TALLER GUÍA No. 2.3

DÉCIMO GRADO

ÁREA: MATEMÁTICAS ASIGNATURA: TRIGONOMETRÍA

UNIDAD: No. 2.3 NOMBRE: ÁNGULOS NOTABLES

OBJETIVO: Formarse en la capacidad de comprensión mediante la traducción, interpretación y extrapolación de

los elementos y procedimientos que estudian los ángulos notables en las razones trigonométricas.

INDICADORES DE LOGRO

DESARROLLO INTELECTUAL

Posee la capacidad de identificar cada una de las relaciones trigonométricas en los ángulos notables y su

importancia en el campo de las matemáticas.

Es capaz de establecer la importancia de la aplicación de los ángulos notables en cada relación

trigonométrica.

Posee capacidad en la comparación de los ángulos notables en cada relación trigonométrica con sus

inversas respectivamente.

DESARROLLO PSICOMOTOR

Es hábil en la solución de ejercicios gráficos y analíticos que requieren el uso de los ángulos notables en las

relaciones trigonométricas.

Utiliza con propiedad la calculadora científica fx-80 en el desarrollo de ejercicios con ángulos para cada

relación trigonométrica.

DESARROLLO AFECTIVO

Realiza con agrado las actividades propuestas para la comprensión de la unidad.

DESARROLLO VOLITIVO

Trabaja con esfuerzo al realizar la comprensión de la unidad.

DESARROLLO ESPIRITUAL

Aplica su capacidad de comprensión para ayudar a sus compañeros que presentan dificultad.

ORIENTACIÓN DIDÁCTICA

Al desarrollar la guía - taller, tenga presente las siguientes orientaciones:

Leo detenidamente la información que se presenta en la presente guía.

Leo el objetivo y los indicadores para que tome conciencia de lo que se espera que alcance con el desarrollo

de la guía.

Desarrollar en el cuaderno Exploración o Conducta de entrada.

Resalto las ideas importantes del tema.

Subrayo las palabras de las cuales duda su interpretación y haz un glosario con ellas.

Elaboro una lista de interrogantes para discutirlos en grupo.

Consulto varios libros de matemáticas y páginas en internet para profundizar en los temas tratados.

Realizo la transferencia (valoración) o formación psicomotriz.

EXPLORACIÓN O CONDUCTA DE ENTRADA

Resuelvo en el cuaderno:

1. ¿Qué son ángulos notables?

2. ¿Cuáles son los ángulos notables?

ESTRUCTURA O FORMACIÓN INTELECTUAL

ÁNGULOS NOTABLES (30°, 45° y 60° y, en segundo lugar, los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°)

En la actualidad para obtener el valor de una razón trigonométrica a partir de un ángulo dado, simplemente se

utiliza una calculadora en la cual se introduce el valor del ángulo dado y se evalúa en la relación

trigonométrica requerida. Los valores de estas razones también se pueden obtener utilizando triángulos

rectángulos, cuyos ángulos serán a los que se les quiere encontrar sus razones trigonométricas. En ocasiones

este método es muy engorroso, ya que para crear los triángulos se deben realizar bastantes operaciones. Sin

embargo, existen ángulos en los que es muy fácil; a estos ángulos se les conoce como ángulos notables.

En las matemáticas y específicamente en la trigonometría, la palabra “notable” se utiliza para referirnos a procesos

o valores que están bien definidos o muy comunes, y por ende, se reconocen y memorizan fácilmente. En este

sentido, los ángulos notables son aquellos que tienen valores que aparecen muy seguido en la vida cotidiana. Estos

ángulos son los de 30°, 45° y 60° y, en segundo lugar, los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. Estos últimos,

aunque no están definidos como 'notables', también son muy comunes.

VALOR DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 60º, 30º Y 45º.

El valor de las relaciones trigonométricas para estos ángulos lo podemos obtener por medios geométricos, lo cual

facilita sus cálculos, sin necesidad de usar tablas o calculadoras.

Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 30º

Antes de encontrar el valor para las funciones trigonométricas de los ángulos

notables de 30° y 60°, vamos a originar dichos ángulos a partir de un triángulo

equilátero. El triángulo equilátero que requerimos es aquel cuyos tres lados

tienen una longitud de 1 unidad; además, cada uno de sus ángulos mide 60°

(como siempre es el caso en un triángulo equilátero).

Ya que se tiene el triángulo equilátero, de éste se formarán dos triángulos a

partir de su altura. Estos nuevos triángulos estarán compuestos por un ángulo

de 30°30° y 60°60°. Finalmente para obtener el valor de una relación

trigonométrica, ya sea para 30°30° o 60°60°, sólo hay que utilizar sus

definiciones.

Trazamos un ángulo de 30º en posición normal. Si

construimos un ángulo de –30º se forma el triángulo

equilátero OAB. El segmento OC es altura y mediana respecto a la base AB del

triángulo; por lo tanto, y = 2

r.

El valor de x, lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras:

4

4

2 ;

222

2

22222 rrx

rrxyrx

32

4

3

4

3 222 r

xr

xr

x 32

,2

rx

ry

sen 30º = 2

12 r

r

r

y csc 30º = 2

2

r

r

y

r

cos 30º = 2

32

3

r

r

r

x sec 30º =

3

32

3

2

2

3

r

r

x

r

tan 30º = 3

3

3

1

2

3

2 r

r

x

y cotg 30º = 3

2

2

3

r

r

y

x

Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 60º

Trazamos un ángulo de 60º en posición normal.

Como OP Y OA son congruentes por ser radios de la circunferencia, entonces

los ángulos del triángulo OPA con vértices en P y A son congruentes, y como el

ángulo trazado en posición normal es de 60º y la suma de la medida de los

ángulos interiores es 180º, se concluye que cada uno es de 60º.

Podemos afirmar que el triángulo OPA es equilátero y PB su altura, y a la vez,

mediana. Por lo tanto, B divide al radio en dos segmentos congruentes, lo que significa que x = 2

r.

La medida de y en función del radio r, la calculamos utilizando el teorema de Pitágoras:

4

4

42

222

222

2

22222 rry

rry

rryxry

2

3

43

4

3

4

3 2222 r

yr

yrr

y

Entonces:

rrr

yr

x ;32

;2

sen 60º = 2

33

2 r

r

rr

y csc 60º =

3

32

32

r

r

y

r

cos 60º = 2

12 r

r

r

x sec 60º = 2

2

r

r

x

r

tan 60º = 3

2

32

r

r

x

y ctg 60º =

3

3

3

1

32

2 r

r

y

x

Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 45ª

Al trazar un ángulo de 45º en posición normal se forma un triángulo rectángulo

isósceles, donde x y y tienen la misma medida: x = y.

r2 = x2 + y2

r2 = x2 + x2 porque x = y

r2 = 2x2, r = x 2

Luego: r = x 2

Sen 45º = 2

2

2

x

x

r

y csc 45º = 2

2

x

x

y

r

Cos 45º = 2

2

2

x

x

r

x sec 45º = 2

2

2

x

x

r

tan 45º = 1x

x

x

y ctg 45º = 1

x

x

y

x

Podemos resumir los datos obtenidos para los ángulos de 30º, 60º y 45º en el siguiente cuadro:

RELACIÓN

ÁNGULO

SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE

º30 6

ó 2

1

2

3

3

3 2

3

32 3

º54 4

ó

2

2

2

2 1 2 2 1

º06 3

ó

2

3

2

1 3

3

32 2

3

3

Con los resultados de la tabla puedes verificar que:

y

El seno de un ángulo es igual al coseno del ángulo complementario.

El coseno de un ángulo es igual al seno del ángulo complementario.

Cálculo de las relaciones trigonométricas para ángulos notables.

A partir de la definición de las relaciones trigonométricas, podemos hallar su valor para los ángulos

)º270( .2

3 )º180( . ),º90( .

2radyradrad

Observemos que en los ángulos 0 rad y rad la abscisa (x) es igual al

radio, ya que la ordenada (y) es cero; lo mismo para los ángulos de

2

3y

2

rad, la ordenada (y) es igual al radio porque la abscisa es

cero.

El lado terminal de estos ángulos coincide con uno de los ejes del

sistema coordenado.

Al aplicar las definiciones trigonométricas, podemos resumir los

siguientes resultados:

RELACIÓN SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE

ÁNGULO

0º o 0 rad 0 1 0 No existe 1 No existe

90º o 2

rad 1 0 No existe 1 No existe 0

180º o rad 0 -1 0 No existe -1 No existe

270º o 2

3rad -1 0 No existe -1 No existe 0

Sen = cos (90º - ) Cos = sen (90º - )

En los ángulos donde las relaciones tan, cotg, sec o csc no existen, se debe a que para estos valores la relación no

está definida, ya que en matemática es imposible dividir por cero.

TRANSFERENCIA, VALORACIÓN O FORMACIÓN PSICOMOTRIZ.

Efectúa las siguientes operaciones utilizando de ángulos notables:

1. cos 30º + sen 45º

2. 2 sen 45º - tan 60º

3. 2

)30º (csc )60º (cos

2

)º06 (sec )º03 (sen

4. º30 sen º45 sen

)º45 (sec )º45 (

tan

5. cotg 60º + tan 30º - 2

º30sen

6. sen 30º + cos 30º

7. tan2 60º - sec2 60º

8. (1 – sen 45º) (1 + sen 45º)

Desarrollo Psicomotor

Desarrolla los siguientes ejercicios:

1. De acuerdo con la definición de las relaciones trigonométricas, completa el siguiente cuadro escribiendo + o -,

según la relación sea positiva o negativa en el cuadrante dado.

RELACION

CUADRANTE SEN COS TAN SEC CSC COTG

I 0 < < 2

II 2

< <

III < < 2

3

IV 2

3< < 2

2. Efectúa las siguientes operaciones:

9. cos 30º + sen 45º

10. 2 sen 45º - tan 60º

11. 2

)30º (csc )60º (cos

2

)º06 (sec )º03 (sen

12. º30 sen º45 sen

)º45 (sec )º45 (

tan

13. cotg 60º + tan 30º - 2

º30sen

14. sen 30º + cos 30º

15. tan2 60º - sec2 60º

16. (1 – sen 45º) (1 + sen 45º)

3. Verifica si las siguientes igualdades son verdaderas, remplazando el valor de x por 60º.

a) Csc x + cotg x = xcos - 1

xsen

b) Tan x sen x = sec x – cos x

c) 2 sen x = 4

d) 1 x cotg

1 cot

tan x 1

tan x- 1

xg

e) 1 – tan2 x = 2 – sec2 x

f) sen x 1

tan x

xcsc 1

x sec

6

Desarrollo afectivo:

Prepara con tus compañeros de grupo la exposición de la unidad utilizando el material necesario.

Desarrollo volitivo:

Presenta a tus compañeros del salón una lectura sobre la importancia de las funciones.

Desarrollo Espiritual:

Asesora a tus compañeros de grupo ante dificultades de la formación psicomotriz.

AUTOEVALUACION

Desarrollo intelectual

¿Alcanzaste la capacidad de comprensión en el desarrollo de la unidad?

Desarrollo Psicomotriz

¿Cómo fue el desempeño alcanzado en la resolución de ejercicios propuestos?

Desarrollo afectivo

¿Disfrutaste de las actividades para el desarrollo de la capacidad de comprensión?

Desarrollo volitivo

¿Hubo acompañamiento del grupo en el desarrollo de la guía?

Desarrollo Espiritual

¿Colaboraste con tus compañeros que presentaron dificultad en el desarrollo de la capacidad?

7

Resulta que cuando los estudiamos, aparecen una serie de ángulos que llamamos ángulos notables, que en el primer cuadrante nos cuentan que son 0º, 30º, 45º, 60º y 90º, y las

razones trigonométricas de cada uno de ellos (eso del seno, coseno y tangente) tienen unos valores bastante particulares y que, además ¡tenemos que sabérnoslos!

… … … …

En ese momento es cuando decimos ¿para qué?… ¡si seguro que me lo dice la calculadora!

Pero nuestra esperanza tecnológica rápidamente se desvanece cuando nos responden que debemos operar con fracciones y no con decimales, porque además de no perderse parte

de la precisión con las aproximaciones que haríamos utilizando decimales, después se simplifican bastante las operaciones y nos van a quedar resultados “bonitos” (esos que

cuando nos salen decimos: “esto seguro que está bien”). Así es que, mucho que nos pese, tenemos que saber cuánto vale el seno, coseno y

tangente de cada uno de estos ángulos.

Y aquí, después de todo este “sinuoso” recorrido, es donde interviene en nuestro auxilio (ya

estábamos al borde de la desesperación) el “truco” al que hace mención el título de esta entrada.

Si hiciésemos una tabla con los valores que se supone que debemos sabernos, sería algo

así como la siguiente:

Ni que decir tiene que aprenderse los valores de la tangente es un poco absurdo pues, sabiendo el seno y el coseno, la tangente se obtiene dividiendo el primero entre el segundo.

Con lo que nos valdría con aprendernos únicamente los valores del seno y del coseno. Cuando tenemos una cosa así, solemos buscar un camino más sencillo que nos ayude a

recordarlo. Es decir, intentamos crear una regla mnemotécnica. Pues eso es lo que vamos a hacer.

Primero dibujamos un símbolo de raíz grande, tal como éste…

8

… escribimos dentro dos filas de números, en la parte superior una que vaya del 0 al 4, y en la parte inferior otra que vaya al revés, del 4 al 0…

… dibujamos una barra grande debajo y un 2 bajo ella…

… y ahora lo completamos con lo que nos interesa saber…

¡Pues ya lo tenemos! Ya podemos saber el seno o el coseno de cualquiera de estos ángulos notables.

El procedimiento es bastante sencillo. El resultado va a ser la raíz de un número entre 2, y ese número es el que corresponde a la fila del sen o del cos (según queramos calcular el seno o el coseno) y a la columna del ángulo notable en cuestión. Después tan solo

tenemos que simplificar el resultado obtenido, si se puede. Vamos a hacer unos ejemplos que así se ve mucho mejor.

Supongamos que queremos saber el sen 30º…

es decir:

Calculemos ahora, por ejemplo, el cos 45º…

9

sería:

O el sen 60º…

que es:

O el sen 90º…

es decir:

¿Sencillo, no?

Desde luego es una ayuda, y mejor que aprendérselas de memoria.

Pero ¿de verdad hay que aprendérselas de memoria?

10

Para mí el verdadero “truco” es saber deducirlas. Y mejor aún es hacerlo utilizando las cosas que ya conocemos.

Vamos a emplear el Teorema de Pitágoras y buscar triángulos rectángulos donde aparezcan estos ángulos notables.

¿En qué triángulo encontramos seguro ángulos de 60º? Pues en un triángulo equilátero, que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos también iguales…

Pero, como lo que queremos es un triángulo rectángulo y además nos interesa encontrar también un ángulo de 30º, vamos a quedarnos con una de las dos mitades en que queda

dividido por su altura…

Y ahora, para calcular el otro cateto que nos falta por saber (h), vamos a utilizar lo otro que habíamos comentado: el Teorema de Pitágoras.

11

Ya sabemos todo lo que necesitamos para poder calcular las razones trigonométricas de 30º y 60º…

Lo hacemos:

Para ver ahora las razones trigonométricas de 45º, necesitamos un triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 45º.

Si partimos de un cuadrado, de ángulos 90º…

12

Y nos quedamos con una de las dos mitades en que queda dividido por una de sus diagonales, tenemos lo que buscábamos: un triángulo rectángulo con ángulos de 45º…

En este caso, lo que nos falta por averiguar es la hipotenusa (d), para lo que volvemos a utilizar el Teorema de Pitágoras.

Y ya podemos calcular el seno y el coseno de 45º:

13

Nos quedan por ver las razones trigonométricas de 0º y 90º. En ambos casos tenemos que recurrir a “triángulos teóricos”. Vamos a verlo.

Si partimos de un triángulo rectángulo con un ángulo cualquiera, y vamos disminuyendo cada vez más ese ángulo, como se ve en la siguiente imagen, el cateto opuesto se va

haciendo cada vez más pequeño y la longitud del cateto contiguo se acerca cada vez más a la longitud de la hipotenusa. Así, cuando el ángulo es de 0º, tenemos un “triángulo teórico”

en el que el cateto opuesto es cero y el cateto contiguo coincide con la hipotenusa.

De esa manera el seno y el coseno de 0º serían:

Si partimos ahora de un triángulo rectángulo con un ángulo cualquiera agudo, y vamos aumentando cada vez más ese ángulo acercándonos a 90º, el cateto contiguo se va

haciendo cada vez más pequeño y la longitud del cateto opuesto se acerca cada vez más a la longitud de la hipotenusa. De esa manera, cuando el ángulo es de 90º, se tiene un

“triángulo teórico” en el que el cateto contiguo es cero y el cateto opuesto coincide con la hipotenusa.

14

Y en esa situación:

Pues ya tendríamos el seno y el coseno de los ángulos notables del primer cuadrante. ¿Y la tangente? Pues lo que habíamos dicho ya: dividiendo directamente el seno entre

el coseno. Como conclusión, es práctico tener un “truco” o regla mnemotécnica como el que hemos

visto, pues nos permitirá saber con bastante rapidez el valor de las razones trigonométricas que necesitemos cuando estemos haciendo cálculos.

15

Razones trigonométricas de 30º y 60º

La altura divide al triángulo equi látero en dos triángulos rectángulos iguales

cuyos ángulos miden 90º, 60º y 30º.

Si apl icamos el teorema de Pitágoras obetenemos la altura en función del

lado:

Razones trigonométricas de 45º

16

La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales cuyos

ángulos miden 90º, 45º y 45º.

Si apl icamos el teorema de Pitágoras obetenemos la diagonal en función del

lado:

17

Razones trigonométricas de ángulos notables

Funciones trigonométricas de ángulos notables

En la actualidad para obtener el valor de una razón trigonométrica a partir de un ángulo dado, simplemente se utiliza una calculadora en la cual se introduce el valor del ángulo dado y se evalúa en la relación trigonométrica requerida. Los valores de estas razones también se pueden obtener utilizando triángulos rectángulos, cuyos ángulos serán a los que se les quiere encontrar sus razones trigonométricas. En ocasiones este método es muy engorroso, ya que para crear los triángulos se deben realizar bastantes operaciones. Sin embargo, existen ángulos en los que es muy fácil; a estos ángulos se les conoce como ángulos notables.

En las matemáticas y específicamente en la trigonometría, la palabra “notable” se utiliza para referirnos a procesos o valores que están bien definidos o muy comunes, y por ende, se reconocen y memorizan fácilmente. En este sentido, los ángulos notables son aquellos que tienen valores que aparecen muy seguido en la vida cotidiana. Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60° y, en segundo lugar, los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. Estos últimos, aunque no están definidos como 'notables', también son muy comunes.

Para los 3 ángulos notables podemos encontrar las razones trigonométricas —seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante— sin conocer las medidas exactas de los triángulos que los contienen, pues estos ángulos están contenidos en dos triángulos muy especiales e importantes en geometría, a saber: los triángulos isósceles rectángulos y los triángulos equiláteros.

18

Obtención de las funciones trigonométricas para ángulos de 30° y 60°

Antes de encontrar el valor para las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y 60°, vamos a originar dichos ángulos a partir de un triángulo equilátero. El triángulo equilátero que requerimos es aquel cuyos tres lados tienen una longitud de 1 unidad; además, cada uno de sus ángulos mide 60° (como siempre es el caso en un triángulo equilátero).

Ya que se tiene el triángulo equilátero, de éste se formarán dos triángulos a partir de su

altura. Estos nuevos triángulos estarán compuestos por un ángulo de 30°30° y 60°60°.

Finalmente para obtener el valor de una relación trigonométrica, ya sea

para 30°30° o 60°60°, sólo hay que utilizar sus definiciones.

En el siguiente recurso interactivo observa paso a paso la obtención de las razones trigonométricas para el ángulo de 60°. Nota además que de inmediato y de forma análoga se obtienen también las razones trigonométricas para el ángulo de 30°.

19

Obtención de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45°

Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo notable de 45° utilizaremos un triángulo rectángulo isósceles. En dicho triángulo, se cumple que dos

de sus lados tienen la misma longitud, digamos xx. Además, como el triángulo es

rectángulo, uno de los ángulos es de 90°, por lo que los otros dos medirán 45° (recuerda que los triángulos isósceles siempre tienen dos ángulos idénticos).

Por conveniencia asignaremos a la hipotenusa el valor de 11 unidad. A continuación

podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de sus catetos. Finalmente, para obtener el valor de las funciones trigonométricas solo hay que utilizar sus definiciones.

En el siguiente espacio interactivo observa paso a paso la obtención de las razones trigonométricas para el ángulo de 45°.

20

Múltiplos de ángulos notables

A partir de que ya obtuvimos los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30°, 45° y 60°, podemos obtener también los valores para funciones que representan los múltiplos de dichos ángulos. Para encontrar estas razones trigonométricas, vamos a utilizar los valores que ya hemos encontrado en un triángulo rectángulo.

Estas definiciones las plantearemos tomando como base la circunferencia unitaria (es

decir: una circunferencia de radio 11), por lo que es útil recordar algunas definiciones:

El seno se define como la razón entre el valor de la coordenada Y del segmento que forma el ángulo con el eje X y la longitud de dicho segmento. En la

circunferencia unitaria, el segmento es el radio y mide 11 unidad, por lo que el seno

es igual al valor de la coordenada Y:

sin(θ)=y1=ysin(θ)=y1=y

La relación inversa del seno es sin−1sin−1 y se define como:

sin−1(θ)=1ysin−1(θ)=1y

El coseno es la razón entre el valor de la coordenada X del segmento que forma el ángulo con el eje X y la longitud del segmento. De igual forma que para el seno, como es una circunferencia unitaria, el coseno equivale a la coordenada X:

cos(θ)=x1=xcos(θ)=x1=x

La relación inversa del coseno es cos−1cos−1 y se define como:

cos−1(θ)=1xcos−1(θ)=1x

Arrastra el punto rojo sobre la circunferencia y fíjate cómo cambian los valores de las funciones trigonométricas.

21

Podemos notar que cuando tenemos los ángulos múltiplos de los ángulos 30°, 45° y 60°, como lo son los ángulos de 150°, 225° y 300°, respectivamente, se establecen congruencias de los triángulos rectángulos formados por estos múltiplos. Para identificar estas congruencias, en el espacio de arriba crea un triángulo cuyo ángulo central sea de 30°; a continuación crea un triángulo cuyo ángulo externo (suplementario) sea de 150°. Estos dos triángulos son congruentes, pues tienen lados con medidas idénticas. Sin embargo, se debe tomar en cuenta que, como están en un plano cartesiano, el segundo triángulo es negativo en su coordenada X. De igual forma puedes comparar el triángulo

con un ángulo interno de 45°45° con el triángulo de 225°225° en su ángulo externo, y el

de un ángulo interno de 60°60° con el del que tiene el ángulo externo de 300°300°.

Aplicando estas congruencias y sabiendo que la hipotenusa adquiere siempre el valor unitario, vemos que las coordenadas X y Y para los múltiplos son iguales a las coordenadas X y Y de estos ángulos notables, con la diferencia de que las coordenadas se hallan presentes en diferentes cuadrantes y pueden adquirir valores negativos. En resumen, las razones trigonométricas para los ángulos múltiplos de los ángulos de 30°, 45° y 60° grados poseen los mismos valores con la salvedad de que pueden adquirir valores negativos dependiendo del cuadrante en donde se encuentre el múltiplo de ellos.

Para saber cuándo el signo puede cambiar en las razones trigonométricas de múltiplos de ángulos notables, podemos utilizar identidades

como: cos(180−α)=−cos(α)cos(180−α)=−cos(α), por

ejemplo cos(150)=−cos(30)cos(150)=−cos(30).

Tangente de 90°

Un caso muy importante es la tangente de 90°, y se tratará a continuación. La tangente está definida por los triángulos inscritos en una circunferencia unitaria, como la razón entre el valor de la coordenada Y del segmento que forma el ángulo con el eje X y el valor de la coordenada X del segmento que forma el ángulo con el eje Y. Cuando tratamos de dibujar el triángulo de 90° en la circunferencia unitaria, a partir del centro de la circunferencia, el valor de la coordenada X se acerca a cero, entonces la tangente queda definida como:

tan(90°)=yx=10tan(90°)=yx=10 Como esto es una división entre cero, se sabe que el valor tiende a infinito, por lo que

se dice que la tan(90°)tan(90°) es una indeterminación o, en otras

palabras: tan(90°)=∞tan(90°)=∞.

Arrastra el punto rojo sobre la circunferencia e identifica los múltiplos de los ángulos notables.

22

En la siguiente tabla se muestran los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables y sus múltiplos.

Créditos y condiciones de uso

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Razones trigonométricas de ángulos notables

Razones trigonométricas de 30º

Un triángulo equi látero queda dividido, mediante la altura, en dos triángulos

rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 60º y 30º.

Apl icando el teorema de Pitágoras se obtiene la altura en función del lado:

24

Razones trigonométricas de 60º

Razones trigonométricas de 45º

Un cuadrado queda dividido, mediante la diagonal, en dos triángulos

rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 45º y 45º.

25

Apl icando el teorema de Pitágoras se obtienela diagonal en función del lado:

Los ángulos notables son aquellos ángulos cuyos valores son específicos y que aparecen con determinada frecuencia en la vida cotidiana. Los ángulos notables son: 30°, 45° y 60°. Para este se selecciona un triángulo equilátero, ya que tiene sus lados y ángulos iguales, así tendremos el ángulo de 60°.

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Funciones trigonométricas de ángulos notables

¿QUÉ SON LOS ÁNGULOS NOTABLES? Los ángulos notables son aquellos ángulos que corresponden a triángulos rectángulos especiales y cuyos valores se pueden conseguir u obtener de forma inmediata. Los ángulos de 30, 45 y 60 grados son los ángulos llamado ángulos notables.

Razones trigonométricas de 30° y 60°

Estas funciones se deducen del triangulo equilátero que tiene 1 unidad de longitud por cada lado, como lo indica la siguiente figura:

Razones trigonométricas de 45°

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Esta razón se deduce de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos tienen de medida 1 unidad, sus ángulos agudos miden 45° cada uno. La hipotenusa de este tipo de triángulo rectángulo es: a

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.