TALLER N°4 (1) (pauta)
6
Universidad Católica del Maule Matemáticas II, AUE-PLC Facultad de Ciencias Básicas 02 de Diciembre de 2013 PAUTA TALLER N ◦ 4, MATEMÁTICAS II Profesor: Rodrigo Del Valle Salamanca Ayudante: Rodrigo Gutiérrez Aguilar 1. Una población de 100 mil personas se divide entre fumadores de la marca A, fumadores de la marca B y no fumadores. El cambio entre los distintos grupos cada mes es el siguiente: el 20% de los usarios de la marca A cambian a la marca B y un 5% deja de fumar. El 12% de los usarios de la marca B cambian a la marca A y un 18% deja de fumar. Del grupo de los no fumadores el 10% comienza a fumar de la marca A y el 25% usa la marca B. Si se sabe que actualmente los que fuman la marca A son 20 mil y los B son 30 mil ¿cuál es el estado del sistema de fumadores al 4to mes? Desarrollo: Organización de la información: Fumadores Fumadores No Marca A Marca B Fumadores Fumadores 0,75 0,2 0,05 Marca A (75%) (20%) (5%) Fumadores 0,12 0,7 0,18 Marca B (12%) (70%) (18%) No 0,1 0,25 0,65 Fumadores (10%) (25%) (65%) (1) P = 0, 75 0, 2 0, 05 0, 12 0, 7 0, 18 0, 1 0, 25 0, 65 y A 0 = 20 30 50 A 1 = A 0 · P = 20 30 50 · 0, 75 0, 2 0, 05 0, 12 0, 7 0, 18 0, 1 0, 25 0, 65 (2) A 1 = 24 37 39 (Valores contextualizados) (3) A 2 = A 1 · P = 24 37 39 · 0, 75 0, 2 0, 05 0, 12 0, 7 0, 18 0, 1 0, 25 0, 65 (4) A 2 = 26 41 33 (Valores contextualizados) (5) A 3 = A 2 · P = 26 41 33 · 0, 75 0, 2 0, 05 0, 12 0, 7 0, 18 0, 1 0, 25 0, 65 (6) A 3 = 28 42 30 (Valores contextualizados) (7) A 4 = A 3 · P = 28 42 30 · 0, 75 0, 2 0, 05 0, 12 0, 7 0, 18 0, 1 0, 25 0, 65 (8) A 4 = 29 43 28 (Valores contextualizados) (9)
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Universidad Católica del Maule Matemáticas II, AUE-PLCFacultad de Ciencias Básicas 02 de Diciembre de 2013
PAUTA TALLER N ◦4, MATEMÁTICAS II
Profesor: Rodrigo Del Valle SalamancaAyudante: Rodrigo Gutiérrez Aguilar
1. Una población de 100 mil personas se divide entre fumadores de la marca A, fumadores de la marca B y nofumadores. El cambio entre los distintos grupos cada mes es el siguiente: el 20% de los usarios de la marcaA cambian a la marca B y un 5% deja de fumar. El 12% de los usarios de la marca B cambian a la marca Ay un 18% deja de fumar. Del grupo de los no fumadores el 10% comienza a fumar de la marca A y el 25%usa la marca B. Si se sabe que actualmente los que fuman la marca A son 20 mil y los B son 30 mil ¿cuál es elestado del sistema de fumadores al 4to mes?Desarrollo:
Organización de la información:
Fumadores Fumadores NoMarca A Marca B Fumadores
Fumadores 0,75 0,2 0,05Marca A (75%) (20%) (5%)
Fumadores 0,12 0,7 0,18Marca B (12%) (70%) (18%)
No 0,1 0,25 0,65Fumadores (10%) (25%) (65%)
(1) P =
0, 75 0, 2 0, 050, 12 0, 7 0, 180, 1 0, 25 0, 65
y A0 =[20 30 50
]
A1 = A0 · P =[20 30 50
]·
0, 75 0, 2 0, 050, 12 0, 7 0, 180, 1 0, 25 0, 65
(2)
A1 =[24 37 39
](Valores contextualizados)(3)
A2 = A1 · P =[24 37 39
]·
0, 75 0, 2 0, 050, 12 0, 7 0, 180, 1 0, 25 0, 65
(4)
A2 =[26 41 33
](Valores contextualizados)(5)
A3 = A2 · P =[26 41 33
]·
0, 75 0, 2 0, 050, 12 0, 7 0, 180, 1 0, 25 0, 65
(6)
A3 =[28 42 30
](Valores contextualizados)(7)
A4 = A3 · P =[28 42 30
]·
0, 75 0, 2 0, 050, 12 0, 7 0, 180, 1 0, 25 0, 65
(8)
A4 =[29 43 28
](Valores contextualizados)(9)
Respuesta. El estado del sistema de fumadores al 4to mes es de 29 mil consumidores de la marca A, 43 milconsumidores de la marca B y 28 mil personas que no fuman.
2. Considere el sistema de ecuaciones lineales: x + y + z = 100000, 06x + 0, 075y + 0, 095z = 730
x − 2z = 0
(a) Describa matricialmente el sistema por AX = B.Desarrollo:
(10)
1 1 10, 06 0, 075 0, 0951 0 −2
︸ ︷︷ ︸
A
·
xyz
︸ ︷︷ ︸
X
=
100007300
︸ ︷︷ ︸
B
(b) Determine A−1 y resuelva el sistema por X = A−1B.Desarrollo:
i. Determinación de A−1
Opción 1: Matriz ampliada.
(11)
1 1 1 1 0 00, 06 0, 075 0, 095 0 1 01 0 −2 0 0 1
Realizando las respectivas operaciones elementales con reglones, tenemos 1 1 1 1 0 0
0, 06 0, 075 0, 095 0 1 01 0 −2 0 0 1
R2+(−0,06)R1−−−−−−−−−→R3+(−1)R1
1 1 1 1 0 00 0, 015 0, 035 −0, 06 1 00 −1 −3 −1 0 1
R2R3−−−→
1 1 1 1 0 00 −1 −3 −1 0 10 0, 015 0, 035 −0, 06 1 0
(−1)R2−−−−−→
1 1 1 1 0 00 1 3 1 0 −10 0, 015 0, 035 −0, 06 1 0
R1+(−1)R2−−−−−−−−−−→R3+(−0,015)R2
1 0 −2 0 0 10 1 3 1 0 −10 0 −0, 01 −0, 075 1 0, 015
(−100)R3−−−−−−→
1 0 −2 0 0 10 1 3 1 0 −10 0 1 7, 5 −100 −1, 5
R1+(2)R3−−−−−−−→R2+(−3)R3
1 0 0 15 −200 −20 1 0 −21, 5 300 3, 50 0 1 7, 5 −100 −1, 5
Luego
A−1 =
15 −200 −2−21, 5 300 3, 57, 5 −100 −1, 5
Opción 2: Matriz adjunta.
(12) A =
1 1 10, 06 0, 075 0, 0951 0 −2
det(A) = 1 · 0, 075 0, 0950 −2 − 1 · 0, 06 0, 095
1 −2 + 1 · 0, 06 0, 0751 0
= 1 · (−0, 15)− 1 · (0, 215) + 1 · (−0, 75)= −0, 15 + 0, 215− 0, 75
= −0, 01 6= 0
A11 = +0, 075 0, 0950 −2 = −0, 075 · 2− 0 · 0, 095 = −0, 15
A12 = − 0, 06 0, 0951 −2 = −(−0, 06 · 2− 1 · 0, 095) = −(−0, 215) = 0, 215
A13 = +0, 06 0, 0751 0
= 0, 06 · 0− 1 · 0, 075 = −0, 075
A21 = − 1 10 −2 = −(1 · −2− 0 · 1) = −(−2) = 2
A22 = +1 11 −2 = (1 · −2− 1 · 1) = −3
A23 = − 1 11 0
= −(1 · 0− 1 · 1) = −(−1) = 1
A31 = +1 1
0, 075 0, 095= (1 · 0, 095− 0, 075 · 1) = 0, 02
A32 = − 1 10, 06 0, 095
= −(1 · 0, 095− 1 · 0, 06) = −0, 035
A33 = +1 1
0, 06 0, 075= (1 · 0, 075− 1 · 0, 06) = 0, 015
(13) Adj(A) =
−0, 15 0, 215 −0, 0752 −3 1
0, 015 −0, 035 0, 015
A−1 =1
det(A)· [Adj(A)]T
=1
−0, 01·
−0, 15 0, 215 −0, 0752 −3 1
0, 02 −0, 035 0, 015
T
= −100 ·
−0, 15 2 0, 020, 215 −3 −0, 035−0, 075 1 0, 015
A−1 =
15 −200 −2−21, 5 300 3, 57, 5 −100 −1, 5
(14)
Luego
xyz
︸ ︷︷ ︸
X
=
15 −200 −2−21, 5 300 3, 57, 5 −100 −1, 5
︸ ︷︷ ︸
A−1
·
100007300
︸ ︷︷ ︸
B
=
15 · 10000− 200 · 730− 2 · 0−21, 5 · 10000 + 300 · 730 + 3, 5 · 07, 5 · 10000− 100 · 730− 1, 5 · 0
x
yz
=
400040002000
(15)
Respuesta. El valor de x, y y z que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales son 4000, 4000 y 2000respectivamente.
(c) Compruebe la solución obtenida en (b) resolviendo por el método de Gauss o Cramer.Desarrollo:
i. Método de Gauss. 1 1 1 100000, 06 0, 075 0, 095 7301 0 −2 0
R2+(−0,06)R1−−−−−−−−−→R3+(−1)R1
1 1 1 100000 0, 015 0, 035 1300 −1 −3 −10000
R2R3−−−→
1 1 1 100000 −1 −3 −100000 0, 015 0, 035 130
(−1)R2−−−−−→
1 1 1 100000 1 3 100000 0, 015 0, 035 130
R3+(−0,015)R2]−−−−−−−−−−→
1 1 1 100000 1 3 100000 0 −0, 01 −20
Luego
−0, 01z = −20 =⇒ z =−20−0, 01
= 2000,
y + 3z = 10000 =⇒ y = 10000− 3 · 2000 = 40000,
x+ y + z = 10000 =⇒ x = 10000− 4000− 2000 = 40000
ii. Método de Cramer.
(16)
1 1 10, 06 0, 075 0, 0951 0 −2
︸ ︷︷ ︸
A
·
xyz
︸ ︷︷ ︸
X
=
100007300
︸ ︷︷ ︸
B
x =
∣∣∣∣∣∣10000 1 1730 0, 075 0, 0950 0 −2
∣∣∣∣∣∣det(A)
=
10000 ·∣∣∣∣ 0, 075 0, 095
0 −2
∣∣∣∣− 730 ·∣∣∣∣ 1 10 −2
∣∣∣∣+ 0 ·∣∣∣∣ 1 10, 075 0, 095
∣∣∣∣−0, 01
=10000 · (−0, 15)− 730 · (−2)
−0, 01
=−1500 + 1460
−0, 01
=−40−0, 01
x = 4000(17)
y =
∣∣∣∣∣∣1 10000 1
0, 06 730 0, 0951 0 −2
∣∣∣∣∣∣det(A)
=
1 ·∣∣∣∣ 730 0, 095
0 −2
∣∣∣∣− 0, 06 ·∣∣∣∣ 10000 1
0 −2
∣∣∣∣+ 1 ·∣∣∣∣ 1000 1
730 0, 095
∣∣∣∣−0, 01
=730 · (−2)− 0, 06 · (−20000) + 1 · (220)
−0, 01
=−1460 + 1200 + 220
−0, 01
=−40−0, 01
y = 4000(18)
z =
∣∣∣∣∣∣1 1 10000
0, 06 0, 075 7301 0 0
∣∣∣∣∣∣det(A)
=
1 ·∣∣∣∣ 0, 075 730
0 0
∣∣∣∣− 0, 06 ·∣∣∣∣ 1 100000 0
∣∣∣∣+ 1 ·∣∣∣∣ 1 10000, 075 730
∣∣∣∣−0, 01
=1 · (−20)−0, 01
=−20−0, 01
z = 2000(19)
3. Un pequeño negocio doméstico elabora molletes, huesos y galletas para perros. Además de otrosingredientes, cada mollete requiere 2 unidades de carne, 3 de pollo y 2 de hígado. Cada hueso necesita1 unidad de carne, 1 de pollo y 1 de hígado. Cada galleta necesita 2 unidades de carne, 1 de pollo y 1,5de hígado. Encuentre el número de molletes, huesos y galletas que la compañia puede elaborar con lascantidades de ingredientes dadas, sabiendo que dispone de 700 unidades de carne, 500 unidades de pollo y600 unidades de hígado.Desarrollo:
Organización de la información:
Mollete Huesos Galletas Ingredientes (unidades) disponiblesCarne 2 1 2 700
Pollo 3 1 1 500
Hígado 2 1 1,5 600
Sean x, y, y z el número de unidades de molletes, huesos y galletas que la compañia puede elaborar conlas cantidades de ingredientes dadas. De lo anterior es posible formular el siguiente sistema de ecuacioneslineales
2x + y + 2z = 7003x + y + z = 5002x + y + 1, 5z = 600
(20)
2 1 23 1 12 1 1, 5
︸ ︷︷ ︸
A
·
xyz
︸ ︷︷ ︸
X
=
700500600
︸ ︷︷ ︸
B
Utilizando algunos de los métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales (Cramer, Gauss, Matrizadjunta, Matriz aumentada) se tiene que las cantidades de molletes, huesos y galletas que pueden elaborarsecon las unidades disponibles son 0, 300 y 200 respectivamente.
Observación: Verifique los valores obtenidos.
