FACTORIZACIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

¿QUÉ ES FACTORIZAR?

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

FACTOR: Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. Así, multiplicando a por a + b tenemos:

Aplicamos la propiedad distributiva para expandir las expresiones algebraicas. Algunas veces necesitamos invertir este proceso usando otra vez la propiedad distributiva mediante la factorización de una expresión en productos de términos más simples. Por ejemplo, podemos escribir.

FACTOR COMÚN

Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

Procedimiento para factorizar:

1. Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.2. Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el

segundo factor.

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

Ejemplo:

Si varios sumandos t ienen un factor común , podemos transforma la suma en producto extrayendo dicho factor .

a · b + a · c = a · (b + c)2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)6 + 10 = 2 · 816 = 16

a · b − a · c = a · (b − c)2 · 5 − 2 · 3 = 2 · (5 − 3)10 − 6 = 2 · 24 = 4

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x 3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

EXPLICACIÓN:

Es una resta de dos términos que son cuadrados:

x2 es el cuadrado de x

9 es el cuadrado de 3

1) "Bajo las bases", Las bases son: x y 3Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.

2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(x + 3).(x - 3) SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".

Para factorizar una diferencia de cuadrados es necesario saber identificarlos, esta ecuación solo tiene dos términos, es decir, es un binomio. Ambos términos tienen raíces cuadradas exactas. En cuanto a los signos un término es positivo y el otro es negativo, o explicado

de otra forma la operación que se realiza es una resta. De estas características viene su nombre diferencia de cuadrados, diferencia hace alusión a una resta y cuadrados indica que los términos están elevados al cuadrado.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio es la suma indicada de tres monomios, es decir, un polinomio con tres términos que no puede simplificarse más. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo.

EJEMPLO 1: (Con los tres términos positivos)

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x 3 2.3.x 6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo.Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

EXPLICACIÓN:

1) ENCONTRAR DOS TÉRMINOS QUE SEAN "CUADRADO":

Los términos de este trinomio que son "cuadrado" de algo son la x2 y el 9. Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es el cuadrado" de 3 (ya que 32 es igual a 9).

El término "6x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 6 no tiene raíz cuadrada, y x no es una potencia par.

2) "BAJAR" LAS BASES: Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los cuadrados de ese polinomio, como dice en el paso anterior.

Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados respectivos, a modo de anotación, más que nada para guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vea lo que quisimos hacer.

Pero en realidad no es parte del resultado, y no sería obligación ponerlo en caso de que no nos estén evaluando (serviría como "justificación" en ese caso).

3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS BASES":

Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta manera:

2.x.3 ("Dos por x por 3")

Éso es "el doble producto de las bases". Y el resultado es: "6x"

2.x.3 = 6x

Ahora miro el polinomio y veo que en él "está 6x". (x2 + 6x + 9). Es decir, que el término que no es cuadrado, es 6x. Coincide con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser así para que se pueda factorizar con este Caso.Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases". Y eso viene de la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Pero en esta parte sólo trato de explicar "cómo se hace" y no "de dónde viene".

4) EL RESULTADO DE LA FACTORIZACIÓN:

(x + 3)2

El resultado es "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Es decir, pongo "x" y "3" sumando entre paréntesis, y elevado a la potencia 2.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer

letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino

es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos: