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TAREA #0OPTIMIMIZACIÓN

Hernán Alberto Rojas Chitiva

201324676

1. Considere el sistema de ecuaciones.

ara encontrar las soluciones básicas del sistema tenemos lo si!uiente" m # 4ecuaciones" n # 6 variables.

ara saber cuántas soluciones básicas se a$lica

C ( n

m)=C (6

4)=15

ara hallar todas las soluciones del sistema se debe tener una matri% escalonada

del sistema" se a$lica &auss'(ordan $ara tal )in

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x1+

11

7 x

5+

21

7 x

6=−1

4

x2+21

8 x5+31

8 x6=5

6

x3+

2

3 x

5+

12

3 x

6=

1

4

x4+ x

5+2 x

6=0

*e $uede decir +ue x5=t

1 , x4=t

2 , reem$la%ando en las ecuaciones

anteriores se tiene.

x4+t

1+2 t

1=0 entonces x

4=−t

1−2 t

1

x3+

2

3 x

5+

12

3 x

6=

1

4entonces x

3=−2

3t

1−

12

3t

2−

1

4

x2+

21

8 x

5+

31

8 x

6=

5

6entonces x

2=−21

8t

1−

31

8t

2+

5

6

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x1+

11

7 x

5+

21

7 x

6=−1

4entonces x

1=−11

7t

1−

21

7t

2−

1

4

-n )orma matricial tenemos¿

−1

4

5

6

1

4

¿

−11

7t

1

−21

8t

1

−2

3t

1

−t 1

t 1

−21

7t 2

−31

8t

2

−12

3 t 2

−t 2

¿t 2

( x

1

x2

x3

x4

x5

x6

)=¿

-ntonces todas las soluciones las $odemos re$resentar de la si!uiente manera

( x1

x2

x3

x4

x5

x6

)=(−1

4

5

6

1

4

0

0

0

)+(−11

7

−21

8

−2

3

−1

1

0

) t 1+(−21

7

−31

8

−12

3

−2

0

1

) t 2

2. emostraci/n

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a eri)icar +ue el lado derecho es A 1

−1

re'multi$licando tenemos

¿( A 0+ XRY )[ A 0

−1−aA 0

−1(Y A0

−1

X + R−1)−1

Y A 0

−1 ]

¿ I + XRY A 0

−1−( X + XRY A0

−1 X )(Y A 0

−1 X + R

−1)−1Y A0

−1

¿ I + XRYA0

−1− XR (Y A0

−1

X + R−1) (Y A

0

−1

X + R−1)−1

Y A0

−1

¿ I + XRYA0

−1− XRY A 0

−1= I

b Hallar los valores $ro$ios , los vectores $ro$ios de la matri%

B=(3 1 −9 5

1 3 5 −9

−9 5 3 1

5 −9 1 3

)os vectores $ro$ios de la atri%

'0.5000 '0.5000 0.5000 '0.50000.5000 '0.5000 0.5000 0.5000'0.5000 '0.5000 '0.5000 0.50000.5000 '0.5000 '0.5000 '0.5000

os alores $ro$ios de la atri% son

'12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 16

3.a Hallar el ran!o , los cuatro valores $ro$ios de las matrices A , C

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Cuáles son los vectores $ro$ios corres$ondientes a los valores $ro$ios

di)erentes de cero8

Ran!o de A # 1

alores ro$ios de A # 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 4.0000

ectores ro$ios de A0.046 0.492 0.7071 0.5000

0.046 0.492 '0.7071 0.5000 '0.715 '0.3732 0 0.5000 0.6124 '0.6124 0 0.5000

Ran!o de C # 2

alores ro$ios de C # '2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

ectores ro$ios de C0.5000 0.7071 '0.0000 '0.5000

'0.5000 0 '0.7071 '0.5000 0.5000 '0.7071 '0.0000 '0.5000 '0.5000 0 0.7071

'0.5000

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atri% de :nos;-n la matri% de unos de n<n el Ran!o si!ue teniendo valor de 1 $or la

de$endencia lineal de todas las )ilas , solo e<iste un valor $ro$io

di)erente de cero" +ue se encuentra en la $osici/n A nn " , ese valor

aumenta cuantas )ilas de unos e<istan" ejem$lo" si la matri% tiene )ilas

de unos" el =nico valor $ro$io seria , se encontrar>a en la $osici/n

A88

atri% de ?ablero de Ajedre%;-n la atri% de tablero de Ajedre%" el ran!o en una matri% n<n es 2" ,a

+ue solo e<isten dos )ilas linealmente inde$endientes" $or otro lado

e<isten dos valores $ro$ios di)erentes de cero" , siem$re se encuentran

en la $rimera $osici/n C 11 con si!no ne!ativo , el se!undo en la

$osici/n

C nn

con si!no $ositivo" los dos valores $ro$ios tiene elmismo valor" solo +ue con si!no cambiado" , ese valor es e+uivalente a

la mitad de las )ilas de la matri%" es decir" si la matri% tiene 5 )ilas los

valores $ro$ios serian '2.5 , 2.5 en las $osiciones C 11

y C 55

res$ectivamente.b Hallar los valores $ro$ios , eterminante de @A B donde A es una

matri% de uno 4<4 e B es la identidad , restando las matrices tenemos

A B

0 1 1 1

1 0 1 11 1 0 11 1 1 0

os valores $ro$ios de la matri% son

'1 0 0 0 0 '1 0 0 0 0 '1 0 0 0 0 3

Con un determinante i!ual a '3 +ue son la multi$licaci/n de los valores $ro$ios

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4.

a esarrollando la derivada +ue se muestra en $rimer lu!ar a$licada a la

ecuaci/n tenemos

f ( w )=1

2w

T Aw+b

T w+c

f ( w )=1

2 A

T w+

1

2 Aw+b

Como en el enunciado indica +ue es una matri% simtrica entonces la ecuaci/n se

reduce a;f ( w )= Aw+b

6. &ra)icar

Para A1

A 1=(5 1

1 5)=5 x2+2 xy+5 y

2

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ectoresDro$iosDA1 aloresDro$iosDA1 # '0.7071 0.7071 4 0

0.7071 0.7071 0 6

-s una )orma cuadratica de una matri% de)inida $ositiva

Para A2

(1 5

5 1)= x2+25 xy+ y

2

ectores ro$ios A2 alores ro$ios A2

'0.7071 0.7071 '4 0 0.7071 0.7071 0 6


Para A3

(21 19

19 21)=21 x2+38 xy+21 y

2

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ectores ro$ios A3 alores ro$ios A3

'0.7071 0.7071 2 0

0.7071 0.7071 0 40


Para A4

(−9.5 0.5

0.5 −9.5)=−9.5 x2+ xy−9.5 y

2

ectores ro$ios A4 alores ro$ios A40.7071 0.7071 '10 0

'0.7071 0.7071 0 '9

-se una matri% de)inida ne!ativa

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os valores $ro$ios , vectores $ro$ios se relacionan con las !rá)icas con la

concavidad de las !rá)icas" lo +ue nos indica si son de)inidas $ositivas" de)inidas

ne!ativas o inde)inidas" de i!ual manera se tiene +ue decir +ue en la )orma en se

encuentran las matrices 2<2 $ro$uestas siem$re los vectores $ro$ios son i!uales"

$ero los si!nos $ueden cambiar $or el si!no de cada uno de los valores $ro$ios

asociados.

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