Tarea 2 - Elasticidad y sus aplicaciones para Ingenierıa.

De Aldo Abarca O. y Rodrigo Fuentes S. para Prof. Enzo Schachter C.

8 de diciembre de 2015

Objetivo: Conocidas tres tensiones principales, de las cuales una de ellas es negativa,determinar mediante la teorıa de las cuadricas indicatrices de tensiones el valor del vectortension, que corresponde a un plano π definido por el vector unitario normal u, de formagrafica y compararlo con la solucion analıtica.

Considerando tensiones principales, en MPa, sobre un paralelogramo elemental, se tiene:

σ1 = 2 ; σ2 = 1; σ3 = −1

Definiendo las cuadricas indicatrices:

2x2 + y2 − z2 = ±1

Que corresponde a dos hiperboloides de una y dos hojas, respectivamente. El cono asintoti-co comun a ambos hiperboloides tiene de ecuacion:

2x2 + y2 − z2 = 0

Luego, si se define el plano, a partir de u:

u = (cos(75◦), 0, cos(15◦))

De forma analıtica, con los cosenos directores en los planos X y Z, es decir, en el hiperbo-loide de dos hojas y el respectivo elipsoide de Lame, con semiejes igual a 1 y 2, se tiene:

1

~σ = 2 · cos(75◦)i− 1 · cos(15◦)k

~σ = 0, 5176i− 0, 9659k

|~σ| = 1, 09586

Luego, usando el metodo geometrico, graficando las ecuaciones:

2x2 + y2 − z2 = ±1

Recordar que solo se analizara el plano XZ. Se situa el vector u en el origen y se intersectacon el hiperboloide, a partir de este punto, se traza la tangente a la hiperboloide y se llevaa la interseccion con el eje Z. En esta recta, se traza otra recta, del menor tamano posible(ortogonal) que pase por el origen y corte al elipse de Lame. Las coordenadas de este puntodeterminaran el modulo de tension. Ocupando el Software SolidWorks y sus respectivas fun-ciones, se grafican las funciones anteriores y se obtienen las coordenadas, lo que se muestraen la figura siguiente:

Luego, calculando el modulo de estas coordenadas, se tiene:

|~σ| =√

(0, 517642) + (0, 96592)|~σ| = 1, 09586

Lo que comprueba la teorıa.

Ahora, graficando lo mismo segun el circulo de Mohr:

Centro 1: C1 = σ2+σ32 = 1−1

2 = 0

Centro 2: C3 = σ1+σ32 = 2−1

2 = 0, 5

Centro 3: C3 = σ1+σ22 = 2+1

2 = 1, 5

2

Donde el esfuerzo maximo cortante es:

τmax = σ1−σ32 = 2+1

2 = 1, 5

Entonces, graficamente, el circulo de Mohr se presenta en la siguiente imagen:

3