Tarea1_Electromagnetismo1

7/24/2019 Tarea1_Electromagnetismo1

1/21

Electromagnetismo I

Tarea 1: Anlisis vectorial

Diego Gomez

201318237

11 de agosto de 2015

En la totalidad del trabajo se referir a las cantidades escalares con letras estndar y a lasvectoriales con letras en negrilla.

I. Productos triples

Problema 5.Se quiere probar que

A (B C ) = B (A C ) C (A B )Para esto, se expresarn ambos lados de la ecuacin en su forma de componentes y se compararnentre ellas.

- Lado izquierdo de la ecuacin:

B C =x y z

Bx By BzC x C y C z

= ( By C z Bz C y )x (Bx C z Bz C x )y + ( Bx C y By C x )z

A (B C ) =x y z

Ax Ay AzBy C z Bz C y (Bx C z Bz C x ) Bx C y By C x

= [Ay (Bx C y By C x ) + Az (Bx C z Bz C x )]x [Ax (Bx C y By C x ) Az (By C z Bz C y )]y+[ Ax (Bx C z Bz C x ) Ay (By C z Bz C y )]z

- Lado derecho de la ecuacin:

B (A C ) C (A B ) = ( Bx x + By y + Bz z )(Ax C x + Ay C y + Az C z ) (C x x + C y y + C z z )(Ax Bx + Ay By + Az Bz )

= ( Ax Bx C x + Ay Bx C y + Az Bx C z Ax Bx C x Ay By C x Az Bz C x )x+ ( Ax By C x + Ay By C y + Az By C z Ax Bx C y Ay By C y Az Bz C y )y+ ( Ax Bz C x + Ay Bz C y + Az Bz C z Ax Bx C z Ay By C z Az Bz C z )z

1


2/21

Para cada componente se pueden eliminar los trminos que tienen los tres subndices iguales:Ai B i C i . Adems, cada magnitud que multiplica al componente se puede agrupar en dos gruposcon factor A i .

B (A C ) C (A B ) = ( Ay Bx C y + Az Bx C z Ay By C x Az Bz C x )x+ ( Ax By C x + Az By C z Ax Bx C y Az Bz C y )y+ ( Ax Bz C x + Ay Bz C y Ax Bx C z Ay By C z )z

= [Ay (Bx C y By C x ) + Az (Bx C z Bz C x )]x+ [Ax (By C x Bx C y ) Az (Bz C y By C z )]y+ [Ax (Bz C x Bx C z ) Ay (By C z Bz C y )]z

Haciendo unos mnimos cambios de signo (por ejemplo, en lugar de Ax (By C x Bx C y ), escribir Ax (Bx C y By C x )), es fcil notar cmo ambos lados de la ecuacin son equivalentes, con lo quese completa la prueba.

Problema 6.Ahora se quiere probar que

[A (B C )] + [B (C A )] + [C (A B )] = 0

Para esto se utilizar la igualdad demostrada en 5. y la propiedad conmutativa del productoescalar: D E = E D .

A (B C ) = B (A C ) C (A B )

B (C A ) = C (B A ) A (B C ) = C (A B ) A (B C )

C (A B ) = A (C B ) B (C A ) = A (B C ) B (A C )

Evidentemente, al sumar las tres igualdades, los trminos de la derecha se cancelan por pares(por ejemplo, B (A C ) de la primera igualdad y B (A C ) de la tercera), con lo que el resultadoes 0.

Este resultado es til, dado que permite conocer cundo un producto triple vectorial cumplecon la propiedad asociativa: A (B C ) = ( A B ) C ; para determinar la condicin necesariatal que se de esta igualdad, se debe tener en cuenta que el producto vectorial es .a nticonmutativo",es decir, al cambiar el orden de los vectores se debe agregar un signo menos: D E = E D .

A (B C ) = ( A B ) CA (B C ) = C (A B )

[A (B C )] [ C (A B )] = 0[A (B C )] + ([B (C A )] [B (C A )]) + [C (A B )] = 0

[A

(B

C

)] + [B

(C

A

)] + [C

(A

B

)] = [B

(C

A

)]0 = B (C A )

Esta condicin se cumple para cualquier terna de vectores A , B y C cuando el segundo vector,el vector B es perpendicular a los otros dos vectores o, en otras palabras, cuando el segundo vectores paralelo a la normal del plano que forman los otros dos vectores.

2


3/21

II. Transformacin vectorial

Problema 8.aSe quiere probar que la transformacin de un vector por rotacin de dos ejes conserva elproducto escalar. Es decir, que si se tiene un vector A y un vector B y se transforman a otrosistema como vectores A y B , se cumple que Ay By + Az Bz = Ay By + Az Bz . Para probarlo slohay utilizar la matriz de rotacin, con el n de expresar el producto punto del nuevo sistema entrminos del anterior.

Sea C un vector cualquiera, entonces se cumple que:

C yC z

= cos sin sin cos C yC z

(II.1)

= ( C y cos + C z sin )y + ( C y sin + C z cos )z

Utilizando la anterior igualdad con A y B se comprueba el resultado deseado.

A B = Ay By + Az Bz= ( Ay cos + Az sin )(By cos + Bz sin ) + ( Ay sin + Az cos )( By sin + Bz cos )

= ( Ay By cos2 + Ay Bz cos sin + Az By cos sin + Az Bz sin2 )

+ ( Ay By sin2 Ay Bz cos sin Az By cos sin + Az Bz cos2 )

= Ay By (cos2 + sin 2 ) + Az Bz (cos2 + sin 2 )= Ay By + Az Bz = A B

Problema 8.bConsidrese la rotacin tridimensional

Ax

AyAz=

Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy RyzRzx Rzy Rzz

Ax

AyAz

Se quiere determinar la condicin para que esta transformacin mantenga la longitud del vector,esto es, |A | = |A |. Para esto, basta con desarrollar la expresin anterior y hallar la magnitud delvector transformado, de tal manera que se agrupen los trminos adecuados.

|A | = |(Rxx Ax + Rxy Ay + Rxz Az )x + ( Ryx Ax + Ryy Ay + Ryz Az )y+ ( Rzx Ax + Rzy Ay + Rzz Az )z |

= R2xx A2x + R

2xy A

2y + R

2xz A

2z + 2 Rxx Rxy Ax Ay + 2 Rxx Rxz Ax Az + 2 Rxy Rxz Ay Az

+ R2yx A2x + R

2yy A

2y + R

2yz A

2z + 2 Ryx Ryy Ax Ay + 2 Ryx Ryz Ax Az + 2 Ryy Ryz Ay Az

+ R2zx A2x + R

2zy A

2y + R

2zz A

2z + 2 Rzx Rzy Ax Ay + 2 Rzx Rzz Ax Az + 2 Rzy Rzz Ay Az

= [( R 2xx + R2yx + R2zx )A2x + ( R 2xy + R2yy + R2zy )A2y + ( R 2xz + R2yz + R2zz )A2z ]+ [( Rxx Rxy + Ryx Ryy + Rzx Rzy )2Ax Ay + ( Rxx Rxz + Ryx Ryz + Rzx Rzz )2Ax Az+ ( Rxy Rxz + Ryy Ryz + Rzy Rzz )2Ay Az ]

Obsrvese que en la anterior expresin todos los trminos tienen la forma (Rxi Rxj + Ryi Ryj +Rzi Rzj )Ai Aj . Para que se cumpla la condicin deseada, se puede notar que aquellos trminos quese encuentran en los primeros corchetes deben ser 1, mientras los que se encuentran en los segun-dos deben ser 0. Adems, se puede observar que la diferencia entre ambos grupos de corchetes es

3


4/21

que en el primer caso i = j y en el segundo caso i = j , con lo que se puede concluir

- Para i = j 3

k =1Rki Rkj = 1 ,

- Para i = j3

k =1Rki Rkj = 0

donde k igual a 1,2 o 3 hace referencia a las variables x, y o z, respectivamente.

III. Gradiente

Tmese de ahora en adelante como el vector separacin entre dos puntos (x , y , z ) y (x,y,z )y a como la magnitud de este vector. As mismo, entindase que la variable x i hace referenciaa las variables x, y o z, dependiendo de si i es igual a 1, 2 o 3 (en el mismo orden). Entindasede manera anloga para la variable x i .

Problema 13A continuacin se demostrarn distintas igualdades relacionadas con el gradiente.a.

2 =3

i =1(x i x i )

2

2

x i= 2( x i x i )

( 2 ) =3

i =12(x i x i )x i = 2

b.

1=

3

i=1(x i x i )

2

1 / 2

(1/ )x i

= 12

3

i =1(x i x i )

2

3 / 2

(2(xi x i )) = x i x i

3

1

=3

i =1

xi

xi3 x i = 3 =

2

4


5/21

c.

n = 3

i=1(x i x i )

2

n/ 2

n

x i=

n2

3

i=1(x i x i )

2

n/ 2 1

(2(x i x i )) = n n 2 (x i x i )

( n ) =3

i =1n n 2 (x i x i )x i = n

n 2 = n n 1 = d n

d

Problema 14Se quiere probar que al aplicar el gradiente expresado en otro sistema coordenado (uno que

ha sido rotado en dos ejes con respecto al origen del sistema (x,y,z )), se consigue un vector cuyascomponentes se relacionan con las del gradiente en las coordenadas estndar de la misma formaque lo hace un vector expresado en el nuevo sistema coordenado consigo mismo antes de serrotado, esto es, se quiere probar que la matriz de transformacin del gradiente al nuevo sistemacoordenado es el mismo que en la frmula II.1.

Por la regla de la cadena, se tiene que para una funcin f dependiente de dos variables de laforma x i :

(f (x i , x j )/x i ) = ( f/x i )(x i /x i ) + ( f/x j )(x j /x i )

Como se puente notar, para determinar las derivadas parciales en trminos de las anteriores, esnecesario expresar las antiguas variables en trminos de las nuevas para as poder determinar lostrminos de la forma (x k /x i ).

La matriz de la frmula II.1 es aquella que genera la transformacin de las antiguas coorde-nadas a las nuevas, de tal forma que si se quiere hallar la relacin contraria, slo basta con hallarla matriz inversa. Como se trata de una matriz 2 2, se tiene que

a bc d

1

= 1

ad bc d b c a

Aplicado a este caso

cos sin sin cos

1

= 1

cos2 ( sin2 ) cos sin ( sin ) cos =

cos sin sin cos

Se puede concluir que

xix j

= cos sin sin cos xix j

(III.2)

x ix i

= cos ; x i

x j= sin ;

x jx i

= sin ; x j

x j= cos (III.3)

Reemplazando en la frmula de la regla de la cadena descrita anteriormente se obtiene elresultado deseado.

f (x i , x j )x i

=f x i

x ix i

+ f x j

x jx i

=f x i

cos + f x j

sin

5


6/21

f (x i , x j )x j

=f x i

x ix j

+ f x j

x jx j

= f x i

sin + f x j

cos

Se puede notar que el gradiente, que es el vector cuyas componentes son las derivadas parcialesde una funcin, cumple con la misma estructura de transformacin que la rotacin de un vector,dado que al obtener la matriz de las anteriores dos ecuaciones se obtiene la misma matriz que lade la frmula II.1.

IV. Divergencia

Problema 16A continuacin se muestra un bosquejo (en dos dimensiones) de la funcin

v = rr 2

donde r se toma como el vector de posicin: r = 3i =1 xi x i .

Esta grca fue generada con el programa Wolfram Mathematica 10, por medio del cdigoVectorPlot[{x/Power[x 2 + y2 + 10, 1.5], y/Power[x 2 + y2 + 10, 1.5]}, {x, -10, 10},{y, -10, 10}] . Se puede ver que hay un +10 adcional en la frmula de distancia. Esto fue ne-cesario debido a que cuando se evala la funcin en valores muy cercanos al origen, la magnitudde estos vectores es demasiado grande en comparacin con el resto.

Ahora se hallar la divergencia de esta funcin vectorial:vi =

xir 3

v ix i

= 1r 3

x ir 6

(3r 2 ) 12r

(2x i ) = r 2 3x2i

r 5

v =3

i =1

r 2 3x2ir 5

= 3r 2 3r 2

r 5 = 0

6


7/21

Este resultado es antiintuitivo, dado que es claro cmo los vectores estn saliendo radialmentedel origen. Esto se puede explicar de manera burda analizando la vecindad de un punto cualquieradel espacioR 3 , exceptuando el origen. Intuitivamente se puede decir que la divergencia da cuentade las contribuciones positivas y negativas de los vectores que salen y entran, en relacin con elrea de la vecindad del punto. De tal manera que aquellas contribuciones negativas son de mayormagnitud, por lo que se encuentran ms cerca del origen y la magnitud de la funcin depende demanera inversa del cuadrado de la distancia al origen; mientras que la cantidad de contribucionespositivas es mayor, dado que mayor parte del rea de la vecindad se encuentra con vectores quesalen de ella y el rea precisamente es dependiente del cuadrado de la distancia al origen. Se puedenotar que al tener ambas contribuciones en cuenta, ambas proporcionalidades de alguna manerase compensan para que la contribucin nal sea 0. Esta explicacin utiliza una idea primitiva delujo y del teorema de Gauss, que dan cuenta de esto mismo por medio de integrales de superciey de volumen.

Sin embargo, cabe resaltar que la divergencia hallada y la explicacin dada no hacen referenciaal punto del origen, porque en este hay una discontinuidad. Todas las lneas de campo se generanen este y dndole caso a nuestra intuicin, efectivamente la divergencia en este punto no es cero,sino innito. Un tipo de innito especial que se modela con la funcin delta.

Problema 17Se quiere probar que, al igual que como pasa con un escalar, expresar la divergencia de una

funcin v en trminos de un sistema de coordenadas que se encuentra rotado en dos ejes, conrespecto al origen del sistema de coordenadas inicial, no genera ningn cambio en el valor nalde esta. Con esto se quiere decir que la divergencia es invariante ante las transformaciones derotacin, porque es una funcin escalar.

Sea v = v (x i , x j ). Entonces se quiere probar que v = v . Para esto se utilizar la reglade la cadena, las relacin de transformacin por rotacin de II.1 y las relaciones de derivadasparciales encontradas en III.3.

v = vx ix i

+ vx jx j

= vx ix i

x ix i

+ vx ix j

x jx i

+ vx jx i

x ix j

+ vx jx j

x jx j

= (vx i cos + vx j sin )

x ix ix i

+ (vx i cos + vx j sin )

x jx jx i

+ ( vx i sin + vx j cos )

x ix ix j

+ ( vx i sin + vx j cos )

x jx jx j

= vx i

x icos2 +

vx jx i

sin cos + vx jx j

sin cos + vx jx j

sin2

+ vx ix i

sin2 vx jx i

sin cos vx ix j

sin cos + vx jx j

cos2

=vx ix i +

vx jx j (cos

2

+ sin2

) = vx i

x i + vx jx j = v

V. Identidades para productos vectoriales

Problema 20A continuacin se probarn tres identidades, utilizando las propiedades conocidas de las deri-

vadas parciales, el producto escalar y el producto vectorial:

7


8/21

(i)

(fg ) =3

i =1

(fg )x i

=3

i=1f g

x i+ g f

x i=

3

i =1f g

x i+

3

i =1g f

x i= f g + g f

(iv)

(A B ) = [(Ay Bz Az By )x + ( Az Bx Ax Bz )y + ( Ax By Ay Bx )z ]

= (Ay Bz Az By )

x +

(Az Bx Ax Bz )y

+ (Ax By Ay Bx )

z

= BzA yx

+ AyB zx

ByA zx

AzB yx

+ BxA zy

+ AzB xy

BzA xy

AxB zy

+ ByA xz

+ AxB yz

BxA yz

AyB xz

= Bx Az

y Ay

z+ By A

x

z Az

x+ Bz A

y

x Ax

y

+ AxB yz

Bz

y+ Ay

B zx

Bx

z+ Az

B xy

By

x

= B A zy

Ay

zx +

A xz

Az

xy +

A yx

Ax

yz

A B zy

By

zx +

B xz

Bz

xy +

B yx

Bx

yz

= B ( A ) A ( B )

(v)

(f A ) = (fA z )

y

(fA y )z

x + (fA x )

z

(fA z )x

y + (fA y )

x

(fA x )y

z

= f Az

y + Az

f y

f Ay

z Ay

f z

x + f Ax

z + Ax

f z

f Az

x Az

f x

y

+ f Ay

x + Ay

f x

f Ax

y Ax

f y

z

= f A zy

Ay

zx +

A xz

Az

xy +

A yx

Ax

yz

Ayf z

Azf y

x + Azf x

Axf z

y + Axf y

Ayf x

z

= f ( A ) A ( f )

VI. Segundas derivadas

Para los siguientes dos puntos se asumir que se trabaja con funciones escalares o vectorialesque cumplen con las condiciones del teorema de Schwarz, esto es, que todas sus segundas derivadasparciales son continuas y por lo tanto que derivar con respecto a una variable x i y despus conrespecto a una variable x j es lo mismo que hacerlo en el sentido contrario.

8


9/21

Problema 26

( v ) = 3

i=1

x i

x i l,m,n

vnx m

vmx n

x l =l,m,n

2

vnx l x m

2

vmx lx n

donde l, m y n son todos nmeros distintos entre ellos, que toman inicialmente los valores 1,2 y 3 respectivamente y aumentan de manera circular, esto es, incrementan al valor siguiente ydespus de 3 vuelven a tomar 1.

Ahora, si se tiene en cuenta el teorema de Schwarz se cumple que para cualquier par denmeros (i, j ),

2 T x i x j

= 2 T x j x i

. Esto resulta en que la divergencia del rotacional tiene que ser 0, como se puede observar alexpandir la sumatoria:

( v ) = 2 vzxy

2 vyxz

+ 2 vxyz

2 vzyx

+ 2 vyzx

2 vxzy

= 2 vzxy

2 vzyx

+ 2 vxyz

2 vxzy

+ 2 vyzx

2 vyxz

= 0

Ejemplo:

v a = x2 x + 3 xz 2 y 2xz z

v a = (0 6xz )x + (0 2z)y + (3 z2 0)z ( v a ) = 6z + 6 z = 0

Problema 27

(T ) = 3

i =1

x i

x i 3

j =1

T x j

x j =l,m,n

2 T x m x n

2 T x n x m

x l

donde se toma la misma notacin para l, m y n que en el anterior problema (Problema 26 .).As mismo, si se tiene en cuenta el teorema de Schwarz se cumple que la diferencia en el

parntesis de la anterior sumatoria siempre es 0, con lo que se puede concluir que el rotacionaldel gradiente de una funcin escalar T es 0.

(T ) =l,m,n

2 T x m x n

2 T x m x n

x l = 0

Ejemplo:

f (x,y,z ) = x2 y3 z4

f = 2xy 3 z4 x + 3 x2 y2 z4 y + 4 x2 y3 z3 z

( f ) = ( f )z

y

( f )yz

x + ( f )x

z

( f )zx

y + ( f )y

x

( f )xy

z

= (3y2 )(4x2 z3 ) (4z3 )(3x2 y2 ) x + (4z3 )(2xy 3 ) (2x)(4y3 z3 ) y

+ (2x)(3y2 z4 ) (3y2 )(2xz 4 ) z = 0

9


10/21

VII. Integracin por partes

Problema 35.aSe quiere probar que

S f ( A ) da = S [A ( f )] da + P f A dlPara esto se tendr en cuenta el teorema de Stokes y la identidad (v) demostrada en el Problema20 : (f A ) = f ( A ) A ( f ).

S f ( A ) da = S [A ( f ) + (f A )] da = S [A ( f )] da + S [ (f A )] da=

S

[A ( f )] da +

P

f A dl

Problema 35.bSe quiere probar que

V B ( A )d = V A ( B )d + S (A B ) daPara esto se tendr en cuenta el teorema de Gauss y la identidad (iv) demostrada en el Problema20 : (A B ) = B ( A ) A ( B ).

V B ( A )d = V [A ( B ) + (A B )]d = V A ( B )d + V (A B )d = V A ( B )d + S (A B ) da

VIII. Coordenadas esfricas polares

Problema 37Se quiere determinar la expresin que relaciona los vectores unitarios que conforman las coor-

denadas esfricas polares con los vectores unitarios que conforman las coordenadas cartesianasrectangulares. Para esto, hay que preguntarse sobre qu condiciones debe cumplir un vector uni-tario que sirva como vector de la base cannica de un sistema de coordenadas. En primer lugar,como se est trabajando enR 3 , deben haber tres vectores (enR n deben ser n) que sean ortonor-males , es decir, de magnitud 1 y ortogonales entre ellos. En segundo lugar, la direccin de estosvectores debe apuntar nicamente en la direccin en que la coordenada asociada a estos cambia,es decir, si un vector cambiara en la misma direccin que la del vector unitario, nicamente de-bera aumentar la componente del vector asociada a este vector unitario. Con estas condiciones,es fcil concluir que la denicin de un vector unitario debe ser, indistintamente del sistema decoordenadas:

u Au

Au

1

(VIII.4)

10


11/21

donde u es una coordenada del sistema, u es el vector unitario correspondiente y A es unvector cualquiera denido en el mismo sistema. Analizando la denicin se observa que el primertrmino impone la restriccin de direccionalidad deseada, mientras que el segundo, que es esinverso de la magnitud del primero, impone la restriccin de magnitud unitaria.

Considrense ahora la relacin entre coordenadas cartesianas y coordenadas esfricas:

x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos

Debido a que la denicin de vector unitario se debe mantener para todos los vectores, sepueden hallar a partir de operar cualquier vector. En este caso, se escoger el vector de posicinr = xx + yy + zz = r r .

- Vector unitario radial

rr

= (x x + yy + zz )

r = sin cos x + sin sin y + cos z

rr = (sin

2 cos2 + sin 2 sin2 + cos 2 )1 / 2 = 1

r = rr

rr

1

= sin cos x + sin sin y + cos z

- Vector unitario polar

r

= (x x + yy + zz )

= r cos cos x + r cos sin y r sin z

r

= ( r 2 cos2 cos2 + r 2 cos2 sin2 + r 2 cos2 )1 / 2 = r

= r

r

1

= cos cos x + cos sin y sin z

- Vector unitario azimutal

r

= (x x + yy + zz )

= r sin sin x + r sin cos y

r

= ( r 2 sin2 sin2 + r 2 sin2 cos2 )1 / 2 = r sin

= r

r

1

= sin x + cos y

Se puede comprobar que efectivamente los vectores son ortogonales entre ellos al realizarproducto punto entre ellos, que son unitarios al realizar producto punto consigo mismos y que

cumplen con la regla de la mano derecha al realizar el producto cruz.-Producto punto

r = (sin cos )( sin ) + (sin sin )(cos ) = 0

= (cos cos )( sin ) + (cos sin )(cos ) = 0

= ( sin )2 + (cos )2 = 1

11


12/21

-Producto cruz

r = ( cos cos )x (cos sin )y + (sin cos2

+ sin sin2

)z= (cos cos x + cos sin y sin z ) =

= (sin cos )x + (sin sin )y + (cos cos2 + cos sin2 )z= sin cos x + sin sin y + cos z = r

= ( sin cos + cos sin )z = 0

Por ltimo, se determinar la relacin inversa de la hallada, es decir, se buscar la forma deexpresar los vectores unitarios del sistema cartesiano en trminos de los del sistema polar. Sinembargo, en lugar de utilizar la denicin, que sera problemtico dado que los vectores unitariosesfricos no se comportan como constantes al derivar. En cambio, se utilizarn las relaciones yaencontradas.

En primer lugar, recurdense las relaciones halladas y numrense para hacer ms fcil elprocedimiento:

r = sin cos x + sin sin y + cos z (VIII.5) = cos cos x + cos sin y sin z (VIII.6) = sin x + cos y (VIII.7)

Ahora, smese el producto de la ecuacin (VIII.5) con sin y el de la ecuacin (VIII.6) concos :

r sin + cos = sin 2 cos x + sin 2 sin y + sin cos z

+ cos 2 cos x + cos 2 sin y sin cos z= cos x + sin y (VIII.8)

Para hallar el vector unitario correspondiente a la coordenada x, smese el producto de laecuacin (VIII.8) con cos y el de la ecuacin (VIII.7) con sin :

r sin cos + cos cos sin = cos 2 x + cos sin y + sin 2 x cos sin y = x

Para hallar el vector unitario correspondiente a la coordenada y, smese el producto de laecuacin (VIII.8) con sin y el de la ecuacin (VIII.7) con cos :

r sin sin + cos sin + cos = cos sin x + sin 2 y cos sin x + cos 2 y = y

Finalmente, para hallar el vector unitario correspondiente a la coordenada z, smese el pro-ducto de la ecuacin (VIII.5) con cos y el de la ecuacin (VIII.6) con sin :

r cos sin = cos sin cos x + cos sin sin y + cos 2 z

cos sin cos x cos sin sin y + sin 2 z = z

Problema 38.aSupngase una esfera de radio R centrada en el origen. Se quiere probar el teorema de la

divergencia para esta gura. Para esto, primero se hallar el ujo de la funcin v = r 2 r sobre lasupercie de la esfera y despus la divergencia de la misma funcin en el volumen.

12


13/21

-Flujo:

S v da = S r2 r r 2 sin ddr = S r

4 sin dd

= R4 2

0d

0sin d = 4 R 4

-Integral de volumen:

V ( v ) d = R

0 2

0

0 r 2 r r 2 sin dddr =

R

0 2

0

0

1r 2

r

(r 4 ) r r 2 sin dddr

= R

0

ddr

(r 4 )dr 2

0d

0sin d = 4 R 4

Como se puede notar, ambas expresiones son equivalentes.

Problema 38.bSupngase la misma esfera del anterior literal. De nuevo, se quiere probar el teorema de la

divergencia para esta gura. La nica diferencia es que ahora la funcin a evaluar es v = (1 /r 2 ) r .

-Flujo:

S v da = S 1r 2 r r 2 sin ddr = S sin dd=

2

0d

0sin d = 4

-Integral de volumen:

V ( v ) d = R

0 2

0

0

1r 2

r r 2 sin dddr

= R

0 2

0

0

1r 2

r

(1) r r 2 sin dddr = 0

Como se puede notar, en este caso las dos expresiones son distintas. El problema se da porquela denicin de la divergencia en coordenadas esfricas polares divide sobre r, lo que es vlidopara todo punto excepto en el origen. Esto mismo sucedi en el Problema 16 , en el que se hallque la divergencia de esta funcin es 0 (exceptuando el origen).

El valor real debe ser 4 , dado que el ujo es una integral de supercie que no tiene la necesidadde evaluar todos los puntos.

IX. Coordenadas cilndricas

Problema 41En este problema se busca encontrar la relacin que hay entre los vectores unitarios de sistema

de coordenadas cilndricas y los del sistema de coordenadas cartesianas. Para esto, se tendr encuenta la frmula explicada en el Problema 37 (VIII.4) y la relacin existente entre las variablesde un sistema con el otro:

x = s cos , y = s sin , z = z

13


14/21

- Vector unitario radial

rs =

(x x + yy + zz )s = cos x + sin y

rs

= (cos 2 + sin 2 )1 / 2 = 1

s = rs

rs

1

= cos x + sin y

- Vector unitario zEvidentemente este vector unitario es el mismo para los dos sistemas.

- Vector unitario azimutal

r

=

(x x + yy + zz )

= s sin x + s cos y

r

= ( s2 sin2 + s2 cos2 )1 / 2 = s

= r

r

1

= sin x + cos y

Como se puede notar, los vectores unitarios radial y azimutal estn relacionados con losvectores unitarios x y y por la misma matriz de transformacin de una rotacin en dos ejes(frmula II.1). De esta forma, para encontrar la relacin contraria, es decir, la expresin de losvectores unitarios cartesianos en trminos de los vectores unitarios cilndricos, basta con utilizarla matriz inversa (III.2) hallada en en Problema 14 .

xy =

cos sin sin cos

s

x = cos s sin y = sin s + cos z = z

X. La funcin Delta de Dirac unidimensional

Se calcularn diferentes integrales relacionadas con el Delta de Dirac:

Problema 43.a

6

2(3x2 2x 1) (x 3)dx = 3(3) 2 2(3) 1 = 20

Problema 43.b

5

0cos x (x )dx = cos = 1

14


15/21

Problema 43.c

3

0x3 (x + 1) dx = 0

Problema 43.d

ln(x + 3) (x + 2) dx = ln(1) = 0

En las siguientes integrales se utilizar la propiedad del Delta de Dirac de que (kx) = 1| k | (x).

Problema 44.a

2

2(2x + 3) (3x)dx =

13

2

2(2x + 3) (x)dx =

13

(3) = 1

Problema 44.b

2

0(x3 + 3 x + 2) (1 x)dx =

2

0(x3 + 3 x + 2) ( (x 1))dx

= 2

0(x3 + 3 x + 2) (x 1)dx = 1 3 + 3(1) + 2 = 6

Problema 44.c

1

19x2 (3x + 1) dx =

1

19x2 (3(x + 1 / 3))dx

= 13

1

19x2 (x + 1 / 3)dx =

13

(9(13

)2 ) = 13

Problema 44.d

a

(x b)dx =

0, si b > a1, si b a

Problema 45.aSe quiere probar que x ddx ( (x)) = (x). Para esto se utilizar la integracin por partes.

f (x)x

ddx

( (x))dx = f (x)x (x)|

(f (x)x + f (x)) (x)dx

= f (0)(0) (x)| (f (0)(0) + f (0)) = f (0) =

f (x)( (x))dx

Se dice que una funcin Delta de Dirac es equivalente a otra cuando da el mismo resultadointegrada junto con una funcin de prueba f (x). Se puede ver que este es el caso de x ddx ( (x)) yde (x).

Problema 45.bSea (x) la funcin escaln unitario. Se quiere probar que su derivada es el Delta de Dirac por

medio de la integracin por partes.

15


16/21

f (x)ddx dx = f (x)(x)|

f (x)(x)dx = lmx f (x)

0

df (x)dx dx

= lmx

f (x) lmx

f (x) f (0) = f (0) =

f (x) (x)dx

Por el mismo criterio que en el problema anterior (Problema 45.a ), se puede concluir queefectivamente la derivada de la funcin escaln es el Delta de Dirac.

XI. Problemas adicionales

De aqu en adelante se asumir un vector c, que es un vector constante cualquiera. Estoconlleva a que tanto su divergencia como su rotacional sean cero.

Problema 60.aSe probar que V (T )d = S T da . Para esto se utilizar la propiedad de la divergencia deque (f A ) = f ( A ) + A ( f ) y el teorema de la divergencia.Sea un vector v = T c . Entonces se tiene que por la igualdad recin mencionada

V ( v )d = V (T c + c T )d = c V T d donde se utiliz que c = 0 , como ya se explic. Por el otro lado, debido al teorema de la

divergencia

V ( v )d =

S T c a = c

S T a

Puesto que estas dos expresiones deben ser iguales para cualquier vector c, se concluye que

V T d = S T aProblema 60.bEn este caso, se quiere probar que V ( v )d = S v da . Para lograr esto se utilizarel teorema de la divergencia y la propiedad (iv) demostrada en el Problema 20 : (A B ) =

B ( A ) A ( B ).Por la propiedad (iv)

V (v c )d = V [c ( v ) v ( c )]d = c V ( v )d Por el teorema de la divergencia, la propiedad anticonmutativa del producto vectorial y por

la propiedad del producto escalar de que A (B C ) = C (A B )

V (v c )d = S (v c ) da = S c (da v ) = c S v da16


17/21

Al igual que en el literal anterior, la igualdad de las expresiones no puede depender de c, conlo que se concluye que

V ( v )d = S v daProblema 60.c: Identidad de GreenSe quiere probar que V [T

2 U + (T ) (U )]d = S (T U ) da . Esto se puede hacer pormedio del teorema de la divergencia, la misma propiedad de la divergencia utilizada en el literal.a , la denicin del Laplaciano ( 2 f = f ) y la propiedad de conmutatividad del productoescalar.

Sea el vector v = T U y aplquese sobre este el teorema de la divergencia

S v

da

= V (v

)d

S (T U ) da = V [T ( U ) + ( U ) (T )]d = V [T 2 U + (T ) (U )]d

Problema 60.d: Teorema de GreenEl teorema de Green ( V [T

2 U U 2 T ]d = S (T U U T ) da ) se puede demostrarfcilmente al intercambiar T por U en el teorema del anterior literal y despus restar esta igualdada la original. Este teorema se basa en las propiedades conmutativa y distributiva del productoescalar y en la propiedad aditiva de las integrales como se ver a continuacin.

S (T U ) da = V [T 2 U + (T ) (U )]d

S (U T ) da = V [U 2 T + (U ) (T )]d S (T U ) da S (U T ) da = V [T 2 U + (T ) (U )]d V [U 2 T + (U ) (T )]d

S (T U U T ) da = V [T 2 U + (T ) (U ) U 2 T (U ) (T )]d S (T U U T ) da = V [T 2 U U 2 T ]d

Problema 60.e

Finalmente, se quiere probar que S T da = P T dl. Para esto se utilizar el teoremade Stokes, la misma propiedad del producto escalar utilizada en el literal .b y la propiedad delrotacional de que: (f A ) = f ( A ) A ( f ).Asmase de nuevo que hay un vector v = T c y aplquese en este el teorema de Stokes.

17


18/21

P v dl = S ( v ) da P (cT ) dl = S (cT ) dac P T dl = S [T ( c ) c (T )] dac P T dl = S (c T ) da

= S c (T da )= c S T da

P T dl = S T daPara el siguiente punto se tendr como denicin del vector rea para una supercie en R 3 :

a S da .Problema 61.aSe hallar el vector rea de un hemisferio esfrico de radio R. Para este hay que tener en

cuenta que al integrar un vector unitario, este debe ser constante, de lo contrario, debe expresarseen trminos de otro que s lo sea. Para este caso, el vector r no es constante y se debe trabajarcon su forma cartesiana.

a = 2

0 / 2

0R 2 sin ddr =

2

0 / 2

0R 2 sin dd(sin cos x + sin sin y + cos z )

= R2 2

0cos d

/ 2

0sin2 d x +

2

0sin d

/ 2

0sin2 d y

+ 2

0d

/ 2

0cos sin d z

Debido a la periodicidad de cos y sin en 2 , los trminos relacionados con las coordenadasx y y se anulan.

a = R2

2

0 d / 2

0 cos sin d z = 2R2

z 1

0 sin d(sin ) = 2 R2

z12u

21

0 = R2

z

Problema 61.bSe busca probar que el vector de rea es 0 para cualquier supercie cerrada. Esto es fcil de

demostrar partiendo de la propiedad demostrada en el Problema 60.a . Asmase T = 1, entoncessu gradiente es 0.

18


19/21

S T a = V (T )d S a = V ( 1)d a = 0

Problema 61.cEn el caso de dos superciesS 1 y S 2 no cerradas, que comparten su borde y su direccionalidad,

se puede decir que su vector de rea es el mismo. Esto es fcil de demostrar al utilizar el resultadodel literal anterior; para esto, jntense por el borde las dos supercies, de tal manera que seobtenga una supercie cerrada. Se sabe que el vector rea resultante tiene que ser igual a 0, peroesto slo es posible si el aporte de ambas supercies se elimina.

0 = S 1 + S 2 da = S 1 da1 + S 2 da

2 = a 1 + a 2

a 1 = a 2

Si bien parece que en principio se demostr que los vectores no son el mismo sino el vectorcontrario del otro, hay que jarse en la sutileza que reside en la formacin de la supercie cerrada.En una supercie cerrada, el vector de supercie debe mantener cierta direccionalidad, bien seasiempre apuntando hacia afuera o hacia adentro de la misma, de tal manera que mientras elvector de la supercie S 1 se puede escoger apuntando hacia la parte positiva del eje z, el otro lotendr que hacer hacia la parte negativa; y es precisamente a este vector que hace referencia ela 2 . Con lo que al escoger el vector de rea de S 2 hacia la parte positiva del eje z (puesto quecomporta la direccionalidad con la otra supercie), el signo de la relacin cambia y se compruebaque efectivamente son el mismo vector.

Problema 61.dSe quiere demostrar la relacin a = 12 r dl. Para esto, supngase una supercie S , cuyoborde est descrito por una funcin de posicin r . Se puede hacer la construccin de una supercie

cnica que una cada uno de los puntos del borde de la supercie con el origen. Esta superciese puede dividir en pequeos tringulos con lados r , dl y r (gura XI). Como se quiere hallar elvector de la supercie original, es evidente que este tiene que ser igual al de la nueva supercie,por el teorema demostrado en el anterior literal. A su vez, este vector equivale a la suma delos diferenciales de rea de cada uno de los tringulos en que se encuentra dividida la superciecnica. Como se puede observar, este diferencial de rea es igual a 12 r dl, de tal forma que alrealizar la sumatoria de cada innitesimal de rea se obtiene una integral sobre el borde de lasupercie: 12 r dl.

Figura 1: rea innitesimal da que comprende la supercie cnica imaginaria

19


20/21

Problema 61.eAhora se quiere probar que

(c r )dl = a c . Para cumplir la demostracin se har uso de la

igualdad demostrada en el Problema 60.e .Sea T una funcin escalara tal que T = c r . Como consecuencia de la igualdad demostrada ypor la propiedad que cumple el gradiente de un producto punto: (A B ) = A ( B ) + B ( A ) + ( A )B ) + ( B )A ).

P T dl = S T da P (c r )dl = S (c r ) da = S [c ( r ) + r ( c ) + ( c )r ) + ( r )c )] da

= S [c ( r ) + ( c )r )] daEl rotacional de

r evidentemente es cero, dado que es una funcin que siempre diverge desdeel origen.

P (c r )dl = S (c )r ) da = S cx x + cy y + cz z (x x + yy + zz ) da= S (cx x + cy y + cz z ) da = S c da = c S da = c a = a c

Problema 62.aSe cuenta con la funcin v = rr . Se quiere hallar la divergencia de esta funcin.

v = 1r 2

r

r 21r

= 1r 2

drdr

= 1r 2

Se puede comprobar si este resultado realmente va acompaado de algn tipo de funcin Deltade Dirac con el teorema de la divergencia, utilizando una esfera de radio R y centrada en el origencomo volumen.

-Flujo sobre la supercie

S v da = 2

0

0

rR

R 2 sin ddr = 4R

-Integral de volumen

V ( v )d =int R0

2

0

0

1

r2 r

2 sin dddr = 4R

Como los resultados son iguales, se puede concluir que en este caso no sucede nada que llevea pensar en la existencia de algn Delta de Dirac.

Es fcil hallar el comportamiento de una situacin generalizada para la divergencia cuandov = r n r , con n = 2:

v = 1r 2

r

(r 2 )( r n ) = 1r 2

dr n +2

dr = ( n + 2)

1r 2

(r n +1 ) = ( n + 2) r n 1

20


21/21

En cambio, para n = 2 se tiene que la divergencia es igual a 4 3 (r ).

Problema 62.bSe quiere determinar el rotacional del vector generalizado v que se dene en el anterior literal.

Como ya se mencion en el Problema 61.e , este debe ser 0, porque la nica componente esdivergente; sin embargo, en este caso se demostrar a partir de la denicin de rotacional encoordenadas esfricas:

v = 1r sin

(sin v ) v

r + 1r

1sin

v r

r

(rv ) + 1r

r

(rv ) vr

= 1r sin

(0) (0)

r +

1r

1sin

r n

r

(0) + 1r

r

(0) r n

= 0

Para concluir, se probar este resultado con la igualdad hallada en el Problema 60.b :

V (

v)d =

S v

da.El lado izquierdo de la igualdad es evidentemente 0, dado que el rotacional es cero. En cambio,

el otro lado es cero debido a que se est tomando el rotacional entre v y da , que son ambos radiales:v da = f r gr = f g sin(0) = 0 .

21

Tarea1_Electromagnetismo1

Documents

Transcript of Tarea1_Electromagnetismo1