TAHA, HAMDY A. Investigación de operaciones Novena edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012 ISBN: 978-607-32-0796-6 ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-0797-3 Capítulo 2 Modelado con programación lineal 2.4.4 Planificación de desarrollo urbano

Ejemplo 2.4-6 (Modelo de renovación urbana) La ciudad de Erstville enfrenta un grave recorte de presupuesto. Buscando una solución a largo plazo para mejorar la base tributaria, el consejo de la ciudad propone la demolición de un área de viviendas dentro de la ciudad, y su reemplazo con un moderno desarrollo. El proyecto implica dos fases:

(1) demolición de casas populares para obtener el terreno para el nuevo desarrollo, y (2) construcción del nuevo desarrollo. A continuación, un resumen de la situación.

1. Se pueden demoler 300 casas populares. Cada casa ocupa un lote de 0.25 acres. El costo de demoler una casa es de $2,000.

2. Los tamaños de los lotes para construir casas:

» unifamiliares, » dobles, » triples y » cuádruples, » Son de: 0.18, 0.28, 0.4 y 0.5 acres, respectivamente. » Las calles, los espacios abiertos y el área para la instalación de servicios, ocupan 15%

del área disponible. 3. En el nuevo desarrollo, las unidades triples y cuádruples ocupan por lo menos 25% del total.

Las unidades sencillas deben ser al menos 20% de todas las unidades, y las unidades dobles deben ocupar un mínimo de 10%.

4. El impuesto por unidad aplicado a las unidades sencillas, dobles, triples y cuádruples es de

$1,000, $1,900, $2,700 y $3,400, respectivamente. 5. El costo de construcción por unidad de las casas sencillas, dobles, triples y cuádruples es de

$50,000, $70,000, $130,000 y $160,000, respectivamente. El financiamiento a través de un banco local está limitado a $15 millones.

¿Cuántas unidades de cada tipo se deben construir para

maximizar la recaudación de impuestos?

ANÁLISIS y PLANTEAMIENTO: Modelo matemático: Además de determinar cuántas unidades se construirán de cada tipo

de vivienda, también necesitamos decidir cuántas casas se deben demoler para crear el espacio para el nuevo desarrollo. Por lo tanto, las variables del problema se definen como sigue:

X1 _ Cantidad de casas unifamiliares X2 _ Cantidad de casas dobles X3 _ Cantidad de casas triples X4 _ Cantidad de casas cuádruples X5 _ Cantidad de casas viejas a demoler

El objetivo es: Maximizar la recaudación total de impuestos de los

cuatro tipos de casas, es decir,

Maximizar Z = 1,000X1 + 1,900X2 + 2,700X3 + 3,400X4 Capturando en Lindo v 6.1 64bits:

La primera restricción del problema es: la disponibilidad del terreno.

A partir de los datos del problema, tenemos:

Acres necesarios para casas nuevas = 0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4

Para determinar la cantidad de acres disponibles, cada casa demolida (X5) ocupa un lote de 0.25 acres, ………

Es decir 0.25X5 acres. Considerando el 15% para espacios abiertos, calles y áreas para servicios, la cantidad

neta de acres disponibles es de 0.85 x (0.25X5) = 0.2125X5.

La restricción resultante es:

0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 <= 0.2125X5

o bien

0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 - 0.2125X5 <= 0

Capturando en Lindo v 6.1

La cantidad de casas demolidas no puede ser superior a 300, lo cual se expresa como:

X5 <= 300

Capturando en Lindo v 6.1

A continuación, agregamos las restricciones que limitan la cantidad de casas de cada tipo:

(Cantidad de casas unifamiliares) >= (20% de todas las casas) (Cantidad de casas dobles) >= (10% de todas las casas) (Cantidad de casas triples y cuádruples) >= (25% de todas las casas)

Estas restricciones se expresan matemáticamente como sigue:

X1 >= 0.2(X1 + X2 + X3 + X4) X3 + X4 >= 0.25(X1 + X2 + X3 + X4)

X2 >= 0.1(X1 + X2 + X3 + X4)

o bien, resolviendo algebraicamente:

-0.80X1 + 0.20X2 + 0.20X3 + 0.20X4 <= 0 0.25X1 + 0.25X2 - 0.75X3 - 0.75X4 <= 0 0.10X1 - 0.90X2 + 0.10X3 + 0.10X4 <= 0

Capturando en Lindo v 6.1

La única restricción restante se refiere a que: el costo de demolición y construcción se mantenga dentro del presupuesto permisible, es decir:

(Costo de construcción y demolición) <= (Presupuesto disponible)

Expresando todos los costos en miles de dólares, tenemos:

(50X1 + 70X2 + 130X3 + 160X4) + 2X5 <= 15000 Capturando en Lindo v 6.1

El modelo completo se escribe entonces como sigue:

Maximizar Z = 1,000X1 + 1,900X2 + 2,700X3 + 3,400X4

sujeto a

0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 - 0.2125X5 <= 0

X5 <= 300 -0.80X1 + 0.20X2 + 0.20X3 + 0.02X4 <= 0 0.25X1 + 0.25X2 - 0.75X3 - 0.75X4 <= 0 0.10X1 - 0.90X2 + 0.10X3 + 0.10X4 <= 0

50X1 + 70X2 + 130X3 + 160X4 + 2X5 <= 15000 X1, X2, X3, X4, X5 >= 0

Planteado y capturado finalmente en: Lindo v 6.1

Reporte del proceso y solución: La solución óptima (obtenida utilizando el archivo tarea rmv MXLI Taha 264.ltx) es:

Resultados: ** Redondeados**

» Recaudación total de impuestos = $343,700.00 U. S. Dólares

» Cantidad de casas unifamiliares (X1) = 36 casas uni.

» Cantidad de casas dobles (X2) = 98 casas dob.

» Cantidad de casas triples (X3) = 45 casas tri.

» Cantidad de casas cuádruples (X4) = 0 (cero) unidades cua.

» Cantidad de casas demolidas (X5) = 245 casas demolidas

Resultados: ** SIN Redondear **

» Recaudación total de impuestos = $343,965.00 U. S. Dólares

» Cantidad de casas unifamiliares (X1) = 35.83 (36 casas)

» Cantidad de casas dobles (X2) = 98.53 (98 casas)

» Cantidad de casas triples (X3) = 44.79 (45 casas)

» Cantidad de casas cuádruples (X4) = 0 (cero) unidades cua.

» Cantidad de casas demolidas (X5) = 244.49 (244 casas demolidas)

Comprobaciones: Comentarios. La programación lineal no garantiza una solución entera de manera automática, y ésta es la

razón de redondear los valores continuos al entero más próximo.

La solución redondeada:

» Requiere que se construyan un total de 179 (36, 98,45 y 0) casas y, que se demuelan 245 casas viejas, lo cual representa $343,700 dólares en impuestos.

» Tener en cuenta, sin embargo, que quizá la solución redondeada no sea factible. De hecho, la solución redondeándola (“forzada”) actual viola la restricción del presupuesto por $70,000 (¡está comprobado!). No obstante,

» La solución entera óptima verdadera es: X1 = 35.83, X2 = 98.53, X3 = 44.79, X4 = 0, y X5 = 244.49 con z = $343,965.15

» Obsérvese con cuidado que la solución redondeada produce un mejor valor objetivo, lo que parece contradictorio.