DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

CARRERA DE INGENIERIA EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

TAREA DE FILTROS

TEMA: PARÁMETROS EN LA INTRUMENTACIÓN

NOMBRE: ALEX TIPANTUÑA

FECHA DE ENTREGA: 21/08/201

Considere un sistema en tiempo continuo causal con respuesta al impulso hc ( t ) y

función de trasferencia

H c (s )= s+a

(s+a )2+b2

a) Utilizando la técnica de invarianza al impulso, determine la función de transferencia de H 1 (z ) de un sistema en tiempo discreto tal que h1 [ n ]=hc [ nT ].

H c (s )= s+a

(s+a )2+b2

H c (s )= s+a

(s+a )2+b2= s+a

(s+a+ jb)(s+a− jb)

H c (s )= A(s+a+ jb)

+ B(s+a− jb)

A= s+a( s+a+ jb )

|s=−a− jb=12

B= s+a(s+a− jb )

|s=−a+ jb=12

H c (s )= 0.5(s+a+ jb)

+ 0.5(s+a− jb)

Aplicando la transformada de LAPLACE

e .at u ( t )= 1s+a

Entonces:

hc [ t ]=12

[ e.−(a+ jb ) t+e.−(a− jb ) t ]u ( t )

h1 [ n ]=h1 [ nT ]=12

[e .−(a+ jb )nT+e.−(a− jb ) nT ] u (n )

H 1 (z )= 0.5

1−e .−(a+ jb )T z−1+ 0.5

1−e .−( a− jb ) T z−1

Se desea diseñar un filtro pasa bajo en tiempo discreto aplicando el método de invarianza al impulso a un filtro de Butterwordth en tiempo continuo cuya función módulo al cuadrado es

|H c ( jΩ )|2= 1

1+( ΩΩc )

2 N

Las especificaciones del sistema en tiempo discreto son las del Ejemplo 7.2. Es decir,

0,89125 ≤ ¿ H c ( e jω)∨≤1, 0 ≤∨ω∨≤ 0.2 π

¿ H c ( e jω)∨≤ 1, 0.3 π ≤∨ω∨≤ π

Suponga como en ese ejemplo que el solapamiento no es un problema, es decir, diseñe el filtro de Butterwordth en tiempo continuo de forma que cumpla las especificaciones de la banda de paso y de la banda eliminada determinadas por el filtro deseado en tiempo discreto.

a) Dibuje los límites de tolerancia del módulo de la respuesta al impulso, |H c ( jΩ )|, del

filtro de Butterwordth en tiempo continuo de forma que, tras la aplicación del método de invarianza al impulso el filtro en tiempo discreto resultante satisfaga las especificaciones de diseño dadas. No suponga que Td=1 como en el ejemplo 7.2.

b) Determine el orden entero N y la cantidad T d Ωc de forma que el filtro de Butterwordth en tiempo continuo cumpla exactamente las especificaciones del Apartado del literal a en el límite de la banda de paso.

|H c ( jΩ )|2= 1

1+( ΩΩc )

2 N

a)

b)

|H c ( j 0.2 πT d

)|2

=1

1+( 0.2 πΩc Td

)2 N =(0.89125 )2

|H c ( j 0.3 πT d

)|2

=1

1+( 0.3 πΩc T d

)2 N =(0.17783 )2

1.25893=1+( 0.2 πΩc T d )

2 N

1.25893=1+(0.2 π )2N

(Ωc T d )2 N

1.25893 (Ωc Td )2 N−(Ωc T d )2N=(0.2 π )2 N

(Ωc T d )2N (1.25893−1 )=(0.2 π )2 N

(Ωc T d )2N=(0.2 π )2 N

0.25893

31.62204=1+( 0.3 πΩc T d )

2 N

31.62204 (Ωc T d )2 N=(Ωc T d )2 N+(0.3 π )2 N

31.62204 (Ωc T d )2 N−(Ωc T d )2 N= (0.3 π )2 N

(Ωc T d )2N (31.62204−1 )=(0.3π )2N

(Ωc T d )2N=(0.3 π )2N

30.62204

(Ωc T d )2N=(Ωc T d )2 N

(0.2 π )2 N

0.25893=

(0.3 π )2N

30.62204

N=5.94073 ≈ 6

Con N=6

(Ωc T d )2N=(0.2 π )2 N

0.25893

Ωc Td=0.7032

Se desea diseñar un filtro paso bajo en tiempo discreto aplicando la transformación bilineal a un filtro paso bajo ideal en tiempo continuo. Suponga que el filtro prototipo

en tiempo continuo tiene una frecuencia de corte de Ωc=2 π (2000 ) rad /seg, y

escogemos como parámetros de la transformación bilineal T=0,4 ms. ¿Cuál es la frecuencia de corte ωcdel filtro en tiempo discreto resultante?

ωc=2 tan−1(Ωc T

2)

¿2 tan−1([2 π (2000 ) ](4 x 10−3)

2)

¿0.7589 π rad

Suponga que tenemos un filtro pasa bajo ideal en tiempo discreto con frecuencia de

corte ωc=π4

. Además, se sabe que le filtro ha resultado de aplicar la técnica de

invariancia al impulso a un filtro pasa bajo en tiempo continuo prototipo utilizando T=0,1 ms. ¿ Cual es la frecuencia de corte Ωc del filtro prototipo en tiempo continuo?

Ωc=ωc

T

¿ π /40.0001

¿2500 π

¿2 π (1250 ) rads

Un filtro paso alto en tiempo discreto con frecuencia de corte ωc=π /2 se diseña utilizando la transformación bilineal con T = 1 ms. ¿Cuál es la frecuencia de corte Ωc del filtro prototipo paso alto ideal en tiempo continuo?

Ωc=2T

tan (ωc

2)

¿ 20.001T

tan( π22 )

¿2000rad

sSe utiliza la transformación bilineal para diseñar un filtro pasa bajo ideal en tiempo discreto con frecuencia de corte ωc=3π /5 a partir de un filtro pasa bajo ideal en

tiempo continuo de frecuencia de corte Ωc=2 π (300 ) rad /s. De un valor del parámetro T que sea consistente con esta información. ¿Es único este valor? Si no lo es, obtenga otro valor de T que sea consistente con la información dada.

Dónde: K es una constante

Ωc=2T

tan (ωc+2 πk

2)

Ωc=2T

tan (ωc

2)

T= 22 π (300)

tan( 3 π52 )=1.46 ms

La única ambigüedad es el de arriba es la periodicidad en W. sin embargo, la periodicidad de la función tangente "anula" la ambigüedad y así T es único.

Se desea diseñar un filtro paso banda ideal en tiempo discreto cuya banda de paso sea π4

≤ ω≤π2

aplicando la técnica de invariancia al impulso a un filtro paso banda ideal

en tiempo continuo cuya banda de paso es 2 π (300 )≤ Ω ≤2 π (600). Especifique un valor de Τ que produzca el filtro deseado. ¿Es único ese valor de Τ?

Usando la relación

ω=Ω Τ

Τ=ωΩ

Τ=

π4

2 π (300 )=417 us

En este caso el valor de Τ es única. Es posible encontrar otros valores, sin embargo este es el único valor de Τ con la que se puede mapear una correcta banda de paso.

SORIA

Se desea diseñar un filtro digital pasa baja de Butterworth de orden dos con frecuencia de corte 1 rad/s y frecuencia de muestreo 10 rad/s. Utilice la transformación bilineal.

Las posiciones de los polos para un filtro de Butterworth de orden par vienen dadas por:

sk=ejπ (2k +1)

2 N , k=0,1 , ……… .2N−1; N par

Con N=2

s0=ejπ4 =√2

2+ j √2

2

s1=ej3 π4 =−√2

2+ j √2

2

s2=ej5 π4 =−√2

2− j √2

2

s3=ej 7 π4 =√2

2− j √2

2

Asignando a H(s) los polos situados en el semiplano izquierdo obtenemos:

H (s )= 1(s−s1)( s−s2 )

= 1

s2−2ℜ s1 s+|s1|2= 1

s2+√2 s+1

Entonces:

H (s )= Ω2

s2+√2Ωs+Ω2

Realizando la transformación bilineal:

Con: Ω=Ωs

πtg( 2 π

2Ωs )=Ωs

πtg( π

10 )H ( z )=H (s ) ⌊ s= 2

T d( z−1

z+1 )¿¿

¿( z2+2 z+1 ) t g2( π

10)

(1+tg( π10 )√2+ t g2( π

10))z2+(2t g2( π

10 )−2)z+(1−√2tg( π10 )+ t g2( π

10 ))

Reduciendo la expresión en términos de z−1:

H ( z )=0.0675+0.1349 z−1+0.0675 z−2

1−1.1430 z−1+0.4128 z−2

Determine qué orden debe tener un filtro de Butterworth para que la pendiente de la

zona de transición entre la banda pasante y atenuada sea −52√2

para ΩΩc

=1, Ωc=1.

|H (Ω)|2= 1

1+¿¿

m=d|H (Ω)|

dΩ |Ω=Ωc

=−12

¿¿

m=−12

¿¿

Si Ωc=1

m=−N2√2

El orden del filtro será

m=−N2√2

=m= −52√2

→ N=5

Dibujar aproximadamente los polos y ceros y obtener la respuesta en frecuencia (modulo y fase) de un sistema cuya función de transferencia es: :

H ( z )= 1−z−5

1+0.95 z−5

Ceros:

z0=ej π

5

z1=ej 3 π

5

z2=ej 5 π

5

z3=ej 7 π

5

z4=ej 9 π

5

Polos:

P0=0.9 ej π

5

P1=0.9 ej 3 π

5

P2=0.9 ej 5 π

5

P3=0.9 ej 7 π

5

P4=0.9 ej 9 π

5

La respuesta en fase es la siguiente:

H (ω )= e j 5 w+1e j5 w+0.95 =

2e j 5 w/2cos (5w /2)cos (5 w )+0.95+ j sen (5 w /2)

Determine el orden de un filtro de Butterworth de manera que la atenuación para frecuencias normalizadas hasta 0,9 sea menor que 0,9.

La expresión general de la respuesta de modulo para este filtro es

|H (Ω)|2= 1

1+( ΩΩc )

2 N

Con lo que, sustituyendo en la expresión anterior los datos proporcionados, tenemos

0,92= 1

1+Ω2 N

Donde Ω es la frecuencia de corte normalizada, Por tanto

0,92= 1

1+0,92N

Y en consecuencia, despejando N de la ecuación anterior, llegamos a N=6,8. Como el orden ha de ser un número entero elegimos el entero más próximo por exceso, con lo que el orden escogido en el diseño es N=7.

Un filtro FIR tiene por función de transferencia H ( z )=1−√2 z−1−z−2. Dibuje el

diagrama de polos y ceros y determine si se verifica que los ceros aparecen en parejas

(z¿¿k ,1zk

)¿.

Se pide:

De acuerdo con el resultado anterior, se tiene un filtro de fase lineal. Obtenga la expresión de la respuesta en frecuencia, módulo y fase para este filtro y

determine el retardo de grupo. Tiene el filtro fase lineal.a)

zk=√2±√2+4

2

1z1

= 11.9319

=0.5176

1z2

= 1(−0.5176)

=−1.9319

No es un filtro de fase lineal.

b)

H (w )=H ( z )|z=e jw=1−√2 e− jw−e−2 jw=e− jw [2 jsen (w )−√2]

Φ ( w )=−w−arctg( 2 sin (w )√2 )

H (z )|=√2+4 sin2 w

r g ( w )=1+ 1

1+2 sin2(w)√2cos (w)

La fase no es lineal.

Utilizando un prototipo analógico de Butterworth de orden dos, determine las respuestas en frecuencias en modulo y la función de transferencia de los siguientes filtros analógicos:

a) Pasa-baja con frecuencias de corte de 10 rad/s.b) Pasa-alta con frecuencias de corte de 10 rad/s.

c) Pasa-banda como Ω=0' 618rad

s y Ωu=1' 618

rads

.

d) Elimina-banda como Ω=0' 618rad

s y Ωu=1' 618

rads

.

El prototipo analógico de salida es:

H (s)= 1

s2+√2 s+1

Para obtener los filtros solicitados solo hemos de obtener las transformaciones en frecuencia analógicas siguientes:

Pasa-baja: s lp→

sΩc

por lo tanto.

H (s )= 1

s2+√2 s+1|s= s/10

= 100

s2+10√2 s+100

Pasa-alta: shp→

Ωc

s por lo tanto.

H (s )= 1s2+√2 s+1|

s=10 /s

= s2

s2+10√2 s+100

Pasa-banda: sbp→

s2+Ω02

s (Ωu−Ωl) donde Ω0=√Ωu Ωl=√1' 618 ×0 ' 618≅ 1 y Ωu−Ωl=1. Por

tanto se obtiene:

H (s )= 1

s2+√2 s+1|s= s2+1

s

= 1

s2+1s

2

+√2s2+1

s+1

= 1

s4+√2 s3+3 s2+√2 s+1

Elimina-banda: sbs→

s(Ω¿¿u−Ωl)

s2+Ω02 ¿.

Es decir, la transformación inversa a la anterior.

Obtenemos:

H (s )= 1s2+√2 s+1|s= s

s2+1

=(s¿¿2+1)2

s4+√2 s3+3 s2+√2 s+1¿