Talleres de Matemáticas III

TALLER No 0

GENERALIDADES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Objetivo: Comprender el significado de una ecuación diferencial y de su solución

Contenido: Solución de una ecuación diferencial, clases de ecuaciones diferenciales y planteo de ecuaciones diferenciales a partir de algunos enunciados de problemas de aplicación.

EJERCICIOS

1. En cada una de las siguientes ecuaciones, identifique el tipo de ecuación, el grado y el orden.

a. Y ’ + 2Y =

b. X -Y =3

c.

d. ( Y ’’ ) 3 – Y ’ - 2Y = ( 2x +3 ) dx + xdY = 0

e. ( 2X +3 ). X + X. Y = 0

f. 2Y 2 + Y + 4 = 0

g. Y ’’ - 2Y = cos( )

2. En el espacio de la izquierda, coloque el número de la ecuación diferencial de la derecha, de la cual la función dada es solución.

___ Y = 2X 3 1. Y ‘’ +Y = 0

___ Y = 3 Cos X – 5 SenX 2. Y ‘’ + 4Y = 5e-x

___ Y = SenX +X2 3. X dY = 3Y dX

___ Y = 2 e3x - e2x 4.

___ Y = e2x - 3 e-x 5.

___ Y = 3 Sen2X + e-x 6. Y ‘’ + Y = X 2 + 2

3. Dé 2 ejemplos de:

a. Ecuaciones diferenciales de primer orden, una lineal y otra no lineal.b. Ecuaciones diferenciales de segundo orden, una lineal y otra no lineal.c. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, una lineal y otra no

lineal.

4. En los siguientes enunciados, plantee una ecuación diferencial que se ajuste a la descripción . a. La razón de cambio de una población p de bacterias en un instante t es proporcional a la cantidad de bacterias que hay en ese instante.

b. La velocidad en un instante t de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta es proporcional a la cuarta potencia de su posición x.

c. La razón de cambio en la temperatura T del café en el instante t es proporcional a la diferencia entre la temperatura m del aire y la temperatura del café.

d. La razón de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado de la masa de sal presente en el instante t.

e. Suponga que un alumno portador del virus de la gripe regresa a su escuela, que queda aislada y tiene 1000 alumnos. Deduzca una ecuación diferencial que represente la cantidad de personas x(t) contagiadas, si la rapidez con que se propaga la enfermedad es proporcional a la cantidad de contactos entre los alumnos con gripe y los que todavía no han estado expuestos a ella

5. El piloto A ha permanecido 3 millas delante de su rival B durante cierto tiempo. A solo 2 millas antes de la meta, el piloto A se quedó sin gasolina y comenzó a desacelerar a una razón proporcional al cuadrado de su velocidad restante. Una milla después, la velocidad del piloto A se había reducido exactamente a la mitad. Si la velocidad del piloto B permaneció constante, quien ganó la carrera?

6. Investigue dos (2) temas de aplicación de las ecuaciones diferenciales a su respectiva carrera. Enuncie y Plantee un (1) problema relacionado con cada uno de esos temas.

Departamento de Matemáticas Universidad Central Página 2 de 43

TALLER No. 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

OBJETIVO ESPECIFICO: Reconocer las ecuaciones diferenciales de variables separables como antiderivadas y solucionarlas correctamente.

Algoritmo de solución:

EJERCICIOS


y ´ = f(x) g(y)

Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. xydx - (x - 1)dy = 0

2. xcos2ydx + tanydy = 0

3. (1 + lnx)dx + (1 + lny)dy = 0

4. a2dx = x ( x2 - a2) dy

5. dr = bcos dr + r sen d

6. dx = t(1 + t2)sec2xdt

7. dy/dx = ysecx

8. (e2x + 4)dy = ydx

9. du/dt = (t2 + 1)/(u2 + 1)

10. y’ = x2y2 + y2 + x2 + 1

11. y’ = y2(y - 1)2

12. ex+y dx + e 2x-3y dy = 0

13. xydx - (x +2)dy =0

14. xy3dx + (y + 1)e-x dy = 0

15. x2yy’ = ey

16.

17.

18.

19.

20.

TALLER No. 2

PROBLEMAS DE CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION


MODELO MATEMÁTICO: PROBLEMAS

1. La población de una ciudad crece con una rapidez que es proporcional al número de habitantes presente en cualquier tiempo t. Si la población de esa ciudad era de 30.000 en 1970 y 35.000 en 1980. Cual será la población de esa ciudad en 1990?

2. En un cultivo de bacterias la rapidez de crecimiento del número de bacterias es proporcional al número presente.a) ¿Si el número se triplica en 5 horas. ¿Cuántas habrá en 10 horas?b) ¿Cuándo el número será 10 veces en número inicial?.

3 Suponga que la rapidez con que se desintegra un núcleo radioactivo es proporcional al número de núcleos que están presentes en una muestra dada. En una determinada muestra 10% del número original de núcleos radioactivos han experimentado desintegración en un periodo de 200 años.a) ¿Que porcentaje de núcleos radioactivos originales quedará después de 1000

años?.b) ¿En cuantos años quedará solamente un cuarto del número original?.

4. La cantidad de bacterias de un cultivo en un instante cualquiera crece con una rapidez proporcional al número de ellas presente en dicho instante. Después de 3 horas se observa que se tienen 400 bacterias y que al cabo de 10 horas hay 2500. a) Cuál es el número de bacterias que hay en cualquier instante?b) Cuál es el número inicial de bacterias del cultivo?.

5. El isótopo radioactivo de plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad existente en un instante, y tiene una semivida o periodo medial de 3.3 horas. Si inicialmente hay 10 gramos de plomo. ¿ Qué tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90% de dicho elemento?.

6. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado con que su intensidad I disminuye es proporcional a I(t), en donde t representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar limpia, la intensidad a 5 pies bajo la superficie es 35% de la intensidad inicial Io del rayo incidente. a) Cuánta es la intensidad del rayo a 20 pies bajo la superficie?.b) Cual es la intensidad para cualquier espesor?.7. Se sabe que cierta población de la bacteria B tiene una tasa de crecimiento proporcional a B. si entre el mediodía y las dos de la tarde la población se triplica sin ejercer control alguno. A que hora B será 100 veces mayor que al medio día ?.

8. El elemento radio se descompone a una velocidad que es proporcional a la cantidad presente de este elemento. Suponga que en 25 años se ha descompuesto


aproximadamente el 11% de cierta cantidad de radio. Determine de manera aproximada cuánto tiempo pasará para que la mitad de la cantidad original del radio se descomponga?.

9. Cierta sustancia radioactiva tiene una vida media de 38 horas. Encuentre cuánto tiempo debe pasar para que el 90% de la radioactividad se disipe?.

10. La cantidad de bacterias de un cultivo crece en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de ellas que haya en dicho instante. Después de 3 horas se observa que se tienen 400 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 2000. Cuál es el número inicial de bacterias?.

TALLER No. 3

ENFRIAMIENTO Y CALENTAMIENTO

Esta aplicación se fundamenta en la LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON:

PROBLEMAS

1. Un termómetro que marca 18oF se lleva al interior de una habitación donde la temperatura mide 70oF; un minuto más tarde la lectura del termómetro es de 31oF. a) Determine las lecturas en el termómetro como una función del tiempo. b) Encuentre cuánto marcará 5 minutos después de que es llevado a la habitación?

2. Un termómetro que marca 75oF se lleva al exterior, donde la temperatura es de 20oF. Cuatro minutos después la lectura indica 30oF. Encuentre a) La temperatura que marcará el termómetro 7 minutos después de sacarlob) El tiempo que pasa para que la lectura descienda desde los 75oF hasta los 20oF?.

3. A la 1:00 p.m., un termómetro que marca 70oF es llevado al exterior donde la temperatura del aire mide -10oF. A la 1:02 p.m., la lectura indica 26oF. A la 1:05 p.m., el termómetro es regresado al interior, donde la temperatura ambiente está a 70oF. Que temperatura marcará el termómetro a la 1:09 de la tarde?.


4. Un cuerpo cuya temperatura es de 80oF se coloca en el tiempo t = 0 en un medio en que la temperatura se conserva a 50oF. después de 5 minutos, el cuerpo se ha enfriado hasta una temperatura de 70oF. a) ¿Cuál será la temperatura del cuerpo después de 10 minutos?.b) ¿Cuándo la temperatura del cuerpo será de 60oF?.

5. Un cuerpo se enfría desde 60oC hasta 50oC en 15 minutos y el aire en que se encuentra se conserva a 30oC. ¿En qué tiempo se enfriará el cuerpo desde 100oC hasta 80oC en el aire que se conserva a 50oC?.

6. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 5oF. Después de 1 minuto el termómetro marca 55oF y después de 5 minutos marca 30oF. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?.

7. Un termómetro se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 70oF, al exterior en donde la temperatura es de 10oF. Después de ½ minuto el termómetro marca 50oF. a) ¿Cuánto marca el termómetro cuando t = 1 minuto?. b) Cuánto tiempo demorará el termómetro en alcanzar los 15oF?

8. Se saca un alimento de un refrigerador que está a - 90oC al medio ambiente cuya temperatura es de 22oC. Si después de 10 minutos el alimento se encuentra a -75oC. a) ¿Cuál es la temperatura del cuerpo en cualquier tiempo?.b) ¿En qué tiempo alcanza el alimento los 0oC?.

9. A las 9 de la mañana un termómetro que marca 70oF es llevado fuera, donde la temperatura mide 15oF. Cinco minutos después, el termómetro marca 45oF. A las 9:10 a.m., el termómetro es regresado al interior, donde la temperatura es fija a 70oF. Encuentre a) La lectura marcada a las 9:20 a.m b) al grado más cercano, calcule cuándo mostrará la lectura la temperatura correcta de la habitación 70oF?.

10. A las 2:00 p.m., un termómetro que marca 80oF es llevado al exterior, donde la temperatura del aire mide 20oF. a las 2:03 p.m., la temperatura obtenida de la lectura del termómetro es de 42oF. Más tarde el termómetro es llevado dentro, donde la temperatura está a 80oF. a las 2:10 p.m., la lectura indica 71oF. Cuándo se regresó el termómetro al interior.

TALLER No 4


Ecuaciones diferenciales homogéneas

OBJETIVO ESPECIFICO: Identificar las ecuaciones diferenciales homogéneas y solucionarlas correctamente.


No Sí


Grados deTérminos son Iguales?

Busque otraOpción

Es homogénea

Haga: U = y/x o V = x/y

Derive

Reemplace

Variables separables

EJERCICIOS

Solucionar:

1. (x - y)(4x + y)dx + x(5x - y)dy = 0

2. t(s2 + t2)ds - s(s2 - t2)dt = 0

3. (xcsc(y/x) - y)dx + xdy = 0

4. (y2 + 7xy + 16x2)dx + x2dy = 0; y(1) = 1

5. (x - ylny + ylnx)dx + x(lny - lnx)dy = 0

6. (5v - u)du + (3v - 7u)dv = 0

7. y2dy = x(xdy - ydx)ex/y

8. (y + x Cot (y/x))dx - xdy = 0

9. xydx + ( x2 + 2y2 )dy = 0

10. xCos(y/x). dy/dx = yCos(y/x) - x

11. 3x2 (dy/dx) = 2x2 + y2 `

12. ( 4x + y ) (dy/dx) = y - 2x ; y(2) = 1

13. ( yCos(y/x) + xSen(y/x) )dx = xCos(y/x)dy

TALLER No 5


ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

OBJETIVO ESPECIFICO: Identificar éste tipo especial de ecuaciones diferenciales, hallar su solución correctamente y preparar al estudiante para enfrentar el tema de factor de integración.


No Sí

EJERCICIOS


?Busque otraOpción

Es Exacta

Integre

Halle la(s) constante(s)

Dé la solución: f(x,y)=c

Analice cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, si es exacta resuélvala:

1. (2xy - tany)dx + (x2 - xsec2y)dy = 0

2. 3y(x2 - 1)dx + ( x3 + 8y - 3x)dy = 0

3. (xy2 + x - 2y +3)dx + x2ydy = 2(x + y)dy

4. 3y(x2 - 1)dx + (x3 + 8y -3x) dy = 0 ; Y(0) = 1

5. (w3 + wz2 - z)dw + ( z3 + w2z - w) dz = 0

6. (1 - xy)-2 dx + (y2 + x2(1 - xy)-2 )dy = 0

7. (cosxcosy - cotx)dx - senxsenydy = 0

8. v(2uv2 - 3)du + (3u2v2 - 3u + 4v)dv = 0

9. (2x + y)dx - (x +6y)dy = 0

10. (Seny - ySenx)dx + (Cosx + xCosy - y)dy= 0

11. (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0 12. (5y - 2x)y’ - 2y = 0

13. (3xCosx + Senx - 3)dx + (2y + 5)dy = 0

14. (2x/y)dx - (x2/y2)dy = 0

15. (1 + lnx + (x/y))dx = (1 - lnx)dy

16. (x + y)(x - y)dx + x(x - 2y)dy = 0

17. (2x + 4)dx + (3y - 1)dy = 0

18. xy’ = 2xex - y + 6x2

19. (1 - 2x2 - 2y)y’ = 4x3 + 4xy

20. (x2y3 - 1/(1 + 9x2))y’ + x3y2 = 0

TALLER No 6


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

OBJETIVO ESPECIFICO: Las ecuaciones diferenciales lineales, tienen múltiples aplicaciones y su solución permite analizar y predecir el comportamiento de fenómenos físicos, químicos y sociales, por lo tanto es indispensable reconocerlas y solucionarlas correctamente.


EJERCICIOS

Solucionar:


Y´ + P (x) Y = f (x)

(x) = e

(x) y´ + (x) y = f (x) (x)

(x) y = f (x) (x) dx

1. ydx + (xy + 2x - yey)dy = 0

2. (x + 1)dy/dx + (x + 2)y = 2x e-x

3. y’ - 4y = 9x - 6

4. y’ - 6y = 4x2 + 3

5. (1 + x2)dy + (xy + x3 + x)dx = 0

6. (1 - x3)y’ = 3x2y

7. y’ + yCotx = 2 Cosx

8. (y - Cos2x)dx + Cos xdy = 0

9. udx + (1 - 3u)xdu = 3udu

10. (1 + x)y’ - xy = x +x2

11. xy’ + (1 + x)y = e-x Sen2x

12. x(1 - x2)dy/dx - y + ax3 = 0

13. (1 - Cosx)dy + (2ySenx - tanx)dx = 0

14. (x2 + x)dy = (x5 + 3xy)dx

15. (x + 2)y’ + (x + 2)y = 2xe-x

16. xy’ + 2y = ex + lnx

17. y’ = x - 2yCot2x

18. y’ + 2xy = f(x) ; f(x) = x si 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = 0 si x >1 ; y(0) = 0

19. y’ + 2y = f(x) ; f(x) = 1 si 0 ≤ x < 3 y f(x) = 0 si x ≥ 3 ; y(0) = 1

20. y’ + y = f(x) ; f(x) = 1 si 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = -1 si x > 1 ; y(0) = 0


TALLER No 7

APLICACIÓN A PROBLEMAS DE MEZCLAS

Modelo Matemático:

PROBLEMAS

1. Un tanque de 600 galones contiene inicialmente 200 galones de salmuera con 25 libras de sal. Una salmuera que contiene 2 libras de sal por galón entra al tanque a una tasa de 4 galones por minuto, la salmuera bien mezclada en el tanque fluye hacia fuera a razón de 6 galones por minutos.

a) Que cantidad de sal hay en el tanque en cualquier tiempo ?b) Cuando tiene el tanque la máxima cantidad de sal ?.

2. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de agua. Comenzando en un t = 0, entra agua que contiene 3 libras de sal por galón a razón de 4 galones por minuto. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación y estando bien mezclada sale del tanque a razón de 6 galones por minuto.

a) Que cantidad de sal hay en el tanque en cualquier tiempo ?.b) Que cantidad de sal hay en el tanque a los 20 minutos ?.

3. Un tanque grande contiene inicialmente 200 galones de salmuera en la que se han disuelto 15 kilogramos de sal, en el tiempo cero entra al tanque agua a razón de 5 galones por segundo, bien mezclada la solución sale de el tanque con la misma rapidez.

a) Que cantidad de sal hay en el tanque el cualquier momento ?.b) Cuando tiene el tanque la máxima cantidad de sal ?.

4. Se bombea cerveza con un contenido de 8% de alcohol por galón a un tanque que inicialmente 1000 galones de cerveza con 4% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una rapidez de 5 galones por /minuto, en tanto que el liquido bien mezclado sale del tanque a razón de 8 galones por minuto.a) En que tiempo hay en el tanque la máxima cantidad de alcohol ?.b) Cuál es el porcentaje de alcohol que hay en el tanque después de 20 min ?.


5. Un gran depósito está lleno con 500 galones de agua. Una salmuera que contiene 2 lbs de sal por galón se bombea al deposito con una rapidez de 6 galones por minuto, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma velocidad.a) Que cantidad de sal hay en el tanque en cualquier instante?.b) En que tiempo tiene el deposito la mayor cantidad de sal?. 6. Un tanque contiene 80 galones de agua pura. Una solución de salmuera que contiene 2 libras de sal por galón es introducida en el tanque a razón de 2 galones por minuto y luego perfectamente mezclada, sale a una velocidad de 3 galones por minuto.a) Encuentre la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier momento. b) En que tiempo tiene el tanque la mayor cantidad de sal ?.

7. Para el tanque del problema 6, determine la cantidad de sal que hay en el valor límite de tiempo.¿ Cuánto tiempo pasará antes de que la cantidad de sal alcance un valor de 4 libras?.

8. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de salmuera en el que se han disuelto 20 libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, una salmuera que contiene 3 libras de sal disuelta por galón entra al tanque a razón de 4 galones por minuto. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación, y estando bien agitada sale simultáneamente del tanque con la misma rapidez. a) Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 10 minutos?b) Cuándo se tendrán en el tanque 160 libras de sal?.

9. Un tanque grande contiene inicialmente 100 galones de salmuera en el que se han disuelto 10 libras de sal. Comenzando en t = 0, entra agua pura al tanque a razón de 5 galones por minuto. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación y estando la mezcla bien agitada sale simultáneamente con una rapidez de 2 galones por minuto.a) Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 15 minutos y cual será la

concentración en ese tiempo?b) Si la capacidad del tanque es de 250 galones, cuál será la concentración en el

tanque en el instante en que se llena ?.

10 Un tanque contiene inicialmente100 galones de agua pura. Comenzando en t = 0, una salmuera que contiene 4 libras de sal por galón entra al tanque a razón de 5 galones por minuto. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación y estando bien agitada sale con una rapidez de 3 galones por minuto.

a) Que cantidad de sal habrá en el tanque después de 20 minutos ?. b) Cuando habrá en el tanque 50 libras de sal ?.


TALLER No. 8

CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE RC Y RL

Esta aplicación se fundamenta el las LEYES DE KIRCHOFF:

PROBLEMAS

1. A un circuito en serie en el cual la inductancia es de 0.1 Henrios y la resistencia es de 50 ohmios, se le aplica una tensión de 30 Voltios. Evalúe la corriente i(t), si i(0) = 0. Determine también la corriente cuanto t tiende a infinito.

2. A un circuito en serie en el cual la resistencia es de 200 ohmios y la capacitancia es de 10-4 Faradios, se le aplica una tensión de 100 voltios. Calcule la carga q(t) en el capacitor si q(0) = 0 y obtenga la corriente i(t).

3. A un circuito en serie en el cual la resistencia es de 1000 ohmios y la capacitancia es de 5 x 10-6 Faradios, se le aplica una tensión de 200 voltios. Encuentre la carga q(t) en el capacitor si i(0) = 0.4. Determinar la carga y la corriente para t = 0.005 segundos y la carga cuando t tiende a infinito.

4. Un circuito RC tiene una fuerza electromotriz (V) de 5 voltios, una resistencia de 10 ohmios, una capacitancia de 10-2 faradios y una carga inicial de 5 culombios en el condensador. Hallar: a) La corriente transitoria . b) La corriente en condiciones estables .

5. Un circuito RL que no tiene fuente fem. (fuerza electromotriz), tiene una corriente inicial dada por Io. Hallar la corriente en cualquier momento t .

6. Un circuito RL tiene una fem. dada en voltios por 4 Sen (t), una resistencia de 100 ohmios, una inductancia de 4 henrios y no tiene corriente inicial. Hallar la


CIRCUITO ELECTRICO RC EN SERIE: Ri + , i =

CIRCUITO ELECTRICO RL EN SERIE: L + Ri = E(t)

corriente en cualquier momento t

7. La corriente RL tiene una fem. de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Halle la corriente en el circuito para un momento t.

8. Un circuito RL tiene una fem. dada en voltios por 3 Sen (2t), una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 0.5 henrios y una corriente inicial de 6 amperios. Halle la corriente en el circuito en un momento t.

9. Un circuito RC tiene una fem. dada en voltios por 400 Cos (2t), una resistencia de 100 ohmios y una capacitancia de 10-2 faradios, inicialmente no hay carga en el condensador. Halle la corriente en el circuito en un momento t .

10. Se aplica una fuerza electromotriz, correspondiente a: a un circuito en serie LR, en donde la inductancia es de 20 Henrios y la resistencia de 2 ohms. Determine la corriente i(t), si i(0)=0

TALLER No 9 (Opcional)

APLICACIÓN A TRAYECTORIAS ORTOGONALES

Esta aplicación, se fundamenta en el principio de perpendicularidad de las rectas:

EJERCICIOS

Encontrar una familia de trayectorias ortogonales a cada familia dada:

1. y = C1 x 2. y2 = C1 (x + y)


Dos rectas son ortogonales, si el producto de sus pendientes es igual a menos uno:

m1 m2 = -1

3. y = (x + C1 )3 4. y3 (x +1) = C1

5. y = e C1 x 6. x 1/5 + y 1/5 = C1

7. y = Cosx + C1 8. e y - e x = C1

9. tag y + tan x = C1 10. y = ln( tanx + C1 )

11. 2x2 + y2 = 4C1 x 12. x2 + y2 = 2C1 x

13. Senhy = C1 x 14. y = - x - 1 + C1 ex

15. 4y + x2 + 1 + C1 e2y = 0 16. y = 1/(C1 + x)

17. ya = C1 xb , a y b constante 18. y3 + 3x2y = C1

19. y2 - x2 = C1 x3 20. y = 1/lnC1 x

TALLER No. 10


ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR REDUCIBLES A PRIMER ORDEN.

Objetivo Especifico: Estas Ecuaciones Diferenciales son casos particulares de las ecuaciones diferenciales de orden superior y los estudiantes, aplicando un proceso o una sustitución adecuada, deben reducirlas a ecuaciones diferenciales de primer orden y solucionarlas.

1. y ’’ = x 2 + 4

2. y’’’ = x 2 + 4

3. y’’ + y’ = x + 7

4. y’’’ + y’’ = x

5. x2 d2y/dx2 + (dy/dx)2 - x(dy/dx) = 0

6. 2(d2y/dx2) = (dy/dx)2 + 1

7. (1 + x2)(d2y/dx2) + x(dy/dx) + ax = 0

8. x(d2y/dx2) + dy/dx = 0

9. y(d2y/dx2) + (dy/dx)2 = 0

10.(d2y/dx2) = (dy/dx) ey

11.(d2y/dx2) + 2y (dy/dx) = 0

12. y2(d2y/dx2) + (dy/dx)3 = 0

13. (d2y/dx2) + (dy/dx)2 - 2ey(dy/dx) = 0

.

TALLER No. 11


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

Objetivo Especifico: Estos ejercicios tienen como finalidad que el estudiante practique los procesos de los métodos que usan Coeficientes Indeterminados: método de Superposición

EJERCICIOS

Solucionar :

1. y’’ - 2y’ - 8y = 4e2x - 21 e-3x 2. y’’ + 2y’ + 2y = 10 Sen4x

3. y’’ - 3y’ - 4y = 16x - 12 e2x 4. y’’ + 2y’ + 10y = 5xe-2x

5. y’’’ +2y’’ - 3y’ - 10y = 8xe2x 6. 4y’’’ - 4y’’ - 5y’ + 3y = e2x +3x3

7. y’’ + y’ - 2y = 6 e3x + 4x2 8. y’’’ - 2y’’ - y’ + 2y = 9x2 - 8e3x

9. y(4) - 3y’’’ + 2y’’ = 3e-x + 6x2 10. y’’ - 6y’ + 9y = 4ex + 3x

11. y’’ + 8y’ +16y = 10e-4x - Senx 12. 2y’’ + y’ - y = ex/2 + e-x

13. y’’ + 5y’ - 14y = e2x + 3x 14. 4y’’ - 12y’ +9y = exCosx

15. y’’’- 6 y’’ = 3 - cosx 16. y (4) - 4 y’’ = 5x2 – e 2x

17. y’’’ - y’’ + y’ – y = xex - e-x + 7 18. y’’’ - 3 y’’+ 3 y’ - y = x - 4 ex

19. y (4) + 2 y’’ + y = ( x - 1 )2

20. Use ecuaciones diferenciales de primer orden, con la teoría de las ecuaciones diferenciales de orden superior, para solucionar la siguiente integral:

∫ ex cosx dx

TALLER No. 12

VARIACION DE PARAMETROS

Objetivo Especifico: Solucionando estos ejercicios el estudiante estará en capacidad


de comprender en mejor forma el método de Variación de Parámetros.

El proceso se basa en el uso del Wronskiano y en la aplicación del método de Cramer, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

EJERCICIOS

Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros:

1. y’’ + y = Coscx 2. y’’ - 2y’ + y = e2x(ex + 1)-2

3. y’’ + y = tanx 4. y’’ + y = tan2x

5. y’’ + y = Secx. Coscx 6. y’’ - 3y’ + 2y = e2x/(1 + e2x)

7. y’’ - 2y’ + y = exSen-1(x) 8. y’’ + 9y = Sen(2x)

9. y’’ + 9y = 2Sec(3x) 10. y’’’ + 8y’’ = -6x2 + 9x + 2

11. y’’ + 3y’ + 2y = e-x/x 12. y’’ - 2y’ + y = e x Lnx

13. y’’ + y = 1/(1 + Senx) 14. y’’’ + y’ = tanx

15. y’’ + y = Sec3x 16. y’’ - 2y’ + y = x ex lnx

17. y’’’ - 3y’’ + 3y’ - y = ex – x + 16 18. y (4) - y’’’ = ex

19. y’’ + 3y’ + 2y = 1/(1 + ex) 20. y’’ + 4y’ + 5y = e-2x.Secx

TALLER No 13

CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE LRC

Esta aplicación se fundamenta en la LEY DE KIRCHOFF:


PROBLEMAS

1. Determine la carga q(t) en el capacitor de un circuito en serie LRC, cuando L=0.25 henrys (h), R=10 ohms (Ω), C=0.001 farads (f), E(t)=0 voltios (V), q(0)=q0 coulombs © e i(0)=0 amperes (A)

2. Demuestre que la respuesta del problema anterior puede ser:

3. Determine la carga q(t) en el capacitor de un circuito en serie LRC, cuando t = 0.01seg, L=0.05 h, R=2 Ω, C= 0.01 f, E(t)= 0 V, q(0) = 5 C e i(0)=0 A. Encuentre el primer momento en el que la carga en el capacitor es cero.

4. Determine la carga y la corriente en el circuito en serie LRC, L=5/3 h, R=10Ω, C= 1/30 f, E(t)= 300 V, q(0) = 0 C e i(0)= 0 A. Encuentre la carga máxima en el capacitor.

5. Determine la carga y la corriente de estado estable en el circuito en serie LRC, cuando: L=1 h, R=2Ω, C= 0.25 f y E(t)= 50cost V

6. Determine la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC, si: L=1/2 h, R=10Ω, C=0.01 f, E(t)= 150 V, q(0) =1 C e i(0)= 0 A. Cual es la carga en el capacitor cuando ha transcurrido mucho tiempo?.

TALLER No 14

SISTEMAS: MASA - RESORTE

Modelo Matemático:


L + Ri + , i =

PROBLEMAS

1. Al fijar un contrapeso de 24lb al extremo de un resorte, lo estira 4 pulg. Deduzca una ecuación del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que está 3 pulg arriba de la posición de equilibrio.

2. Un contrapeso de 20 lb estira 6 pulg a un resorte. En ese sistema, el contrapeso se suelta partiendo del reposo, a 6pulg debajo de la posición de equilibrio.

a) Calcule la posición del contrapeso cuando t = 3π/16b) Hacia dónde se dirige el contrapeso en ese instante?c) Cuándo pasa el contrapeso por la posición de equilibrio?

3. Un contrapeso de 64lb está unido al extremo de un resorte y lo estira 0.32 pies. Si parte de una posición 8 pulg sobre la posición de equilibrio, con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo.

a) Deduzca la ecuación del movimiento.b) Cuáles son la amplitud y el período del movimiento?c) Cuántas oscilaciones completas habrá hecho el contrapeso a los 3πs?d) Cuál es la posición del contrapeso cuando t = 3s?e) Cuál es la velocidad cuando t = 3s?f) Cuál es la aceleración cuando t = 3s?

4. Un contrapeso de 4 lb está unido al extremo de un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El medio presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si parte de una posición 1 pie arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad de 8 pies/s hacia abajo.

a) En qué momento habrá hecho el contrapeso su desplazamientoExtremo respecto de la posición de equilibrio?

b) Cuál es la posición del contrapeso en ese instante?

5. Una masa de 1 kg. Esta unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el sistema se sumerge en un liquido que imparte una fuerza de amortiguación numéricamente iguala 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones del movimiento en los siguientes casos:


a) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m abajo de la posición de equilibrio.

b) El contrapeso se suelta 1 m abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 12 m/s hacia arriba.

6. Un contrapeso de 16 lb estira 8/3 pie un resorte. Al principio el contrapeso parte del reposo a 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso esta impulsado por una fuerza externa igual a: f(t) = 10 cos3t.

7. Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 pies,y llega al reposo en su posición de equilibrio. A partir de t=0, se aplica una fuerza externa al sistema igual a: f(t) = 8 cos4t. Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea.

8. Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m, llega a la posición de equilibrio. A partir de t=0 se aplica al sistema una fuerza igual a: Halle la ecuación del movimiento.

TALLER No. 15 (Opcional)

ECUACIONES DIFERENCIALES DE CAUCHY-EULER

Objetivo especifico: Con estos ejercicios el estudiante comprenderá la diferencia entre resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables y coeficientes constantes.


El proceso se basa en suponer que la función y = xm es una solución de la ecuación diferencial de Cauchy-Euler

EJERCICIOS

EJERCICIOS

Solucionar:

1. x2 y’’ + xy’ - 4y = 0 2. x2y’’ - 3xy’ + 4y = 0

3. x2 y’’ - 3xy’ + 13y = 0 4. x2y’’ - 5xy’ + 10y = 0

5. x3 y’’’ + 2x2y’’ - 10xy’ -8y = 0 6. x2y’’ - 4xy’ + 6y = 0

7. x2y’’ - 4xy’ + 6y = 4x - 6 8. x2y’’ + 4xy’ + 2y = 4lnx

9. x2y’’ + xy’ + y = 4Sen(lnx)

10. x2y’’ - 2y = 4x - 8 ; y(1) = 4 y’(1) = -1

11. x2y’’ + 2xy’ - 6y = 10x2 ; y(1) = 1 y’(1) = -6

12. x2y’’ - 6y = lnx ; y(1) = 1/6 y’(1) = -1/6

13. 4x2y’’ + y = 0 14. xy’’ - y’ = 0

15. x3y’’’ - 6y = 0 16. 4x2y’’ + 4xy’ - y = 0

17. x2y’’ + 8xy’ + 6y = 0 18. x2y’’ - 4xy’ + 6y = ln(x2)

19. 2x2y’’ - 3xy’ - 3y = 1 + 2x + x2

20. x3y’’’ + xy’ - y = 0

TALLER No. 16

SERIES DE POTENCIAS


EJERCICIOS

Solucionar:

1. y’’ + xy’ + y = 0 2. y’’ + 8xy’ - 4y = 0

3. y’’ + xy’ + (2x2 + 1)y = 0 4. y’’ + xy’ + (x2 - 4)y = 0

5. y’’ + xy’ + (3x + 2)y = 0 6. y’’ - xy’ + (3x - 2)y = 0

7. (x2 + 1)y’’ + xy’ + xy = 0 8. (x - 1)y’’ - (3x - 2)y’ + 2xy = 0

9. (x3 - 1)y’’ + x2y’ + xy = 0 10. (x + 3)y’’ + (x + 2)y’ + y = 0

11. y’’ - xy’ - y = 0 ; y(0) = 1 y’(0) = 0

12. y’’ + xy’ - 2y = 0 ; y(0) = 0 y’(0) = 1

13. (x2 + 1)y’’ + xy’ + 2xy = 0 ; y(0) = 2 y’(0) = 3

14. (2x2 - 3)y’’ - 2xy’ + y = 0 ; y(0) = -1 y’(0) = 5

15. y’’ + x2y’ + xy = 0 16. y’’ + 2xy’ + 2y = 0

17. (x - 1)y’’ + y’ = 0 18. y’’ - xy’ - (x + 2)y = 0

19. y’’ - (x + 1)y’ - y = 0

20. (x2 + 1)y’’ + 2xy’ = 0 ; y(0) = 0 y’(0) = 1

TALLER No 17

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Objetivo Específico: Solucionar Ecuaciones Diferenciales con coeficientes constantes y con


El método se basa en suponer que la serie de potencias es una solución de la ecuación diferencial lineal de cualquier orden, con o sin coeficientes constantes.

condiciones Iniciales dadas, usando la teoría y las propiedades de la Transformada de LAPLACE.

EJERCICIOS

1. y’ - y = e 5t , y(0) = 2 2. y’’ - 5y’ + 6y = 0 , y(0) = 1 y’(0) = 2

3. y’’ + 4y = 8 , y(0) = 0 y’(0) = 6 4. y’’ + y’ + 12y = 0 , y(0) = 4 y’(0) = -1

5. y’’’ - 5y’’ + 7y’ - 3y = 20Sent , y(0) = 0 y’(0) = 0 y’’(0) = -2

6. y’’ + 2y’ + y = te-2t , y(0) = 1 y’(0) = 0

7. y’ - y = Sent , y(0) = 0 8. y’ + 4y = e-4t , y(0) = 2

9. y’’ - 6y’ + 9y = t , y(0) = 0 y’(0) = 1

10. y’’ - y’ = e t Cost, y(0) = 0 y’(0) = 0

11. 2y’’’ +3y’’-3y’-2 y = e-t, y(0) = y’(0)=0 y’’(0)=1 12. y’ + y = 5U(t-1) , y(0) = 0

13. y’’ + 4y =sent.U( t-2 ), y(0) = 1 y’(0) = 0

14. y’’ - 6y’ + 13y = 0 , y(0) = 0 y’(0) = -3

15. y’’ - 4y’ + 4y = t 3 , y(0) = 1 y’(0) = 0

16. y’ - 3y = δ(t-2) , y(0) = 0

17. y’’ - 2y’ = e t Senht, y(0) = y’(0) =0

18 y’’ + y = δ( t-2 ) , y(0) = 0 y’(0) = 1

19. y’’+ 4y’+5y = δ( t-2 ) y(0) = y’(0) = 0

20.

TALLER No 18

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES


TALLER No 19

GENERALIDADES DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

En los siguientes ejercicios verifique si la función discreta es solución de la ecuación en diferencias dada y clasifique la ecuación de acuerdo a: orden,


coeficientes y homogeneidad

1. Ut = 3t ; Ut+2 – 3Ut+1 = 0

2. Yt = 3t2 + 6 ; ΔYt - 6t – 6 = 0

3. Yt = ; (t + 2) Y t+1 + (t+1) Yt = 2t – 5

4. Xt = A 3t + B 4t ; Xt+2 – 7Xt+1 + 12Xt = 0

5. Ut = (1 + t).2t ; Ut – 4Ut-1 + 4Ut-2 = 0

6. Yt = at ( c1 + c2t + c3t2) ; Yt - 3aYt-1 + 3a2 Yt-2 = a3 Yt-3

7. Yk = 2k + k2 ; Yk+5 – 2Yk+2 = k + 2k

8. Yt = 3t ; Yt+2 – At Yt+1 + (3 At – 9)Yt = 0

TALLER No 20

ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN

Hallar la solución de las siguientes ecuaciones en diferencias y analizar su convergencia o divergencia y si hay equilibrio estable:

1. Yt+1 – 3 Yt = 02. Yt+2 + 3 Yt+1 = 03. 4Yt+1 - 7 Yt = 04. Yt+1 – Yt = 05. 2Yt+1 – 6 Yt = 0 si Y(0) = 36. Yt+1 – 3 Yt = 2t – 57. Yt+1 – Yt = 2t – 58. Yt – Yt-1 = t2 si Y(0) = 1 9. Yt+3 – 8Yt+2 = 2t

10. Yt+3 – Yt+2 = 2t

11. Yt+3 – 2Yt+2 = t.3t si Y(0) = 312. Yt-3 + Yt-2 = 4 13. Yt+1 – 4Yt = cost14. Yt+1 – Yt = sen4t15. Yt+3 – 2Yt+2 = 3t - 2sent

TALLER No 21

ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE ORDEN SUPERIOR


Solucionar las siguientes ecuaciones en diferencias:

1. Yx+2 - Yx = 02. Yx+2 + 2 Yx+1 + YX = 03. Yx+2 - 5 Yx+1 + 2YX = 04. Yt+2 - 4 Yt+1 + 4Yt = 05. Ux+2 - 6 Ux+1 + 9UX = 0 si U0 = 3; U1 = 06. Ut+3 - 3 Ut+2 - 4Ut+1 + 12Ut = 07. Ut+3 - 5 Ut+2 + 8Ut+1 - 4Ut = 08. Ut+4 + 2 Ut+2 + Ut = 09. Ut+5 + Ut+3 + 2Ut+1 – 12 Ut+1 + 8Ut = 010. Yx+2 - 5 Yx+1 + 6YX = 411. Yx+2 - 4 Yx+1 + 4YX = 1 si Y0 = 0; Y1 =112. Yx+2 + 4Yx = 9

13. Yx+2 - 2 Yx+1 + YX = -12 x2 – 8x - 8 14. Yx+2 - 4Yx = 2x

15. Yt+2 + Yt = cos (πt) 16. Ut+3 - Ut+2 - 5Ut+1 - 3Ut = t. 3t

17. Ut+4 - Ut = 3t + 4 18. Ut+3 - Ut+2 + 2Ut = t + 2t

19. Ut+3 - Ut+2 - Ut+1 + Ut = sen (90o t)

20.La sucesión: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…}, es llamada sucesión de FIBONACCI.

a) Modele una ecuación en diferencias que la represente.b) Hallar la solución general de la ecuación que modeló.c) Halle una solución particular, suponga las condiciones

iniciales.

TALLER No 22

SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones en diferencia:


1. Yt+1 - Xt = 0 si: X(0) = 1 ; Y(0) = 0 Xt+1 - 4Yt = 0

2. Yt+1 - Xt = t Xt+1 - 4Yt = 0

3. Yt+1 = 7Yt - 4 Xt + 2 Xt+1 = 6Yt – 3Xt

4. Yt+1 = Yt - 2 Xt si: X(0) = 0 ; Y(0) = 1 Xt+1 = 3Yt – 6Xt

5. Yt+1 - 2 Yt = Xt Xt+1 + 2Xt = 3Yt

6. Yt+2 - Xt = 0 si: X(0) = 0 ; Y(0) = 1 ; Y(1) = 3 Xt+1 - 4Yt = 0

7. Yt+2 - Xt = t Xt+2 - 4Yt = 0

8. Ux+1 – Vx = 0 Vx+1 – 4Ux = 3x

9. Ux+1 – Vx = x Vx+1 – 4Ux = 3x

10. Xt+1 + Yt = 0 Yt+1 – 2Zt = 0 Zt+1 + 4Xt = 7t

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

TALLER No 1: Ecuaciones Diferenciales de variables separables


TALLER No 2: Crecimiento y Descomposición

TALLER No 3: Enfriamiento y calentamiento


TALLER No 4: Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

TALLER No 5: Ecuaciones Diferenciales Exactas


TALLER No 6: Ecuaciones Diferenciales lineales


TALLER No 7: Mezclas


TALLER No 8: Circuitos eléctricos en serie

TALLER No 9: Trayectorias ortogonales


TALLER No 10: Ecuaciones de segundo orden reducibles a primer orden

TALLER No 11: Ecuaciones Diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes


TALLER No 12: Variación de parámetros

1. y = Acosx + Bsenx + cosx ln cosx +xsenx

2. y = Aex + Bxex - exLn ex + 1 - xex


3. y = Acosx + Bsenx – Ln secx + tanx cosx

4. y = Acosx + Bsenx + Ln secx + tanx

5. y = Acosx + Bsenx – Ln secx + tanx cosx + Ln cscx - cotanx senx

6. y = Aex + Be 2x + e2xln - ex arctan(ex)

7. y = Aex + Bxex + ex

8. y = Acos3x + Bsen3x + yp

yp =

9. y = Acos3x + Bsen3x + 2/9 Ln cos3x cos3x +2/3x sen3x

10. y = A + Bx + C e-8x + 11/256x2 + 7/32x3 – 1/16x4

11. y = Ae2x + Be –x + e –x( 1/x + x – 1 + Lnx )

12. y = Aex + Bxe x – ¾ x2 ex + ½ x2 ex Lnx

13. y = Acosx + Bsenx + cosx Ln 1 + senx + senx (-secx + tanx – x )

14. y = A + Bcosx + Csenx - Ln cosx - senx Ln secx + tanx

15. y = Acosx + Bsenx - ½ secx + tanx senx

16. y = Aex + Bxe x +1/9 ex (3x3 Lnx - x3 ) + ½ x2 ex (Lnx – 1 )

17. y = Aex + Bxe x + Cx2 ex + 1/6 x3 ex + x – 13

18. y = A + Bx + Cx2 + D ex + (x – 3) ex

19. y = Ae-x + Be –2x - e x Ln(1+ ex ) + e-2x (1+ ex -Ln(1+ ex ) )

20. y = Ae-2x cosx+ Be 2x senx + e-2x cosx Ln (Cosx) + x e-2x senx

TALLER No 13: Circuitos en serie LRC


TALLER No 14: Ecuaciones diferenciales de Cauchy – Euler

TALLER No 15: Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias


TALLER No 16: Solución de ecuaciones diferenciales por Transformada de Laplace


BIBLIOGRAFIA

1. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones Autor Dennis G. Zill. Editorial Grupo Editorial Iberoamérica.

2. Ecuaciones Diferenciales con Problemas Valor de Frontera.


Autor Stephen L. Campbell - Richard Haberman. Editorial Mac Graw Hill.

3. Ecuaciones Diferenciales Elementales Autor Edward Penney. Editorial Prentice Hall.

4. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Autor S. L. Ross. Editorial Interamericana.

5. Ecuaciones Diferenciales Autor Rainville - Bedient - Bedient. Editorial Prentice Hall.


Talleres de Matemáticas III

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