TALLER # 1 DE MATEMATICAS IV.

UNIVERSIDAD CENTRAL CENTRAL.

Profesor: Henry Naranjo Teheran. 07 de septiembre de 2012.

1. Es verdad que la linea que pasa por (−4,−6, 1) y (−2, 0,−3) es paralela a la lıneaque pasa por (10, 18, 4) y (5, 3, 14)?

2. Encuentre la ecuacion del plano que pasa por el punto (−2, 8, 10) y es perpendiculara la lınea x = 1 + t, y = 2t y z = 4− 3t.

3. Encuentre la ecuacion del plano que contiene la lınea x = 3 + 2t, y = t, z = 8− t yes paralelo al plano 2x+ 4y + 8z = 17.

4. Encuentre la ecuacion del plano que pasa por los puntos A(1, 2, 3), B(0, 2, 3) yC(1, 0, 1).

5. Donde la recta que pasa por los puntos (1, 0, 1) y (4,−2, 2) corta al plano x+y+z =6?

6. Ejercicios 21-28 de la seccion 12.6 (pag 810) del texto guıa.

7. Describa las superficies x2 − y2 = 1 y y2 = x. (Claramente en R3)

8. Use trazas para bosquejar las superficies x2 = y2 + 4z2 y −x2 + 4y2 − z2 = 4.

9. Reduzca la ecuacion 4x2 +y2 +4z2−4y−24z+36 = 0 a una de las formas estandar,clasifique la superficie y bosquejela.

10. Si r(t) = (3 sin2 t cos t)i+(3 sin t cos2 t)j+(2 sin t cos t)k, encuentre r′(t) y∫ π/20

r(t)dt.

11. Demuestre que r es una funcion vectorial tal que existe r′′, entonces ddt

[r(t)×r′(t)] =r(t)× r′′(t).

12. Determine la longitud de la curva r(t) = (2 sin t, 5t, 2 cos t), para −10 ≤ t ≤ 10.

13. Calcule los vectores unitarios T, N y B de la funcion r(t) = (2 cos t, 2 sin t, t)

14. Si f(x, y, z) = e√z−x2−y2 . (a) Evalue f(2,−1, 6). (b) Determine y grafique el do-

minio de f . (c) Determine el rango de f .

15. Trace la grafica de la funcion f(x, y) = 10 − 4x − 5y, f(x, y) = y2 + 1 y f(x, y) =√x2 + y2.

16. Determine las derivadas parciales de: f(x, t) = e−t cos(πx), f(x, y, z, t) = xy2

t+2zy

w = zexyz.

17. Si f(x, y, z) = yx+y+z

, calcule fx(2, 1,−1) y fy(2, 1, 1).

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18. Mediante derivacion implıcita determine dzdx

y dzdy

si (a) yz = ln(x+z). (b) sin(xyz) =

x+ 2y + 3z. (c) z = f(xy)

19. Si f(x, t) = x2e−ct, calcule fttt, fxt y ftxx.

20. Si z = et cos θ, r = st, θ =√s2 + t2, encuentre dz

dsy dz

dt.

21. Si w = ln√x2 + y2 + z2, x = sin t, y = cos t, z = tan t. Calcule dw

dt.

22. Si u = x2 + yz, x = pr cos θ, y = pr sin θ, z = p+ r, calcule dudp

, dudr

, dudθ

cuando p = 2,

r = 3 y θ = 0.

23. La temperatura en un punto (x, y) es T (x, y), medida en grados Celsius. Un ani-malito se arrastra de tal modo que su posicion despues de t segundos esta definidapor x =

√1 + t, y = 2 + t

3, donde x y y se miden en centimetros. La funcion de

la temperatura cumple con Tx(2, 3) = 4 y Ty(2, 3) = 3. Que tan rapido se eleva latemperatura en la trayectoria del animalito despues de 3 segundos?

24. Calcule la derivada direccional de la funcion en el punto dado en la direccion v:(a) g(x, y, z) = (x + 2y + 3z)3/2, (1, 1, 2), v = 2j − k. (b) f(p, q) = p4p2q3, (2, 1),v = 3i + 3j.

25. Determine la razon maxima de cambio de f en el punto dado y en la direccion enla cual se presenta: (a) f(x, y) = y2/x en (2, 4). (b) f(p, q) = qe−p + pe−q en (0, 0).

26. Calcule los valores maximos y mınimos relativos, y punto o puntos de sillas de lafuncines: (a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2. (b) f(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2.

27. Determine los valores maximos y mınimos absolutos de f en el conjunto D: (a)f(x, y) = 1 + 4x − 5y, D es la region triangular cerada con vertices (0, 0), (2, 0) y(0, 3). (b) f(x, y) = x4y4 − 4xy + 2, D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}.

28. Encuentre tres numeros positivos cuya suma es 100 y cuyo producto es maximo.

29. Encuentre las dimensiones de la caja con volumen 1000 cm3 que tiene mınima areasuperficial.

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