Taller Matriz Inversa a Partir de La Adjunta
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UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA TALLER DE MATRICES MATRICES INVERSAS A PARTIR DE LA ADJUNTA En la teoría de matrices solamente ciertas clases de matrices cuadradas tienen inverso multiplicativos a diferencia de algebra común donde cada número real a diferente de cero tiene su inverso multiplicativo b. Matriz identidad La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones. Ejemplos de matrices identidad de diferentes ordenes. 1 0 0 1 2 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 I Matriz transpuesta Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La transpuesta de A la representamos por T A . Ejemplo : Matriz Adjunta Definición: Si A es una matriz cuadrada n x n y B es la matriz de sus cofactores, entonces la Adjunta de A , denotada por adjA que es la transpuesta de la matriz B cuadrada n x n . nn n n n n T A A A A A A A A A B adjA ... . . . . . . . . . ... ... 2 1 2 22 12 1 21 11
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UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA TALLER DE MATRICESMATRICES INVERSAS A PARTIR DE LA ADJUNTA
En la teoría de matrices solamente ciertas clases de matrices cuadradas tienen inversomultiplicativos a diferencia de algebra común donde cada número real a diferente de cero tienesu inverso multiplicativo b.
Matriz identidad
La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones.Ejemplos de matrices identidad de diferentes ordenes.
1001
2I
100010001
3I
1000010000100001
4I
Matriz transpuesta
Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La transpuesta de A larepresentamos por TA .
Ejemplo :
Matriz Adjunta
Definición: Si A es una matriz cuadrada n x n y B es la matriz de sus cofactores, entonces laAdjunta de A , denotada por adjA que es la transpuesta de la matriz B cuadrada n x n .
nnnn
n
n
T
AAA
AAAAAA
BadjA
............
...
...
21
22212
12111
Ejemplo I:
Calcula la adjA
2431
A
Primero calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.
211 A 412 A321 A 122 A
Segundo con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo TB que es la adjA .
1342
B adjABT
1432
Ejemplo II:
Calcula la adjA
343
215321
A
SoluciónPrimero calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.
534
21)1( 11
11
A 21
3325
)1( 2112
A 174315
)1( 3113
A
634
32)1( 12
21
A 12
3331
)1( 2222
A 24321
)1( 3223
A
12132
)1( 1331
A 132531
)1( 2332
A 9
1521
)1( 3333
A
Segundo con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo TB que es la adjA .
91312126
17215B adjABT
9217
131221165
EJERCICIOS I
Calcular adj A de las siguientes matices.
1)
5132
A 2)
4231
A 3)
5243
A
4)
631345
132A 5)
869125431
A 6)
321542356
A
Definición de inversa de una matriz:
Si A es una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que
AB = In = BA
entonces B se llama inversa de A y se denota con 1A . (Se lee “A inversa”)
Si a es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A es invertible. Si A no es unamatriz cuadrada no es posible invertirla.
Ejemplo:
Inversa de una matriz 2 x 2
Método I:
TEOREMA:
2221
1211
aaaa
A
Si el determinante de A no es cero el inverso multiplicativo de A es:
1121
12221 1aaaa
AA
Ejemplo: encontrar 1A
4153
A
Primero encuentro el determinante de A:
75121543 A
Segundo calculo la adj A
Cofactores de A
4153
A
411 A 112 A521 A 322 A
Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo TB que es la adjA .
3514
B adjABT
3154
Cuarto aplicas el teorema
2212
21111 1AAAA
AA
73
71
75
74
3154
711A
Comprobamos la respuesta:
AAIAA 12
1
1001
73
71
75
74
4153
177
75
712
715
74311
a 0
70
715
715
735
75312
a
070
74
74
714
74121
a 1
77
712
75
734
75122
a
EJERCICIOS
Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientesmatrices.
1)
32
512)
4312
3)
9732
4)
6432
5)
63126
6)
4318
Calcula la 1A
343
215321
A
SoluciónPrimero calculamos la determinante de A
343
215321
A
2203615283
4215
333
252
3421
1A
10366425
Segundo calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.
534
21)1( 11
11
A 21
3325
)1( 2112
A 174315
)1( 3113
A
634
32)1( 12
21
A 12
3331
)1( 2222
A 24321
)1( 3223
A
12132
)1( 1331
A 132531
)1( 2332
A 9
1521
)1( 3333
A
Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo TB que es la adjA .
91312126
17215B adjABT
9217
131221165
Cuarto encuentro la inversa de la matriz A así:
9217131221165
10311
332313
322212
3121111
AAAAAAAAA
AA
EJERCICIOS
Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientesmatrices.
1)
010101011
2)
112201121
3)
511832521
4)
471642853
5)
356344122
6)
201243121
