TAREA DE LA SESION 2 1).- Cmo defines un modelo?. Explicarlo con un ejemplo. Menciona un ejemplo de aplicacin de un modelo de maximizacin y otro de un modelo de minimizacin. Un modelo sirve para representar un problema con el fin de poder dar solucion al problema trabajando sobre el modelo. Esto facilitara las cosas ya que el modelo tiene una serie de mecanismos y pasos ordenados que facilitan la obtencion de la solucin. Un problema en cuestien podr representarse por ms de un modelo, se trata de buscar el modelo que mas de adapte al problema y a quienes pretendan resolverlo. Ejemplo de aplicacin: 1). Una fbrica produce dos productos: M y N, los costos de produccin de ambos productos son $3 para el producto M y $5 para el producto N. Si el tiempo total de produccin est restringido a 500 horas; y el tiempo de produccin son de 8 horas/unidad para el producto M y de 4 horas/unidad para el producto N. Formule el Modelo matemtico que permita determinar la cantidad de productos M y N a producir, y que optimice (o minimice) el Costo total de produccin de los dos productos. Representacin del Problema mediante un Organizador Grfico o Esquema:

Definicin de Variables: Se desea formular un modelo matemtico para determinar la cantidad a producirse por cada producto, por lo tanto tendremos dos variables. Sean: x1 = Cantidad a producirse del producto M x2 = Cantidad a producirse del producto N Funcin Objetivo: Minimizar el Costo total de produccin de los productos M y N Costo total de produccin de M = (Costo unitario del producto M) (Cantidad a producirse del producto M) Costo total de produccin de M = ( 3 $ / unidad ) ( x1 unidades ) = 3 x1 $

Costo total de produccin de N = (Costo unitario del producto M) (Cantidad a producirse del producto N) Costo total de produccin de N = ( 5 $ / unidad ) ( x2 unidades ) = 5 x2 $ La Funcin objetivo es Minimizar: Costo total de produccin M + Costo total de produccin N Matemticamente tenemos: Minimizar: C = 3 x1 + 5 x2 Modelo de maximizacion Problema Una compaa fabr ica y vende dos t ipos de lmparas: L 1 y L 2 . Para su fabr icac in se necesi ta un t raba jo manua l de 20 minutos. para e l t ipo L 1 y de 30 minutos para e l t ipo L 2 ; y un t raba jo de mqu ina de 20 minutos para L 1 y de 10 minutos para L 2 . Se d ispone para e l t raba jo manua l de 100 horas a l mes y para la mqu ina 80 horas a l mes. Sab iendo que e l benef ic io por un idad es de 15 y 10 so les para L 1 y L 2 , respect ivamente , p lan if icar la p roduccin para obtener e l mximo benef ic io. Modelo

1 ) Var iab les de decis ion

x = n de lmparas L 1

y = n de lmparas L 2

2 ) Funcin ob je t ivo

Z = 15x + 10y

3 ) Rest r icc iones

20x + 30y 100(60) ( rest r icc ion para traba jo manua l)

20x + 10y 80(60) ( rest r icc ion para t raba jo a mqu ina)

x 0 ; y 0 ( rest r icc ines de no negat iv idad)

Modelo de minimizacin Problema Una empresa de t ransportes t iene dos t ipos de camiones, los de l t ipo A con un espacio ref r igerado de 20 m3 y un espacio no ref r igerado de 40 m3. Los de l t ipo B, con igua l cub ica je to ta l , a l 50% de ref r igerado y no ref r igerado. La cont ra tan para e l t ransporte de 3 000 m3 de producto que necesi ta ref r igerac in y 4 000 m3 de ot ro que no la necesi ta . E l coste por k i lmetro de un camin de l t ipo A es de 30 so les y e l B de 40 so les. Cuntos camiones de cada t ipo ha de u t i l izar para que e l coste to ta l sea mn imo? Modelo

1 ) Variables de decision

x = camiones de t ipo A

y = camiones de t ipo B

2) Funncin objetivo

Z = 30x + 40y

3) Restr icc iones

20x + 30y 3000

40x + 30y 4000

x 0 ; y 0 ( rest r icc ines de no negat iv idad)

2). - Una empresa fabrica dos tipos de productos: A y B, cada producto debe pasar por un proceso de Ensamblaje y por un proceso de Terminado, antes de salir a la venta. El producto A se vende a $ 60 y el producto B a $ 50 cada unidad respectivamente. La siguiente tabla muestra el tiempo unitario requerido por cada producto utilizado en cada proceso; y el tiempo disponible por proceso.

Represente el problema usando un ordenador grfico o esquema. Formule el Modelo matemtico que optimice la venta total de los productos, indicando paso a paso la definicin de los elementos o condiciones bsicas del modelo. Variables de decisin: X1 = N de unidades a fabricar del producto A X2 = N de unidades a fabricar del producto B Funcin objetivo: Ganancia por el producto A = 60X1 Ganancia por el producto B = 50X2 Entonces la funcin objetivo es: Maximizar: Z = 60X1+ 50X2 Restricciones: Restriccion del proceso de embalaje

2X1 + 4X2 48

Restriccion del proceso terminado

3X1 + 2X2 36

Todas las restricciones:

2X1 + 4X2 48

3X1 + 2X2 36

X1 0; X2 0 ( restr iccines de no negatividad)

3.- Una Fbrica procesa 4 productos en dos mquinas diferentes. La siguiente tabla proporciona la informacin requerida de tiempo de fabricacin por producto y su disponibilidad de tiempo por mquina.

Represente el problema ayudndose de un grfico o esquema. Formule el Modelo matemtico que permita determinar la cantidad ptima a producir por cada producto y maximizar la utilidad total de los productos. Indique paso a paso la definicin de los elementos o condiciones bsicas del modelo. Variables de decision:

X1 = Cantidad a producir del producto A X2 = Cantidad a producir del producto B X3 = Cantidad a producir del producto C X4 = Cantidad a producir del producto D

Funcin objetivo:

Utilidad total del producto A = 65 X1 Utilidad total del producto B = 70 X2 Utilidad total del producto C = 55 X3 Utilidad total del producto D = 45 X4 Debemos maximizar la utilidad total, luego la funcin objetivo ser: Maximizar: Z = 65X1+ 70X2 + 55X3+ 45X4

Restricciones:

Disponibilidad de tiempo de la mquina 1

2X1 + 3X2 +4X3 + 2X4

4).- Una empresa, cuenta con dos mquinas para elaborar dos tipos de productos: 1 y 2. Cada producto tiene que pasar por la mquina A y despus por la mquina B. El producto 1 requiere 3 horas de la mquina A y 2 de la mquina B, mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la mquina A y 2 horas de la mquina B. La capacidad de las mquina A y B son 50 y 65 horas semanales respectivamente. El producto A deja 350 $ y el segundo producto B deja 600 $ por utilidades semanalmente. Por escasez de materia prima, la empresa no puede elaborar ms de 21 unidades en total. Formule el modelo matemtico que optimice la utilidad.

Variables de decicin: X1 = Cantidad del producto 1 X2 = Cantidad del producto 2

Funcin objetivo:

El objetivo es maximizar la utilidad de los productos 1 y 2.

Utilidad de venta de 1: (Utilidad del Prod. 1)(Cant a producirse del producto 1) Utilidad de venta de 1: ($ 350/unidad)(X1) = $350X1 Utilidad de venta de 2: (Utilidad del Prod. 2)(Cant a producirse del producto 2) Utilidad de venta de 2: ($600/unidad)(X2) = $600X2

El objetivo es optimizar la utilidad total: Utilidad Producto 1 + Utilidad Producto 2

Z = 350X1 + 600X2

Restricciones:

Restriccin de la mquina A (3 horas)X1 + (1 hora)X2 50 horas Restriccin de la mquina B (2 horas)X1 + (2 hora2)X2 65 horas Todas las restriccione: 3X1 + X2 50

2X1 + 2X2 65

X1 0; X2 0 (restriccciones de no negatividad)