Tarea Matemática discretas

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE COMPUTACI ´ ON MATEM ´ ATICAS DISCRETAS I (6106) Prueba por Casos Si una de las premisas es una disyunci´on se puede proceder a demostrar por casos. Conside- rando cada uno de los t´ erminos de la disyunci´on se debe llegar a la misma conclusi´ on. Este m´ etodo se basa en la Ley de demostraci´on por casos: [(p q) r] (p q) (q r) Este m´ etodo tambi´ en es v´alido si una de las premisas es una disyunci´onexclusiva. Esto se fundamenta en la implicaci´on: p Y q p q Ejemplo: p 1 (a b) d p 2 d (p →¬t) p 3 q (p t) q (a b) q Caso 1 Caso 2 1) (a b) d p 1 1) (a b) d p 1 2) d (p →¬t) p 2 2) d (p →¬t) p 2 3) q Caso 1 en p 3 3) (p t) Caso 2 en p 3 4) q ∨¬(a b) Adici´onen(3) 4)¬d (¬p ∨¬t) Equiv. Implic. 2 veces 5) ¬(a b) q Conmutativa en (4) 5) ¬p (¬d ∨¬t) Asoc/ Conmut en (4) 6) (a b) q Equiv. Implic. en (5) 6) p (¬d ∨¬t) Equiv. Implic. en (5) 7) p p (¬d ∨¬t) Simplif. (3)/Conj. (6) 8) ¬d ∨¬t MPP en (7) 9) (¬d ∨¬t) t Simplif. (3)/Conj. (8) 10) ¬d Silg. Disy. en (9) 11) [(a b) d] ∧¬d Conj. (1) y (10) 13) ¬(a b) MTT en (11) 14) (a b) q Equi. Implic. en (13) 1

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIASESCUELA DE COMPUTACIONMATEMATICAS DISCRETAS I (6106)

Prueba por Casos

Si una de las premisas es una disyuncion se puede proceder a demostrar por casos. Conside-rando cada uno de los terminos de la disyuncion se debe llegar a la misma conclusion. Este metodose basa en la Ley de demostracion por casos:

[(p ∨ q)→ r] ≡ (p→ q) ∧ (q → r)

Este metodo tambien es valido si una de las premisas es una disyuncion exclusiva. Esto sefundamenta en la implicacion:

p Y q ⇒ p ∨ q

Ejemplo:

p1 (a ∧ b)→ dp2 d→ (p→ ¬t)p3 q ∨ (p ∧ t)q ∴ (a ∧ b)→ q

Caso 1 Caso 21) (a ∧ b)→ d p1 1) (a ∧ b)→ d p12) d→ (p→ ¬t) p2 2) d→ (p→ ¬t) p23) q Caso 1 en p3 3) (p ∧ t) Caso 2 en p34) q ∨ ¬(a ∧ b) Adicion en (3) 4)¬d ∨ (¬p ∨ ¬t) Equiv. Implic. 2 veces5) ¬(a ∧ b) ∨ q Conmutativa en (4) 5) ¬p ∨ (¬d ∨ ¬t) Asoc/ Conmut en (4)6) (a ∧ b)→ q Equiv. Implic. en (5) 6) p→ (¬d ∨ ¬t) Equiv. Implic. en (5)

7) p ∧ p→ (¬d ∨ ¬t) Simplif. (3)/Conj. (6)8) ¬d ∨ ¬t MPP en (7)9) (¬d ∨ ¬t) ∧ t Simplif. (3)/Conj. (8)10) ¬d Silg. Disy. en (9)11) [(a ∧ b)→ d] ∧ ¬d Conj. (1) y (10)13) ¬(a ∧ b) MTT en (11)14) (a ∧ b)→ q Equi. Implic. en (13)

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Ejercicios:

Demuestre la validez de los siguientes argumentos logicos haciendo uso de la pruebapor casos.

(a) (Ley del Dilema Constructivo)

p1 p→ qp2 r → sp3 p ∨ rq ∴ q ∨ s

(b)p1 p ∧ q → rp2 (p→ r)→ sp3 ¬q ∨ tq ∴ q → s ∧ t

(c)p1 p→ sp2 s→ ¬tp3 q ∧ d→ (¬h→ ¬t)p4 (p ∨ q) ∧ (p ∨ d)p5 tq ∴ h

(d)p1 c Y ap2 c→ lp3 a→ zp4 c→ ¬zp5 a→ ¬lq ∴ l↔ ¬z

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