Tarea de Calculo Diferencial

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

Contenido

INTRODUCCIÓN.........................................................................................2Antecedentes de las derivadas...................................................................3Recta tangente y recta normal a una curva en un punto...............................7Curvas ortogonales......................................................................................9Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio................................................12Teorema 1 (Teorema de Rolle)....................................................................13TEOREMA 2 Teorema del Valor Medio. (T.V.M.)............................................13TEOREMA 3 (Criterio para crecimiento y decrecimiento).................................18TEOREMA 4 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS, (Máximos y Mínimos).............................................................20Extremos relativos......................................................................................24Concavidades y puntos de Inflexión..............................................................27Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos.................................31Criterio de la Segunda Derivada...................................................................32Análisis de la Variación de Funciones...........................................................35Teorema de Weierstrass.............................................................................35Cálculo de aproximaciones usando la diferencial............................................37La diferencial como aproximación del incremento...........................................40Problemas de Optimización y Tasas.............................................................41Tasas de Variación Relacionadas (o Ritmos o velocidades relacionadas)..........44Bibliografía................................................................................................47

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INTRODUCCIÓN

Una de las mayores dificultades que se tiene al comenzar a estudiar la derivada

de una función es la comprensión de sus aplicaciones (principalmente su

significado geométrico). Mientras que el cálculo de derivadas suele resultar

sencillo e incluso atractivo (dada la mecánica del proceso), las aplicaciones de la

derivada se convierten en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que

en muchos casos no se ha conseguido asimilar y adquirir el concepto con claridad.

Este documento tiene como objeto el familiarizar al lector con el concepto de

derivada de una función así como mostrar algunas de sus aplicaciones (cálculo de

la recta tangente y normal de una función en un punto, construcción de gráficas,

optimización de funciones, aplicaciones en una situación física particular...) que

tanto interés tienen hoy en día sobre un amplio abanico de campos (económico,

social, físico, etc.).

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Antecedentes de las derivadas

Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a

plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron

métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por

obra de Newton y Leibnitz).

En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el

problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el

concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y

mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce

como Cálculo Diferencial.

El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por

Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, hace el estudio de los diámetros

conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un punto

cualquiera de una hipérbola de centro C, entonces, Apolonio demuestra que la

tangente en P corta las asíntotas en los puntos L y L’ (fig. 1. (a)) que equidistan de

P.

fig. 1.

En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (fig.1. (b)), Apolonio traza la

perpendicular desde el punto Q al eje AA’, y halla el conjugado armónico T de N

con respecto a A y A’, es decir, el punto T de la recta AA’ es tal que, o

equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA’ en la

misma razón en que N divide internamente a AA’. Entonces, la recta que pasa por

T y Q será tangente a la elipse.

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASIgualmente, en el libro CÓNICAS V.8., Apolonio demuestra un teorema relativo a

la normal a una parábola, que podría formar parte actualmente de un curso

completo de Cálculo Diferencial.

En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de

Fermat (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos

que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el mas

importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman

("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy

ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y

= f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un

cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos

valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una

curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos

que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f

(x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanta

más pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, más cerca está la igualdad

de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le

permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica.

Aquí se puede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación,

ya que el método de Fermat es equivalente a calcular:

f 'c e igualar este límite a cero.

Esta fue la razón que asistió a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero

descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y

numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a

Newton (sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe (Inglaterra)) y a

Leibnitz (Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig (Alemania))

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASa quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de

las integrales.

Newton, tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era

más sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) ó y, él lo llamaba "cantidades

fluentes", y la derivada, D f (x) era llamaba "fluxión". Además, se le escribía AB

en lugar de D f (x). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: "Los

momentos - las actuales diferenciales - dejan de ser momentos cuando

alcanzan un valor finito, y deben por lo tanto considerarse como magnitudes

finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton debía entenderlas muy bien,

pero, para otro que no fuera su inventor del método, suenan bastante

incomprensibles.

En el año de 1669, Isaac Barrow (1630 – 1677), recibió de su alumno Isaac

Newton, un folleto titulado De Analysi per Aequationes Numero Terminorum

Infinitas. Contenía, nada menos, que el esbozo casi completo del Cálculo

Diferencial e Integral. Aquel mismo año, Barrow decidió que su alumno sabía

mucho más que él, y que tenía por lo tanto mucho mas derecho a la cátedra de

matemáticas con mas merecimientos que el propio Barrow; su titular. Con una

generosidad y un desinterés difíciles de igualar, Barrow cedió su cátedra a

Newton.

A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió los

Principia Mathematica, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás

publicado. En el aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo,

incluyendo los movimientos de la tierra, la luna y los planetas alrededor del sol. Se

dice que un estudiante observó: "ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni

los demás comprenden".

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLeibnitz, comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue

el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años

antes. La historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las

principales ideas (1665 – 1666), pero que Leibnitz las descubrió

independientemente durante los años de 1673 – 1676.

Leibnitz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los

nombres del Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como los símbolos dydx

y ʃ

para la derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término "función" y el

uso del símbolo " = " para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad del

simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente

europeo que en Inglaterra de donde era oriundo Newton.

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASRecta tangente y recta normal a una curva en un punto.

Si una función y = f(x) posee una derivada en el punto x1, la curva tiene una

tangente en el punto P(x1,y1) cuya pendiente está dada por m=dydx

∨¿ x=x1=f ' (x1 ) .

Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una

pendiente m dada es: y - y1 = m(x – x1) Por lo tanto, si se sustituye la pendiente

por la derivada, la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva es:

y− y1=dydx

∨x=x1 (x−x1 ) .

Recordando que si m=0 la recta tangente es horizontal. Si m = ∞ la recta

tangente es vertical. Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la

recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él.

La condición de perpendicularidad entre dos rectas cuyas pendientes son

m1 y m2 es: m1m2 = -1, esto es: m2=−1m1

.

Si m1 es la pendiente de una recta tangente y m2 es la pendiente de la recta

normal, ellas tienen que cumplir la condición de perpendicularidad, es decir:

m2=−1m1

. Usando la derivada nos queda: m2=

−1m1

= 1dydx

∨¿x=x 1

¿.

Ejercicio:

Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a la parábola y = x2 -1 en el

punto (2, 3) y dibuje un segmento de estas rectas.

Solución:

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLa pendiente de la función en el punto (2, 3) se halla encontrando la derivada y

evaluando para x = 2:

y’ (x = 2) = 2x |x=2 = 2(2) = 4

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente el punto (2, 3) es m = 4.

Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:

y – y1 = m (x – x1)

y – 3 = 4 (x – 2)

Así:

y = 4x – 5

Cuya gráfica correspondiente es:

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASPara encontrar la recta normal a la curva primero hallamos su pendiente:

m2=−1m1

=−14 .

Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:

y – y1 = m(x - x1)

y - 3 = -1/4(x - 2)

y=−14

x+ 72

La gráfica correspondiente a la curva

normal es mostrada en la figura de la

derecha.

Curvas ortogonales

Se dice que las curvas de las funciones f(x) y g(x) que se interceptan en el punto P

son ortogonales si el ángulo entre ellas es de 90°, es decir, cuando las rectas

tangentes de ambas funciones son en dicho punto son perpendiculares entre sí.

Por lo tanto en el punto de intersección de las curvas ambas pendientes, o lo que

es lo mismo las derivadas, en ese punto satisfacen:

m1m2=dfdx|p dgdx|p=−1

Ejemplo:

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASSean dos funciones f(x) y g(x) tales que se interceptan en (2, 2) como se ilustra en

la figura. Determinar si las funciones cumplen la condición de ortogonalidad y

escribir las expresiones de las rectas tangentes para ambas funciones en dicho

punto.

Las funciones son:

f ( x )=23e3 x−6+ 4

3

g ( x )=16e−3 x+6+11

6Cuyas derivadas son:

f ' ( x )=2e3x−6

g' (x )=−12

e−3x+6

Cuando x = 2, tenemos:f ' (2 )=2

g' (x )=−12

Verificando la condición de ortonormalidad:

m1m2=dfdx

∨❑pdgdx

∨❑p=2(−12 )−1Por lo que se puede afirmar que las rectas son ortogonales en el punto de intersección (2, 2).

Para las rectas solicitadas se hallan usando el punto de intersección (2, 2) y la pendiente de cada una de ellas. Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:

y – y1 = m(x - x1)Para la función f:

y – 2 = 2 (x – 2)

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASy = 2x – 2

Para la función g:

y−2=12(x−2)

y=−12

x+3

La gráfica de las funciones y sus rectas tangentes se muestran en la siguiente figura. El ángulo que forman estas rectas se puede ver que es de 90°.

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Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

En la siguiente figura se puede apreciar la gráfica de una función que es continua

en el intervalo cerrado [a, b],f (a )=f (b )=0 y además f ' ( x ) existe (no tiene picos) en

todos los puntos del intervalo (a, b).

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASIntuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva, de

abscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela

el eje x).

Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle

que se enuncia sin demostración.

Teorema 1 (Teorema de Rolle)

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:

i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

iii. f (a )=f (b )=0.

Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b), tal que: f ' (x)=0.

El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una

generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del

valor medio para derivadas.

TEOREMA 2 Teorema del Valor Medio. (T.V.M.)

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:

i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b), tal que: f ' ( c )=f (b )−f (a)

b−a

Antes de ver la demostración del teorema, analice su significado geométrico.

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASEn la siguiente figura se muestra la gráfica de una función que satisface las

hipótesis del T.V.M.

El término [ f (b )−f (a)] / (b−a) es la pendiente de la recta secante a la curva que

pasa por los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el

teorema así: Existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a, b) tal que la

recta tangente a la curva en P cuya pendiente es f ' ( c ), es paralela a la recta

secante AB.

Demostración:

Usando la forma: dos – puntos de la ecuación de la recta, se deduce para la recta

secante, la ecuación:

y−f (a)=f (b )−f (a )b−a

(x−a)

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASDe donde, y=f (a )+ f (b )−f (a )

b−a(x−a)

Defínase ahora la función f (x) como la función distancia vertical entre cada punto

(x , f ( x )) sobre la curva y el correspondiente (x, y) sobre la secante AB.

Asi que: f ( x )=f ( x )− y

¿ f ( x )−[ f (a )+ f (b )−f (a )b−a

(x−a)]Esto es.

f ( x )=f ( x )−f (a )− f (b )−f (a )b−a

( x−a) (1)

La función F (x) así definida satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el

intervalo [a, b]. En efecto:

i. F (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b]. (por qué?)

ii. F (x) es derivable en el intervalo abierto (a, b). (por qué?)

Además, f ' ( x )=f ' ( x )−f (b )−f (a)

b−a (2)

iii. Finalmente, f (a )=f (a )−f (a )− [ f (b )−f (a ) ]b−a

(a−a )=0

f (b )=f (b )−f (a )− [ f (b )−f (a ) ]b−a

(b−a )=0

En consecuencia, de acuerdo con el teorema de Rolle, existe por lo menos un

punto c∈(a ,b) tal que F ' (c )=0.

Pero, de acuerdo con (2) F ' (c )=f ' ( c )−f (b )−f (a)

b−a

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLuego, f ' (c )−

f (b )−f (a)b−a

=0⇒ f ' ( c )=f (b )−f (a)

b−a que era lo que se quería demostrar.

Ejemplo 1

Analizar si f ( x )=x3−5x2−3 x satisface la hipótesis del T.V.M. para derivadas en el

intervalo [1,3 ] y en caso afirmativo, determine el valor (es) de C que satisface la

conclusión.

Solución:

i. f ( x )=x3−5x2−3 x es continua en [1,3] ¿por qué?

ii . f ' ( x )=3 x2−10x−3x⇒ f es derivable en (1,3) ¿por qué?

Como f cumple la hipótesis del T.V.M., entonces, existe por lo menos un C,

C∈(1,3) tal que:

f ' (C )=f (3 )−f (1)3−1

Pero f ' (C )=3C2−10C−3 ; f (3 )=33−5.32−3.3=27 ; f (1 )=1−5−3=−7

Así que: 3C2−10C−3=−27−(−7)3−1

=−10

Por lo tanto, 3C2−10C+7=0⇔ (3C−7 ) (C−1 )=0

De donde, C=7/3, C=1

De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1,3) es C=7/3, que es la

única solución.

Ejemplo 2.

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASPara la función f ( x )=x2 /3, estudiar las condiciones del T.V.M. para derivadas en el

intervalo [-2,2].

Solución:

i. Claramente la función es continua en [-2,2]

ii. f ' ( x )=23x−1 /3= 2

3 x1/3. f ' no existe en el punto x=0

Luego, no se cumple la condición ii. Del teorema, y en consecuencia, no puede

garantizarse la existencia del punto C.

Ahora, f (b )−f (a)

b−a=4

1 /3−41/3

4=0y como f

' ( x )= 2

3 x1 /3 no se anula para ningún valor

real de X, entonces la igualdad: f ' (c )=f (b )−f (a)

b−a se cumplirá en ningún C en (-2,2).

Ejemplo 3.

a.- Demostrar que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces, la

función es constante en dicho intervalo.

b.- Use la Parte a. para demostrar que: f ( x )=sen2 x−tan2x es constante. Hállese el

valor de dicha constante.

Solución:

Note en primer lugar que f satisface las hipótesis de T.V.M. (por qué?).

Ahora, sean x1, x2 dos puntos cualesquiera del intervalo [a, b] y sea f la función.

Para probar la parte a. es suficiente probar que f (x1 )=f (x2), lo cual obliga a que la

función sea constante.

Según el T.V.M., existe un número c entre x1 y x2 tal que:

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f ' (c )=f (x2 )−f (x1)

x2−x1 y como f ' (c )=0, se concluye entonces que f (x2 )=f (x1 ) .

b. f ' ( x )=2 secx ∙ (secx ∙ tanx )−2tanx ( sec2 x )

f ' ( x )=2 sec 2 x ∙ tanx−2 sec2 x ∙tanx=0

Como f ' ( x )=0, se sigue de la parte a. que f(x) es una función constante.

Para hallar el valor de la constante, basta evaluar la función en algún número

especifico, el cual se puede elegir arbitrariamente; por ejemplo x=π /3 .

Se tiene entonces, f ( π3 )=(sec π3

)2

−( tan π3)2

=22−(√3)2=1

Luego, sec2 x−tan2 x=1para todo x, (x en el dominio común de la secante y la

tangente).

Este resultado no debe sorprender puesto que 1 + tan2 x≡sec2x es una identidad

trigonométrica conocida.

Como ampliación inmediata del T.V.M., se prueba otro teorema que permite

determinar los intervalos donde crece y decrece una curva conociendo el signo de

su primera derivada.

TEOREMA 3 (Criterio para crecimiento y decrecimiento)

Sea f una función de variable real continua en [a,b] y derivable en (a,b).

i. Si f ' ( x )>0 para todo x=∈(a ,b) entonces f es creciente en [a, b]

ii. Si f ' ( x )<0 para todo x=∈(a ,b) entonces f es decreciente en [a, b]

Demostración:

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASi. Sean x1, x2 dos puntos de [a, b] tales que x1 < x2

Evidentemente, f es continua en [x1, x2], f es derivable en (x1, x2), luego por el

T.V.M., existe por lo menos un punto c∈(a ,b) tal que:

f ' (c )=f (x2 )−f (x1)

x2−x1 (1)

De x1 < x2, se deduce que x2 – x1 > 0 y como por hipótesis f’(c) > 0.

f (x2 )−f (x1 )=f ' ( c ) ∙ ( x2−x1 )>0

Luego, f (x2 )> f (x1) y f es creciente en [a ,b]

ii. se demuestra de manera similar.

Observación:

El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la

primera derivada. Así:

Donde f’(x) > 0 (derivada positiva), f(x) es creciente.

F’(x) < 0 (derivada negativa), f(x) es decreciente

El siguiente teorema, permite clasificar los extremos (máximos y mínimos) de una

función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

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TEOREMA 4 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS, (Máximos y Mínimos).

Considérese la función:

Las palabras máximo y mínimo, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos

generalmente cuando deseamos expresar, lo más grande o lo más pequeño de la

cantidad comparada. Este es el mismo significado que toma en el cálculo. “Para

cada función es posible establecer comparaciones entre las imágenes, en un

intervalo dado, y de acuerdo a la medida conocer la mayor imagen y desde luego,

al menor. Estos serán llamados extremos de la función, o de manera más

específica, máximo absoluto y mínimo absoluto respectivamente”.

Definiciones:

La función f tiene un máximo en x=c si existe un intervalo abierto (a ,b) sobre

el cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c) f(x) para toda x

perteneciente a (a, b).

La función f tiene un mínimo en x=c si existe un intervalo abierto (a, b) sobre

el cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c) f(x) para toda x

perteneciente a (a, b).

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Sea f una función diferenciable en cada punto de (a, b) y sea c un punto del

intervalo (a, b). Si f tiene en c un máximo o un mínimo f ’ (c) = 0.

Si f tiene en c un máximo o un mínimo y f es diferenciable en c entonces la

recta tangente en el punto (c, f(c)) es horizontal.

Una función puede tener valores extremos (máximos y mínimos) relativos

únicamente en los puntos donde la derivada es igual a cero o en algunos

puntos donde la derivada no existe.

Se les llama números, puntos o raíces críticas a los números del dominio de

una función en los que la derivada es igual a cero o donde esta no existe.

El valor mayor de una determinada función en un intervalo recibe el nombre de

valor máximo absoluto y el valor menor de la función en el intervalo se llama

valor mínimo absoluto.

Ejemplo:

Determine los puntos donde existe algún valor máximo o mínimo en la

siguiente función:

f (x) = x3 – 9x2 + 15x + 3 a) se obtiene primera derivada de la funciónf ’ (x)= 3x2 – 18x + 15 b) se iguala a cero y se factoriza para sacar f ’ (x) = 3x2 - 18x + 15 = 0 raíces críticasf ’ (x) = 3( x2 -6x +5) = 0f ’ (x) = 3 ( x – 1) (x – 5) = 0

x1 =1 y x2 = 5 estas son las raíces criticas

x1 = c =1, x2 = c = 5

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLos valores de las raíces críticas se sustituyen en la función para sacar los

máximos y mínimos.

f (x1) = f(1) = (1)2-9(1)2+15(1)+3= 10 como f (1) > f (5) es un máximo

f (x2) = f(5) = (5)2 –9(5)2 +15(5)+3= -22 como f (5) < f (1) es un mínimo

Gráfica de la función f (x) =

Con esto deseamos enfatizar lo siguiente: el máximo o el mínimo son números

que resultan de la comparación de los valores que toma la función en su dominio.

No representa la imagen de algún argumento en particular, independientemente

de que ésta los tome. Así, este número llamado máximo (o mínimo) absoluto,

puede corresponder al valor de la función para uno o más argumentos del

dominio.

Otro aspecto importante es el hecho de que los extremos absolutos pueden o no

coincidir con los límites del intervalo que da el dominio. Como se verá en el

siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Dada f (x) = x2 –2x, calcular los extremos absolutos en el intervalo [0, 3].

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SOLUCIÓN:

Como se observa, su vértice se encuentra en x = 1, y en él se encuentra el mínimo absoluto.

Resulta también evidente que el máximo absoluto corresponde a la imagen en x = 3.

Si x = 0 Si x = 2f (x) = (0)2 –2 (0) = 0 f (x) = (2)2 –2 (2) = 4 – 4 = 0Si x = 1 Si x = 3F (x) = (1)2 –2 (1) = 1 – 2 = -1 f (x) = (3)2 –2 (3) = 9 – 6 = 3

Máximo absoluto = 3 para x = 3 Mínimo absoluto = -1 para x = 1

Observación:

Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una

función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS1.- se determinan los puntos críticos c1, c2, c3,…, cn (resolviendo f ' ( x )=0 , o

donde f ' ( x ) no existe).

2.- se calcula f (a ) y f (b).

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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS3.- Máximo absoluto de f= máx. f (a ) , f (b ) , f (c2 ) ,…f (cn)

Mínimo absoluto de f= min f (a ) , f (b ) , f (c2 ) ,…f (cn)

Extremos relativos

Definición:

Máximos y mínimos relativos: Sea f una función derivable en [a, b]. Sea c (a,

b), tal que f'(c) = 0. Decimos que f(c) es un extremo relativo (o extremo local), si

es posible encontrar un sub intervalo de [a, b] que contenga a c en donde f (c) sea

un extremo absoluto.

Por ejemplo, en la siguiente Figura, los extremos absolutos son:

Máximo absoluto = f (b)

Mínimo absoluto = f (a)

Sin embargo existen otros casos en donde si se restringe el dominio, los números

anteriores se comportan como extremos. Por ejemplo, la función de la Figura

anterior tiene un máximo en x = c, dentro del intervalo [a, d], y un mínimo en x = d,

dentro del intervalo [c, d]. Así, de acuerdo a la definición:

Máximo relativo = f (c)

Mínimo relativo = f (d)

Los extremos relativos podrán localizarse al resolver la ecuación f '(x) = 0, ya que

entre sus raíces se encuentran las abscisas de estas; sin embargo, no todas las

pág. 25

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASraíces corresponderán necesariamente a un extremo. Podría tratarse también de

un punto como el que se ilustra en la siguiente Figura:

En donde, a pesar de que la derivada se anula

en x = c, no se puede hallar en [a, b] ningún sub

intervalo en donde f(c) sea, ya un máximo o un

mínimo.

Llamaremos número crítico a cualquier argumento c del dominio de la función f, tal

que f '(c) = 0. Así, los máximos y mínimos locales tendrán siempre como abscisa

un número crítico. Por otra parte, si c es un número crítico para f, entonces el

punto (c, f(c)) será llamado punto crítico de f.

Ejemplo:

Cuáles son los números críticos de la función f (x) = x3 + 3x2 –9x + 3 y cuáles son sus puntos críticos.

Números Críticos f(x) = x3 + 3x2 –9x + 3

f'(x) = 3x2 + 6x –9

f'(x) = 0

3x2 + 6x –9 = 0

x2 + 2x – 3 = 0 (x + 3) (x –1) = 0

Puntos críticos

Si x = -3f(-3) = (-3)3+3(-3)2–9(-3)+3

=-27+27+27+3=30

(-3, 30)

Si x = 1

f(1) = (1) + 3(1) –9(1) + 3 = 1 + 3

–9 +3 =-2

pág. 26

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS (1, -2)

pág. 27


Concavidades y puntos de Inflexión.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser

puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los

llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por

determinar un cambio en la concavidad de la curva.

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas

observaciones de tipo intuitivo.

Considere la función f de la grafica siguiente, note en primer lugar que la curva

que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.

Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se

encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es

cóncava hacia abajo en el punto x1.

pág. 28

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASIgualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la

curva se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que

la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2.

El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el

nombre de punto de inflexión de la curva.

Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:

Definiciones:

Sea f una función derivable en un punto c.

i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un

intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a,b), ×≠C

se cumple que:Z( x )=f ( x )⏟−f ' (c ) ( x−c )−f (c )⏟>0

yc : y de la curva ; yt: y de la tangente

ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un

intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b),x≠c

se cumple que: Z ( x )=f ( x )−f ' (c ) ( x−c )−f (c )<0

pág. 29

yc yt

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASiii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto

de I.

iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un

intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente

concavidad en los sub intervalos: (a, c) y (c, b).

Se usará el símbolo:∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o

cóncava positiva.

Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva es cóncava hacia

abajo o cóncava negativa.

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición

suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

En todos los puntos en donde la recta tangente aparece por debajo de la curva, la

función g(x) = f’(x) es creciente, ya que las pendientes en estos, son en principio,

valores negativos, ya que se trabaja con ángulos entre 0 y –90°. Posteriormente,

al ocurrir el mínimo, la primera derivada toma el valor cero, para continuar

aumentando al tomar ángulos de inclinación de la tangente entre 0 y 90°. De esta

manera, la curva de f presenta una concavidad en todo punto del intervalo en

donde se verifique:

g' (x) = f '' (x) > 0

En todos los puntos en donde la recta tangente a la curva, aparezca por encima

de esta, la función g(x) = f '(x) es decreciente. Siguiendo un razonamiento

semejante al apartado (a), concluimos que la curva presenta una convexidad en

todo punto en donde se verifique:

pág. 30

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASg' (x) = f '' (x) < 0

Finalmente, si f '' (c) = 0, entonces habrá un punto de inflexión en (c, f(c)). De hecho

estos se obtendrán al resolver la ecuación:

f '' (x) = 0

Ejemplo

Calcule el punto de inflexión de la siguiente función.

Solución:

f(x) = x3 –x2 –6x

f '(x) = 3x2 – 2x – 6

f ''(x) = 0

f ''(x) = 6x –2

6x – 2 = 0

6x = 2

x = 26

x = 1/3

y = f(x)

f(1/3)=( 13 )

3

−(13 )2

−6( 13 )= 127

−19−63=1−3−5727 = -56/27

Punto de inflexión = (1/3, -56/27)

pág. 31


Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos

Sea f una función continua en un intervalo I; sean a, b, c puntos de I, tales que a <

c < b y c un punto crítico de f (f ’(c) = 0 o f ‘ ( c) no existe).

Entonces:

Sif '( x)>0 para todo x en (a, c) y f ' ( x )<0 para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un

máximo relativo.

i. Si f ' ( x )<0 para todo x en (a, c) y f '( x)>0 para todo x en (c, b), entonces, f(c)

es un mínimo relativo. (fig. 9.13. (d), fig. 9.13. (e)).

ii. Si f '( x)>0 para todo x en (a, c) y f '( x)>0 para todo x en (c, b), entonces, f(c)

no es un extremo relativo.

iii. Si f ' ( x )<0 para todo x en (a, c) y f ' ( x )<0

para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo.

Imagen de referencia:

pág. 32


d c

e f

Observación:

En el lenguaje corriente, las partes i. y ii. del teorema , se expresan

respectivamente, en la siguiente forma:

Si la derivada pasa de positiva a negativa, entonces, el punto crítico corresponde a

un máximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el punto crítico

corresponde a un mínimo relativo.

pág. 33

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASCriterio de la Segunda Derivada

A partir de las propiedades de los extremos locales estamos en condiciones de

establecer para diversos tipos de funciones, cuando un extremo relativo

corresponda a un máximo y cuando a un mínimo. De hecho, a partir de la

resolución de la ecuación f '(x) = 0, es posible determinar su ubicación.

Además, como se observa en la siguiente figura, el máximo relativo, se encuentra

en algún punto de la curva en donde ésta es convexa. Por el contrario, para el

punto en donde se localiza el mínimo relativo, la curva es cóncava. De acuerdo a

los criterios y propiedades de concavidad y puntos de inflexión, se establece la

siguiente propiedad.

Definición:

Criterio de la Segunda Derivada: Sea f una función tal que su primera y segunda

derivada existan en x = c. Para la curva de f:

Existe un máximo relativo en x = c si:

f '(c) = 0 y f ''(c) < 0

Existe un mínimo relativo en x = c si:

f '(c) = 0 y f ''(c) > 0

f ''(c) < 0 y f '(c) = 0

pág. 34


f ''(d) > 0

f '(d) = 0

Cuando la función permite un cálculo rápido de sus derivadas sucesivas, el

teorema resulta ser el mejor camino para la determinación de los extremos

relativos.

Ejemplo

Calcular los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada de la

función

f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 5.

a) Calcular los números críticos.

f '(x) = 0

f '(x) = 3x2 – 12 x + 9

3x2 – 12x + 9 = 0

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0 x – 1 = 0

x = 3 x = 1

pág. 35

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASb) Calculo de la segunda derivada.

f '' (x) = 6x – 12 c) Sustitución de los números críticos.

Si x = 1f ''(x) = 6 (1) – 12 = 6 – 12 = - 6 < 0 (máximo).Si x = 3

f ''(x) = 6 (3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0 (mínimo).d) Calculo de los valores relativos.

Si x = 1f(x) = (1)3 – 6 (1)2 + 9 (1) + 5 = 1 – 6 + 9 + 5 = 9Máximo = 9 para x = 1

Si x = 3

f(x) = (3)3 – 6 (3)2 + 9 (3) + 5

= 27 – 54 + 27 + 5 = 5

Mínimo = 5 para x = 3

En forma de cordenada:(1, 9) máximoEn forma de coordenada:(3, 5) mínimo

Análisis de la Variación de Funciones

Se llama variación de una función a lo que varía la variable dependiente al variar

la variable independiente.

Si observamos una gráfica vemos que en unos puntos la gráfica sube

(Crecimiento), otros en los que baja (Decrecimiento) y otros en los que ni sube

ni baja, es decir, permanece constante. Estos aumentos o disminuciones de la

variable dependiente es lo que denominamos variación de la función.

Aquí podemos incluir los siguientes teoremas de análisis de la variación de

funciones.

Teorema de Weierstrass

Establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza sus valores máximos y mínimos en dicho intervalo.

Dicho teorema no nos indica cómo encontrar los valores máximos y mínimos, solo nos indica que existen.

pág. 36

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASDemostración:

Por hipótesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f está acotada

en [a,b], es decir, existen m y n tales que m <= f(x) <= n para todo x perteneciente

a [a,b].

La demostración se realiza por reducción al absurdo.

Primero demostraremos que f tiene máximo absoluto en [a,b].

Queremos probar que existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1) = n.

Supongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, o sea que para todo x

perteneciente a [a,b] f(x) ≠ n, f(x) < n.

Sea g una función auxiliar: g(x)=1/(n - f(x)).

g es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n - f(x)

≠ 0. Por el lema de Weierstrass, g está acotada, es decir, para todo x

perteneciente a [a,b]

s <= g(x) <= t

1/(n - f(x)) <= t

1/t <= n - f(x)

f(x) <= n - 1/t

=> n - 1/t es una cota superior de f en [a,b] (1)

Por otro lado g(x) > 0 => t > 0 => 1/t > 0 => n - 1/t < n (2)

De (1) y (2) se deduce que existe una cota superior de f menor que n, el extremo

superior, lo cual es absurdo, pues el extremo superior es la menor de las cotas

superiores.

pág. 37

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASEl absurdo surge de suponer que no existe x tal que f(x)=n, por lo tanto existe x1

perteneciente a [a,b] / f(x1)=n.

Demostraremos ahora que f tiene mínimo absoluto.

Procederemos como en el caso anterior, por el absurdo.

Supondremos que para todo x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ m, f(x) > m.

Sea h una función auxiliar: h(x) = 1/(f(x)-m)

h es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y

f(x)≠m.

Por el lema de Weierstrass, h está acotada, es decir, para todo x perteneciente a

[a,b]

h <= h(x) <= k

1/(f(x)-m) <= k

1/k <= f(x) - m

f(x) >= 1/k + m

=> 1/k + m es una cota inferior de f (1)

Por otro lado h(x)>0 => k>0 => 1/k>0 => 1/k + m > m (2)

De (1) y (2) se deduce que existe una cota inferior de f mayor que el extremo

inferior, lo cual es absurdo.

Este absurdo proviene de suponer que no existe x tal que f(x)=m.

Por lo tanto, sí existe algún x tal que f(x)=m.

Es de señalar que incluye el teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio, incluidos en hojas anteriores como temas específicos del análisis de la variación de funciones.

pág. 38

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASCálculo de aproximaciones usando la diferencial

La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el

incremento de la variable independiente.

Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la

función.

Ejemplos:

1. Sea la función y = x4

Su primera derivada es y′ = 4x3

Su diferencial se expresa dy = 4x3 Δx

2. Calcular la diferencial de la función y = 3x2 para x = 4 y el Δx = 0.2

y′ = 6x

Sustituyendo d(3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8

Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las

formas siguientes:

Df(x) Cauchy

f′(x) Lagrange

y′ Lagrange

dydx

Leibniz

Por lo tanto:

Derivada:

dydx

= límΔx→0

ΔyΔx

=Df ( x )=f ' ( x )= y '

pág. 39


Sea la función y = f(x), la primera derivada se expresa

dydx

=f ' ( x ). Si multiplicamos

ambos miembros por dx, tenemos:

dy=f ' ( x )dx

Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se lee:

la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial

de la variable independiente.

Definición:

Sea y=f ( x )una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada dx) es cualquier número real no nulo. La diferencial de y (denotada dy) es.

dy=f '( x )dx

En muchas aplicaciones, la diferencial de y se puede utilizar como

aproximación del cambio en y. Es decir.

Δy≈dy o Δy≈f ' ( x )dx

Interpretación Geométrica.

pág. 40


Cuando x es pequeño, y = f(c+x) –f(c), viene dado aproximadamente por f’(c) x.

Cuando se usa la recta tangente a f en el punto (c, f (c)) y=f (c )+ f '(c )(x−c )

Recta tangente (c , f (c )) como aproximación de la gráfica de f, la cantidad x – c se llama el cambio en x, y se denota por x (Figura anterior). Cuando x es pequeño, el cambio en y (denotado y) se puede aproximar como sigue.

Δy=f (c+Δx )−f (c )Δy≈f '(c )Δx Cambio aproximado de y

En tales aproximaciones, la cantidad Δx se suele denotar por dx y se llama

diferencial de x. La expresión f ' ( x )dx se denota por dy y se llama diferencial de

y.

La diferencial como aproximación del incremento

Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de y de un

modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a partir

de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el valor

medido de una variable y x + x representa el valor exacto, entonces x es el error

de medida. Finalmente, si el valor medido de x es utilizado en el cálculo de algún

otro valor f(x), la diferencia entre f ( x+Δx)y f ( x ) es el error propagado.

Error de error

f ¿

Ejemplo

Estimación del error

pág. 41

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLa medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0,7 pulgadas. Si ese

aparato de medida comete un error no superior a 0,01 pulgadas, estimar el error

propagado en el volumen de la bola.

Solución

La fórmula para el volumen de una bola es V= 4

3πr3

, donde r es el radio. Así

pues, podemos escribir

r = 0,7 Radio medido

y

-0,01 r 0,01 Posible error

Para aproximar el error propagado en el volumen, derivamos V, con lo que se

obtiene dV/dr = 4 πr2 y escribimos

ΔV≈dV Aproximar ΔV por dV

=4 πr2dr¿4 π (0,7)2 (±0 ,01)¿±0 ,06158 Sustituir r y dr

Por lo tanto, el volumen tiene un error propagado de unas 0,06 pulgadas cúbicas.

pág. 42

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASProblemas de Optimización y Tasas

Una de las aplicaciones más comunes del cálculo implica la determinación de los

valores mínimo y máximo. Por ejemplo: utilidad (beneficio) máximo, mínimo costo,

tiempo mínimo, voltaje máximo, forma óptima, tamaño mínimo, máxima resistencia

y máxima distancia.

Los problemas de optimización de funciones se estudian como una aplicación del

cálculo diferencial. Generalmente este tipo de problemas suelen estar

contextualizados, por lo que nos sirven de ejemplo para mostrar, una vez más, la

utilidad que tienen las matemáticas.

En general, las dificultades que surgen en este tipo de problemas son por un lado

la comprensión del enunciado y su planteamiento matemático y por otro la

interpretación de los resultados en el contexto del problema.

La resolución de los problemas de optimización de funciones con Derive ayuda a

mejorar las dificultadas antes mencionadas. Así, la utilización de varios métodos

(algebraico y gráfico) para la resolución de un problema ayuda a su comprensión.

Además resolver gráficamente estos problemas permite observar de forma

conjunta el comportamiento de la función así como el de su función derivada para

diferentes valores de la variable independiente y distinguir entre el valor de la

variable que optimiza la función y el valor óptimo de la función.

Asimismo, el modo gráfico favorece la comprensión de los conceptos

extremo relativo y extremo absoluto de una función.

Estrategia para resolver problemas aplicados de mínimos y máximos.

1. Identificar todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Si es

posible, elaborar un dibujo.

pág. 43

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS2. Escribir una ecuación primaria para la cantidad que se va a maximizar o

minimizar.

3. Reducir la ecuación primaria a una que tenga una sola variable independiente.

Esto quizá implique el uso de ecuaciones secundarias que relacionan las

variables independientes de la ecuación primaria.

4. Determinar el dominio admisible de la ecuación primaria. Esto es, determinar los

valores para los cuales el problema planteado tiene sentido.

5. Determinar el valor máximo o mínimo deseado mediante las técnicas de cálculo.

Un ejemplo de optimización es el que a continuación se presenta:

LA CAJA

Tenemos dos piezas cuadradas de 36 cm de lado. Les cortamos a cada una, una esquina cuadrada de lado x, doblamos los bordes, para unir las dos piezas y formar una caja.

¿Cuánto debe valer x, el lado del cuadradito que recortamos, para que el volumen de la caja sea máximo?

La función que nos da el volumen de la caja será: V=x(36-x)2

Donde el dominio de la función será 0<x<36 ya que el cuadradito que recortamos no puede ser mayor que la pieza completa.

pág. 44


La forma de resolver este problema cambia por completo si lo hacemos calculando, o si lo hacemos con Descartes.

Hay que averiguar el máximo absoluto de la función V=x(3.6-x)2 en el intervalo (0,3.6).

El máximo absoluto de una función continua, está en el máximo relativo (f '(a)=0) o en los extremos del intervalo.

Hallamos la función derivada, averiguamos los valores de x que la hacen cero, que son x=1.2, y x=3.6 (éste no nos vale puesto que 0<x<3.6).

Ahora calculamos el valor de la función en x=1.2 y en los extremos del intervalo:

f(0)=0, f(1.2)=6.91, f(3.6)=0

Por tanto el máximo de la función se obtiene para x=1.2, f(1.2)=1.2*2.42=6.91

Tasas de Variación Relacionadas (o Ritmos o velocidades

relacionadas)

Un problema de Tasas de Variación Relacionadas es aquel que involucra tasas de variación de variables relacionadas. En aplicaciones del mundo real que implican tasas de variación relacionadas, las variables tienen una relación específica para valores de t, donde t, es una medida de tiempo. En general, esta relación se expresa mediante una ecuación, la cual representa un modelo matemático.

Estrategias para la resolución de problemas de ritmos o velocidades relacionados:

1. Identificar todas las cantidades dadas y por determinar. Hacer un esbozo y clasificarlas.

2. Escribir una ecuación que incluya las variables cuyos ritmos de cambio se encuentran en la información dada o deben calcularse.

pág. 45

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS3. Utilizando la regla de la cadena, derivar de manera implícita ambos lados de la

ecuación con respecto al tiempo t.

4. Después de terminar el paso 3, sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y sus ritmos de cambio. Luego se despeja el ritmo de cambio requerido.

Si una cantidad y es una función del tiempo t, la razón de cambio de y con

respecto al tiempo está dada por dy/dt. Cuando dos o más cantidades, todas

funciones del tiempo t, están relacionadas por una ecuación, la relación de sus

razones de cambio puede hallarse derivando ambos lados de la ecuación.

Ejemplo

Una escalera de 25 pies reposa sobre una pared vertical. Si la base de la escalera

resbala y se aleja de la base de la pared a 3 pies/s, ¿qué tan rápido baja la parte

superior de la escalera cuando la base de la misma está a 7 pies de la pared?

Solución:

Sea x la distancia de la base de la escalera a la base de la pared, y sea y la

distancia de la parte superior de la escalera a la base de la pared. Como la base

de la escalera se aleja de la base de la pared a una razón de 3 pies/s, dx/dt = 3.

Se tiene así que hallar dy/dt cuando x=7. Por el teorema de Pitágoras,

x 2+ y 2 = (25) 2 = 625

pág. 46

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASEsta es la relación entre x y y. Derivando ambos lados respecto a t, se obtiene:

2x dx/dt + 2y dy/dt = 0

Como dx/dt = 3, 6x + 2y dy/dt = 0, donde

3x + y dy/dt = 0

Esta es la ecuación deseada para dy/dt. Ahora, para este problema en particular, x=7. Al sustituir x por 7 en la ecuación 1 se tiene:

49 + y 2 = 625, y 2=576,

En la ecuación 2, al remplazar x y y por 7 y 24, se obtiene:

21 + 24 dy/dt = 0

Por tanto, dy/dt = - 7/8 pies/s. Como dy/dt < 0, se concluye que la parte

superior de la escalera resbala por la pared a una razón de 7/8 pies/s, cuando la

base de la escalera está a 7 pies de la pared.

pág. 47


Bibliografía

James Steward. Cálculo. Grupo Editorial Iberoamericana. Dennis G. Zill. Cálculo. Grupo Editorial Iberoamericana. E. Purcell y D. Varberg. Cálculo. Prentice Hall. L. Leithold. El Cálculo. Harla. Dowling Edward T. Cálculo. MacGraw Hill. http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.1.html

http://www.google.com.mx/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCkQFjA

A&url=http%3A%2F%2Fdocencia.udea.edu.co%2Fingenieria%2Fcalculo

%2Fpdf

%2F4_6_1.pdf&ei=xCZ4UuaRDsjo2QXl2oDwCQ&usg=AFQjCNEHxQqbBPf

z_glcITfsrxjbbnDuZA&bvm=bv.55819444,d.b2I

http://fcqi.tij.uabc.mx/usuarios/ljimenezb/Matematicas1/Unidad4.doc

http://matematica.50webs.com/teorema-de-weierstrass.html

www.mate.com.mx

pág. 48

http://www.mate.com.mx/

http://matematica.50webs.com/teorema-de-weierstrass.html

http://fcqi.tij.uabc.mx/usuarios/ljimenezb/Matematicas1/Unidad4.doc

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCkQFjAA&url=http%3A%2F%2Fdocencia.udea.edu.co%2Fingenieria%2Fcalculo%2Fpdf%2F4_6_1.pdf&ei=xCZ4UuaRDsjo2QXl2oDwCQ&usg=AFQjCNEHxQqbBPfz_glcITfsrxjbbnDuZA&bvm=bv.55819444,d.b2I



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Tarea de Calculo Diferencial

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