Tarea 1 l Hopital
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MARTÍNEZ CARMONA JORDI DE JESÚS INGENIERÍA MECATRÓNICA Regla de L'Hôpital Si lim → () = lim → () = 0, en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe lim → ´() ´() , entonces este límite coincide con lim → () () . lim → ´() ´() = lim → () () Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma lim → () () , donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones: 0 0 ∞ ∞ 1 ∞ ∞ − ∞ 0 ∙ ∞ ∞ 0 0 0 Función de grado exponencial Se llama función exponencial a base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función : → → () = Esta función se escribe también como () = y se lee “exponencial en base a de x” Cabe recordar algunas propiedades de las potencias: 0 = 1 − = 1 / = √ − = 1 = 1 √ Ejemplo: La función =2 es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función: (−3) = 2 −3 = 1 2 3 = 1 8 (− 1 2 )=2 − 1 2 = 1 2 1 2 = 1 √2 (1) = 2 1 =2 ( 3 2 )=2 3 2 = √ 2 3 = √8
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MARTÍNEZ CARMONA JORDI DE JESÚS INGENIERÍA MECATRÓNICA
Regla de L'Hôpital
Si 𝑠 lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0, en donde f y g son derivables en un entorno de a y
existe 𝑠 lim𝑥→𝑎
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥), entonces este límite coincide con lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥).
lim𝑥→𝑎
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥),
donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:
0
0
∞
∞ 1∞ ∞ − ∞ 0 ∙ ∞ ∞0 00
Función de grado exponencial
Se llama función exponencial a base a, siendo a un número real positivo y distinto
de 1, a la función
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
Esta función se escribe también como 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑥 y se lee “exponencial en base
a de x”
Cabe recordar algunas propiedades de las potencias:
𝑎0 = 1 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛 𝑎𝑚/𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛 𝑎−
𝑚𝑛 =
1
𝑎𝑚𝑛
=1
√𝑎𝑚𝑛
Ejemplo:
La función 𝑦 = 2𝑥 es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores
que toma esta función:
𝑓(−3) = 2−3 =1
23=
1
8
𝑓 (−1
2) = 2−
12 =
1
212
=1
√2
𝑓(1) = 21 = 2
𝑓 (3
2) = 2
32 = √23 = √8
MARTÍNEZ CARMONA JORDI DE JESÚS INGENIERÍA MECATRÓNICA
Ejemplo: 𝟎
𝟎
lim𝑥→1
ln(2𝑥2 − 1)
tan(𝑥 − 1)=
0
0
lim𝑥→1
ln(2𝑥2 − 1)
tan(𝑥 − 1)= lim
𝑥→1
4x2x2 − 1
1 + tan2(𝑥 − 1)= 4
lim𝑥→0
x − senx
x3=
0
0
lim𝑥→0
x − senx
x3= lim
𝑥→0
1 − cosx
3x2= lim
𝑥→0
senx
6x=
1
6
Ejemplo: ∞ − ∞
lim𝑥→0
(𝑐𝑜𝑡𝑥 −1
𝑥)
lim𝑥→0
(𝑐𝑜𝑡𝑥 −1
𝑥) = ∞ − ∞
lim𝑥→0
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥= lim
𝑥→0
−𝑠𝑒𝑛𝑥 − (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
lim𝑥→0
−𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥=
0
2= 0
lim𝑥→∞
√𝑥2 − 2 − √𝑥2 + 𝑥 = ∞ − ∞
lim𝑥→∞
[(√𝑥2 − 2 − √𝑥2 + 𝑥)(√𝑥2 − 2 + √𝑥2 + 𝑥)]
(√𝑥2 − 2 + √𝑥2 + 𝑥)
lim𝑥→∞
−2𝑥 −
𝑥𝑥
√𝑥2
𝑥2 −2
𝑥2 + √𝑥2
𝑥2 +𝑥
𝑥2
= −1
1 + 1= −
1
2
MARTÍNEZ CARMONA JORDI DE JESÚS INGENIERÍA MECATRÓNICA
Ejemplo: 𝟎𝟎
lim𝑥→0
(2𝑥)1𝑥
lim𝑥→0
(2𝑥)1
𝑥 = 01
∞ = 00
𝐴 = (2𝑥)1𝑥 𝑙𝑛𝐴 =
1
𝑥ln(2𝑥) 𝐴 = 𝑒
1𝑥
ln(2𝑥)
lim𝑥→0
(2𝑥)1𝑥 = 𝑒
(lim𝑥→𝑎+
(1𝑥
ln(2𝑥)))= 𝑒−∞ =
1
𝑒∞= 0
lim𝑥→0
(4𝑥)2𝑥
lim𝑥→0
(4)2 = 16
lim𝑥→0
(2𝑥2)𝑥
lim𝑥→0
(4𝑥) = 0
Ejemplo: 𝟏𝟎
lim𝑥→0
(𝑐𝑜𝑠2𝑥)3
𝑥2
lim𝑥→0
(𝑐𝑜𝑠2𝑥)3
𝑥2 = 1∞
lim𝑥→0
(𝑐𝑜𝑠2𝑥)3
𝑥2 = lim𝑥→0
𝑒3 ln(𝑐𝑜𝑠2𝑥)
𝑥2= lim
𝑥→0𝑒
−6𝑡𝑎𝑛2𝑥
2𝑥= lim
𝑥→0𝑒
−12(1 + tan2 2𝑥)
2= 𝑒−6
lim𝑥→∞
(1 +2
𝑥)
𝑥
= 1∞
lim𝑥→∞
(1 +2
𝑥)
𝑥
= lim𝑥→∞
(1 +1𝑥2
)
𝑥
= lim𝑡→∞
(1 +1
𝑡)
2𝑡
= lim𝑡→∞
[(1 +1
𝑡)
𝑡
]
2
= 𝑒2
MARTÍNEZ CARMONA JORDI DE JESÚS INGENIERÍA MECATRÓNICA
Ejemplo: ∞𝟎
lim𝑥→0
(𝑐𝑜𝑡𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥 = ∞0
lim𝑥→0
(𝑐𝑜𝑡𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥 = lim𝑥→0
𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 ln (𝑐𝑜𝑡𝑥) = 𝑒lim𝑥→0
(ln(𝑐𝑜𝑡𝑥))𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑒0 = 1
Ejemplo: ∞
∞
lim𝑥→∞
2𝑥 + 3
𝑥 + √𝑥3
lim𝑥→∞
2
1 +1
3𝑥23
= 2
lim𝑥→∞
√𝑥
√𝑥 + 1+
√𝑥 − 1
√𝑥 + 2
lim𝑥→∞
√𝑥
√𝑥 + 1+ lim
𝑥→∞
√𝑥 − 1
√𝑥 + 2= 1 + 1 = 2
MARTÍNEZ CARMONA JORDI DE JESÚS INGENIERÍA MECATRÓNICA
Bibliografía
http://www.vitutor.com/fun/6/rolle_lagrange.html
