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Maestra en Ciencias en Ingeniera Elctrica
CONTROL AVANZADO
PRESENTA:
Ing. ISMAEL MEDINA L PEZ Matricula: M1513050
Catedrtico: Dr. Jos Luis Meza Medina
TORREN, COAH. MXICO 20 DE OCTUBRE DE 2015
TAREA 2
Modelacin y Simulacin de un
Robot de 2gdl
TECNOLGICO NACIONAL DE MXICO Instituto Tecnolgico de la Laguna
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 1
Modelacin y Simulacin de un Robot de 2gdl
Objetivo
Analizar el comportamiento por simulacin de un robot planar de dos grados de libertad (2gdl)
bajo la accin de diferentes controladores.
Objetivos especficos
1) Obtener una representacin en variables de estado de un Robot de dos grados de Libertad.
2) Simular el modelo del robot utilizando Simulink-Matlab y el paquete Simnon.
3) Analizar la respuesta del robot de dos grados de libertad en lazo abierto.
4) Analizar la respuesta del Robot de dos grados de libertad en lazo cerrado con controladores proporcional (P), proporcional- derivativo (PD) y con un Control
Proporcional, Integral, Derivativo (PID) para entradas escaln.
Desarrollo
Descripcin del robot experimental de dos grados de libertad:
Figura 1. Robot planar de dos grados de libertad ubicado en las instalaciones del Instituto
Tecnolgico de la Laguna (Laboratorio de Mecatrnica y Control).
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 2
Descripcin Notacin Valor Unidades
Longitud del eslabn 1 l1 0.450 m
Longitud del eslabn 2 l2 0.450 m
Distancia al centro de masa (eslabn 1) lc1 0.091 m
Distancia al centro de masa (eslabn 2) lc2 0.048 m
Masa eslabn 1 m1 23.902 kg
Masa eslabn 2 m2 3.880 kg
Inercia eslabn 1 respecto al centro de masa I1 1.266 kg m2
Inercia eslabn 2 respecto al centro de masa I2 0.093 kg m2
Aceleracin de la gravedad g 9.81 m/s2
Modelo dinmico en forma compacta del robot experimental de dos grados de
libertad
Dnde:
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 3
1) Representacin en variables de estado del robot de dos grados de
libertad
Para poder hacer las simulaciones es necesario expresar la dinmica del robot en forma de
variables de estado.
Con ayuda del paquete o software Matlab despejamos el vector , de la siguiente forma:
syms m11 m12 m21 m22; syms c11 c12 c21 c22 ; syms q1p q2p g1 g2 tau1 tau2 ; M=[m11 m12;m21 m22]; C=[c11 c12;c21 c22]; qp=[q1p;q2p]; tau=[tau1;tau2]; g=[g1;g2]; qpp=inv(M)*(tau - C*qp - g);
pretty(qpp(1));
m12 (g2 - tau2 + c21 q1p + c22 q2p) m22 (g1 - tau1 + c11 q1p + c12 q2p) ----------------------------------- - ---------- ------------------------- m11 m22 - m12 m21 m11 m22 - m12 m21
pretty(qpp(2));
m21 (g1 - tau1 + c11 q1p + c12 q2p) m11 (g2 - tau2 + c21 q1p + c22 q2p) ----------------------------------- - -------------------------- --------- m11 m22 - m12 m21 m11 m22 - m12 m21
Dado que es una matriz simtrica, es decir, , tenemos:
syms m11 m12 m22; syms c11 c12 c21 c22 ; syms q1p q2p g1 g2 tau1 tau2 ; M=[m11 m12;m12 m22]; C=[c11 c12;c21 c22]; tau=[tau1;tau2]; g=[g1;g2]; qp=[q1p;q2p]; qpp=inv(M)*(tau - C*qp - g); pretty(qpp(1));
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 4
pretty(qpp(1));
m12 (g2 - tau2 + c21 q1p + c22 q2p) m22 (g1 - tau1 + c11 q1p + c12 q2p) ----------------------------------- - ------------------ ----------------- 2 2 - m12 + m11 m22 - m12 + m11 m22
pretty(qpp(2));
m12 (g1 - tau1 + c11 q1p + c12 q2p) m11 (g2 - tau2 + c21 q1p + c22 q2p) --------------- -------------------- - ----------------------------------- 2 2 - m12 + m11 m22 - m12 + m11 m22
La dinmica del robot en variables de estado, quedara de la forma:
Modelo dinmico del robot con friccin
Es importante notar que la ecuacin genrica del modelo dinmico en su forma compacta supone
que los eslabones son rgidos, es decir, que no presentan ninguna torsin o cualquier otro
fenmeno de deformacin. Por otro lado, tambin consideramos que las articulaciones entre cada
par de eslabones son rgidas y sin friccin.
Efectos de friccin en los sistemas mecnicos son fenmenos que dependen de mltiples factores
tales como la naturaleza de los materiales en contacto, lubricacin, temperatura, etc. Por esta
razn, tpicamente slo estn disponibles modelos aproximados de las fuerzas de friccin y pares
de torsin. Sin embargo, se acepta que estas fuerzas y pares de torsin dependen de la velocidad
relativa entre los cuerpos en contacto. Por lo tanto, podemos distinguir dos familias de modelos
de friccin: los modelos estticos, en los que la fuerza de friccin o par de torsin depende de la
velocidad relativa momentnea entre los cuerpos y, modelos dinmicos, que dependen de los
valores pasados de la velocidad relativa.
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 5
As, en los modelos estticos, la friccin se modela mediante un vector que solo
depende de la velocidad de la articulacin . Los efectos de friccin son locales, es decir,
puede ser escrito como:
para el caso de un robot de dos grados de libertad.
es uno que combina los llamados fenmenos de friccin
viscosa y de Coulomb. Este modelo establece que el vector viene dado por:
Donde y son matrices diagonal definidas positivas. Los elementos de la diagonal de
corresponden a los parmetros de friccin viscosa mientas que los elementos de
corresponden a los parmetros de la friccin de Coulomb. Adems, en el modelo dado por la
expresin anterior
Teniendo en cuenta la friccin en las articulaciones, la ecuacin dinmica general del
manipulador est ahora dado por
Considerando en nuestro modelo solamente la friccin viscosa
Donde es una matriz diagonal definida positiva de , cuyos elementos de la diagonal de
corresponden a los parmetros de la friccin viscosa ( , como ya se haba mencionado. Por
lo tanto tenemos:
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Ismael Medina Lpez 6
Dinmica del robot en forma de variables de estado.
syms m11 m12 m21 m22; syms c11 c12 c21 c22 ; syms q1p q2p g1 g2 tau1 tau2 fv ; M=[m11 m12;m21 m22]; C=[c11 c12;c21 c22]; tau=[tau1;tau2]; g=[g1;g2]; qp=[q1p; q2p]; Fm=[fv 0;0 fv]; qpp=inv(M)*(tau - C*qp - g- Fm*qp);
pretty(qpp(1));
m12 (g2 - tau2 + c21 q1p + c22 q2p + fv q2p) m22 (g1 - tau1 + c11 q1p + c12 q2p + fv q1p)
-------------------------------------------- - ---------------------------------------- ----
m11 m22 - m12 m21 m11 m22 - m12 m21
pretty(qpp(2));
m21 (g1 - tau1 + c11 q1p + c12 q2p + fv q1p) m11 (g2 - tau2 + c21 q1p + c22 q2p + fv q2p)
-------------------------------------------- - ------ --------------------------------------
m11 m22 - m12 m21 m11 m22 - m12 m21
Considerando ahora en nuestro modelo tanto la friccin viscosa como de Coulomb
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Control Avanzado
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syms m11 m12 m21 m22; syms c11 c12 c21 c22 ; syms q1p q2p g1 g2 tau1 tau2 fv fc ; M=[m11 m12;m21 m22]; C=[c11 c12;c21 c22]; tau=[tau1;tau2]; g=[g1;g2]; qp=[q1p;q2p]; Fm1=[fv 0;0 fv]; Fm2=[fc 0; 0 fc]; qpp=inv(M)*(tau - C*qp - g- Fm1*qp- Fm2*sign(qp)); pretty(qpp(1));
m12 (g2 - tau2 + c21 q1p + c22 q2p + fv q2p + fc sign(q2p))
----------------------------------------------------------- - m11 m22 - m12 m21
m22 (g1 - tau1 + c11 q1p + c12 q2p + fv q1p + fc sign(q1p)) ---------------------------------------------------------- -
m11 m22 - m12 m21 pretty(qpp(2));
m21 (g1 - tau1 + c11 q1p + c12 q2p + fv q1p + fc sign(q1p))
----------------------------------------------------------- - m11 m22 - m12 m21
m11 (g2 - tau2 + c21 q1p + c22 q2p + fv q2p + fc sign(q2p)) ----------------- ------------------------------------------
m11 m22 - m12 m21
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2) Anlisis de la respuesta del robot de dos grados de libertad en lazo
abierto
Simulacin en el paquete SIMNON
Programa desarrollado
CONTINUOUS SYSTEM r2gdl " Version: 1.0 " Abs tract: " Description: " Revision: 1.0 " Author: ISMAEL MEDINA LOPEZ " Created: 21 /10/2015 " Inputs and outputs: " INPUT " OUTPUT " States, derivates and time: STATE q1 q2 qp1 qp2 DER dq1 dq2 ddq1 ddq2 " TIME t " Initializat ions: " Equations: dq1=qp1 dq2=qp2 ddq11=(m22/(m11*m22 - m12*m21))*(tau1 - g1- c11*qp1 - c12*qp2) ddq1=ddq11+(m12/(m11*m22 - m12*m21))*(g2 - tau2+c21*qp1+c22*qp2) ddq22=(m11/(m11*m22 - m12*m21))*(tau2 - g2- c21*qp1 - c22*qp2) ddq2=ddq22+(m21/(m11*m22 - m12*m21))*(g1 - tau1+c11*qp1+c12*qp2) m11=m1*lc1*lc1+m2*(l1*l1+lc2*lc2+2*l1*lc2*cos(q2))+I1+I2 m12=m2*(lc2*lc2+l1*lc2*cos(q2))+I2 m21=m2*(lc2*lc2+l1*lc2*cos(q2))+I2 m22=m2*lc2*lc2+I2 c11= - m2*l1*lc2*sin(q2)*qp2 c12= - m2*l1*lc2*sin(q2)*(qp1+qp2) c21=m2*l 1*lc2*sin(q2)*qp1 c22=0 g1=(m1*lc1+m2*l1)*g*sin(q1)+m2*lc2*g*sin(q1+q2) g2=m2*lc2*g*sin(q1+q2) tau1= 0.785398 tau2= 0. 174533 q1n= q1*(180/3.1416) q2n= q2*(180/3.1416)
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" Parameter values: l1=0.450 l2=0.450 lc1=0.091 lc2=0.048 m1=23.902 m2=3.880 I 1=1.266 I2=0.093 g=9.81 END
Figura 2. Grafica obtenida como resultado de la simulacin en SIMNON con pares
y . Para las variables articulares q1 se muestra en color negro (inferior) y q2 en
color azul (superior).
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Figura 3. Variacin en los pares aplicados, y .
Simulacin en el MATLAB -Simulink
Figura 4. Diagrama de bloques en Matlab-Simulink para la simulacin del robot de dos grados
de libertad en lazo abierto.
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Funcin r2gdl implementada en el bloque Interpreted MATLAB Fcn
function [out] = r2gdl(x ) % Funcin R2GDL de Matlab para simular un robot de dos grados de libertad % 20 de Octubre de 2015
q=[x(1);x(6)]; tau=[x(3);x(4)]; qp=[x(2);x(5)];
% Valores de los paramatros del robot l1 = 0.450; % Longitud del eslabon 1 (mts) l2 = 0.450; % Longitud del eslabon 2 (mts) lc1 = 0.091; % Distancia al centro de masa (eslabon 1) lc2 = 0.048; % Distancia al centro de masa (eslabon 2) m1 = 23.902; % Masa eslabon 1 (kg) m2 = 3.880; % Masa eslabon 2 (kg) I1 = 1.266; % Inercia es labon 1 respecto al centro de masa (kg m^2) I2 = 0.093; % Inercia eslabon 2 respecto al centro de masa (kg m^2) g = 9.81; % Aceleracin de la Gravedad (m/s^2)
% Elementos de la matriz de Inercia m11 = m1*lc1*lc1+m2*(l1*l1+lc2*lc2+2*l1*lc2*co s(q(2)))+I1+I2; m12 = m2*(lc2*lc2+l1*lc2*cos(q(2)))+I2; m21 = m2*(lc2*lc2+l1*lc2*cos(q(2)))+I2; m22 = m2*lc2*lc2+I2; M = [m11 m12;m21 m22];
% Elementos de la Matriz de Coriolis c11 = - m2*l1*lc2*sin(q(2))*qp(2); c12 = - m2*l1*lc2*sin(q(2))*(qp(1)+qp(2)); c21 = m2*l1*lc2*sin(q(2))*qp(1); c22 = 0; C = [c11 c12;c21 c22];
% Vector de pares gravitacionales g1 = (m1*lc1+m2*l1)*g*sin(q(1))+m2*lc2*g*sin(q(1)+q(2)); g2 = m2*lc2*g*sin(q(1)+q(2)); g = [g1;g2];
% Vector de aceleracin qpp = [qpp1;qpp2] qpp = inv(M)*(tau - C*qp - g); %out = zeros(1,2); out(1) = qpp(1); out(2) = qpp(2);
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Figura 5. Graficas obtenidas de la simulacin en Matlab-Simulink.
Figura 6. Graficas obtenidas de la simulacin en Matlab-Simulink, con valores de pares iguales
a y .
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
0
2
4
6
8
10
Tiempo [s]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5
0
5
10
15
20
25
30
35
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3) Anlisis de la respuesta del robot de dos grados de libertad en lazo
cerrado
Simulacin en Matlab-Simulink
Figura 7. Diagrama de bloques en Matlab-Simulink para la simulacin del robot de dos grados
de libertad en lazo cerrado.
Control Proporcional (P)
Figura 8. Esquema de control en lazo cerrado del robot de dos grados de libertad con
controlador Proporcional (P).
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Control Avanzado
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Figura 9. Graficas obtenida de la simulacin en Matlab-Simulink del robot 2gdl con controlador
Proporcional (P).
Control Proporcional-Derivativo (PD)
Figura 10. Esquema de control en lazo cerrado del robot de dos grados de libertad con
controlador Proporcional-Derivativo (P).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
0
10
20
30
40
50
60
70
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Control Avanzado
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Figura 11. Graficas obtenida de la simulacin en Matlab-Simulink del robot 2gdl con controlador
Proporcional-Derivativo (P).
Control Proporcional-Integral-Derivativo (PD)
Figura 12. Diagrama de bloques en Matlab-Simulink para la simulacin del robot de dos
grados de libertad en lazo cerrado con controlador PID, caso especial con 3 bloques step en
cascada.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 16
Figura 13. Graficas obtenida de la simulacin en Matlab-Simulink del robot 2gdl con controlador
Proporcional-Integral-Derivativo (PID).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
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Simulacin en SIMNON
Las simulaciones se llevaron de acuerdo a las siguientes variantes para 5 diferentes controladores:
Controlador
Controlador Proporcional
(P)
Constante
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Variable
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Controlador
Proporcional-Derivativo
(PD)
Constante
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Variable
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Controlador PD con
compensacin de
gravedad (PD+g)
Constante
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Variable
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Controlador Tanh-D con
compensacin de
gravedad (Tanh-D+g)
Constante
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Variable
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Controlador
Proporcional-Integral-
Derivativo (PID)
Constante
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Variable
Friccin viscosa
Friccin Viscosa + friccin de
Coulomb
Se consideran valores constantes de los parmetros mostrados en la siguiente tabla:
Parmetro Valor Parmetro Valor Parmetro Valor
constante 10 30 10
constante 10 30 10
variable 20 0.5
variable 20 0.5
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 18
Controlador Proporcional (P)
De acuerdo a la tabla anterior se presentaran cuatro graficas diferentes que corresponden cada
variante de los cinco controladores utilizados en el robot de dos grados de libertad.
CONTINUOUS SYSTEM 2GDL " Version: 1.0 " Abstract: " Description: " Revision: 1.0 " Author: ISMAEL MEDINA LOPEZ " Created: 14/10/2015 " Inputs and outputs: " INPUT " OUTPUT " States, derivates and time: STATE q 1 q2 qp1 qp2 DER dq1 dq2 ddq1 ddq2 " TIME " Initializations: " Equations: dq1=qp1 dq2=qp2 ddq11=(m22/(m11*m22 - m12*m21))*(tau1 - g1- c11*qp1 - c12*qp2 - fv*qp1) " - fc*sign(qp1) ddq1=ddq11+(m12/(m11*m22 - m12*m21))*(g2 - tau2+c21*qp1+c22*qp2+fv*qp2) " + fc*sign(qp2) ddq22=(m11/(m11*m22 - m12*m21))*(tau2 - g2- c21*qp1 - c22*qp2 - fv*qp2) " - fc*sign(qp2) ddq2=ddq22+(m21/(m11*m22 - m12*m21))*(g1 - tau1+c11*qp1+c12*qp2+fv*qp1) " +fc*sign(qp1) m11=m1*lc1*lc1+m2*(l1*l1+lc2*lc2+2*l1*lc2*cos(q2))+I1+I2 m12=m2*(lc2*lc 2+l1*lc2*cos(q2))+I2 m21=m2*(lc2*lc2+l1*lc2*cos(q2))+I2 m22=m2*lc2*lc2+I2 c11= - m2*l1*lc2*sin(q2)*qp2 c12= - m2*l1*lc2*sin(q2)*(qp1+qp2) c21=m2*l1*lc2*sin(q2)*qp1 c22=0 g1=(m1*lc1+m2*l1)*g*sin(q1)+m2*lc2*g*sin(q1+q2) g2=m2*lc2*g*sin(q1+q2) tau1=kp1*(qd1 - q1) tau2=kp2*(qd2 - q2) kp1=30 kp2=30 qd1= 10 qd2= 10 fv=0.5 " Parameter values:
-
Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 19
l1=0.450 l2=0.450 lc1=0.091 lc2=0.048 m1=23.902 m2=3.880 I1=1.266 I2=0.093 g=9.81 END
a) b)
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 20
Figura 14. Respuestas de las variables articulares del robot de 2gdl con controlador
Proporcional (P), para: a) Entrada qd constante con friccin viscosa, b) Entrada qd constante
con friccin viscosa ms friccin de Coulomb, c) Entrada qd variable con friccin viscosa, d)
Entrada qd variable con friccin viscosa ms friccin de Coulomb.
Controlador Proporcional-Derivativo (PD)
tau1=kp1*(qd1 - q1) - kd1*qp1 " +kd1*(((5*3.1416)/2)*cos( (3.1416/2)*t) - qp1) tau2=kp2*(qd2 - q2) - kd2*qp2 " +kd2 *(((5*3.1416)/2)*cos((3.1416/2)*t) - qp2 ) fv=0.5 fc=0.5 kp1=30 kp2 =30 kd1=20 kd 2=20 qd1=10 " 5*sin((3.1416/2)*t) qd2=10 " 5*sin((3.1416/2)*t)
c) d)
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 21
Figura 15. Respuestas de las variables articulares del robot de 2gdl con controlador Proporcional-
Derivativo (PD), para: a) Entrada qd constante con friccin viscosa, b) Entrada qd constante con friccin
viscosa ms friccin de Coulomb, c) Entrada qd variable con friccin viscosa, d) Entrada qd variable con
friccin viscosa ms friccin de Coulomb.
a) b)
c) d)
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 22
Controlador Proporcional-Derivativo (PD) con compensacin de gravedad
g1=(m1*lc1+m2*l1)*g*sin(q1)+m2*lc2*g*sin(q1+q2) g2=m2*lc2*g*sin(q1+q2) tau1=kp1*(qd1 - q1) - kd1*qp1+g1 tau2=kp2*(qd2 - q2) - kd2*qp2+ g2 fv=0.5 fc=0.5 kp1=30 kp2=30 kd1=20 kd2=20 qd1=10 " 5*sin((3.1416/2)*t) qd2=10 " 5*sin((3.1416/2)*t )
a) b)
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 23
Figura 16. Respuestas de las variables articulares del robot de 2gdl con controlador Proporcional-
Derivativo (PD) con compensacin de gravedad, para: a) Entrada qd constante con friccin viscosa, b)
Entrada qd constante con friccin viscosa ms friccin de Coulomb, c) Entrada qd variable con friccin
viscosa, d) Entrada qd variable con friccin viscosa ms friccin de Coulomb
Control Tanh-D con compensacin de gravedad
g1=(m1*lc1+m2*l1)*g*sin(q1)+m2*lc2*g*sin(q1+q2) g2=m2*lc 2*g*sin(q1+q2) tau1=kp1*tanh(qt1) - kd1*qp1+g1 tau2=kp2*tanh(qt2) - kd2*qp2+g2 qt1=(qd1 - q1) qt2=(qd2 - q2) fv=0.5 fc=0.5 kp1=30 kp2=30 kd1=20 kd2=20 qd1=10 qd2=10
c) d)
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 24
Figura 17. Respuestas de las variables articulares del robot de 2gdl con controlador Tanh-D con
compensacin de gravedad, para: a) Entrada qd constante con friccin viscosa, b) Entrada qd constante con
friccin viscosa ms friccin de Coulomb, c) Entrada qd variable con friccin viscosa, d) Entrada qd
variable con friccin viscosa ms friccin de Coulomb
a) b)
c) d)
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 25
Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID)
STATE q1 q2 qp1 qp2 x1 x2 DER dq1 dq2 ddq1 ddq2 dx1 dx2 . . . dx1=qt1 dx2=qt2 tau1=kp1*qt1 - kd1*qp1+ki1*x1 tau2=kp2*qt2 - kd2*qp2+ki2*x2 qt1=(qd1 - q1) qt2=(qd2 - q2) fv=0.3 kp1= 30 kp2=30 kd1=20 kd2=20 ki1=10 ki2=10 qd1=10 qd2=10
a) b)
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Control Avanzado
Ismael Medina Lpez 26
Figura 18. Respuestas de las variables articulares del robot de 2gdl con controlador Proporcional-Integral-
Derivativo, para: a) Entrada qd constante con friccin viscosa, b) Entrada qd constante con friccin viscosa
ms friccin de Coulomb, c) Entrada qd variable con friccin viscosa, d) Entrada qd variable con friccin
viscosa ms friccin de Coulomb
Conclusin
En este documento se present el modelo dinmico de un sistema mecatrnico (robot) de dos
grados de libertad, el cual, puede ser motivo de un amplio estudio para el diseo de diferentes
controladores. En esta ocasin el sistema fue simulado con los controladores clsicos
Proporcional (P), Proporcional-Derivativo y Proporcional-Integral-Derivativo (PID), tanto en
Matlab-Simulink como en el paquete SIMORO. Se pudo constatar una gran similitud en la
obtencin de los resultados para cada uno de los controladores y por supuesto como la respuesta,
que es el comportamiento de las variables articulares, cambia significativamente con los
controladores, obteniendo mejores resultados cuando el controlador es ms robusto, el sistema
por lo tanto tendr un comportamiento ms estable.
Referencias Bibliogrficas
R. Kelly, V. Santibez & A. Lora. Control of Robot Manipulators in Joint Space. 2da Ed. 2005. (pp. 92-95).
c) d)