, en tanto que las transformaciones espaciales (separar, juntar, desplazar, etc.) no son pertinentes en este sentido.

    Como consecuencia, desde un punto de vista didctico, sera interesante disear aprendizajes basados en transformaciones aditivas o sustractivas, sobre las que los nios tienen conocimientos muy precoces, anteriores a la conservacin de manera que los juicios de igualdad estuvieran basados en el tipo de transformacin llevada a cabo, aadir y quitar, y en la reversibilidad de tales acciones.

    LOS MODELOS MATEMATICOS DE CONSTRUCCION DEL NMERO NATURAL

    Si bien nuestro objetivo no es hacer una discusin matemtica de los posibles modelos de construccin del nmero natural, razn por la cual no nos extenderemos demasiado, s nos parece oportuno estudiar el posible paralelismo entre Matemticas- Psicologa y con vistas a fundamentar una posible ingeniera didctica que recree la gnesis artificial del saber, pues slo mostrando la complejidad matemtica del concepto de nmero podrn apreciarse los mltiples aspectos que deben abordarse didcticamente, y la gran diferencia que existe entre el conocimiento social del nmero y el conocimiento lgico-matemtico.

    Si se comparan las tesis piagetianas con las distintas axiomticas del nmero natural: Peano, Quine, Poincar, RusellG, se encuentra una cierta correspondencia con los procesos genticos, si bien son de naturaleza distinta.

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    As, por ejemplo, la iteracin n + 1 es construida lentamente por los individuos, de manera que en torno a los 8 aos es utilizada tan solo por un 70 % de los nios", lo que viene a demostrar que los principios innestas de Poincare, en los que la iteracin es un postulado primitivo, estn lejos del funcionamiento cognitivo real.

    el numero no es ni un simple sistema de inclusin de clases ni una simple seriacin, sino una sntesis indisociable de la inclusin y la seriacin (piaget, 1964).

    Los espacios entre los nmeros deben ser de cuatro centmetros. La tira tendr aproximadamente un metro de largo por cinco centmetros de ancho.

    El dibujo puede hacerse tambin el piso en vez de usar cartoncillo.

    1.- el maestro organiza al grupo en equipos de dos a cuatro nios y entrega a cada equipo una bolsa con fichas, una tira de cartoncillo y una piedrita.

    2.-en cada equipo deciden quien ser el primer nio que pone la trampa.

    El nio a quien le toca poner la trampa coloca una piedrita en cualquier nmero de la tira despus del cero. Esa piedrita es la trampa.

    4.- los dems nios cogen una ficha de la bolsa. Ven donde est la trampa y cada uno decide si su ficha recorrer la tira saltando de dos en dos o tres en tres,

    5.- en su turno, cada jugador pone su ficha en el nmero cero y la hace avanzar saltando de dos en dos o de tres en tres, segn haya escogido. Si escogi saltos de dos espacios, cuando le toque su turno salta al dos, al cuatro, al seis y as hasta salir de la tira. Si cae en la trampa no puede seguir.

    6.- cuando un jugador logra saltar toda la tira sin caer en la trampa.

    7.- cuando todos han hecho avanzar su ficha, toca a otro nio poner la trampa.

    8.- el juego termina cuando cada nio ha puesto la trampa dos veces.

    9.-gana el nio que se quede con ms fichas.

    10.- todos los nios regresan sus fichas a la bolsa y siguen jugando.

    En la segunda versin del juego la tira se elabora con los nmeros hasta el 30 y se colocan dos trampas en lugar de una. En la tercera versin la tira se puede realizar hasta el numero 50 y se colocan tres trampas.

    En todas las versiones del juego, el nio que pone las trampas siempre tiene la posibilidad de bloquear completamente el camino y ganar todas las fichas, pero esto no se logra pronto. Para lograrlo los alumnos necesitan desarrollar poco a poco una estrategia que consiste en buscar nmeros que estn contenidos en varias series a la vez.

    EL PAPEL DEL CONTEO EN LA CONSTRUCCION DEL NMERO

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    Aunque la unanimidad entre los distintos autores est lejos de alcanzarse, hay una tendencia generalizada a considerar el conteo como una actividad importante para la adquisicin del nmero. Sin embargo, las investigaciones piagetianas no han tomado en la consideracin que se debiera el aspecto cultural del nmero, olvidando que ste es el resultado de una evolucin sociohistrica. De hecho, una de las crticas ms extendidas de los resultados de la escuela de Piaget tiene que ver con la poca importancia dada al conteo, lo que consider una mera habilidad social sin contenido lgico-matemtico.

    Pero ms all de la parte mecnica e imitativa de los primeros recitados de la serie numrica verbal -la cantinela-, muchos autores coinciden al considerar que el conteo elaborado est estrechamente ligado al desarrollo cognitivo, y que saber contar puede conducir al descubrimiento del esquema que permite generar la serie de palabras-nmero.

    El importante papel concedido, primero por Grco y despus por Gelman, al conteo ya la correspondencia uno a uno, est basado en la precocidad de la conservacin de la cuotidad (nmero contado), y en el papel que esta juega un la formacin numrica. Pues las acciones del sujeto que utiliza una numeracin preaprendida, los gestos, las miradas que verifican si la correspondencia trmino a trmino est completa, introducen un orden implcito, que juega, sin embargo, un papel esencial en la formacin numrica: es, en efecto, el fundamento de lo diferente, sin el cual los conjuntos no serian ms que clases o categoras.

    El conteo en los nios ms pequeos, considerado por Piaget como meramente verbal, y por tanto subestimado, guarda una gran relacin con la cardinacin; aunque, como veremos ms adelante, los nios comienzan utilizando las palabras-nmero en contextos muy distintos,