Tarea 5: Ondas electromagnéticas en los medios

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Ricardo Alejos

Teoría electromagnética

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Tarea 5

Ondas electromagnéticas en los medios

Ejercicio 1

Explicar en términos físicos porqué el método de separación de variables

aplicado a la ecuación de onda da como resultado funciones sinusoidales en el tiempo.

En general, el método de separación de variables supone que las soluciones de una

ecuación diferencial parcial tiene la forma del producto de varias funciones donde cada una de

ellas es dependiente de una variable. En el caso específico de la ecuación de onda, esta tiene

dependencia de las variables espaciales (representadas con frecuencia con el vector de posición

) y del tiempo (normalmente referido con la variable ), de modo que su solución de acuerdo

al método de separación de variables tiene la forma del producto de una función dependiente

de las variables espaciales y una dependiente del tiempo. Matemáticamente, si la solución es entonces esta puede escribirse como .Para ilustrar lo anterior considere una ecuación de onda cuya única variable espacial es, de modo que su solución es una función de y , es decir , que a su vez tiene la

forma por el método de separación de variables. En consecuencia de lo anterior se

obtienen dos ecuaciones de tipo oscilador armónico a partir de la ecuación de onda original

( y ) para cierto valor .

En general, ambas ecuaciones tienen como resultado funciones armónicas (que pueden

escribirse en términos de senos y cosenos) cuyas características varían de acuerdo a las

condiciones iniciales y de frontera respectivamente. ¿Pero qué significa esto físicamente?

Una onda con estas características tendrá una amplitud determinada por la parte

independiente del tiempo pero dependiente de la posición, y esto en general dictamina la

existencia de una amplitud uniforme, variable o de una onda estacionaria. Esto mientras que la



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parte dependiente del tiempo es la que describe la variación de cada punto con el pasar del

tiempo y en general permite la existencia de ondas viajeras.

Ejercicio 2

Utilizando las relaciones transforme la ecuación de

onda de coordenadas cartesianas a coordenadas polares.

Consideremos entonces una función dependiente de las dos variables espaciales y del tiempo que podemos encontrar mediante la ecuación de onda .Como nuestra tarea es meramente representarla en coordenadas polares, procesaremos

únicamente la parte que es dependiente de las coordenadas espaciales que en este caso es el

término .

Recordemos que el operador laplaciano indica la sumatoria de las derivadasparciales segundas de la función al que se aplica. De modo que para este caso de estudio:

Primero calculemos algunas derivadas que nos serán útiles en el procedimiento:

Y ahora, utilizando la técnica de derivación en cadena, obtenemos y , que

posteriormente serán útiles para calcular y respectivamente.

Para obtener y utilizamos de manera recurrente la derivación en cadena:



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() ()

Calcularemos por apartado cada uno de los términos de estas dos derivadas, ya que

cada uno de ellos es demasiado largo y ponerlo en una sola operación no sería agradable a la

vista y podría asustar al lector.

()

()

Ahora sí, ha llegado el momento de la verdad. Para conseguir el valor de hay que

sumar , que a su vez implica sumar todos los términos que acabamos de calcular, es

decir:

()

()

Y después de hacer la larga suma por algunos minutos, nos damos cuenta de que la

mayoría de los términos se cancelan entre sí y sólo queda:

Así entonces, la ecuación de onda en coordenadas polares (que son aquellas que

corresponden a las transformaciones de coordenadas dadas en el enunciado) tiene la forma:

Ejercicio 3

Demuestre que la profundidad de penetración de un mal conductor ( )

es:



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Y a continuación encuentre la profundidad de penetración para el agua, donde

, y .

Resulta ser que la profundidad de penetración está definida matemáticamente como

el inverso de la constante de atenuación (es decir ). Para un mal conductor (alias

“buen dieléctrico”) donde la constante de atenuación tiene un valor dado por:

De modo que la demostración pedida en el enunciado consta de sólo invertir este

término como sigue:

Y nuestra demostración ha quedado terminada. Note que el resultado es únicamente

dependiente de las características del material y no de las características de la onda, de modo

que esta cantidad indica la profundidad de penetración de las ondas electromagnéticas a

cualquier frecuencia sobre un material determinado.

Para hacer el cálculo de la profundidad de penetración en el agua haremos uso de laexpresión que acabamos de demostrar (recuerde que la conductividad es el inverso de la

resistividad ).

Es decir, las ondas electromagnéticas disminuyen su intensidad en un neper

(aproximadamente un ) por cada kilómetros dentro del agua.

Ejercicio 4

Demuestre que la profundidad de penetración de un buen conductor ( )

es



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Y además encuentre la profundidad de penetración para un metal cuya

resistividad es de , asumiendo una frecuencia de .

De manera muy similar al ejercicio anterior, podemos hacer la demostración a partir de

que sabemos que para buenos conductores tiene un valor de ⁄ , de modo que la

profundidad de penetración es igual a su inverso:

Antes de hacer el cálculo recuerde que la permeabilidad magnética de la mayoría de los

metales (excepto los ferromagnéticos) es . Una vez tomado eso en cuenta, prosigamos

pues con el cálculo de para este metal (nuevamente recuerde que la conductividad es el

inverso de la resistividad ):

Por lo que las ondas electromagnéticas cuya frecuencia angular sea de

disminuyen su intensidad en un neper (aproximadamente un

) cada

nanómetros

una vez penetrado el metal que estamos estudiando.

Ejercicio 5

Demuestre que el vector de Poynting y la potencia promedio para una onda

linealmente polarizada que viaja en el espacio libre están dados por

⟨⟩

Sabemos que el vector de Poynting está definido como y nos sirve para

calcular la potencia de la onda por unidad de área. Recordemos que además el vector puede

escribirse en términos de utilizando el concepto de impedancia intrínseca ( ⁄ ).



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Otra consideración importante a tomar en cuenta es que estamos hablando de ondas

linealmente polarizadas. Por todo lo anterior, los modelos matemáticos que corresponden al

campo eléctrico y magnético son:

Donde es el número conocido como el “número de onda”, la frecuencia angular, el ángulo de polarización de una de las componentes del campo eléctrico respecto de la

otra y los vectores y son respectivamente los vectores unitarios en la dirección del

campo eléctrico y magnético (y por lo tanto deben ser ortogonales uno respecto del otro).

Así entonces, al ejecutar el producto cruz mencionado al principio para encontrar el

vector de Poynting encontramos que:

[ ]

Y finalmente hemos demostrado lo que se nos ha pedido en la primera parte del

enunciado. Para entender el último paso recuerde que:

Para comprobar la segunda premisa del enunciado recordemos que el valor efectivo del

vector de Poynting ⟨⟩ está dado por:

⟨⟩



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Y haciendo uso del concepto de impedancia intrínseca (otra vez), encontramos que:

⟨⟩

Ejercicio 6

Calcular la densidad de energía promedio de una onda EM plana en un medio

conductor:

Partamos de la definición del valor efectivo de la energía (vector de Poynting) para

cantidades complejas (fasores):

⟨⟩ { } Considere entonces que los campos eléctricos y magnéticos se pueden describir de la

siguiente forma:

Así entonces calculamos que el valor de ⟨⟩ es:

⟨⟩ { }

{

(

)

}

() ( )



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Finalmente, note que (definida en el enunciado) es igual a la magnitud del vector ⟨⟩.Pero antes considere que podemos reescribir la impedancia intrínseca de la siguiente forma:

√

De modo que podemos reescribir también ⟨⟩:⟨⟩

|⟨⟩|

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