tarea 5

TAREA N0 05 DOCENTE: DR. HUGO SCALETTI FARINACURSO: METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA ALUMNO: ALEX VALDIVIA ESCALANTESEMESTRE: 2011 – I EPG – FIC - UNI

1.- Use un método de Runge – Kutta de Cuarto Orden Global para resolver la Siguiente ED:

Con condición inicial: y(0) = 1Determine:

a) Con Δx=0.2b) Con sucesivas subdivisiones del intervalo hasta que se garantice un resultado de y(2) con por

lo menos 4 cifras correctasSolución:a) Método de Runge – Kutta : Usando las siguientes formulas:

Para cada segmento Δx=0.2, y tomando en cuenta la condición inicial y(0) = 1 Obtenemos:

i y1 y(0.2) 1.00082 y(0.4) 1.01223 y(0.6) 1.05774 y(0.8) 1.16745 y(1) 1.36806 y(1.2) 1.67727 y(1.4) 2.10128 y(1.6) 2.63789 y(1.8) 3.2798

10 y(2) 4.0191

b) Con sucesivas subdivisiones obtenemos:Para Δx=0.10 Y(2)=4.0184 Para Δx=0.05 Y(2)=4.0183 Para Δx=0.025 Y(2)=4.0183

Por lo tanto un valor garantizado de y(2)=4.0183


2.-

u ' 3 -1 u 1 + =

v ' -1 3 v -1

u' + Au = b

b.- Para la matriz A, usando el Método QR obtenemos los valores y vectores propios siguientes:λ1 = 4λ2 = 2

√2/2Φ1=

-√2/2

√2/2Φ2=

√2/2

Haciendo:

λ1 = ω12 = 4

λ2 = ω22 = 2

De donde: ωmáx=2

Usando:

Entonces: Δx ≤ 1

c.- Considerando u=f(x)Φ1+z(x)Φ2 , teniendo en cuenta las condiciones de ortogonalidad obtenemos las siguientes ecuaciones desacopladas:

y’+4 y=√2z’+2 z=0

3.- Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales del problema 2. Suponer u(0)= v(0)=0 y experimente con distintos valores de Δx. Determine u(10) y v(10) a.- para hallar u(10)

u'= 1-3u+v


Con h= 2 Con h= 1 i vi ui hfi i vi ui hfi

0 0 0 2 0 0 0 11 1 1 1 -1.00002 2 2.0000 -6 2 2 0.0000 3.00003 3 3 3.0000 -5.00004 4 -4.0000 34 4 4 -2.0000 11.00005 5 5 9.0000 -21.00006 6 30.0000 -166 6 6 -12.0000 43.00007 7 7 31.0000 -85.00008 8 -136.0000 834 8 8 -54.0000 171.00009 9 9 117.0000 -341.000010 10 698.0000 10 10 -224.0000

Con h= 0.5 Con h= 0.25 i vi ui hfi i vi ui hfi0 0 0.0000 0.5000 0 0 0.0000 0.2500

1 0.25 0.2500 0.12501 0.5 0.5000 0.0000 2 0.5 0.3750 0.0938

3 0.75 0.4688 0.08592 1 0.5000 0.2500 4 1 0.5547 0.0840

5 1.25 0.6387 0.08353 1.5 0.7500 0.1250 6 1.5 0.7222 0.0834

7 1.75 0.8055 0.08334 2 0.8750 0.1875 8 2 0.8889 0.0833

9 2.25 0.9722 0.08335 2.5 1.0625 0.1563 10 2.5 1.0556 0.0833

11 2.75 1.1389 0.08336 3 1.2188 0.1719 12 3 1.2222 0.0833

13 3.25 1.3056 0.08337 3.5 1.3906 0.1641 14 3.5 1.3889 0.0833

15 3.75 1.4722 0.08338 4 1.5547 0.1680 16 4 1.5556 0.0833

17 4.25 1.6389 0.08339 4.5 1.7227 0.1660 18 4.5 1.7222 0.0833

19 4.75 1.8056 0.083310 5 1.8887 0.1670 20 5 1.8889 0.0833

21 5.25 1.9722 0.083311 5.5 2.0557 0.1665 22 5.5 2.0556 0.0833

23 5.75 2.1389 0.083312 6 2.2222 0.1667 24 6 2.2222 0.0833

25 6.25 2.3056 0.083313 6.5 2.3889 0.1666 26 6.5 2.3889 0.0833

27 6.75 2.4722 0.083314 7 2.5555 0.1667 28 7 2.5556 0.0833

29 7.25 2.6389 0.083315 7.5 2.7222 0.1667 30 7.5 2.7222 0.0833

31 7.75 2.8056 0.083316 8 2.8889 0.1667 32 8 2.8889 0.0833

33 8.25 2.9722 0.0833


17 8.5 3.0556 0.1667 34 8.5 3.0556 0.083335 8.75 3.1389 0.0833

18 9 3.2222 0.1667 36 9 3.2222 0.083337 9.25 3.3056 0.0833

19 9.5 3.3889 0.1667 38 9.5 3.3889 0.083339 9.75 3.4722 0.0833

20 10 3.5556 40 10 3.5556

a.- para hallar v(10)v'= u-3v-1

Con h= 2 Con h= 1

i ui vi hfi i ui vi hfi

0 0 0.0000 -2.0000 0 0 0.0000 -1.0000

1 1 1 -1.0000 3.0000

2 2 -2.0000 14.0000 2 2 2.0000 -5.0000

3 3 3 -3.0000 11.0000

4 4 12.0000 -66.0000 4 4 8.0000 -21.0000

5 5 5 -13.0000 43.0000

6 6 -54.0000 334.0000 6 6 30.0000 -85.0000

7 7 7 -55.0000 171.0000

8 8 280.0000 -1666.0000 8 8 116.0000 -341.0000

9 9 9 -225.0000 683.0000

10 10 -1386.0000 10 10 458.0000

Con h= 0.5 Con h= 0.25 i ui vi hfi i ui vi hfi0 0 0.0000 -0.5000 0 0 0.0000 -0.2500

1 0.25 -0.2500 0.00001 0.5 -0.5000 0.5000 2 0.5 -0.2500 0.0625

3 0.75 -0.1875 0.07812 1 0.0000 0.0000 4 1 -0.1094 0.0820

5 1.25 -0.0273 0.08303 1.5 0.0000 0.2500 6 1.5 0.0557 0.0833

7 1.75 0.1389 0.08334 2 0.2500 0.1250 8 2 0.2222 0.0833

9 2.25 0.3056 0.08335 2.5 0.3750 0.1875 10 2.5 0.3889 0.0833

11 2.75 0.4722 0.08336 3 0.5625 0.1563 12 3 0.5556 0.0833

13 3.25 0.6389 0.08337 3.5 0.7188 0.1719 14 3.5 0.7222 0.0833

15 3.75 0.8056 0.08338 4 0.8906 0.1641 16 4 0.8889 0.0833

17 4.25 0.9722 0.08339 4.5 1.0547 0.1680 18 4.5 1.0556 0.0833

19 4.75 1.1389 0.083310 5 1.2227 0.1660 20 5 1.2222 0.0833

21 5.25 1.3056 0.083311 5.5 1.3887 0.1670 22 5.5 1.3889 0.0833

23 5.75 1.4722 0.083312 6 1.5557 0.1665 24 6 1.5556 0.0833

25 6.25 1.6389 0.083313 6.5 1.7222 0.1667 26 6.5 1.7222 0.0833


27 6.75 1.8056 0.083314 7 1.8889 0.1666 28 7 1.8889 0.0833

29 7.25 1.9722 0.083315 7.5 2.0555 0.1667 30 7.5 2.0556 0.0833

31 7.75 2.1389 0.083316 8 2.2222 0.1667 32 8 2.2222 0.0833

33 8.25 2.3056 0.083317 8.5 2.3889 0.1667 34 8.5 2.3889 0.0833

35 8.75 2.4722 0.083318 9 2.5556 0.1667 36 9 2.5556 0.0833

37 9.25 2.6389 0.083319 9.5 2.7222 0.1667 38 9.5 2.7222 0.0833

39 9.75 2.8056 0.083320 10 2.8889 40 10 2.8889

4.- Considere el sistema de ED: Donde:

100 -50 0A= -50 100 -50

0 -50 100

Las condiciones iniciales son:

1u(0)= 2

3

0u(0)= 0

0

La solución exacta es en este caso:

1 1 1u= c1 √2

cosω1t + c2 0

cosω2t + c3

-√2

cosω3t

1 -1 1Siendo:

ω12=

100 -

50√2

ω22=

100

ω32=

100 +

50√2

Determine las componentes c1,c2, c3 (usando las condiciones de ortogonalidad)Entonces:

λ1 = ω12 = 100 - 50√2

λ2 = ω22 = 100

λ3 = ω32 = 100 + 50√2

Usando:


Para c1:

100 -50 0 c1

c1 √2 c1 c1 -50 100 -50 √2 c1 = 100 - 50√2

0 -50 100 c1

Resolviendo : c1=1/2

Para c2:100 -50 0 c2

c2 0 -c2 -50 100 -50 0 = 100

0 -50 100 -c2

Resolviendo : c2=√2/2

Para c3:

100 -50 0 c3

c3 -√2 c3 c3 -50 100 -50 -√2 c3 = 100 + 50√2

0 -50 100 c3

Resolviendo : c3=1/2

Determine la condición de estabilidad al usar el método de diferencia central.Para que el procedimiento sea estable y por el método de diferencia central debe cumplirse:

Por lo tanto:ωmáx=13.0656296

Entonces: Δt ≤ 0.15307337 Utilizando la hoja de cálculo proporcionada en clase observe cómo se comporta la solución al

tener intervalos:a.- Para Δt=0.01


b.- Para Δt=0.05

c.- Para Δt=0.15

c.- Para Δt=0.16


Comentario: Como demuestra la condición de estabilidad para valores menores que este el sistema se hace estable, mas por el contrario cuando los valores son mayores el sistema se hace inestable.

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