Talleres didácticos para la enseñanza de las matemáticas jica - prueba final impresión

TALLERES DIDÁCTICOS

DE MATEMÁTICAS PARA EL AULA

ALCALDÍA DE MEDELLÍN

Naoya KosakaKeita Miyakawa

AULA TALLER DE MATEMÁTICAS

ESCUELA DEL MAESTRO

Alcaldía de Medellín

TALLERES DIDÁCTICOS DE MATEMÁTICAS PARA EL AULAAlcaldía de Medellín

1a. edición: 2012© JICA© ALCALDÍA DE MEDELLÍN© Naoya Kosaka© Keita Miyakawa

CoautoresFredy de Jesús Pérez CarmonaDiego León Correa ArangoWilian Fernández DíazFredy García RamírezCarlos Octavio Gómez Tabares

ISBN: 978-958-8692-56-2

Aníbal Gaviria CorreaAlcalde de Medellín

Luz Elena Gaviria López Secretaria de Educación

Ana Lucía Hincapié Subsecretaria de Educación

Luis Fernando CortesSubsecretario de Planeación

William Mesa AgudeloLíder de Programa Proyectos Educativos Especiales yProyectos Pedagógicos Transversales

María Magdalena González CorreaLíder proyecto Escuela del Maestro

José Alberto Rúa VásquezDirector Proyecto Polya

Jorge Alberto Bedoya BeltránCoordinador académico Proyecto Polya

Fredy de Jesús Pérez CarmonaCoordinador Red de Matemáticas

Diseño, diagramación e impresión:Sello Editorial Universidad de Medellín

Todos los derechos reservados.Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, por ningún medio inventado o por inventarse, sin el permiso previo y por escrito por la Agencia Japonesa de Cooperación Internacional –JICA– y por la Alcaldía de Medellín.Hecho el depósito legal.

CONTENIDO

PRESENTACIÓN ................................................................................................ 5

AGRADECIMIENTOS ......................................................................................... 6

PARA EL LECTOR .............................................................................................. 7

PENSAMIENTO NUMÉRICO VARIACIONAL

Taller 1: Número y operaciones ......................................................... 13

Taller 2: Número y operaciones ......................................................... 25

Taller 3: Pensamiento de “10” ............................................................. 33

Taller 4: Juego de ᐩኈᒣ(Fuji san) ..............................................39

Taller 5: Juego de 䜆䛹䛖 (Las uvas) .............................................45

Taller 6: MasuKeisan ............................................................................ 51

Taller 7: Número y operaciones para tercero ...................................... 61

Taller 8: Matemáticas en Excel: Fraccionarios ...................................71

PENSAMIENTO ALEATORIO

Taller 9: Números novios ...................................................................... 87

Taller 10: Cuadrados mágicos, literales y sudokus .............................. 95

Taller 11: Matemáticas con Excel: estadística ....................................105

PENSAMIENTO GEOMÉTRICO MÉTRICO

Taller 12: Kirigami .................................................................................119

Taller 13: Origami ..................................................................................127

Taller 14: Entretenimientos matemáticos ........................................... 137

Taller 15: Entretenimientos matemáticos ...........................................159

Taller 16: Matemáticas con Excel: áreas ............................................. 177

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Presentación

Respondiendo a las necesidades del país para alcanzar mejores condiciones de desarrollo social y económico, y mejorar la calidad de vida de la población colombiana, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) y la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA), entre el 2003 y 2011, desarrollaron el proyecto “Mejoramiento del sistema de enseñanza de docentes de Matemáticas y Ciencias Naturales”, que favoreció a 62 docentes de 29 secretarías de Educación, de entidades territoriales certificadas y de 5 universidades del país, con el desarrollo de un proyecto en colaboración con la Universidad de Miyagi (Japón).

Uno de los derivados del aprendizaje del mismo es el que estamos recopilando hoy en este libro: Talleres didácticos de Matemáticas para el aula, realizado por nuestros Cooperantes Voluntarios japoneses con el apoyo del Aula Taller de Matemáticas y la Red de investigación en Matemáticas de la Escuela del Maestro. Todo esto se llevó a cabo gracias a la iniciativa de la Secretaría de Educación de Medellín y JICA.

En nombre de JICA y del Gobierno Japonés deseamos que todo el conocimiento expuesto hoy en este material sea de beneficio directo para los niños, las niñas y los adolescentes;; estamos seguros de que continuarán con la ardua labor de contribuir al desarrollo de este hermoso país.

Aprovecho la oportunidad para agradecerles por todo el esfuerzo hecho en conjunto con nuestros Cooperantes Voluntarios.

KIYOSHI YOSHIMOTORepresentante ResidenteJICA - Colombia

Agradecimientos

Estamos en una época de progreso y cambios, cada vez más rápidos, en la sociedad del conocimiento. Es así como la misión de la educación debe estar enfocada a acercar a los estudiantes al conocimiento científico y tecnológico, como también a la incorporación de los valores, la educación ciudadana, el respeto a los recursos naturales y de su entorno.

En este sentido, la alianza de la Secretaría de Educación de Medellín con la Agencia de Cooperación Internacional del Japón –JICA–, ha permitido que los maestros voluntarios del Japón aportemos, desde la experiencia con nuestro modelo educativo, a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en la ciudad. Es así como a través del Aula Taller de Matemáticas de La Escuela del Maestro, se ha preparado esta publicación, la cual contiene talleres en los cinco pensamientos del área que han sido diseñados y puestos en práctica con maestros y estudiantes de la ciudad por parte de los profesionales de dicha Aula Taller y por los maestros voluntarios del Japón.

Esperamos que la presente publicación sea un gran aporte y de gran ayuda para los maestros en la orientación de la enseñanza de las Matemáticas y, por ende, para el mejoramiento de los aprendizajes.

Agradecemos a todas las personas que nos acompañaron durante nuestro voluntariado, por los aprendizajes y la experiencia vivida, en especial la señora secretaria de Educación de Medellín, Luz Elena Gaviria López;; al director de la Agencia de Cooperación Internacional de Japón, Kiyoshi Yoshimoto;; a la líder de proyecto Escuela del Maestro, Magdalena González, y a la Universidad de Medellín. Además, un agradecimiento muy especial al señor Fredy de Jesús Pérez Carmona, Coordinador de la Red de investigación en Matemáticas de la Escuela del Maestro, por el acompañamiento y por poner en práctica desde principio a fin este proyecto.

De corazón, a todos, mil gracias.

NAOYA KOSAKAKEITA MIYAKAWAVoluntarios de JICA

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7

Para el lector

Desde la Alcaldía de Medellín, en su Plan de Desarrollo, Medellín un Hogar para la Vida,

la educación juega un papel transcendental como pilar para la transformación social y eje fundamental para superar la desigualdad en la región, y para hacer de Medellín educada, una ciudad educadora para la vida y la equidad.

Desde el año 2003, la Secretaría de Educación de Medellín cuenta con el apoyo técnico de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón, JICA, que vienen acompañando los procesos de planeación y desarrollo de las actividades de aprendizaje en las áreas de Matemáticas y Ciencias Naturales en las instituciones educativas.

La cooperación se ha efectuado a través de maestros voluntarios japoneses, quienes han puesto a nuestra disposición todo su conocimiento y capacidad, reflejados hoy en el libro Talleres didácticos para Matemáticas, estrategia que le apuesta al mejoramiento de calidad educativa en esta área.

Esta publicación es el resultado de experiencias compartidas del modelo educativo japonés, modelo que se destaca en el mundo por el alto desarrollo del pensamiento científico, tecnológico y matemático. La metodología que se llevó a cabo con los maestros de Medellín tuvo como eje los ciclos de talleres prácticos, orientados desde las Aulas Taller y en diferentes Instituciones Educativas de la ciudad.

El aporte académico y pedagógico de la JICA, a través de los voluntarios Keita Miyakawa y Naoya Kosaka, ha sido de gran valor para la Secretaría de Educación en su misión de mejorar la calidad educativa y en la tarea de cualificar a nuestros maestros.

La Secretaría de Educación de Medellín recibe con beneplácito la iniciativa de la JICA como una forma de dejar instalado su aporte al mejoramiento de los aprendizajes en Matemáticas, a través de la publicación del libro “Talleres didácticos para la enseñanza

de las Matemáticas”.

Agradecemos a la JICA y a los Maestros Keita Miyakawa y Naoya Kosaka por toda la dedicación y entrega a nuestros maestros y estudiantes. A través de la alianza JICA–Colombia, estos maestros japoneses hacen un gran aporte para nuestras instituciones educativas, registrado en este material que nos permitirá seguir transformando nuestros ambientes de aprendizaje y fomentado el desarrollo científico y tecnológico en la ciudad.

LUZ ELENA GAVIRIA LÓPEZSecretaria de Educación de Medellín

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JICA COLOMBIA

En el mundo viven más de 6.000 millones de personas en más de 190 países, y el 80% de las personas viven en los países en vía de desarrollo, donde se presentan atrasos en la economía, la industria, y la tecnología. Colombia se considera uno de esos países.

La ODA1 comprende toda aquella asistencia económica y técnica que realizan los gobiernos de los países desarrollados y de desarrollo medio, con el fin de ayudar a los países en vía de desarrollo y mejorar la calidad de vida de las personas que viven en ellos.

Dentro de la ODA japonesa, hay dos formas de asistencia: asistencia bilateral (donación y préstamo) que realiza directamente el Gobierno japonés, y asistencia multilateral que consiste en contribuciones a las organizaciones internacionales. Dentro de las donaciones bilaterales, la JICA, que es la Agencia de Cooperación Internacional del Japón, realiza la asistencia técnica principalmente enfocada al “desarrollo de los recursos humanos”, los cuales son los recursos potenciales para el futuro de los países en vías de desarrollo.

Para ofrecer la asistencia técnica hay, entre otras, las siguientes modalidades:

1) Realización de cursos de capacitación a profesionales, investigadores y funcionarios administrativos para mejorar el conocimiento académico, la técnica y la tecnología,

2) Envío de expertos y voluntarios,

3) Donación de equipos necesarios,

4) Realización de estudios necesarios para llevar a cabo proyectos de desarrollo.

JICA, como agencia de cooperación, busca ofrecer la asistencia técnica más apropiada y a la vez más eficiente y efectiva para la necesidad de cada país, combinando las diferentes modalidades citadas.

Actualmente JICA tiene subsedes en más de 80 países del mundo, dentro de los cuales 56 son oficinas representativas en el exterior. JICA Colombia es una de ellas. A partir

1 ODA significa Official Development Assistance (“Asistencia Oficial para el Desarrollo: AOD” en español).

10

del año 1980 hemos venido trabajando por el desarrollo de Colombia y por mejorar la calidad de vida de los colombianos.

En Colombia, JICA se encuentra establecida desde el año de 1980, previa suscripción del Convenio Referente a Cooperación Técnica celebrado entre el Gobierno de la República de Colombia y el Gobierno del Japón, el 22 de diciembre de 1976, aprobado por el Congreso de la República de Colombia mediante la Ley 18 del 14 de noviembre de 1978.

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PROGRAMA DE VOLUNTARIOS

JICA COLOMBIA está realizando dos tipos de programas de envío de voluntarios japoneses calificados, quienes se han ofrecido para asistir a los países en desarrollo en sus tareas de construcción. Uno de ellos es el Servicio de jóvenes japoneses, de 20 a 39 años, voluntarios para la cooperación en el extranjero (JOCV). Estos jóvenes son especialistas en diferentes campos como agricultura, salud, educación, tecnologías, deportes, etc.

El objetivo del programa de Jóvenes Voluntarios –JOCV– es mejorar el nivel de conocimiento y tecnología del país, trabajando junto con la comunidad.

Uno de los proyectos que se tiene con Colombia, a través del voluntariado, es el de Cooperación Técnica Proyecto de Fortalecimiento del Sistema de Formación de Docentes de Matemáticas y Ciencias Naturales. Se prefieren estas dos áreas educativas de las Matemáticas y las Ciencias Naturales ya que hacen parte importante de los pilares para que las futuras generaciones aborden los temas tecnológicos con base en la experiencia propia y la aplicación de nuevos desarrollos. Para el año 2003 el Ministerio de Educación envió a JICA una solicitud de capacitación en estas áreas, mediante cursos especiales en Japón para docentes de primaria y secundaria.

Los maestros seleccionados de las diferentes regiones del país conocen las metodologías de enseñanza aplicadas en el Japón, y generan procesos de adaptación para su entorno con el ánimo de evaluar a corto y mediano plazo los resultados para, finalmente, poder compartirlos y divulgarlos a sus colegas.

Este entrenamiento está apoyado por la visita de expertos y diferentes actividades de evaluación, seguimiento y multiplicación orientadas por el Ministerio y los exbecarios del curso, y apoyadas por JICA.

Pensamiento

numérico

variacional

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Dirigido a

Grado Primero

Pensamiento numérico

Estándar:

TALLER

1

Número y operaciones

17


Concepto de número

Es común que se les diga a los niños que el número es un símbolo que representa o se asocia con el tamaño de una colección o el número de objetos que la contienen. Si eso fuera así, ¿cómo podría aplicarse tal definición a los números que representan, por ejemplo, mi documento de identidad, o el ipc (índice de precios al consumidor), o la rapidez de un móvil? Es por eso que manejar ciertas definiciones, en matemáticas, es muy complejo. En el caso de los números, es mejor no partir de ninguna definición, lo que no es obstáculo para aprenderlo y utilizarlo. Por eso hay que partir del número como concepto.

Se entiende que un concepto es dinámico, inacabado, que se construye desde esquemas o nociones, y cada vez se va elaborando más2. En otras palabras, el número, como casi todos los elementos matemáticos, es una abstracción, es decir, una serie de ideas que se construyen desde la realidad pero que terminan perteneciendo al pensamiento. El número, en sí, no es real, pero nos permite hacer relaciones entre elementos, como el caso de las operaciones;; también nos permite codificar, ordenar, etc.

Una forma de iniciar el proceso de abstracción es el uso de materiales concretos. Estos tienen eficacia siempre y cuando el niño sí construya los conceptos y deje de depender de esos materiales para realizar sus pensamientos. A continuación el voluntario Keita Miyakawa presenta una serie de actividades propuesta para alcanzar una mejor abstracción del concepto de número y de las operaciones básicas en el sistema decimal.

Además de considerar los logros propuestos, según lo estándares de calidad definidos para Colombia, él propone las siguientes metas para el grado primero:

suma y la resta.

establecidas en una situación.

2 Ver “Pensamiento y lenguaje” de Lev I. Vigostky,

18

Pensamiento numérico variacional

de objetos a través de la actividad con los materiales concretos (manipulación de imágenes).

reconozca las figuras que componen una imagen y establezca relaciones entre ellas.

que en ella intervienen y construir una situación que la describa o crear dibujos que la representen.

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Actividades

1. Números

La comparación de cantidades entre dos colecciones de elementos.

Se ponen en correspondencia los elementos de dos colecciones para determinar cuál es mayor o menor. Luego, los alumnos deben trascender al reconocimiento de las relaciones entre las cantidades en ausencia de los objetos concretos.

Se cuentan los elementos, en orden y en voz alta: “uno, dos, tres, cuatro…”. La secuencia se puede iniciar con cero, aunque para el niño es difícil entender el concepto de “0”3. Se necesitan actividades adicionales para entender y promover la comprensión de este concepto.

Se capta un número y su descomposición en suma o resta. Por ejemplo, se puede representar el número cinco como la descomposición de otros números: observar que 5 bolas es el resultado de sumar las siguientes parejas: 1 y 4;; 2 y 3;; 3 y 2, 4 y 1.

Y

Y

Y

Y

3 Normalmente el niño asocia el cero con “nada” y esto llega a ser muy reforzado por los adultos que están a su alrededor, lo que es entendible cuando se habla del número sólo en términos de cantidades. El concepto de cero puede mejorarse cuando se asume, por ejemplo, como un referente, en el caso de la recta numérica. Más parecido lo que pasa con la historia. Para nosotros el año cero es el de Cristo. Ese cero no significa

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Para la representación del número de 2 cifras, se representa el número por grupos de 10 unidades y las unidades restantes. Ejemplo: el 43 se descompone en cuatro grupos de 10 unidades y tres unidades adicionales.

En el grado primero, se debe aprender a reconocer la cantidad de grupos de 10 a través de diversas actividades. Ejemplos: 40 consiste en 4 grupos de 10;; si hay 6 grupos de 10, entonces el número es 60.

El reconocimiento del valor posicional de los números naturales se convierte en la base para comprender más adelante los algoritmos de la suma y la resta, no solo de números naturales sino de los racionales, posteriormente.

Ejercicios

Represente el número 85

Decenas Unidades

21


2. Los cálculos

se hacen presentes. Por ejemplo:

Suma:

1. Adición: Hay 3 aves, si llegan 2 aves adicionales, ¿cuántas aves hay?

2. Unión: Yo tengo 3 lápices y usted tiene 2 lápices, si los juntamos, ¿cuántos lápices tenemos?

3. El orden: Yo tengo 5 años;; dentro de 3 años, ¿cuántos años tendré?

Resta

1. Resta: Hay 5 tortas;; si yo me comí 2 tortas, ¿cuántas tortas me quedan?

2. Diferencia: Yo gané 5 premios, ella ganó 2 premios. ¿Cuántos premios gané más que ella?

3. Orden: Ahora son las 5:00. Hace dos horas, ¿qué hora era?

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A través de una situación concreta se busca entender los algoritmos de la suma y la

Juan recogió 7 bellotas. ¿Cuántas bellotas recogieron en total? A través de este ejemplo, los niños del grado 1 deben pensar en tres cosas importantes por sí mismas, a saber:

Primera, deben asociar la situación a una de las tres opciones anteriores (en este caso, la de la unión).

Y por último, tienen que buscar una manera para sumar. Para ello, pueden darse dos opciones:

1. O separan 7 bellotas que cogió Juan, luego descomponen 7 en 2 y 5 y suma así

Lo más importante es poder conformar un grupo de 10 en cualquiera de los dos casos.

Y

Juan

Juan

23


Ejercicios

En el caso de la resta, también hay dos maneras de pensar. Por ejemplo, ¿cómo se piensa 12 – 7?

último, se agrega 2.

luego se resta 5.

Grafíquelo

25

Dirigido a

Grado Segundo


Estándar:

Reconozco significados del número en diferentes contextos (medi-ción, conteo, comparación, codificación, localización, entre otros).

Describo, comparo y cuantifico situaciones con números, en diferentes contextos y con diversas representaciones.

Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas–para explicar el valor de posición en el sistema de numeración decimal.

Describo situaciones de medición utilizando fracciones comunes.


TALLER

2

27


El número y el valor de posición

Nuestro sistema de numeración es posicional. Ello significa que el valor de un dígito depende de la posición. Por ejemplo en 55, que se lee cincuenta y cinco, no hay dos cincos, lo que hay es un cincuenta con un cinco. La lectura misma del número lo dice. Nadie lee cinco cinco, a no ser que sea un código. Cuando el número es un código es usual desglosarlo por dígito o por parejas u otras formas (por ejemplo, el número del celular, que consta de 10 dígitos, es usual nombrarlo partiendo los seis primeros dígitos en dos tripletas y los cuatro últimos en dos pares). Pero cuando el número refiere a un valor, este se da en términos de lo que realmente representa. Otro ejemplo es el 222, que se lee doscientos veintidós, no dos dos dos. Sin embrago, de manera inconsciente, se enfatiza demasiado en la descomposición del número en términos de “unidades” cuando, por ejemplo, este último caso se nombra así: 222 es igual a dos unidades, dos decenas y dos centenas. Es por ello que muy a pesar de que el valor de posición se enfatiza tanto en estos términos, los estudiantes, en niveles superiores, incluso, presenten serias dificultades con la comprensión del número y, muy especialmente, sus aplicaciones en lo que refiere al valor posicional, ya que si no se tiene claro este concepto, el niño tendrá errores en los procesos operativos. Puede que realice operaciones;; pero lo más probable es que las haga sin la seguridad y la autonomía que se requiere para los propósitos de su aprendizaje.

En este taller, Keita hace unas apreciaciones de lo que un niño de segundo debe lograr en Matemáticas al terminar este grado. Sugiere estrategias para lograr la compresión del número y de las operaciones básicas en niños del grado.

Según él, las metas en segundo grado son:

concretos. Aprender los símbolos y la representación de números, también los algoritmos de la suma y la resta. Además, aprender el significado de la multiplicación y la manera de multiplicar.

longitud y volumen, también la medida en base de las unidades.

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triángulo y cuadrilátero, y mejorar el significado de las figuras.

numérica con palabras, números, fórmulas, descripción, tabla y gráfico.

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1. Números

Contar por grupos de números

Contar los objetos cada 2, 5, 10, etc.

Esta actividad se basa en un entendimiento de la multiplicación. Además, en la actividad de contar cada 10, los alumnos deben trascender al reconocimiento del sistema decimal.

Los números relativos

Se reconoce el tamaño del número con base de las decenas y centenas que contiene.

Ejemplo, en 6000 hay 600 grupos de 10 o 60 grupos de 100. Para que entiendan la estructura del número claramente, y desarrollen el sentido numérico.

Reconocer un número como el resultado de una multiplicación

A través de la actividad de contar el conjunto de los objetos cada un número, los alumnos entienden la estructura múltiple.

Se propone una actividad como la de “organizar 12 bolitas de varias maneras formando un rectángulo”, Así, ellos mejoran la percepción.

Fracción sencilla

Con los números naturales, se pueden representar cantidades de objetos indivi-duales, pero no “partes” o “fracciones” de esos objetos. Por eso se usa la repre-sentación de fracción. Se inicia con fracciones sencillas.

Actividades

2 x 6 o 6 x 2 3 x 4 o 4 x 3

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Para que conozcan el significado de los fraccionarios hacer una actividad con material concreto. Por ejemplo, doblar un papel o una cuerda a la mitad.

Papel

Líne

a de d

obléz

2. Los cálculos

Suma y resta de 2 cifras

Basados en los temas que aprendieron en el grado 1 (suma y resta de 1 cifra, también de 2 cifras sencillas), los alumnos tienen que pensar la manera de hacer el cálculo de suma y resta de 2 cifras.

En caso de 28 + 57, primero imaginar esta situación concreta a través de un contexto particular. Luego, con base en los temas realizados, se obtiene del resultado. Sumar unidades con unidades (8 + 7 = 15) y decenas con decenas (20 + 50 = 70). Después de eso, se suma 15 + 70

Es posible que algunos estudiantes realicen las sumas sin cambiar 10 unidades por una decena. En ese sentido, ellos obtendrían resultados parciales que luego sumarían para llegar al resultado.

Lo más importante es pensar esta operación por sí mismo. Cuando ellos entiendan el porqué se lleva a otra columna, pueden organizarla como se muestra a continuación.

28

+ 57 28

15 ……… 8 + 7 ! + 57

+ 70 ……... 20 + 50 85

85

La operación se basa en el sistema decimal.

31



Basados en el conocimiento previo (suma y resta de 2 cifras), pensar la suma y resta de 3 cifras.

en base de centena en estos cálculos. 3 cifras + 2 cifras, 3 cifras – 2 cifras, etc.

Por ejemplo, 628 + 2;; 234 + 57;; 753 – 6;; 683 – 51;; 546 – 27, etc. Los cálculos no tienen influencia en centenas. A través de los cálculos, no solo se aprende la suma y la resta de 3 cifras seguramente, sino también el sentido numérico de 3 cifras.

Multiplicación

A través de una situación de la realidad donde se usa la multiplicación, aprender el significado de la multiplicación.

En caso de tener una cantidad fija, si se requiere saber cuánto es el valor de tener tantas veces de esta cantidad, se usa la multiplicación. Es decir, cuando para representar una suma que se repite (sumar el mismo número), se necesita multiplicar.

En Japón, con la tabla de multiplicación (hasta 9 × 9) hemos aprendido no solo el orden de la respuesta concisamente, sino también la recitación tradicional como una canción. Nosotros los japoneses tenemos que memorizar la recitación para que contestemos la respuesta de una multiplicación rápidamente.

La tabla de multiplicación

Cuando se aprende la tabla de multiplicación, lo más importante es que los alumnos formen la tabla por sí mismos y también descubran unas reglas del orden de la multiplicación.

La tabla es necesaria para que sea base del cálculo de la multiplicación y de la división cuando tratamos los cálculos en grados más avanzados. Por lo tanto, cuando se construye y se aprende la tabla, es necesario que la asocie con la actividad rutinaria o la experiencia de vida cotidiana.

La multiplicación (2 cifras × 1 cifra)

Basados en las cosas que se aprendieron con la tabla, se aprende la multiplicación de 2 cifras × 1 cifra.

32


Ejemplo, pensar en caso de 4 × 2 cifras. Primero, en base de 4 × 9 = 36, los niños pueden entender 4 × 10 = 40 (se aumenta 4 de 36). Aún más, 4 × 11 = 44 (se aumenta 4 de 40), 4 × 12 = 48 (se aumenta 4 de 44), como entendimos lo mismo de 4 × 10.

33

Dirigido a

Grado Tercero

Estándar:

Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

Pensamiento de “10”

TALLER

3


35


El cálculo mental

Uno de los errores más graves que se comete cuando se les enseña a los niños la suma consiste en someterlos a un algoritmo sin sentido “lógico”, por lo que no pueden apropiarlo. Términos como “prestar” y “llevar” los confunden. Quizá se busca con ellos ilustrar una operación de cambio comercial que es común en la actividad humana y se cree que ello lo hace más comprensible. Se ha demostrado que no es así. Realmente lo que se hace es descomponer y componer o recomponer. Por ejemplo, 8 se puede descomponer como la suma de 5 y 3, o como el producto de 4 y 2 (descomposición factorial). Lo interesante es que el niño lo hace así. Los niños aprenden a contar secuencias de números de manera natural, lo mismo sucede con las sumas. Antes de aprender un algoritmo ellos hacen sumas haciendo descomposiciones y recomposiciones. Además, “La mayoría del cálculo que cotidianamente se hace fuera de la escuela es mental”4. También es conocido que para realizar conteos como sumas, los niños aplican sus propias estrategias;; una de las más comunes consiste en el uso de los dedos de las manos. Pero es una etapa transitoria. Sin embargo, muchos maestros o padres de familia se incomodan con esta situación, tratan de agilizar el proceso sometiendo al niño a métodos de repetición para que memoricen rápidamente las operaciones. ¿Qué sentido tiene apresurar al niño cuando cada uno tiene su propio ritmo? Incluso, hay estudiantes que son lentos porque no han asimilado los conceptos básicos, pero una vez que lo logran se acelera su proceso de aprendizaje. Afortunadamente existen estrategias que motivan y estimulan el uso del cálculo mental como este “juego” de los amiguitos.

Las actividades aquí propuestas por Naoya Kosaka tienen como estrategia agilizar el uso del pensamiento, sin la ayuda de los dedos ni de lápiz y papel, para hacer las operaciones de suma y resta, es decir, que los niños puedan hacer las operaciones más rápido y sin usar dedos. En Japón, los profesores lo hacen con estudiantes de primer grado.

4 Bernardo Gómez A. Numeración y cálculo. Síntesis, 1988, España. p. 65.

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Gráfica 1. Descomposición en suma del número 10

Podemos descomponer 10: 1 + 9, 2 + 8,… como se muestra en la gráfica 1. Aunque se muestra una descomposición, la estrategia busca es hallar el complemento del número, el cual se llamará “amiguito de” para obtener 10. Por ejemplo, el amiguito de 1 es 9, el amiguito de 6 es 4,...

Luego se hace una operación con la pareja de amiguitos.

Ejemplo 1 ( + )

8 + 7 =

1. Primero, vamos a completar 10. Se pregunta a los niños: ¿Quién es amiguito de 8? Ellos deben responder: 2.

2. Luego se muestra que podemos descomponer 7 en los sumandos 2 y 5.

3. Así, 8 más 2 sería 10 y queda 5.

4. Sumamos 10 con 5 y el resultado es 15.

Actividades

10

1 9 2 8 3 y 7 4 6 5 5

8 + 7 = 15

2 5

10

15

37


Ejemplo 2 ( + )

6 + 8 =

1. Primero, vamos a completar 10. ¿Quién es amiguito de 6? Sería 4.

2. Podemos descomponer 8 en los sumandos 4 y 4.

3. Así 6 + 4 ser+ia 10 y queda 4.

4. Si sumamos 10 y la sobra 4, el resultado es 14.

Ejemplo 3 ( – )

13 – 8 =

1. Primero, vamos a descomponer 13 en 10 y 3.

2. ¿Quién es amiguito de 8? Sería 2.

3. Sumamos 2 y lo quedó que es 3, entonces, el resultado es 5.

6 + 8 = 14

4 4

10

14

13 – 8 = 5

10 3

2

5

38


Ejemplo 4 ( – )

11 – 3 =

1. Primero, vamos a descomponer 11 en 10 y 1.

2. ¿Quién es amiguito de 3? Sería 7.

3. Sumamos 7 y lo quedó que es 1, entonces, el resultado es 8.

Exprese la suma de 13 + 5

Ejercicios

11 – 3 = 8

10 1

7

8

39

Dirigido a

Desde grado primero en adelante, según nivel de juego

Estándar:

-

Juego de 富士山 (Fuji san)

TALLER

4


41

Juego de Fuji san

El concepto de suma

La suma es la operación más usada. Sin embargo, su comprensión es un proceso que no culmina ni siquiera al terminar el grado undécimo. Un principio fundamental de la suma consiste en que solo se suman elementos de la misma especie o cosa. Esto parece muy elemental;; pero cuando un estudiante de bachillerato suma m con m2 es como si no aplicara esa trivialidad. Lo mismo ocurre cuando suma xm con xn. Esto muestra que, aunque se enfatiza desde la primaria esa propiedad, realmente no se hace consciente a la hora de operar.

Por otro lado, cuando se le enseña al niño a sumar y es necesario descomponer un número, se hace referencia a llevar y a prestar. Es obvio que esto confunde al niño. Por ejemplo, en 13 + 8, el niño mentalmente tiende a descomponer el 13 en 10 + 3, suma el 13 con el 8 y luego con el 10. Cuando se le enseña el algoritmo, se le dice que sume verticalmente 3 con 8;; como da once (diez y uno) se le dice que deje el 1 de la derecha y “lleve” el 1 de la izquierda “arriba” del 1 del 13. En este entramado de lenguaje, el niño termina leyendo todo en términos de unidades, hasta las decenas o dieces o veintenas o centenas terminan siendo leídas así. De esta manera, se pierden las razones lógicas de la operación. Por ello, es muy factible que esa suma le dé al niño 111, ya que suma 3 con 8 y coloca 11 y luego pone el 1 del 13 a la izquierda de ese resultado. Una opción es mostrarle que al sumar, por ejemplo 28 con 7, equivale a la suma de 8 con 7, que da 15 o 10 y 5 y luego se suma de diez con veinte, no dos con uno. Es decir, la descomposición de 28 no es 2 y 8, como la composición de 3 y 5 no es 35, por ejemplo.

Hay que enfatizar que, ante sumas pequeñas, es mejor considerar todas las posibles estrategias que puedan usar los niños. Si hay estrategias muy complicadas o largas, ellos mismos, en procesos de comunicación entre ellos, van estableciendo procesos más económicos. El algoritmo, una vez comprendido desde las mismas propiedades de la suma y de los procesos lógicos, es necesario para sumas o restas grandes.

Existen varias formas de plantear situaciones de adición que, a su vez, implican resta. En este taller Naoya pretende evidenciar esa descomposición del número para formar su suma;; este proceso implica restar y sumar.

42


El Fujiyama (“富士山”) es una montaña o volcán muy famoso porque es el monte más alto en Japón. Vamos a cambiar este montaña así: se inicia con un valor en el cráter del volcán, el rectángulo superior. En los dos rectángulos inferiores que le siguen se escriben dos números cuya suma es el anterior. Finalmente en los rectángulos de la base del volcán se colocan tres números cuya suma de dos rectángulos contiguos es igual al valor del rectángulo superior. Debe cumplirse, además, que no puede aparecer un número repetido en todo el volcán.

El nivel 1 consta solo de tres pisos, se puede usar para primero y segundo grados. El cuadrado de arriba es siempre 50. Tenemos que descomponer el número de arriba en los dos rectángulos que están justo debajo. Por ejemplo, 30 y 20.

Luego se descompone el 30 en, por ejemplo, 15 y 15… Pero esto viola la regla. Tampoco se pueden 10 y 20 porque ya tenemos 20 en 2° piso. Vamos a poner 16 y 14, y en el último cuadrado sería 6, ya que 20 = 14 + 6. Así, se ha logrado llenar el Fuji sin repetir valores. ¡Felicitaciones!

Actividades

30 20

50

Nivel 1

50

43

Juego de Fuji san

Ahora miramos nivel 2 y el 3, que pueden usarse para tercero y cuarto grados. El procedimiento y las reglas son los mismos. El número de arriba es siempre 50 y descomponemos este hacia abajo, por ejemplo 24 y 26. Luego, descomponemos este 24 en 11 y 13. Pero 26 sería 13 más 13. No se puede repetir.

Vamos a descomponer 24 en 2 y 22. Entonces 26 sería 22 más 4. Ahora miramos que el 2 se descompone en 1 + 1 o en 2 + 0. En el primer caso no se puede porque se repite el 1 y en el segundo tampoco ya que 0 no puede usarse, pues, por ser el módulo, o sea, que todo número sumado con cero es igual al mismo número, obligaría a repetir número. Entonces vamos a cambiar números.

30 20

50

16 14 6

24 26

50

Nivel 2

11 13 13

24 26

50

2 22 4

44


Cambiamos 24 a 14 y 10;; 26 sería 10 y 16. Ahora, último piso: descomponemos 14 en, por ejemplo, 8 y 6. El 10 seria 6 y 4. Y el 16 seria 4 y 12. Como no se han repetido números, el Fuji nivel 2 se ha completado. ¡Felicitaciones!

El nivel 3 es para 5 a 11 grados e, incluso, adultos. Antes de darle solución a este juego, disfrútelo usted mismo. ¡Hágale, pues!!

Ejercicios

24 26

50

8 6 4 12

14 10 16

50

Nivel 3

45

Juego de वनअ (las uvas)

Dirigido a

Grado primero, segundo y tercero

Estándar:

Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

TALLER

5


47

Juego de las uvas

El concepto de resta o sustracción

Supongamos que se requiere hacer la siguiente resta con los niños de una clase: 43 – 18. La forma tradicional de resolverla consiste en organizarla verticalmente. Luego mostrar que a 3 no se le puede “quitar” 8. Entonces se dice que el 4 del 43 le “presta 1” al 3 y queda 13 al cual sí se le puede restar 8 dando un resultado parcial de 5. Y como el 4 del 43 quedó en 3 porque “prestó” 1, al 3 al restarle el 1 del 18 queda en 2, lo que finalmente da como resultado 2 y 5, o sea, 25. Al respecto, vale anotar algunas objeciones a este proceso que pueden explicar, en buena parte, el fracaso de los niños cuando hacen restas. Lo primero, es que no hay razón lógica para “prestar”;; el 4 del 43 no le presta al 3. En primer lugar una cosa es cuatro y otra cuarenta, el 4 del 43 no es 4 es 40. Uno no lee cuatro y tres, sino cuarenta y tres. Por tanto, se puede descomponer como 30 más 13. Así, al 13 se le resta 8, ya que se descompone 18 en 10 + 8, quedando 35. Entonces se anota el 5, y a 30 se le resta el 10 que quedó de 18. Esto es más lógico para el niño, lo que le permite realmente construir el concepto de resta.

48


A continuación se presenta el juego de las uvas, que es un juego que permite comprender la operación de resta. “वनअ” significa las uvas. En Japón también comen las uvas aunque son muy costosas ya que se importan.

Vamos a cambiarlas así:

Aquí hay 6 uvas, que pueden hacerse en cartulina o similar, y cada una tiene un número de 1 a 6 sin repetir. La regla consiste en que la resta de los números que están a la derecha de una uva es igual al número de esta. Veamos un ejemplo:

Primero anotamos cualquier par de números;; por ejemplo, 6 y 1. Entonces abajo sería = (6 – 1). Ahora escribimos 3 al lado de 1. Entonces, al lado de 5 sería 2 = (3 – 1). Pero ¡ojo!, una uva de más abajo sería 3 = (5 – 2), que ya se ha usado. Así que se tienen que cambiar números.

Actividades

Nivel 1

1 2 3 4 5 6

6 1

5

3

2

3

1 2 3 4 5 6

49

Juego de las uvas

Ahora ponemos 4 al lado de 1, Entonces, el número de abajo sería 3 = (4 – 1) y el número de más abajo sería 2 = (5 – 3).

Ya tenemos todos los números en cada uva y sin repetirlos. ¡Felicitaciones!Ahora vamos al nivel 2. Aquí ya son 10 uvas. Tenemos que poner de 1 a 10 en cada uva. Debe cumplir las operaciones de resta tal como en el nivel 1.

6 1

5

4

3

2

1 2 3 4 5 6

Nivel 2

51

MasuKeisan

Dirigido a

Grados primero a quinto

Estándar:

-

TALLER

6


53

Juego de MasuKeisan

Mecanización de operaciones

Aunque las prácticas de enseñanza deberían siempre apuntar hacia la construcción de conceptos, una vez aprendido un concepto hay que “mecanizarlo”, es decir, trabajarlo tanto que la recuperación en la memoria de ese concepto o proceso sea casi mecánica. La neurolingüística explica esto: en la medida en que un concepto o proceso se relaciona con una red neuronal, las repeticiones hacen más eficientes y automáticas las conexiones sinápticas5 y, por tanto, en la medida que los procesos más sencillos se automatizan se tiene mayor disposición para aprender procesos más complejos y superiores. Incluso, eso facilita la relación con otros conceptos y procesos. De ahí que la construcción de un concepto es un proceso que va de simple a complejo y luego a más complejo. La imposición cultural de que un niño se aprenda las tablas de multiplicar es una muestra de la necesidad de automatizar esa operación para que pueda hacer cálculos más complejos. Sin embargo, esa exigencia tiene un sentido histórico si se recuerda que la producción masiva de calculadoras, hoy más a la mano con los PC y los celulares, tiene algo más de tres décadas. Hoy día, no se requiere aprender las operaciones tanto para hacer cálculos cotidianos, esos aparatos suplen esa necesidad. Ahora hay que pensar que la necesidad de automatizar las operaciones torna sentido en que los saberes se han hecho más accesibles pero más complejos. La memorización, que es necesaria, debe trascender la repetición, la mayoría de las veces sin sentido aparente, y desarrollarse como un proceso de construcción.

Para ello, Keita presenta una herramienta que permite mecanizar las operaciones básicas de manera entretenida pero disciplinada, y con significado para el niño.

MasuKeisan significa el cálculo con cuadros, se usa en la materia de Matemática, muy conocida en Japón. Esta estrategia es útil para avanzar en la capacidad de cálculo. Es muy importante repetirla en cada clase con disciplina para lograr avances en el cálculo, como reza el dicho: “Zamora no se gana en una hora”. Es recomendable medir el tiempo que se demora en terminarla, para que no se

5 Una conexión sináptica o sinapsis es el espacio de interconexión entre dos neuronas y se comunican por medio de sustancias denominadas neurotransmisores.

54


pierda interés en la actividad. Por ejemplo, si un niño se demoró 3”30 para terminar ayer y hoy tardó 3”20, él mejoró su tiempo en 10 segundos respecto a ayer. Para mantener la motivación alta, el tiempo es buen factor. Hay otra ventaja: los niños saben que inicialmente en la clase de Matemática trabajan con “Masu keisan”. Así que ellos se callan y organizan pronto en el aula y se concentran.

55

Juego de MasuKeisan

Una primera actividad es de adición. En el cuadro que está oscuro, se cruzan 2 y 1. Por eso, hay que colocar 3 (2 más 1) en el cuadro. Normalmente, nosotros usamos 100 cuadros (se llama 100 Masu Keisan).

+ 3 9 1 7 6 2 8 4 9 3

6

9

8

4

7

1 3

2

8

3

4

Continúe llenado en Masu keisan

Se puede cambiar de signo u operación. Por ejemplo, otro tipo de Masu Keisann consiste en restar el número menor al mayor. Se puede cambiar por multiplicación. Cuando se divide, hay que colocar el residuo en el cuadro. Por ejemplo, 7 ÷ 2 = 3 + 1/3, o sea, 3 y residuo 1. Entonces, se coloca 1.

Hay tres niveles: Masu Keisan 1, Masu Keisan 2, Masu Keisan 3.

Actividades

MASU KEISAN 1

Nombre:

6

8

5

3

3 4 7 2 +

2

3

6

7

4 2 5 9

– 9 6 5 8

7

8

2

3

6 3 5 8

2

5

7

4

57

Juego de MasuKeisan

MASU KEISAN 2

Nombre:

+

8

3

5

9 6 2 0 5 4 1

7

6

1

–

58


MASU KEISAN 3

Nombre:

+

10 3 2 10

6 4 12 24

9

0

3

1 4

2 2

–

59

Juego de MasuKeisan

MASU KEISAN 4

Nombre:

+2 2 6 60

0 27 12

2 36

1 2 1 20 12

1 7 70

2

6 5 0 1

4 17

3 14

0 9

0 8

3 11

1 3 12

–

61


Dirigido a

Grado tercero

Estándar:

TALLER

7


63


La fracción y la notación decimal

Es más común encontrar más valores con fracción o “pedazo que sobra” que en términos de entero. Por tanto, saber cómo representar una fracción es importante para el desarrollo del pensamiento. Inicialmente la representación de fracción es una parte del total. Por ejemplo, 2/3 (dos tercios) es dos partes de tres partes iguales en que está dividida la unidad. Posteriormente se trabaja como una división. No es extraño encontrar estudiantes, incluso de secundaria, que no comprendan que 2/3 es lo mismo que 2 ÷ 3 y viceversa. También debe trabajarse como una relación: $2000 por 3 lápices = $2000 / 3 lápices, $1900 por dólar = $1900/1 dólar, ochenta quilómetros por cada hora de viaje = 80km/1 hora. Es más importante aclarar estos conceptos que enseñar una taxonomía de los fraccionarios: propios, impropios, homogéneos, heterogéneos, etc. A propósito, a los niños se les enseña la diferencia entre sumar fraccionarios homogéneos: se suman los numeradores y se deja el denominador. Nada más sencillo que si tengo tres cuartos y luego dos cuartos, en total tengo cinco cuartos. Esto es tan natural que no necesita discriminarse una tipología de fraccionarios. Cuando los denominadores son diferentes, como, por ejemplo, un medio más un cuarto, no se pueden sumar así, simplemente porque son tamaños diferentes;; un medio es más grande que un cuarto. Hay un principio de la suma: dos cosas de diferente clase no se pueden sumar. Pero se puede enseñar que un medio es igual a dos cuartos. Así sí se pueden sumar un cuarto con dos cuartos. Es decir, simplemente se pueden escribir o representar fraccionarios de diferente denominador en forma tal que queden con igual denominador, o sea, en fraccionarios equivalentes. Otra forma de representar la fracción es la decimal, donde aparece claramente cuántas décimas, centésimas, milésimas,… es la fracción. Así, 0.16 es una décima, o sea, 1/10 (una parte de 10, es como tomar la unidad y dividirla en 10 partes). Así, 0.3 es tres décimas. Si la unidad se divide en cien partes iguales, cada parte es una centésima, o sea, 0.01. Como 3/10 es igual a 30/100, se tiene que 0.3 = 0.30, es decir, 3 décimas es lo mismo que 30 centésimas.

6 No hay una definición internacional de cuál se usa, de la coma o del punto, para decimal y cual para separar unidades de mil. En Colombia, bajo la norma Icontec se usa la coma para decimal.;; pero puede observarse que no sólo entre libros, también entre programas de computadores, incluso, entre diferentes calculadoras de mano, se encuentra el uso de ambos para decimal. Lo más importante es que, al definir cuál de ambos, coma o punto, mantenga esa posición a lo largo del trabajo. Cuando se usa un texto o un programa, basta con identificar al comparar diversos números cuál es el que allí se usa. En el ejemplo que sigue puede verse que Keita usa la coma para miles y el punto para decimal.

64


Lo más importante, entonces, es comprender el número representado y saber leerlo en cualquier posibilidad. Así, las operaciones serán más fáciles de aprender.

Estos temas como una mayor consolidación de las operaciones básicas, se trabajan en tercero, y Keita, en el siguiente taller, nos presenta otras posibilidades de enseñarlo.

Las metas en tercer grado para Keita son:

Además, aprender el significado de la división y la manera de dividir. También aprender el significado y la representación del decimal y la fracción.

isósceles, triángulo equilátero etc.

tabla y gráfico.

65


1. Representación numérica

Números grandes

Cuando se quiere que el niño aprenda el número grande (10000, 100000,...), enseñamos a través de situaciones concretas y de los materiales. Por ejemplo, la población de una nación, el presupuesto de un país, etc. Porque es usual que en los asuntos cotidianos, los niños casi no tienen oportunidad de contar y reconocer más de 100007.

El número grande se puede reconocer desde varios puntos de vista de las siguientes formas:

En caso de 10 mil, por ejemplo:

– Hay 10 grupos de 1000

– El número que es mayor en 1 a 9999

– 5000 y 5000

– 100 veces de 100

– Etc.

10 veces, 100 veces, 1/10 veces

Cuando se multiplica por 10, 100 o 1/10, el valor posicional de cada dígito aumenta en diez veces, si se multiplica por 10, en cien, si es por 100,… o disminuye en décima parte si se multiplica por 1/10, en centésima parte si es por 1/100,… por eso, en el primer caso, para números enteros, se aumenta de a un cero según el número de ceros de 10, 100,… y en el segundo, se disminuyen los ceros o se coloca la coma o el punto de decimal, según el caso.

Ejemplos: 1,234 × 10 = 12,340;; 5,678 × 1/10 = 0,5678

7 En Japón la moneda es el Yen, que vale más que el peso colombiano. Allí, entonces, los niños manejan valores más bajos en los costos cotidianos mientras que en Colombia es usual que un niño maneje valores desde cien pesos hasta más de cincuenta mil.

Actividades

66


2. Suma y resta


Basados en los temas que aprendieron en el segundo grado (suma y resta de 2 cifras), los niños tienen que pensar la manera de calcular la suma o la resta de 3 cifras o 4 cifras. En el caso de 154 + 172, los niños llegan a la respuesta por sí mismo utilizando el conocimiento previo de 54 + 72.

Estimación para obtener un cálculo seguro

Es necesario estimar la respuesta cuando pensamos la manera del cálculo de una suma o de una resta de 3 cifras o 4 cifras;; pero también debemos revisar la respuesta. En caso de 389 + 4897, si los niños llevan a la respuesta equivocada 8787 a falta de arreglar la posición de las cifras, ellos tienen que darse cuenta de sus errores. Aproximadamente, se reconoce 389 como 400, y 4897 como 5000. Entonces, la respuesta está muy cerca de 5400, por lo tanto, puede darse cuenta del error.

En la vida, hay muchas ocasiones que requieren estimar la respuesta para hacer cálculos rápidos y aproximados.

Una actividad que representa el sistema del cálculo con los materiales, las figuras y las palabras.

El fin de esta actividad es pensar el sistema del cálculo y expresar las opiniones. En el caso de 568 + 437, hay que prestar atención a llevar8 “1” a otra posición.

Por ejemplo, la decena es que 6 + 3 + 1 que llevaba de la unidad. La centena también es que 5 + 4 + 1 que llevaba de la decena.

8 El término “llevar” significa que 10 unidades es como escribir 1 en la posición de decenas o que 100 es como escribir 1 en la posición de centenas, lo cual parece muy obvio;; pero realmente el lenguaje que se usa en la escuela no le permite al niño discernir esto y el termina confundiendo todo con unidades.

Ejercicios

67


3. Multiplicación

En el tercer grado, se aprende la multiplicación de 2 cifras o 3 cifras por 1 cifra o por 2 cifras

Multiplicación de 2 cifras

En el caso de 23 × 4, primero se reconoce 23 como 20 y 3. Después, se multiplica 20 × 4 y 3 × 4 por separado y luego se suman las respuestas de ambas multiplicaciones. Los niños tienen que descubrir esta solución por sí mismos a través del conocimiento previo (el sistema decimal, la tabla de multiplicación memorizada). Después de que aprendan la solución, del mismo modo, se resuelve 23 × 45 como 23 × 40 y 23 × 5, por ejemplo.

La multiplicación con 0

Para los niños es difícil imaginar una situación de cálculo con el numero 0. Por ejemplo, 30 × 86,…

Es necesario conocer la situación de multiplicar por 0. En caso de usar 0, los niños aprenden esta percepción con una actividad lúdica. Por ejemplo, un juego de apuntar al blanco. Si se da 3 veces en el blanco de 0 punto, se puede representar 0 × 3. También si no se da nunca en el blanco de 3 punto, 3 × 09. De esta manera,

9 Una gran dificultad con el cero es que se asimila con ausencia de o con nunca. De hecho cuando los niños miden, parten de 1, por lo que erran en su medida. Una forma de presentar el cero como valor consiste en utilizarlo como referente. En los países occidentales, el año 0 es el de Cristo, A. D., y se encuentra que antes de este año hay mucha historia. Luego, en la recta numérica con números enteros. El cero “divide” a la recta en dos, en cualquier parte.

1000

10010

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

10

10

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

100

+ ++

68


ellos aprenden el sentido de 0 con base de la situación real. Este conocimiento se aprovecha para 30 × 86, 54 × 60 etc.

4. División

Se comienza a estudiar el tema de división desde el tercer grado.

Hay 2 situaciones que se necesitan para hacer división.

1. ¿Cuántas veces de una cantidad se incluyen en otra cantidad?

2. Cuando se divide una cantidad en partes iguales, ¿cuánta cantidad tiene cada una?

En el caso de la situación de 12 ÷ 3, por ejemplo,

1. Se reparten 12 dulces;; a cada niño de a 3 dulces.

2. Se reparten 12 dulces a 3 personas en partes iguales.

Es importante en el inicio de la división estudiar con el manejo de unas cosas concretas, como bolitas, para aprender el significado. A través del manejo de las cosas, enseñamos el concepto del residuo.

5. El sentido y representación de decimal

En el segundo grado los niños ya aprendieron la longitud y volumen como “9cm y 2mm”, “3l y 6dl”. A través de este conocimiento pueden entender la representación decimales. (9.2cm 3.6l)

El sentido y representación decimal

En el caso del número entero, un conjunto de 10 de una unidad sigue otra unidad.

Por el contrario, en el caso decimal, una pieza de 10 de una unidad significa 0,1. Lo más importante para entender el concepto es situar los números y los decimales encima de una línea recta.

Por ejemplo, 2,6 está entre 2 y 3. También está en sexto rayas que se dividen en 10 igualdades entre 2 y 3.

69


6. El sentido y representación de fracción

El sentido y representación de fracción

En cuanto al sentido de fracción, se pueden reconocer varias cosas.

Ejemplo: 2/3

– El tamaño de 2 partes que se dividen en 3 partes iguales.

– El tamaño de 2 partes que se divide 1 en 3 partes.

– Como A es 2/3 de B, es una proporción si se toma B como 1

– Un resultado de 2 ÷ 3

La suma y resta de fracciones sencillas

En tercer grado los niños aprenden el significado de la suma y de la resta de iguales denominadores, y la manera de calcularla.

Por ejemplo, en el caso de la longitud, si se juntan 1/5m y 2/5m, ¿cuántos metros van? Hay que tomar 3/5m con 3 individuos de 1/5mm

La siguiente actividad, en la que se representan los decimales y las fracciones con los materiales, las figuras y el número en la recta, tiene como propósito que los niños aprendan el significado y el valor del decimal y de la fracción conllevando el sentido de la realidad.

Actividad de decimales

Primero, en un recipiente cilíndrico, que se divide en 10 partes iguales, echamos agua hasta la segunda línea (1).

Segundo, lo representamos en un gráfico para que aprendan más fácil (2).

Tercero, a través del gráfico, representamos el número en la recta (3.)

(1) (2) (3)

0.21

0 10.2

70


A través de estas actividades consecutivas, los niños aprenden el sentido de decimal.

Actividad de fracciones

Al igual que los decimales, primero doblamos por la mitad 2 veces a un cuadrado, y obtenemos cuatro cuadrados cuyo tamaño es 1/4 del cuadrado inicial. (4)

Posteriormente trasladamos a un gráfico de cinta (5) o a la recta (6)

Después de que aprendan el decimal y la fracción, comparamos el decimal con la fracción.

1 10

0

0 0.5 1

1

2

10

71

Matemáticas en Excel: Fraccionarios

Dirigido a

Grado cuarto a sexto

Estándar:


TALLER

8

73


Matemáticas en Excel

La propuesta de este taller se fundamenta en la necesidad de dinamizar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas;; uno de los retos es hacer que los estudiantes sientan agrado cuando se les proponen situaciones relacionadas con las matemáticas;; en consecuencia, las herramientas informáticas y su optimización hacen un aporte fundamental a la apropiación de los conceptos. El trabajo del álgebra en particular requiere de dinamismo debido a que los estudiantes manifiestan y demuestran cierto grado de complejidad en su aprendizaje;; y aprovechando la coyuntura del gusto y afinidad de los estudiantes por las herramientas informáticas, se elabora una primera actividad relacionada con operaciones básicas con expresiones algebraicas teniendo como apoyo la hoja de cálculo de Excel.

Desarrollo del taller

El taller se desarrollará a partir de las siguientes actividades:

dinamizar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, propone la estrategia de fortalecer los conceptos y conocimientos utilizando la hoja de cálculo de Excel.

insertar columnas o filas, dar formato a celdas y algunas funciones matemáticas básicas de la hoja de cálculo necesarias para programar.

sumas, resta, multiplicaciones y divisiones algebraicas. Se digitan los encabezados en el área de trabajo (expresión, coeficientes, operación), se muestra el procedimiento para programar en una celda recordando que para estas operaciones hay que tener

por lo tanto, las variables deben ubicarse en celdas diferentes. Se deben colorear las celdas de las variables, las de las operaciones y las de resultados con colores diferentes.

74


y unas cuadrículas que simulan la hoja de cálculo para que a medida que se hace la explicación escriban los procedimientos y luego los aplique utilizando los computadores habilitados para el trabajo.

actividad en la sala de informática el estudiante tenga claros los conceptos;; podría proponer un taller que directamente se trabajaría desde los computadores, que lo graben, y revisarlo sin necesidad de entregar hojas.

y, además, asignarles tareas de programación, de acuerdo con los conceptos trabajados en clase.

75


METODOLOGÍA


Ejercicio 1:

grabar un documento, combinar celdas, insertar columnas o filas, dar formato a celdas y algunas funciones matemáticas necesarias para programar de forma rápida utilizando al mínimo la barra de formulas.

Ejercicio 2:

Las celdas en Excel se enumeran primero anotando la columna, que es una letra que

Actividades

Normal

Hoja 1 Hoja 2 Hoja 3

A B C D E F G H I J K1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Archivo Inicio Insertar Diseño de página ComplementosFórmulas Revisar VistaDatos

defórmulas

76


10 y 17. El resultado de la suma se va a dar en una celda específica. En este caso en

para indicar que se realizará una operación en la celda.

multiplicar, basta con poner el signo de multiplicación, lo mismo si se resta o se divide).

en la barra de fórmulas (donde aparece fx) aparece explícitamente la operación.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

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17

18

19

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21

22

23

24


Normal



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6

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12

13

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20

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22

23

24


10 107 7

Normal



2

3

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6

7

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9

10

11

12

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14

15

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18

19

20

21

22

23

24


Normal



2

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5

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9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


1010 77

77


Ejercicio 3: Hallar fraccionarios equivalentes

El ejercicio que vamos a desarrollar consiste en hallar fraccionarios equivalentes. Los estudiantes deben dar valores al numerador y al denominador. El programa que vamos a hacer verifica si la división es igual al fraccionario original. Si lo es, lo acepta como equivalente, de lo contrario, lo rechaza.

El propósito consiste en que el estudiante induzca que puede haber familias de

para hallar un fraccionario equivalente basta multiplicar numerador y denominador por el mismo valor y no importa si es positivo, negativo, racional, irracional, imaginario o complejo.

El programa puede elaborarse así:Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


2

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


10 7

78


continuas verticalmente.

o el borde superior del denominador.

Luego se centran los valores seleccionando ambas celdas y activar centrar horizontal y verticalmente.

tamaño, para resaltarlo, Luego se organizan las dos celdas donde irán las opciones que dan los

Normal


Archivo Inicio Insertar ComplementosRevisar VistaDatos


2

3 24 55

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Diseño de página Fórmulas

Normal

Borde inferior

Normal


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3 24 55

6

7

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11

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24



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79


Normal


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3 24 55

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20

21

22

23

24



Combinar y centrar

Separar celdas

Combinar celdas

Combinar horizontalmente

Combinar y centrar

Normal


2

3 2=4 5

5

6

7

8

9

10

11

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3 24 55

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24



Separar celdas

Combinar celdas

Combinar horizontalmenteCombinar y centrar

Normal



2 2=

53 5 104 =SI(B2/B3=D2/D3;;”son fraccionarios equivalentes”;; “NO son fraccionarios equivalentes+D2+D3”5

6

7

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21

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23

24


=SI(B2/B3=D2/D3;;”son fraccionarios equivalentes”;; “NO son fraccionarios equivalentes+D2+D3”SI

80


se pueden proteger determinados elementos de la hoja de cálculo o libro, con o sin

Normal



2 2=

53 5 104 NO son fraccionarios equivalentes+D2+D35

6

7

8

9

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20

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22

23

24



Normal



2 2=

63 5 154 Son fraccionarios equivalentes+D2+D35

6

7

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13

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24



Normal



2 2=

63 5 154 Son fraccionarios equivalentes5

6

7

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20

21

22

23

24


6D2

81


queda protegida, y solo se pueden alterar las celdas seleccionadas.

la contraseña es la correcta, la protección queda desactivada y se puede cambiar cualquier celda.

Normal



2 2=


6

7

8

9

10

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24


6D2

Normal



2 2=


6

7

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10

11

12

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20

21

22

23

24


6D2

82


Este caso representa la suma de dos fraccionarios. Las celdas correspondientes a

fraccionario que multiplica a uno de los originales equivale a 1;; si no es así, aparece

Normal


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T1

2

3

4

5 5+

5=

5x

6+

5x

3=

10+

15=

156 2 4 2 6 4 3 12 12 127

8

9

10

11

12

13

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15

16

17

18

19

20

21

22

23


Normal


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T1

2

3

4

5 5+

5=

5x

6+

5x

3=

10+

15=

156 2 4 2 6 4 3 12 12 127

8

9

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14

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20

21

22

23


83


correspondiente, ya que hay dos propósitos: entender fraccionarios y el concepto de condicional.

Normal


A B C D E F G H I J K L M N O P O R O T U V W1

2

3

4

5 1+5=1x3+5x1=

No es equivalente+

No es equivalente=

#¡VALOR!6 2 4 2 4 4 7 No es equivalente No es equivalente No es equivalente7

8

9

10

11

12

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18

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20

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22

23


Normal



2

3

4

5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=

No se puede6 2 4 2 3 4 7 6 28 No se puede7

8

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Normal



2

3

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5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=


8

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20

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23


G5 =C5

Normal



2

3

4

5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=


8

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10

11

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G6 =C6

84

Pensamiento numérico variacionalNormal



2

3

4

5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=


8

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12

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22

23


K5 =E5

Normal



2

3

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5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=


8

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10

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K6 =E6

Normal



2

3

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5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=


8

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20

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22

23


O5 =SI(I5=I6;;G5*I5;;”No es equivalente”

Normal



2

3

4

5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=


8

9

10

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12

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16

17

18

19

20

21

22

23


O6 =SI(I5=I6;;G6*I6;;”No es equivalente”

Normal



2

3

4

5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=


8

9

10

11

12

13

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15

16

17

18

19

20

21

22

23


Q5 =SI(M5=M6;;K5*M5;;”No es equivalente”)

85


Hacer un programa similar para la sume de tres fraccionarios, la multipicación y la división de dos o más fraccionarios.

decimales, varialbles, etc.

Ejercicios

Normal



2

3

4

5 1+5=1x3+5x7=

3+

35=


8

9

10

11

12

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14

15

16

17

18

19

20

21

22

23


K5 =E5

87

Pensamiento

numérico

aleatorio

89

Dirigido a

Grado Primero

Números novios

Estándar:

Explico –desde mi experiencia– la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos cotidianos.

TALLER

9

Pensamiento aleatorio

Números novios

91

Probabilidad

La probabilidad puede darse a través de un valor que determina la posibilidad de que un evento se pueda dar o no. La probabilidad clásica se define como la relación (una relación se asume como una “división”, ej., a/b) entre el número de eventos posibles con respecto al número de eventos totales. Por ejemplo, al lanzar un dado, la probabilidad de que el resultado sea 5 es la relación entre el número de eventos favorables para que salga 5, que es un solo evento sobre el número de eventos totales que es seis. Si se quiere saber la probabilidad de que el resultado sea múltiplo de 3, los eventos favorables o posibles son 3 y 6, o sea, 2 y la probabilidad sería 2/6, es decir,

representarse como un fraccionario o como un valor decimal o en porcentaje. Sin

el número de eventos favorables supera al de totales, ya que están contenidos en estos, es decir, nunca el numerador será mayor que el denominador.

concepto usando también la suma.

ciento de probabilidad tiene una pareja para ser novios. Por ejemplo, vamos a adivinar

12.

Actividades

Pensamiento numérico aleatorio

92

novios. Muy buena posibilidad. ¡Felicitaciones!

Números novios

93

Ejercicios

95

Cuadrados mágicos, literales y sudokus

Dirigido a

Grados primero a quinto

Estándar:


TALLER

10

97


Cuadrados mágicos

Vivimos en un mundo rodeado por números. Desde el preciso momento de nacer se nos asigna un número, los tenemos en las tarjetas (de crédito, de débito, de prepago, entre muchas otras), en los números telefónicos, en los celulares, en los billetes (de lotería, de bonos, de moneda legal, y de ilegal también), en las direcciones, en los relojes y en una infinidad de muchos otros elementos.

A los números, los utilizamos para hacer cuentas, registros, para mejorar y acelerar procesos, para resolver y plantear problemas.

Existen muchos juegos numéricos que sirven como herramienta en la enseñanza de las matemáticas. Desde cuadrados mágicos, crucigramas numéricos, arreglos triangulares, pentagonales, en forma de estrellas, de círculos y demás figuras geométricas, hasta los SU-DOKUS.

En un primer momento, el propósito de este taller será el conocimiento básico de los cuadrados mágicos, realizando algunas operaciones con ellos;; de igual forma se presentarán algunos cuadrados de razonamiento abstracto y cuadrados mágicos con palabras.

Luego se explica el sudoku, con algunos datos históricos, para presentar su importancia en el desarrollo del pensamiento matemático. Se realizarán algunos sudokus para primaria, explicando la forma de construirlos, no solo con números sino también con figuras geométricas. Se puede utilizar también en otras áreas y asignaturas diferentes.

Referentes conceptuales

Este taller surge de la necesidad, tanto de los docentes como de los niños de manipular e interactuar con algunos materiales elementales para el desarrollo del pensamiento matemático.

En los lineamientos curriculares de matemáticas (MEN, 1998. pág. 23), se presenta la lógica matemática como una ciencia que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las demás ciencias, y se señala cómo lo más importante en el trabajo con las propiedades matemáticas de las operaciones numéricas no es que los alumnos expresen con símbolos o palabras, sino que sean capaces de manejar los números con solvencia al resolver problemas de la vida real y, en especial, para efectuar operaciones con destreza y eficacia, tanto con el cálculo mental como con la calculadora. El MEN

98


cita a Howard Gardner, y cómo desde su teoría de las inteligencias múltiples, considera que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas.

99


Desarrollo del taller

CUADRADOS MÁGICOS

2 9 4

7 5 3

6 1 8

Es un arreglo de números colocados en un cuadrado, sin repetirlos, de tal forma que la suma de todas y cada una de sus columnas, filas o diagonales sea igual a un valor constante.

En el cuadrado mágico de la izquierda, la suma por cada lado: vertical, horizontal y diagonal equivale a 15.

En los diferentes grados se pueden utilizar los cuadros mágicos, de tal forma que el estudiante utilice según el grado y saberes específicos. Podemos hacer que utilice números naturales, enteros o racionales, según el caso.

Complete los siguientes cuadrados mágicos, de tal forma que la suma sea la indicada:

1. Suma igual a 18

3 10

6 4

7

Del 2 al 10

2. Suma igual a 36

9 16

12

13

Del 8 al 16

3. Suma igual a 57

16

17

15

Del 15 al 23

Actividades

Ejercicios

100


3. Suma igual a 84

27

30

Del 24 al 32

6. Suma igual a 50

19 18 8

10

12 9

17 7 6 20

Del 5 al 20

5. Suma igual a 42

3 16 6

14 11

10 12 13

5 18

Del 3 al 18

7. Suma igual a 62

22 21

19 16

15 12

10 9

Del 15 al 23

8. Ahora para cada uno de los siguientes casos, un cuadrado cuya suma sea la indicada

a) 0

b) 3

c) –12

d) 1

e) 10

f) 75

101


CUADRADOS MÁGICOS LITERALES

A

B

C

Llamo cuadrado mágico literal, a un cuadrado formado por letras, en el cual se cumplan ciertas características, de tal forma que las letras no se repitan en forma vertical, horizontal ni diagonalmente.

En el cuadrado mágico literal anterior, se deben formar en cada uno de los tres lados horizontales palabras conocidas (deben estar en un diccionario de la lengua española), (estas no deben ser: nombres propios, apellidos propios, siglas, marcas comerciales).

A R O

B U S

C O L

Una solución puede ser la que aparece en la tabla anterior.

Se puede, además, sugerir formar una frase utilizando las palabras formadas.

Podemos escribir en este caso por ejemplo: “Ese joven que va en el bus lleva un aro y una col en sus manos”.

Complete los siguientes cuadrados literales:

1.

D

E

F

3.

D

I

A

2.

M

E

S

102


SUDOKUS

Es un pasatiempo que se popularizó en Japón en 1986, aunque es originario de Suiza, y se dio a conocer en el ámbito internacional en 2005. El objetivo es rellenar una cuadrícula de 9 × 9 celdas (81 casillas) dividida en subcuadrículas de 3 × 3 (también llamadas “cajas” o “regiones”) con las cifras del 1 al 9 partiendo de algunos números ya dispuestos en algunas de las celdas. Aunque se podrían usar colores, letras, figuras..., lo que importa es que sean nueve elementos diferenciados. El motivo de usar números es que se memorizan mejor. No se debe repetir ninguna cifra en una misma fila, columna o subcuadrícula. Un sudoku está bien planteado, si la solución es única. La resolución del problema requiere paciencia y ciertas dotes lógicas.

Para realizar actividades en primaria, debemos alejarnos un poco de la condición inicial del sudoku y utilizar menos números: Del 1 al 4 o del 1 al 6.

Realizar los siguientes sudokus:

1.

1 3

2 4

4 2

1 3

2.

1 2

3 4

1 2

4 3

3.

1 3

2 4

4 2

1 3

4.

1

3

2

2

5.

2 1

4 1

6.

3

1

4

2

Ejercicios

103


7. 8. 9.

10.

PENTÁGONO CUADRADO

HEXÁGONO

HEXÁGONO

OCTÁGONO PENTÁGONO

En el Sudoku anterior, se debe realizar en una forma más dinámica, no se repite la palabra hexágono y en cambio se realiza la figura correspondiente a un hexágono;; para otro cuadro donde se debe colocar nuevamente la palabra hexágono, se cambia por la definición de hexágono, y para el cuarto nombre se coloca un ejercicio o problema de aplicación

Bibliografía

Seto, Tommy. Sudoku para niños. Bogotá. 2006.

Gifford, Clive. Sudoku para niños. Bogotá. 2006.

Kandour Ltd. Su Doku. Descubre tu agilidad mental. Bogotá. 2006.

105

Matemáticas con Excel: Estadística

Dirigido a

Grados quinto a séptimo

Estándar:

TALLER

11


107

Matemáticas con Excel: estadística

Objetivo

Utilizar la hoja de cálculo de Excel como estrategia para dinamizar y fortalecer el proceso de aprendizaje de las matemáticas en la secundaria, para fomentar el trabajo colaborativo y contribuir a la adquisición de los nuevos conocimientos y al surgimiento de valores, generen nuevas transformaciones en nuestros ambientes de aprendizaje e influyan en la motivación hacia el aprendizaje de los conceptos del área.

CONTEXTO

La hoja de cálculo permite el refuerzo de todos los temas de matemáticas a través de ella. Todas las instituciones del municipio de Medellín tienen este programa, pues se cuenta con una sala de Internet como mínimo en nuestras instituciones (existen instituciones con dos o más salas);; en ellas se encuentran computadores con el programa office, como mínimo;; además, los docentes de Tecnología e Informática realizan mínimamente una unidad en su plan de área, donde enseñan la hoja de Excel a los estudiantes de la secundaria.

La hoja de cálculo es una valiosa herramienta que le sirve como ayuda al docente para enseñar los temas del área;; ayuda a eliminar las dificultades conceptuales que se le presentan al estudiante para apropiarse de los diferentes temas vistos en el proceso de formación.

109


Ejercicio 1: Estadística

1. Los estudiantes construyen el instrumento Encuesta

No olvidar que el tipo de preguntas para tabular deben ser cerradas, ejemplo:

ENCUESTA ALCALDÍA DE MEDELLÍN

Fecha: Grupo:

Nombre:

La siguiente encuesta tiene como fin el saber su preferencia para la alcaldía del municipio, periodo 2012 a 2015, si le gustaría que uno de estos candidatos fuera elegido alcalde, marque con una x al frente de él, solo puede escoger uno, los siguientes son los candidatos:

Luis Pérez

Sergio Fajardo

Aníbal Gaviria

Alonso Salazar

Gabriel Jaime Rico

Agradecemos su participación

Actividades


110


3. Los estudiantes aplican el instrumento en un aula de clases de su institución a otro grado diferente al suyo (interdisciplinariedad)

4. Los estudiantes construyen en su cuaderno una tabla de frecuencias con los datos obtenidos como la siguiente:

x f F %f %F xf

1 3

2 7

3 18

4 8

5 4

n = 40

5. Orientación acerca de las funciones básicas de Excel, como son: combinar celdas, insertar columnas o filas, dar formato a celdas y algunas funciones matemáticas necesarias para programar de forma rápida utilizando al mínimo la barra de fórmulas.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


111


6. Se construye la tabla de frecuencias en la hoja de cálculo como estaba en la hoja que construyó el estudiante.

Normal



2

3

4

5 Tabla de frecuencias6

7 x f F %f %F xf8 19 210 311 412 513 n =14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


7. Se colocan los datos obtenidos en la encuesta en la tabla de frecuencias y se aplica la sumatoria de estos resultados en la celda C 14.

Normal



2

3

4


7 x f F %f %F xf8 1 39 2 710 3 1811 4 812 5 413 n = 4014

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


C13

112


Nótese que se identificaron celdas de color azul;; es aquí donde se introducen los nuevos datos cuando se realicen nuevas encuestas, y de color rojo, cuando se programe una celda en la hoja de cálculo.

8. Se programa la celda D9 (se coloca cursor en la celda D9 se aplica el + y luego se ubica el cursos en la celda C9 y se hace clic en enter);; aquí debe siempre estar el valor de la celda C9, el primer valor de la columna f. la celda D9 está programada.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 310 2 711 3 1812 4 813 5 414 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+C9D9

Nótese que el fondo de las celda D9 es rojo porque se programa en ella.

113


9. Se programa la celda D 10, aquí se coloca el cursor y se hace clic en +, luego se ubica el cursor en la celda D 9 y se hace clic en + luego se pasa el cursor a la celda C 10 y se hace clic en enter;; ya ha quedado programada la celda D 10, se puede observar en la barra de formulas el programa.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 310 2 7 1011 3 1812 4 813 5 414 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+D9+C10D10

10. Se coloca el cursor en la parte inferior derecha de la celda D 10 y se baja el programa hasta la celda D 13, quedando programada toda la columna F.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 310 2 7 1011 3 18 2812 4 8 3613 5 4 4014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+D9+C10D10

Nótese que el valor final de la columna F es igual al n.

114


11. Se programa la celda E 9, aquí se coloca el cursor y se hace clic en +, luego se ubica el cursor en la celda C 9 y se hace clic en por 100 divido c 14 (n), en C 14 se coloca entre la C y el 14 el símbolo $ (para que quede fija la división);; se puede observar que queda programada la celda E 9.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 3 7,510 2 7 1011 3 18 2812 4 8 3613 5 4 4014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+D9*100/C$14E9

12. Se coloca el cursor en la parte inferior derecha de la celda E 9 y se baja el programa hasta la celda E 13;; queda así programada toda la columna %f.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 3 7,510 2 7 10 17,511 3 18 28 4512 4 8 36 2013 5 4 40 1014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+D9*100/C$14E9

115


13. Se programa la celda F 9, aquí se coloca el cursor y se hace clic en +, luego se ubica el cursor en la celda D 9 y se hace clic en por 100 divido C 14 (n), en C 14 se coloca entre la C y el 14 el símbolo $ (para que quede fija la división);; se puede observar que queda programada la celda F 9.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 3 7,5 7,510 2 7 10 17,511 3 18 28 4512 4 8 36 2013 5 4 40 1014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+D9*100/C$14F9

14. Coloca el cursor en la parte inferior derecha de la celda F 9 y se baja el programa hasta la celda F 13;; así queda programada toda la columna %F.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 3 7,5 7,510 2 7 10 17,5 2511 3 18 28 45 7012 4 8 36 20 9013 5 4 40 10 10014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+D9*100/C$14F9

116


15. Se programa la celda G 9, aquí se coloca el cursor y se hace clic en +, luego se ubica el cursor en la celda B 9 y se hace clic en por, luego se coloca el cursor en la celda B 9 y se hace clic en enter;; se puede observar que queda programada la celda G 9.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 3 7,5 7,5 310 2 7 10 17,5 2511 3 18 28 45 7012 4 8 36 20 9013 5 4 40 10 10014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+B9*C9G9

16. Se coloca el cursor en la parte inferior derecha de la celda G 9 y se baja el programa hasta la celda G 13;; queda programada toda la columna xf.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 3 7,5 7,5 310 2 7 10 17,5 25 1411 3 18 28 45 70 5412 4 8 36 20 90 3213 5 4 40 10 100 2014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+B9*C9G9

117


Nótese que quedó programada toda la tabla de frecuencia en Excel;; ya basta realizar encuestas diferentes y practicar con este programa. Grafiquemos el resultado de esta encuesta.

17. Se coloca el cursor en E 9 y se baja hasta E 13, resaltando la columna.

Normal



2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 3 7,5 7,5 310 2 7 10 17,5 25 1411 3 18 28 45 70 5412 4 8 36 20 90 3213 5 4 40 10 100 2014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24


=+C9*100/C$14E9

18. Hace clic en insertar gráfico, se escoge el tipo de gráfico y se coloca título al gráfico.

Normal


2

3

4

5


8 x f F %f %F xf9 1 3 3 7,5 7,5 310 2 7 10 17,5 25 1411 3 18 28 45 70 5412 4 8 36 20 90 3213 5 4 40 10 100 2014 n = 4015

16

17

18

19

20

21

22

23

24



Series 145

20107,5

17,5

1 2 3 4 5

CANDIDATOS ALCALDÍA

118


Construya un instrumento y utilice la hoja de cálculo en tabular y graficar el siguiente ejercicio: tipo de comidas que prefiere un grupo de estudiantes de un semestre de Ingeniería de la U. de A.

Ejercicio

Pensamiento

geométrico

métrico

121

Kirigami

Dirigido a

Grados tercero a quinto

Estándar:

TALLER

12

Pensamiento espacial

123

Kirigami

Geometría activa

“En los sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales”10.

Una manera de lograr esa construcción es a través de la geometría activa “que parte de la actividad del alumno y su confrontación con el mundo. Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y símbolos, a las operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia de las transformaciones en la comprensión aun de aquellos conceptos que a primera vista parecen estáticos”…

Así, “Al pasar las manos por las caras o superficies de objetos, muebles y paredes se aprecia más que con cualquier definición la diferencia entre cuerpos y superficies, y entre superficies planas y curvas. La interrupción del movimiento prepara el concepto de superficie como frontera de un cuerpo, y el movimiento de la mano prepara el concepto de plano, el de región y el de área…

Al pasar el dedo por el borde común de dos superficies se aprecia la diferencia entre superficie y línea y entre línea recta y curva, y se prepara el concepto de longitud y el de prolongación de una línea en la misma dirección y sentido del movimiento del dedo. La interrupción del movimiento prepara el concepto de línea como frontera de una superficie, y el movimiento del dedo prepara el concepto de línea recta, el de segmento y el de longitud”…

Al terminar el recorrido de un borde que termina en punta, esa interrupción del movimiento prepara el concepto de punto”11.

Una serie de actividades que lo permiten consiste en el corte y doblado papel para construir figuras: Kirigami y Origami.

10 MEN Lineamientos curriculares: Matemática. Bogotá: Magisterio. 1998, p. 56.11 Ib. p. 57

125

Kirigami

Kirigami

El kirigami es el arte del corte de papel. Hacemos Kirigami para mejorar el pensamiento ya que se estimula la imaginación.

Paso 1: Doblamos el papel en seis partes.

Paso 2: Cortamos cualquiera figura, por ejemplo, la de la foto.

Paso 3: Después de cortar, desdoblamos para ver la figura que se obtiene. Si quiere que sea más bonita, puede seguir cortando. Hay muchas maneras de hacerlo.

PASO 1 PASO 2

Actividades

Ejercicios

126

Pensamiento geométrico métrico

Simetría

Kirigami también se puede usar para aprender simetría. Este Kirigami es muy bueno para usar en Halloween.

PASO 3

Para cortar se hace en un orden, de 1 a 7. Después de cortar, abrimos el papel. ¡Qué lindo!

Ejercicios

127

Origami

Dirigido a


Estándar:

-

TALLER

13


129

Origami

Origami

Es el arte de doblar papel. Es el juego tradicional de Japón. Hacemos origami para mejorar el pensamiento y la imaginación, y también para usarlo en matemáticas, para la construcción del pensamiento espacial.

Juego del ángulo

Hacemos un abanico. Luego se pega el centro del abanico con colbón. Esto es una unidad.

Hacemos un abanico de 5 unidades. Cada unidad de diferente color. Y pegamos así. Luego abrimos el abanico para formar ángulos. Los que el profesor dice.

PASO 1 PASO 2

Ejercicio 1

130


Ranitas

Ahora vamos a aprender medidas con Origami. Vamos a hacer ranas.

PASO 1 PASO 2

Primero vamos a aprender a hacer Ranitas.

Estas ranas pueden saltar. El tamaño y el material son importantes. Las pequeñas pueden saltar más lejos.

Después de hacer las ranitas, vamos a hacer una competencia de saltos. Ponemos a saltar cada rana y medimos cuántos centímetros saltó. Luego comparamos cuántos centímetros de diferencia hay con las otras ranitas de los compañeros.

Ejercicio 2

131

Origami

PASO 1

PASO 3

PASO 5

PASO 2

PASO 4

PASO 6

Ahora veamos cómo se hace una ranita.

132


PASO 7

PASO 9

PASO 11

PASO 8

PASO 10

PASO 12

133

Origami

PASO 13

PASO 15

PASO 17

PASO 14

PASO 16

PASO 18

134


PASO 19 PASO 20

PASO 21

135

Origami

PASO 1 PASO 2

La corona

Ahora aprendamos otras figuras con origami. Vamos a hacer una corona. Como los niños usan sus dedos para hacer origami, estas actividades son muy efectivas para desarrollar sus cerebros. Vamos a ver cómo se hace una corona.

Paso 1: Preparamos 4 hojas. Doblamos 2 hojas por la mitad formando de a triángulo rectángulo y otras dos hojas con dos dobleces sucesivos para formar dos triángulos isósceles no rectángulos.

Paso 2: Combinamos 1 y 1 hasta línea de mitad.

Paso 3: Combinamos todo y pegamos con colbón.

Paso 4: Pegamos el amarillo con el azul y tenemos una corona.

Ejercicio 3

136


PASO 3 PASO 4

137

Entretenimientos matemáticos

Dirigido a


Estándar:

TALLE

14

139



En un primer momento, el propósito será el conocimiento básico de los números, realizando algunas operaciones con ellos en forma abreviada y con destreza y eficacia, sobre todo en el cálculo mental y presente, además, algunas curiosidades numéricas, en un tiempo estimado de 30 minutos. En un segundo momento, se ofrecen elementos que permitan desarrollar pensamiento lógico y geométrico, con la utilización de palillos, en un tiempo estimado de 30 minutos. En un tercer momento, el propósito será conocer mejor los dados y realizar con ellos algunas operaciones que permitan desarrollar pensamiento numérico, lógico y geométrico, en un tiempo estimado de 30 minutos. Finalmente, en un cuarto momento, utilizando una hoja de papel cuadriculada, se realizará un pequeño recorrido geométrico con el propósito de recordar algunos conceptos básicos, en un tiempo estimado de 30 minutos.

Este taller surge de la necesidad, tanto de los docentes como de los niños, de manipular e interactuar con algunos materiales elementales para el desarrollo del pensamiento matemático.

En los lineamientos curriculares de matemáticas (MEN, 1998. pág. 23) se presenta la lógica matemática como una ciencia que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las demás ciencias, y en la página 51 se señala cómo lo más importante en el trabajo con las propiedades matemáticas de las operaciones numéricas no es que los alumnos expresen con símbolos o palabras, sino que sean capaces de manejar los números con solvencia al resolver problemas de la vida real, y en especial, para efectuar operaciones con destreza y eficacia, tanto en el cálculo mental como con la calculadora, y más adelante, en la página 56 de los lineamientos curriculares, se cita a Howard Gardner quien, en su teoría de las múltiples inteligencias, considera que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas.

141


Escribir cómo se leerían los siguientes números

1. El número uno seguido de 13 ceros.






Actividades

142






1. 9 × 2.

2. 9 × 6.

3. 9 × 8.

4. 9 × 9.

5. 7 × 8.

6. 8 × 8.

7. 29 × 9.

8. 38 × 9.

9. 57 × 9.

10. 48 × 9

143


1. 23 × 11.

2. 45 × 11.

3. 36 × 11.

4. 67 × 11.

5. 349 × 11.

6. 78394 × 11.

7. 85 × 85.

8. 105 × 105.

9. 35 × 48.

10. 74 × 52.

añadiendo o deformando). No pueden quedar palillos sueltos, sin formar cuadrados o en el interior de algún cuadrado.

144


1. Cambiar de lugar cuatro palillos y dejar formados solo cuatro cuadrados de igual medida.

2. Cambiar de lugar dos palillos y dejar formados solo cuatro cuadrados de igual medida.

145


3. Cambiar de lugar cuatro palillos y dejar formados cuatro cuadrados.

4. Cambiar de lugar seis palillos y dejar formados solo tres cuadrados.

146


5. Cambiar de lugar ocho palillos y dejar formados solo dos cuadrados.

6. Escriba si varía o no el perímetro en cada caso.

147


7. Escriba si varía o no el área en cada caso.

8. Construya un problema, en el cual se utilice la gráfica formada inicialmente, cambiando los palillos por un material diferente y de mayor longitud, según el problema.

148


149


150


151


152


153


11. Escriba si varía o no el área total en cada caso.

12. Construya un problema, en el cual se utilice la gráfica formada inicialmente, cambiando los palillos por un material diferente y de mayor longitud, según el problema.

154


Un dado es un objeto de forma poliédrica, preparado para mostrar un resultado aleatorio cuando es lanzado sobre una superficie horizontal, desde la mano o mediante un cubilete, en cuyo caso los resultados ocurren con distribución uniforme discreta.

caras del poliedro y se eligen en función de la posición en la que queda el dado tras el lanzamiento;; normalmente se toma el resultado marcado en la cara que queda vista hacia arriba. Es frecuente que se utilicen varios dados iguales o diferentes combinados

Generalmente se dice que deben ser dados “equilibrados” (Aunque en realidad dichos dados no existen, ver aclaración después del dibujo del dado).

En matemáticas decimos “dados equilibrados” cuando es igual de fácil que el dado caiga sobre cualquiera de las caras.

Es importante tener en cuenta que, aunque generalmente en los problemas relacionados con dados se considera que éstos son equilibrados para que se cumplan las condiciones y características esperadas, eso no ocurre en la realidad, pues no existen dados equilibrados, como nos lo demuestra el médico veterinario, poliedrólogo,

A pesar de todo, el dado es una herramienta cotidiana para un excelente acercamiento en el aprendizaje de las matemáticas;; se puede utilizar en todos los grados y como

155


recurso didáctico (construyéndolo en diferentes materiales y en gran tamaño) en todas las asignaturas.

Se puede construir como herramienta didáctica para realizar diferentes operaciones, en el aula de clase o fuera de ella con actividades lúdicas, que pueden diseñar los mismos estudiantes.

7 + 8

15

1. ¿Por qué la suma de los puntos de las caras opuestas de un dado suman siete?

2. Valeria da vueltas alrededor del siguiente grupo de tres dados;; las únicas caras que ella no puede ver son aquellas sobre las cuales descansa el dado (o sea que no puede ver tres caras) ¿Cuánto suman los puntos de las tres caras que no puede ver Valeria?

Con una hoja de papel podemos tener un acercamiento a un aprendizaje geométrico

rectángulo, cuadrado. Al ir doblando la hoja sucesivamente por la mitad, mostramos un ángulo lineal y un ángulo diedro, y en el proceso de ir transformando la hoja de papel en una caja, podemos mostrar, además de una progresión de potencias de dos, potencias

156


de tres, diferentes clases de polígonos, los conceptos de simetría, directriz, mediatriz, simetría, ángulo poliedro, entre muchos otros conceptos matemáticos. Veamos el

En el proceso del doblado de la hoja de papel, podemos tener un acercamiento a un aprendizaje geométrico y numérico. Presentamos, entre muchos otros elementos, un ángulo lineal y un ángulo diedro, al abrir la hoja;; teniendo en cuenta la marca que deja el doblado, podemos además, de mostrar un ángulo recto, preguntarnos cuántos rectángulos se observan (para algunos no es fácil observar los tres rectángulos);; si la pregunta la limitamos a rectángulos de igual tamaño, la respuesta sería dos;; al ir

potencias de dos y otra de potencias de tres.

A medida que se está formando la caja (si no sabe hacerlo, consúltelo en textos de

paso a paso la construcción de una caja en origami) se puede ir explorando con los estudiantes todo un mundo de conceptos geométricos y numéricos.

Por medio del origami (el plegado del papel) podemos realizar un buen aprendizaje matemático.

Existe un conjunto de normas relacionadas con los principios matemáticos de la papiroflexia, los cuales describen las operaciones que se pueden hacer al doblar una

de plano (es decir, una hoja de papel) y todos los pliegues son lineales.

Es de gran importancia indicar que la geometría que se puede trabajar con el origami es más interesante que la que se puede trabajar con regla y compás;; con regla y compás se pueden resolver ecuaciones de segundo grado, mientras que con el origami se pueden resolver ecuaciones de tercer grado, hasta de cuarto grado y resolver, además, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo.

157


et aplicaciones geometriques”, reproducido en Actas del Primer Encuentro Internacional

“En cada uno de los axiomas está implicada una forma posible de plegado del papel, pero también un objeto matemático construible. Es aquí donde comienza la tarea del profesor y su habilidad para organizar la enseñanza de la geometría, con los ejemplos que estime convenientes. Por tanto, el profesor puede desarrollar, a partir de los axiomas anteriores, actividades que supongan la construcción de representaciones de objetos matemáticos, teniendo en cuenta, por supuesto, los intereses y conocimientos

En el mismo documento se presenta la siguiente tabla ilustrativa sobre los axiomas

Axioma Gráfico Objeto matemático

Dados dos puntos p1 y p2, se puede realizar un pliegue que los conecte.

Dados dos puntos p1 y p2, se puede realizar un pliegue que los conecte.

Mediatriz del segmento P1P2

Dadas dos rectas l1 y l2, podemos plegar lj sobre

Bisectriz del ángulo formado por las rectas l1 y l2

Dado un punto p y una recta l, podemos hacer un pliegue perpendicular al que pase por p.

pasa por p. Segmento de longitud mínima que une un punto de l y p. Distancia de p a l.

158


Axioma Gráfico Objeto matemático

Dados dos puntos p1 y p2 y una recta 1, podemos hacer un pliegue que haga corresponder a p1 con un punto de l y que pase por p2.

envolvente de una parábola.

Dados dos puntos p1 y p2 y dos rectas l1 y l2, podemos hacer un pliegue que haga corresponder a p1 con un punto de l1 y p2 con un punto de l2.

Permite resolver ecuaciones cúbicas.

159


Dirigido a

Grados tercero en adelante

Estándar:

TALLER

15


161


Geometría

Teniendo en cuenta la importancia de la manipulación de material concreto, por medio de este taller se pretende realizar un aprendizaje significativo en la geometría, tanto en la educación básica, como en la educación media, utilizando algunas piezas en dos dimensiones y posteriormente en tres dimensiones.

En un primer momento, el propósito será el reconocimiento del material concreto, sus cualidades y características;; posteriormente se proponen algunas actividades específicas, que permiten, entre otras cosas, algunos acercamientos conceptuales en temas específicos de la geometría, como son: figuras geométricas, con sus características y clasificaciones, perímetros y áreas;; de igual forma, realizar un recorrido por algunos términos de la geometría y presentar algunas demostraciones geométricas (clasificadas por algunos autores como demostraciones gráficas) hasta llegar, incluso, a construir y resolver problemas específicos, a partir de algunas figuras geométricas.

163


Desarrollo del taller (para realizar desde la primaria)

Se entregan las siguientes piezas elaboradas en cartulina (con los estudiantes se pueden elaborar en otros materiales más gruesos y resistentes, pidiéndoles que cada uno lo lleve hecho a la clase). Es preciso que las piezas tengan cuadrículas por ambos lados.

Inicialmente se permite que libremente reconozcan las figuras y las unan como lo consideren conveniente. Posteriormente, deben tratar de idearse la manera de medir los lados de cada figura, teniendo como base el lado del cuadrado.

1.

1. Cuadrado 2. Triángulo rectángulo

3. Paralelogramo (no rectangular)

4. Trapecio isósceles

5. Trapezoide

Algunas de las figuras que pueden formarse con las dos piezas son:

1.


3. Paralelogramo (no rectangular)

4. Trapecio isósceles

5. Trapezoide

Actividades

Ejercicios

164


Se pueden hacer notar algunas de las clasificaciones de los polígonos, como por ejemplo, que la figura 2 es un triángulo y el resto son cuadriláteros.

De igual forma, se debe analizar en cada movimiento si se realiza una traslación, giro, rotación, qué ángulos se aplican en cada movimiento. (Estos elementos para grados más superiores, según el nivel de conocimiento del contenido). Por ejemplo, del cuadrado al triángulo y del triángulo al paralelogramo:

AB

C

AB

C

A

B

C

A B

C

A

B

C

165


Obsérvese, que para pasar del cuadrado directamente al paralelogramo, basta con realizar un desplazamiento recto, paralelo al eje x.

Se pueden realizar, entonces, los diferentes cálculos de perímetros y áreas, en cada caso, para observar que, en tanto que el perímetro varía, el área no.

Es interesante observar los desplazamientos realizados. Imaginemos, además, si colocamos la gráfica inicial (el cuadrado previamente armado) con el punto C en el

A A A

B B BC CC

A

A

B

B

C

C

166


origen, obsérvese el movimiento en el plano cartesiano para pasar del triángulo al paralelogramo.

NOTA: Todo lo contrario ocurriría si la actividad se realiza con palillos;; podemos mostrar cómo cambia el área, en tanto que el perímetro no lo hace. Como en el siguiente caso:

Podemos decir que el perímetro es 12 unidades (donde cada unidad está representada por un palillo). En la transformación, realizada a la derecha, en la cual se ha movido un palillo, conservando el perímetro, pero no el área (en este caso el área que encierra la figura corresponde a 8 unidades cuadradas (donde cada cuadrado está representado por el cuadrado de lado equivalente a la medida de longitud igual a la de un palillo.

Asímismo, como se representan las diferentes figuras (las cuales a su vez pueden representar terrenos, en cuyo caso nos permite plantear y resolver problemas relacionados, en los cuales cada unidad la podemos hacer corresponder a un metro cuadrado, una hectárea, entre otras.

Ahora aumentamos una pieza más. En este caso un triángulo isósceles.

realizar?

Ejercicios

167


Es interesante anotar que si bien es cierto que: “Todo cuadrado es un rectángulo”, no podemos decir con relación al triángulo equilátero que “Todo triángulo equilátero es isósceles” porque existen opiniones divididas con relación al concepto de triángulo isósceles;; algunos consideran un triángulo isósceles como un triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual, mientras que otros matemáticos consideran que un triángulo es isósceles si tiene al menos dos lados de igual medida.

una?

Ahora aumentamos una pieza más, en este caso un triángulo isósceles

Ejercicios

168


realizar?

Es interesante anotar: que si bien es cierto que: “Todo cuadrado es un rectángulo”, no podemos decir con relación al triángulo equilátero que: “Todo triángulo equilátero es isósceles” porque existen opiniones divididas con relación al concepto de triángulo isósceles, algunos consideran un triángulo isósceles como un triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual, mientras que otros matemáticos, consideran que un triángulo es isósceles si tiene al menos dos lados de igual medida.

una?

169


el área y su perímetro?

La cruz latina. Se entregan las siguientes piezas

Con las cuales se van formando las siguientes figuras (siempre utilizando las 5 piezas):


3. Paralelogramo 4. Trapecio isósceles no rectángulo

Ejercicios

170


5. Rectángulo no cuadrado 6. La cruz latina

7. Finalmente se propone la siguiente figura (La cual debe ser simétrica)

propiedades y sus nombres según el polígono correspondiente. Escriba el nombre de objetos similares al de cada figura. Se pide, además, decir de qué forma varían el perímetro y el área en cada caso y hallar su valor, tomando un valor determinado como unidad.

171


Se presenta finalmente la forma para su construcción, a partir de un cuadrado.

entre muchos otros.

5

1

2

3

4

172


para cada una).

173


Para un mejor trabajo se sugiere realizarlo en cuadrícula (por ambos lados)

Teorema de Pitágoras

Construya un cuadrado como el de la figura 1 y recorte las 4 piezas que se marcan con línea gruesa;; luego recorte un cuadrado como el de la figura 2.

Fig. 1 Fig. 2

Ejercicios

5

1

2

3

4

174


Ahora resuelva:

2. Construya con las 5 piezas recortadas un cuadrado.

con las piezas de la fig. 1 y la fig. 2)?

175


4. Calcule el área de cada pieza, tomando como unidad de medida el lado de una cuadrícula.

6. Calcule el perímetro de cada una de las 5 piezas.

176


7. Construya en hojas cuadriculadas dos cuadrados de 8 y 6 longitudes del lado de la cuadrícula. Ahora divida estos dos cuadrados en diferentes piezas. Luego trate de construir un cuadrado con todas las piezas formadas. Intente realizar unas divisiones convenientemente.

177

Matemáticas con Excel: Áreas

Dirigido a

Grados quinto a undécimo

Estándar:

TALLER

16

Pensamiento métrico

179

Matemáticas con Excel: áreas

Matemáticas con Excel

Utilizar la hoja de cálculo de Excel como estrategia para dinamizar y fortalecer el proceso de aprendizaje de las matemáticas en la secundaria, para fomentar el trabajo colaborativo y contribuir a la adquisición de los nuevos conocimientos y al surgimiento de valores, generen nuevas transformaciones en nuestros ambientes de aprendizaje e influyan en la motivación hacia el aprendizaje de los conceptos del área.

CONTEXTO

La hoja de cálculo permite el refuerzo de todos los temas de matemáticas a través de ella. Todas las instituciones del municipio de Medellín tienen este programa, pues se cuenta con una sala de Internet como mínimo en nuestras instituciones (existen instituciones con dos o más salas);; en ellas se encuentran computadores con el programa office, como mínimo;; además, los docentes de Tecnología e Informática realizan mínimamente una unidad en su plan de área, donde enseñan la hoja de Excel a los estudiantes de la secundaria.

La hoja de cálculo es una valiosa herramienta que le sirve como ayuda al docente para enseñar los temas del área;; ayuda a eliminar las dificultades conceptuales que se le presentan al estudiante para apropiarse de los diferentes temas vistos en el proceso de formación.

181



Ejercicios: Área del triángulo

1. Orientación acerca de las funciones básicas de Excel, como son: combinar celdas, insertar columnas o filas, dar formato a celdas y algunas funciones matemáticas necesarias para programar de forma rápida utilizando, al mínimo, la barra de fórmulas.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Inicio Insertar Diseño de página ComplementosFórmulas Revisar VistaDatosArchivo

Actividades

Ejercicios

182


2. Construcción en Paint de la figura geométrica que se trabajará e insertarla en la hoja de cálculo.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


10 cm

14 cm

3. Escritura de la fórmula del área del triángulo en Excel y despliegue en las celdas de cada una de las variables que intervienen en esta fórmula.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 b h (bxh)/2 A15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


10 cm

14 cm

A = (bxh)/2

A = (bxh)/2

183


4. Identificación de celdas: con color azul, cada una de las variables donde se colocarán los números que se pueden cambiar según el ejercicio;; color rojo, las celdas donde el estudiante construirá su programa básico;; además, de color verde, las celdas donde se entrega el resultado.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 b h (bxh)/2 A15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


10 cm

14 cm

A = (bxh)/2

5. Colocar los números entregados en el ejercicio (base y altura) en las celdas de color azul y programar la operación de forma rápida en la celda de color rojo;;posteriormente entregar el resultado en la celda de color verde.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 b h (bxh)/2 A14 14 10 =+(C14*D14)/215

16

17

18

19

20

21

22

23

24


10 cm

14 cm

A = (bxh)/2

184


6. Programar la celda de color verde para entregar el resultado final.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 b h (bxh)/2 A14 14 10 70 70 cm2

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


10 cm

14 cm

A = (bxh)/2

7. Las unidades se forman en la celda siguiente a la del resultado, sin color.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 b h (bxh)/2 A14 14 10 70 70 cm2

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


10 cm

14 cm

A = (bxh)/2

185


8. Es importante que el docente oriente el tema, de forma que cuando se proponga la actividad en la sala de informática, el estudiante tenga claros los conceptos;; podría proponer un taller que directamente se trabajaría desde los computadores, que lo graben y revisarlo sin necesidad de entregar hojas.

Programe el área de un trapecio en la hoja de cálculo.

Ejercicio: Teorema del coseno

1. Construcción en Paint de la figura geométrica que se trabajará y se inserta en la hoja de cálculo.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


10 cm

8 cm

x

38°

Ejercicios

186


2. Escritura de la fórmula del área del teorema del coseno en Excel y despliegue en las celdas de cada una de las variables que intervienen en esta fórmula.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 cosß16 a b a2 b2 38 a*b*cosß x2 x17

18

19

20

21

22

23

24


x2 = a2 + b2 – a * b * cos ß

x2 = a2 + b2 – a * b * cos ß

3. Programar conversión de grados a radianes del ángulo dado, para poder lograr que la tabla de fórmulas de Excel entregue el valor del coseno a aplicar en el ejercicio.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 cosß16 a b a2 b2 38 a*b*cosß x2 x17 0,6618

19

20

21

22

23

24


x2 = a2 + b2 – a * b * cos ß

187


4. Se programa la celda donde se obtendrá el coseno con la tabla de fórmulas de Excel;; en este caso en h18 se obtendrá el coseno de h17.

=COS/H17)

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 cosß16 a b a2 b2 38 a*b*cosß x2 x17 0,66 0 018 0,78800979919

20

21

22

23

24


x2 = a2 + b2 – a * b * cos ß

5. Se colocan los lados del triángulo que nos dieron en el color azul y se programan los cuadrados de estos en las celdas de color rojo respectivo;; además, la respetiva parte de la fórmula donde se multiplican los lados por el coseno.

=COS/H17)

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 cosß16 a b a2 b2 38 a*b*cosß x2 x17 10 8 100 64 0,66 63,0418 0,78800979919

20

21

22

23

24


x2 = a2 + b2 – a * b * cos ß

188


6. Se programa la fórmula final en la casilla de x al cuadrado.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 cosß16 a b a2 b2 a*b*cosß x2 x17 10 8 100 64 0,52 69,28 94,7218 0,8660247919

20

21

22

23

24


x2 = a2 + b2 – a * b * cos ß

7. Se programa la obtención de la raíz cuadra como resultado final en la celda de x, es decir, en la celda K17 que corresponde al valor x.

Normal



2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 cosß16 a b a2 b2 a*b*cosß x2 x17 10 8 100 64 0,52 69,28 94,72 9,7324200518 0,8660247919

20

21

22

23

24


x2 = a2 + b2 – a * b * cos ß

189


8. Se colocan las unidades de área (cm2) en la casilla siguiente al resultado

Normal


A B C D E F G H I J K L

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 cosß16 a b a2 b2 a*b*cosß x2 x17 10 8 100 64 0,52 69,28 94,72 9,73242005 cm2

18 0,8660247919

20

21

22

23

24


x2 = a2 + b2 – a * b * cos ß

Programe el área de el teorema del seno en la hoja de cálculo.

Ejercicios

TALLERES DIDÁCTICOS DE MATEMÁTICAS PARA EL AULASe terminó de imprimir en 2012

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Para su elaboración se utilizó papel Bond Bahía 75 gren páginas interiores y en carátula Propalcote 250 BDla fuente usada es Franklin Gothic Book a 11 puntos

Talleres didácticos para la enseñanza de las matemáticas jica - prueba final impresión

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