tarea
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Para las siguientes curvas determine puntos de corte, máximos, mínimos y puntos de inflexión (grafica ejercicio 3) 1. () = (2 + ) 4 Puntos de corte: se determinan anulando tanto la variable independiente como la dependiente = (), ya que estos puntos serían (0, 0 ) y ( 0 , 0). Gráficamente, se entienden como los cortes con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas. Cuando =0: (0) = (2 + 0) 4 =2 4 = 16 ⟹ : (0,16) Cuando =0: 0 = (2 + ) 4 ⟹ = −2 ⟹ :(−2,0) Máximos y mínimos: se calculan hallando previamente puntos críticos de la función, es decir, aquellos puntos en los que ′ ()=0. ′ ()=0 ⟹ 4(2 + ) 3 =0 ⟹ = −2 = −2 es un punto crítico. Ahora bien, para toda < −2 se tiene que ′ ()= 4(2 + ) 3 es negativa, y para toda > −2 se tiene que ′ () = 4(2 + ) 3 es positiva. Por tanto, (−2) es un mínimo. No existen máximos en la función Puntos de inflexión: se determinan calculando primero la segunda derivada de la función. ′′ () = 12(2 + ) 2 Como la segunda derivada es una función par, se tiene que no existe punto de inflexión, pues la concavidad es siempre hacia arriba 2. ()= −6 3 + 2 +2 Puntos de corte: se determinan anulando tanto la variable independiente como la dependiente = (), ya que estos puntos serían (0, 0 ) y ( 0 , 0). Gráficamente, se entienden como los cortes con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas. Cuando =0: (0) = −6(0) 3 + (0) 2 +2=2 ⟹ : (0,2) Cuando =0: 0= −6 3 + 2 +2 Aplico Ruffini para obtener las raíces, pero no generó resultado posible mediante tanteo manual. Se introdujo la ecuación en WolfranAlpha y se obtuvo 0= −6 3 + 2 +2 ⟹ ≅ 0.7536 ⟹ : (0.7536 , 0)
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ejercicios de derivada
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Para las siguientes curvas determine puntos de corte, mximos, mnimos y puntos de inflexin (grafica ejercicio 3)
1. () = (2 + )4
Puntos de corte: se determinan anulando tanto la variable independiente como la dependiente = (), ya que estos puntos seran (0,0) y (0, 0). Grficamente, se entienden como los cortes con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.
Cuando = 0:
(0) = (2 + 0)4 = 24 = 16 : (0,16) Cuando = 0: 0 = (2 + )4 = 2 : (2,0) Mximos y mnimos: se calculan hallando previamente puntos crticos de la funcin, es
decir, aquellos puntos en los que () = 0.
() = 0 4(2 + )3 = 0 = 2 = 2 es un punto crtico. Ahora bien, para toda < 2 se tiene que () =4(2 + )3 es negativa, y para toda > 2 se tiene que () = 4(2 + )3 es positiva. Por
tanto, (2) es un mnimo. No existen mximos en la funcin Puntos de inflexin: se determinan calculando primero la segunda derivada de la
funcin. () = 12(2 + )2
Como la segunda derivada es una funcin par, se tiene que no existe punto de inflexin, pues la concavidad es siempre hacia arriba
2. () = 63 + 2 + 2
Puntos de corte: se determinan anulando tanto la variable independiente como la dependiente = (), ya que estos puntos seran (0,0) y (0, 0). Grficamente, se entienden como los cortes con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.
Cuando = 0:
(0) = 6(0)3 + (0)2 + 2 = 2 : (0,2) Cuando = 0: 0 = 63 + 2 + 2 Aplico Ruffini para obtener las races, pero no gener resultado posible mediante tanteo
manual. Se introdujo la ecuacin en WolfranAlpha y se obtuvo 0 = 63 + 2 + 2 0.7536 : (0.7536 , 0)
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Mximos y mnimos: se calculan hallando previamente puntos crticos de la funcin, es decir, aquellos puntos en los que () = 0.
() = 0 182 + 2 = 2(9 + 1) = 0 1 = 0 2 = 1/9
= 0 y = 1/9 son puntos crticos. Ahora bien, para estudiar la existencia de
mximos y/o mnimos, creo cuadro comparativo para definir en cules intervalos () es creciente y decreciente
< < 0 0 < < 19 19 < < () Negativa Positiva Negativa () Decreciente Creciente Decreciente
Por tanto, por el criterio de la primera derivada, en = 0 hay un mnimo local y en
= 1/9 un mximo local Puntos de inflexin: se determinan calculando primero la segunda derivada de la
funcin. () = 36 + 2
() = 0 = 118 Para estudiar la concavidad por el criterio de la segunda derivada, construyo cuadro
comparativo
< < 118 118 < < () Positiva Negativa () Cncava hacia arriba Cncava hacia abajo
Por tanto, = 1/18 es punto de inflexin y la funcin es cncava hacia arriba para todo
menor y es cncava hacia abajo para todo mayor
3. () = 2 6 + 10
Puntos de corte: se determinan anulando tanto la variable independiente como la dependiente = (), ya que estos puntos seran (0,0) y (0, 0). Grficamente, se entienden como los cortes con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.
Cuando = 0:
(0) = 02 6(0) + 10 = 10 : (0,10) Cuando = 0: 0 = 2 6 + 10 Aplicando la resolvente, resulta
1 = 3 + 19 2 = 3 19 : 3 + 19, 0 3 19, 0
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Mximos y mnimos: se calculan hallando previamente puntos crticos de la funcin, es decir, aquellos puntos en los que () = 0.
() = 0 2 6 = 0 = 3
= 3 es un punto crtico. Ahora bien, para toda < 3 se tiene que () = 2 6 es positiva, y para toda > 3 se tiene que () = 2 6 es negativa. Por tanto,
(3) es un mximo. No existen mnimos en la funcin Puntos de inflexin: se determinan calculando primero la segunda derivada de la
funcin. () = 2
Como la segunda derivada es una funcin constante, se tiene que no existe punto de inflexin, pues la concavidad es siempre hacia abajo (criterio de la segunda derivada)
