FACULTAD DE INGENIERIA

CALCULO DIFERENCIAL

TALLER N° 13: LA DERIVADA

Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a cada una de las siguientes curvas en el punto indicado, usando el concepto de pendiente de la recta tangente mediante límites Trace la gráfica de la situación.

(1) y = f(x) = 16 – x2; en a = 3

(2) y = f(x) = x3 – 2; en a = - 1

(3) y = f(x) = √4−x ; en a = - 5

(4) y = f(x) = 3√−x ; en a = 8

(5) y = f(x) = 1x2

; en a = 12

Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones, mediante el camino del límite:

(6) y = f(x) = 5 x2−7 x+8

(7) y = f(x) = 2 x3−5x2+6 x−3

(8) y = f(x) = 23−x (9) y = f(x) = √ x

(10) y = f(x) = 3−2 x5 x+4

Usando reglas de derivación de funciones, determine la primera derivada

(y’ = dydx

) de cada una de las siguientes

funciones:

(11) y = 4 + 2x – 3x2 – 5x3 – 8x4 + 9x5

(12) y = 1x+ 3x2

+ 2x3

(13) y = 2x1/2+6 x1 /3−2x3 /2

(14) y = 2x1 /2

+ 6x1 /3

− 2x3 /2

− 4x3 / 4

(15) y = 3√3 x2− 1

√5 x (16) s = (t 2−3)4

(17) z = 3

(a2− y2)2 (18) f(x) =

√ x2+6 x+3

(19) y = (x2+4)2(2 x3−1)3

(20) y = 3−2 x3+2 x

(21) y = x2

√4−x2

(22) Hallar dy/dx en la función x = y √1− y2

(23) f(t) = 2√t

+ 63√ t (24) y = (1−5 x )6

(25) y = √3+4 x−x2 (26) y = √ 2 x+74−3 x

(27) y = ( x1+ x

)5

(28) f(x) = x √3−2 x2

(29) y = (x – 1) √2x2+7 x−5

(30) z = w

√1−4w2 (31) 3√1+ 3√x

1

(32) y = (x2+3)4(2 x3−5)3

(33) s = ( t2+23−t 2

)4

(34) z = 5√ (x−1)2

(2 x+3)

(35) y = f(x) = Sen 3x + Cos 2x

(36) y = Tan (x2¿ (37) y = Tan2 x

(38) y = Cot (1 – 2x2) (39) y = Sec3 √ x

(40) y = √Csc2θ (41) f(x) = x2Sen x

(42) f(x) = cos xx

(43) y = 3√cos x−Sen x

(44) y = Sen (2 / x) (45) y = Sen3 ¿)

(46) y = 12tan x Sen(2 x) (47) y =

tan α1−cot 2α

(48) y = x2Sen x + 2x Cos x – 2 Senx

(49) y = 5√ tan (1−6 x+8 x2)

(50) y = Sen (Sen 5x) (51) y = Sec4 (1 – x)

(52) y = Tan (Cos x2

¿ (53) y = Cot3 (8x)

(54) y = (Sec 4 x+ tan 2x )5

(55) y = Csc (x2) - Csc2 (x)

(56) y = Sen (πx – 1) (57) y = √ xcos (√ x)

(58) F(θ) = (2θ+1)3 tan2θ

(59) q(t) = (1+cos t)2

(1+Sent)3

(60) F(θ )=Sen(5θ)cos (6θ)

En cada expresión, calcule la derivada indicada:

(61) y = f(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 + 5x + 10; y(4)

(62) g(t) = 2t−3t+2 ; y´´

(63) f(x) = x Sen (x); y´´ = d2 ydx2

(64) f(x) = Sen(πx); y´´´= y(3 )

(65) y = f(x) = xn; y(n) = dn ydxn

(66) y = f(x) = 1

1−2 x ; y(n )

(67) y = f(x) = 1

Sec (2 x+1) : f (5 )(x )

(68) y = 2x

; y(5 )

(69) y = f(x) = 1x2

; y(n )

(70) f(x) = 1

3x+2; f (n ) ( x )= y (n)

(71) Determine d4

dx4(x5− 1

x5)

(72) Calcule Dt3( 16 t3

)

(73) Determine d2 ydx2

para y = x4+1x2

(74) y = 6Cos4 (1 – 2x); y´´

(75) r = f(θ) = 1

Senθ−1 ; f (3 )(θ)

(76) Determine f´´ (π) si f(x) = √2+cos x

(77) Calcule f´´ (x) si f(x) = 3Sen2 x – 4Cos2x

2

Derivación Implícita. Calcule la derivada indicada.

(78) xy + x – 2y – 1 = 0; y´

(79) Hallar y´, cuando x = √5, en la ecuación 4x2 + 9y2 – 36 = 0

(80) Hallar y´ en la ecuación x2y – xy2 + x2 + y2 = 0.

(81) Hallar y´ e y´´, en la ecuación x2 – xy + y2 = 3.

(82) Hallar y´´, en las ecuaciones (a) x + xy + y = 2, (b) x3 – 3xy + y3 = 1.

(83) Hallar y´, y´´ e y´´´ en: (a) el punto (2,1) de x2 – y2 - x = 1, (b) el punto (1, 1) de x3 + 3x2y – 6xy2 + 2y3 = 0.

(84) Si x2 + y2 = R2, hallar y´´ = d2 ydx2

(85) En la circunferencia x2 + y2 = r2,

demostrar que: | y ´ ´

{1+¿¿¿¿ = 1r

(86) Demostrar que las curvas 5y – 2x + y3 – x2y = 0, y, 2y + 5x + x4 – x3y2 = 0 se cortan en ángulo recto en el origen.

(87) 3x4y2 – 7xy3 = 4 - 8y; hallar x´ = dxdy

(88) Si x2 + y2 = 9, hallar y´ e y´´.

(89) y = Cot (x – y); hallar y´

(90) x = Sen (x + y); hallar x´

(91) Calcular y´ en Sec2 x + Csc2 y = 4

(92) Hallar y’ en Cot (xy) + xy = 0

(93) Si x Sen y + y Cos x = 1, hallar y´

(94) Hallar x´= dxdy

en Cos (x + y) = y Senx

(95) y = Sen (x + y); y´

(96) Sen y + Cos x = 1; hallar y´´

(97) x + y = Sen y; hallar y´´

(98) y2 – x2 = Tan (2x); hallar y’’

(99) xy = Sen (x + y); hallar x´e y´

(100) Si x + y = Cos 8xy, hallar y´

(101) x = Sec y; hallar y´

(102) x Sen y – y Cos x; hallar x´´

Problemas diversos.

(103) Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y = 2x3 – 1 en x = -1.

(104) Encuentre el (los) punto (s) de la gráfica de la función dada por y = x3 – 3x2 – 9x + 2 en donde la tangente sea horizontal.

(105) Encuentre una ecuación de la recta normal a la gráfica de la función y = 1/ 3 x3 – 2x2 en x = 4.

(106) Determine el punto de la gráfica de f(x) = 2x2 – 3x + 6 en el que la pendiente de la recta tangente sea 5.

(107) Determine el punto de la gráfica de f(x) = x2 - x en el que la recta tangente sea 3x – 9y - 4 = 0.

(108) Halle el punto de la gráfica de f(x) = x2 – x en el que la pendiente de la recta normal sea 2.

(109) Obtenga el (los) punto (s) de la gráfica de f(x) = x2 en los que la recta tangente tenga ordenada en el origen – 2.

(110) Encuentre el (los) punto(s) de la gráfica de f(x) = x2 – 5 en los que la recta tangente tenga abcisa en el origen – 3.

(111) Obtenga el punto de la gráfica de f(x) = ¼ x2 – 2x en el que la recta tangente sea paralela a la recta 3x – 2y + 1 = 0.

3

(112) Halle una ecuación de una recta tangente a la gráfica de f(x) = x3 que sea perpendicular a la recta y = - 3x.

(113) Obtenga ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) = x2 + 2x que pasen por (0, - 1).

(114) Determine un punto en cada una de las gráficas de f(x) = x2 + x, y, g(x) = 2x2 + 4x + 1 en laos que las rectas tangentes sean paralelas.

(115) Obtenga valores de a y b tales que la pendiente de la tangente a la gráfica de f(x) = ax2 + bx en (1, 4) sea – 5.

(116) Determine los valores de b y c de manera que la gráfica de f(x) = x2 + bx posea la recta tangente y = 2x + c en x = - 3.

(117) Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva x2 + 3xy + y2 = 5 en el punto (1, 1).

(118) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse 4x2 + 9y2 = 40, de pendiente m = - 2/9.

(119) Hallar la ecuación de la tangente a la hipérbola x2 – y 2 = 16 en el punto (2, - 2).

(120) Calcular los puntos de la curva x2 – xy + y2 = 27 en los que las tangentes son horizontales y verticales.

(121) Hallar las ecuaciones de las rectas verticales que pasan por los puntos de las curvas (1) y = x3 + 2x2 – 4x + 5, y (2) 3y = 2x3 + 9x2 – 3x – 3, en los que las tangentes a ellas son paralelas.

(122) Hallar en qué puntos de la curva x2 + 4xy + 16y2 = 27 la tangente es horizontal o vertical.

(123) Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva x2 – y2 = 7 en el punto (4, - 3)

(124) Hallar en qué punto la tangente a la curva y = x3 + 5 es (a) paralela a la recta

12x – y = 17, (b) perpendicular a la recta x + 3y = 2.

(125) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva 9x2 + 16y2 = 52 paralelas a la recta 9x – 8y = 1.

(126) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola xy = 1 trazadas desde el punto (- 1, 1).

(127) Demostrar que la ecuación de la tangente a la parábola y2 = 4px en un punto de ella P(x0, y0) es, yy0 = 2p(x + x0).

(128) Demostrara que las ecuaciones de las tangentes a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 de pendiente igual a m son, y = mx ± √a2m2+b2.(129) Determinar en qué puntos de la curva y = 2x3 + 13x2 + 5x + 9 sus tangentes pasan por el origen.

(130) Demostrar que la elipse 4x2 + 9y2 = 45 y la hipérbola x2 – 4y2 = 5 son ortogonales.

(131) Demuestre que la suma de las intercepciones x y y de la recta tangente a la

curva x1/2+ y12 = k1 /2, donde k es una

constante, es igual a k.

(132) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva x2/3+ y2/3 = 1 en el

punto x=−18

(133) Sean f(x) = x3 y g(x) = f(x2). Calcule (a) f´(x2); (b) g´(x).

(134) Calcule la derivada de la función: (a) f(x) = |x2 - 4|, (b) g(x) = x|x|.

(135) Si f’’ y g´´ existen y si h = f o g, exprese h´´ (x) en términos de las derivadas de f y g.

4

(136) ¿En qué punto de la curva xy = (1 – x – y)2 la recta tangente es paralela al eje x?

(137) Dos rectas que pasan por el punto (- 1, 3) son tangentes a la curva x2 + 4y2 – 4x – 8y + 3 = 0. Encuentre una ecuación de cada una de las rectas.

(138) El volumen V de una esfera de radio r es V = (4π/3) r3. Determine el área S de la superficie de la esfera, si S es la razón de cambio instantánea del volumen con respecto al radio.

(139) El área de la superficie S de un ser humano con peso W está calculada por

S=0,11W 2/3. Encuentre dSdW

.

(140) La función T=2π √ Lg con g constante,

proporciona el período de un péndulo simple de longitud L. Dado que g = 32 pie / s2,

encuentre dTdL

cuando L = 2 pies.

R.C.U.

5