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1. Se tiene una población de 7 elementos N={3; 4; 6; 2; 7; 6} y se desean seleccionar las M

muestras aleatorias de tamaño 2. Determinar

a. Las M muestras aleatorias con y sin reposición.

b. Determine la distribución de la media muestral y su error de estimación.

c. Realice una distribución de frecuencias de las medias y grafique

d. Si se aplica el Teorema Central del Límite, ¿cuáles son los supuestos del teorema,

explique?, determine

e. La probabilidad de que la media muestral sea:

i) Por lo menos 4.2

ii) A lo sumo 3.8

iii) Por lo menos 3.6 y a lo sumo 4.4?

2. En el último año, el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según

una ley normal de media 3100 gr. Y desviación típica de 150 gr. ¿Cuál es la probabilidad

de que el peso medio de una muestra de 100 recién nacidos (a) sea superior a 3130? (b)

sea menor a 3010 gr? (c) esté entre 2900 y 3200 gr.?

3. La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela sigue una distribución

normal de media 1,62 m y la desviación típica 0,12 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la

altura media de una muestra aleatoria de 100 alumnas (a) sea mayor que 1.60 m? (b) sea a

lo sumo dos tercios más del promedio poblacional?

4. Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en centros

comerciales, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los

siguientes precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103,

110, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 98, 104, 110, 97, 90, 99, 106, 109, 107, 95, 112, 110, 109,

107, 100, 99, 98, 89, 100, 101, 102, 103, 104, 110, 111. Cuál es la probabilidad de que la

media de una muestra aleatoria (a) sea mayor que 102? (b) sea a lo sumo 98? (c) esté

entre 97 y 102?

5. Un proceso productivo ha obtenido en tres pruebas de las que consta un examen de control de calidad de la producción las calificaciones de 6, 7, 8, 5, 5. Suponiendo normalidad en la distribución de la población, se pide:

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a) Obtener los parámetros de la población: calificación media del proceso y varianza.

b) Extraer de la población muestras aleatorias simples de tamaño 2.

c) Indique el modelo de distribución de probabilidad seguido por las observaciones muestrales (X1 y X2), así como los parámetros fundamentales de la distribución, antes de obtener una muestra concreta.

d) Indique la distribución de probabilidad de la media muestral y sus parámetros fundamentales, en los supuestos de que la varianza de la población sea conocida y desconocida.

e) Indique la distribución de probabilidad de la varianza muestral y de la cuasi-varianza muestral.

f) En el supuesto de que la media de la población fuese desconocida, efectuar estimaciones muestrales de la media, a partir de las muestras del apartado b) en los supuestos de que la varianza de la

6. Un autobús de una empresa de transporte de viajeros recorre por término medio 300 Km.

Diarios, con una desviación estándar de 2 Km; Si observamos una muestra aleatoria simple

del mismo de 100 recorridos diarios, calcular la probabilidad de que el recorrido medio

esté comprendido entre 296 y 304

7. Un fabricante de tabaco asegura que el contenido de nicotina de cada cigarrillo sigue una

distribución normal, con un contenido de nicotina de 1,1 mg. y una desviación de 0,1 mg.

Así mismo, asegura que el contenido medio de alquitrán es de 15 mg. su desviación típica

de 1 mg. y su distribución normal. Las inspecciones realizadas por el Ministerio de Sanidad

rechazan un paquete de 20 cigarrillo, si el contenido de nicotina es superior a 1,15 mg. por

cigarrillo, o si el contenido medio de alquitrán del paquete es superior a 15,5 mg. por

cigarrillo Calcular el porcentaje de paquetes rechazados por exceso de alquitrán o por

exceso de nicotina

8. La resistencia a compresión de unas determinadas probetas de hormigón, sigue una

distribución normal. Si la varianza de una muestra aleatoria simple de 20 probetas fue de

635,37, ¿cuál es la probabilidad de que la resistencia media obtenida con dicha muestra

difiera de la real en menos de 10 Kg. (b) cuál es el valor que puede asumir la media con

una probabilidad de por lo menos 95?

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9. El gasto diario en llamadas telefónicas de dos departamentos de una empresa, en

unidades monetarias, sigue una distribución normal, con un gasto medio de 1000 unidades monetarias para los dos departamentos y una desviación típica de 100 para el primero y de 163,55 para el segundo. Si de cada departamento se eligen al azar 10 días, calcular:

a) La probabilidad de que el gasto medio en los 10 días del primer departamento, supere al menos en 100 unidades monetarias al segundo. (b) La probabilidad de que la varianza de la muestra de los 10 días correspondiente al primer departamento, sea menor que el doble de la del segundo

10. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. Otra empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 802 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de la media uno y dos sea superior a 2? (b) Cuál es el valor

11. Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos

usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que

alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de

150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la

probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente

presentan una reacción adversa, exceda el 4%.

12. Una muestra aleatoria de 500 Cojinetes de bolas tienen un peso medio de 5.02

onzas y una desviación estándar de 0.30 onzas. Cuál es la probabilidad de que

una muestra aleatoria al azar de 100 cojinetes elegidos entre este grupo tenga un

peso total de más de 5.10. Si el 67 por ciento cumplen con las especificaciones

del mercado, cual es la proporción que superen el 70%?

13. Se toma al azar una muestra de tamaño 5 de una población que está distribuida

normalmente, con media 50 y variancia 9, y se registra la media de la muestra

uno. Se selecciona una segunda muestra aleatoria de tamaño 4, independiente de

la primera muestra, de una población diferente que también está distribuida, en

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forma normal con media 40 y variancia 4, y se registra la media de la muestra 2.

¿cuál es la probabilidad de la diferencia entre 1 y 2 se menor a 8.2?(b) la

diferencia entre 1 y 2 esté entre 2 y 5?

14. Se ha determinado que el 81.5% de los estudiantes de la universidad fuman

cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 150 estudiantes y se desea saber,

cuál es la probabilidad de que (a) menos del 80% fume (b) menos del 80% no

fume?

15. Se ha determinado que la vida útil de cierta marca de llantas radiales tienen

unadistribución normal con un promedio de 38,000 kilómetros y desviación

estándar de 3,000 kilómetros (a)¿Cuál es la probabilidad de que una llanta

elegida al azar tenga una vida útil de cuando menos 30,000 kilómetros? (b)¿Cuál

es la probabilidad de que dure 40,000 kilómetros o más?

16. Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están

vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. Con una

probabilidad de 1%, ¿con qué proporción de nueces se puede aceptar la

afirmación de la marca?

17. La duración de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una

distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su vida

media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una

muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una

vida media de 750 horas. Con una probabilidad de 0,01, ¿habría que rechazar el

lote por no cumplir la garantía?

18. La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una

ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una

variable aleatoria que sigue una distribución normal. Con una probabilidad del

90 por ciento, Cuál es el error de estimación esperado?

19. ¿Qué es una distribución muestral? ¿Por qué son importantes las distribuciones

muestrales?

20. ¿Qué es el error estándar? ¿Qué efecto tiene aumentar el tamaño de la muestra

sobre la variabilidad de una distribución muestral de proporciones?

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21. ¿Qué efectos tiene cada uno de los siguientes cambios sobre la variabilidad de

una distribución muestral de la proporción muestral de muestras aleatorias

simples de tamaño n?

a) Un aumento en la desviación estándar de la población

b) Un aumento en el tamaño de la muestra

c) Una disminución en la proporción de la población

22. Suponga que el 54% de los estudiantes de Psicología de la UTal son mujeres. Se

toma una muestra aleatoria simple de 20 estudiantes. a) ¿Entre qué posibles

valores podemos encontrar el 99% de las proporciones muestrales? b) ¿En qué

afecta un aumento a 50 en el tamaño de la muestra a la media y a la desviación

estándar de la distribución muestral? Sea específico.

23. Suponga que el 65% de los estudiantes de la UTal tiene correo electrónico.

a)Dibuje la distribución de las proporciones muestrales basadas en muestras de

tamaño n=100 estudiantes. b) Entre qué posibles valores podemos encontrar el

95% de las proporciones muestrales. c)Dibuje la distribución de las proporciones

muestrales basadas en muestras de tamaño n=400 estudiantes. ¿En qué difiere a

la distribución dada en (a)?¿Cómo afecta el tamaño muestral al rango dado en

(b)? d)Basados en una muestra de tamaño 100, ¿sería posible observar una

proporción muestral estimada de 0,4 o menor, si la proporción en la población es

0,65? Explique.

24. Se sabe que el 35% de los miembros de una población sufren de una o más

enfermedades crónicas. ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra

aleatoria de 200 individuos, 80 o más tengan al menos una enfermedad crónica?

25. ¿Por qué es importante el Teorema del límite central?

26. ¿Verdadero o Falso? El teorema Central del Límite asegura que la distribución de

la media muestral es normal para cualquier tamaño de muestra n.

27. ¿Qué efectos tiene cada uno de los siguientes cambios sobre la variabilidad de

una distribución muestral de las medias? a) Un aumento en la desviación estándar

de la población b) Un aumento en el tamaño de la muestra c) Una disminución en

la media de la población?

28. Una compañía fabrica clips y los vende en cajas con etiquetas que dice “Aprox.

100”. Hemos contado los clips en las cajas y encontramos que el número de clips

varía entre 93 o 94 y más de 100. Suponga que el número de clips en las cajas

producidas por esta fábrica tiene media 100 y desviación estándar de 8. Suponga

que se embala en cartones de 64 cajas y tomamos un cartón como una muestra.

Use la distribución muestral de la media muestral para calcular la probabilidad

aproximada de que el número de clips por caja este entre 98 y 100.

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