Fundacion Universitaria Los LibertadoresCalculo Integral

Taller 1: Tecnicas de Integracion

1. Demuestre que

∫ b

0

x2 dx =b3

3

2. Aplique las propiedades de las integrales para verificar la desigualdad sin evaluar la integral:

2 ≤∫ 1

−1

√1 + x2 dx ≤ 2

√2

3. Sea g(x) =∫ x0f(t) dt, donde f es la funcion cuya grafica se muestra.

a) Evalue g(0), g(1), g(2), g(3) y g(6).

b) ¿En que intervalo es creciente g?

c) ¿Donde tiene un valor maximo g?

d) Trace una grafica aproximada de g.

e) Utilice la grafica del inciso (d) para trazar la grafica de g′(x). Comparela con la grafica def

4. Encuentre el intervalo sobre el cual la curva

y =

∫ x

0

1

1 + t+ t2dt

es concava hacia arriba.

5. Evalue la integral ∫ 2

−2f(x) dx donde f(x) =

{2 si −2 ≤ x ≤ 0,

4− x2 si 0 < x ≤ 2

6. Evalue la integral indefinida.

a)

∫x sin(x2) dx

b)

∫x

(x2 + 1)2dx

c)

∫(lnx)2

xdx

d)

∫(1 + tan θ)5 sec2 θ dθ

e)

∫sec3 x tanx dx

f )

∫x3√x2 + 1 dx

g)

∫sinx

1 + cos2 xdx

h)

∫x2√1− x

dx

7. Evalue la integral definida.

a)

∫ √π0

x cos(x2) dx

b)

∫ −π/6−π/6

tan3 x dx

c)

∫ 2

1

x√x− 1 dx

d)

∫ 4

0

x√1 + 2x

dx

e)

∫ e4

e

dx

x√

lnx

f )

∫ 4

0

∣∣√x− 1∣∣ dx

8. Evalue la integral por medio de la integracion por partes.

a)

∫x2 cos 2x dx

b)

∫e2θ sin 3θ dθ

c)

∫ 1

0

(x2 + 1)e−x dx

d)

∫ 2

1

lnx

x2dx

e)

∫ 1/2

0

cos−1 x dx

f )

∫cosx ln(sinx) dx

9. Primero realice una sustitucion y luego use la integracion por partes para evaluar la integral.

a)

∫cos√x dx

b)

∫ π

0

ecos t sin 2t dt

c)

∫x ln(1 + x) dx

d)

∫sin(lnx) dx

10. Evalue la integral.

a)

∫sin3 x cos2 x dx

b)

∫sin3(√x)√

xdx

c)

∫ π/2

0

cos2 θ dθ

d)

∫(1 + cos θ)2 dθ

e)

∫tan3 x secx dx

f )

∫cosx+ sinx

sin 2xdx

11. Evalue la integral por medio de una sustitucion trigonometrica apropiada.

a)

∫1

x2√x2 − 9

dx

b)

∫x3√

9− x2 dx

c)

∫x3√x2 + 9

dx

d)

∫ 2

1

√x2 − 1

xdx

e)

∫ 1

0

x√x2 + 4 dx

f )

∫x√

x2 − 7dx