TALLER DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS

EJEMPLO 1:

Hallemos los valores pedidos, justificando todos los pasos:

Solución: 1.

AAEB

DA21

º59ˆˆ

º28ˆˆ

y

x 3

2

1

8 Estableciendo proporcionalidad entre sus lados homólogos.

6323

2

1

42

8

2

1

8

yyy

xxx

2.

3

9

3

15 porque 3=3 y porque 1=1 (están en una misma razón de 3 a 1)

º40ˆˆ JG 43 (L-A-L) 124

1

5

15

3

31

9

45

15xx

x

3.

º18030 (Suplementarios); 150;30º180

65 (L-L-L) Obsérvese que se colocaron arriba los lados de triángulo 5 organizados en orden creciente; por lo tanto abajo se colocaron los lados del triángulo 6 también en orden creciente; y al simplificar quedan en una misma razón de 1 a 3. También se pudieron haber organizado en orden creciente de valores, por lo tanto:

150º20 y

3

1

3

1

3

1

18

6

12

4

9

3

10tan;15020180

)(18015020

)int(º1806

tolopor

nSustitució

triangulounenerioresangulosdesumaen

EJEMPLO 2:

En la figura, AB // CD. Establecer la proporcionalidad entre los lados homólogos en los dos triángulos de la figura, y hallar el valor de x. Solución:

A = D B = C (alterno internos entre paralelas)

AEB ECD (A-A)

EC

BE

ED

AE

CD

AB; Se estableció una

proporcionalidad entre sus lados homólogos

3

X =

4

12 X =

4

123 X = 9

EJEMPLO 3:

Si CA AD y AB CD; demostremos que ABD

ACD y establezcamos la proporcionalidad entre los lados homólogos.

Solución:

2 = α

= 90º (definición de perpendicularidad)

D = D (ángulo común)

Entonces ABD ACD (A-A)

CD

AD

AD

BD

AC

AB

EJEMPLO 4:

En la figura BA CA, DE BC,

demostremos que CD

BC

ED

AB

Solución:

C = C (Ángulo común) CED = CAB = 90º (Definición de perpendicularidad)

CED CAB (A-A) AC

CE

AB

ED

CB

CD

CD

BC

ED

AB

EJEMPLO 5: Para hallar la altura de un asta de bandera, un muchacho cuyos ojos se encuentran a 1.65 metros del suelo coloca una vara de 3 metros de largo clavada en el piso a 15 metros de distancia del asta. Entonces retrocediendo 2.55 metros encuentra que donde va l apunta del asta está alineada con la punta de la vara. ¿Cuál es la altura del asta?

Solución:

9021 (Perpendicularidad)

ˆˆ (Ángulo común)

21 (A-A) 35.1

65.1

55.2

55.215 h

DK

FG

BK

BG

hmh 94.1065.1

55.2

35.155.17

EJEMPLO 6: Un muchacho observa que la sombra de un árbol tiene 15.68

metros de largo cuando el de su sombra es de 1.95 metros. Si la altura del muchacho es de 1.73 metros ¿cuál es la altura del árbol? (Nota: Supóngase que los rayos del sol son paralelos).

Solución:

º90ˆˆ EB (tanto

el árbol como el muchacho se superponen derechos

rectoforman )

DA ˆˆ (ángulo entre dos paralelas)

21 (A-A)

95.1

6.15

73.1

h

mh

h

84.13

95.1

73.16.15

EJEMPLO 7:

Hallemos el valor de x

Solución:

º90ˆˆ CA (por perpendicularidad)

21ˆˆ (opuestos por el vértice)

21 (A-A)

3

25

9

515

9

5

15xx

x

EJEMPLO 8:

Hallemos el valor de x

Solución:

B̂ˆ (dado)

AA ˆˆ ( común) 21 (A-A)

16

12 x

x

21612 x 1612x

38:tan xtolopor

Obsérvese que si dos ángulos son respectivamente iguales en dos triángulos, los

terceros ángulos son iguales y ˆˆ

Cuando decimos 2

1

16

12

dellados

delladosx

x

y ˆˆ

ˆˆ12

aAdeva

aAdeva

x y ˆˆ;ˆˆ AA

y BaAdeva

aAdevax

ˆˆ

ˆˆ

16 y BAA ˆˆ;ˆˆ

EJERCICIO PROPUESTO 1:

El tanque en forma de cono invertido de la figura tiene agua hasta una altura de 10 m. Halle el radio del cono de agua. Observa:

EJERCICIO PROPUESTO 2:

Halla el valor de x en las dos figuras siguientes, justificando todos los pasos.

EJERCICIO PROPUESTO 3:

Halla el valor de x justificando todos los pasos.

EJECICIOS PROPÚESTOS 4:

En las siguientes figuras se presentan 7 pares de triángulos. En cada caso indicar si los triángulos son semejantes. Si lo son, nombrar el criterio en que esto se base.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

--------------------------------------------------------------------

“Colaborar para que los demás vivan felices es abrir la puerta

para acoger la propia felicidad” --------------------------------------------------------