tarea_2
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Jose Roman Melendez TrujilloComunicaciones I 25/Mayo/2015 1.24) Encontrar el periodo de las siguientes funciones: a) cos nt ⟹ cos n ( t +T )=cos ( nt +nT ) ⟹ nT =2 π ⟹ T= 2 π n b) cos2 πt ⟹ cos2 π ( t +T )=cos ( 2 πt + 2 πT ) ⟹ 2 πT=2 π ⟹ T=1 c) sin ( 2 πt k ) ⟹sin ( 2 π k ( t+T ) ) =sin ( 2 πt k + 2 πT k ) ⟹ 2 πT k = 2 π ⟹ T=k d) sin t +sin t 3 +sin t 5 ⟹ sin ( t+T ) +sin ( t 3 + T 3 ) +sin ( t 5 + T 5 ) ⟹ T=2 π, T 3 =2 π ⟹ T=6 π, T 5 =2 π ⟹T =10 π Minimo común múltiplo: T=30 π e) | sin w o t | ⟹ | sin w o ( t +T ) | = | sin ( w o t+ w o T ) | ⟹ w o =2 π ⟹ w o =2 π ⟹ T= 2 π w o 1.29) Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por: f ( t) = { 1−π <t< 0 00<t < π C n = 1 T ∫ −T 2 −T 2 f ( t ) e −jn w o t dt= 1 T ∫ −T 2 0 e −jnw o t dt = 1 T ( −e −jn w o t jn w o ) | 0 −T 2 = 1 2 jnπ ( e jn π −1 )= 1 2 jn π ( cos nπ +j sin nπ−1) = 2 j f ( t) = ∑ n=− ∞ ∞ C n e jn w o t = ∑ n=−∞ ∞ e j ( nw o + π 2 ) nπ = ∑ n=−∞ ∞ 1 nπ ( −sin nw o t+j cos nw o t ) ⟹ paran impar ⟹ f ( t) = ∑ n=−1 ∞ −2 nπ sin nw o t 1.33) Encontrar la serie de Fourier para la función:
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Jose Roman Melendez Trujillo Comunicaciones I 25/Mayo/2015
1.24) Encontrar el periodo de las siguientes funciones:
a) cos nt⟹ cosn ( t+T )=cos (nt+nT )⟹nT=2π⟹T=2πn
b) cos2 πt⟹ cos2π ( t+T )=cos (2πt+2πT )⟹2πT=2 π⟹T=1
c) sin( 2 πtk )⟹ sin( 2π
k( t+T ))=sin(2πt
k+ 2πTk )⟹ 2πT
k=2π⟹T=k
d) sin t+sin t3+sin t
5⟹ sin (t+T )+sin( t3+ T
3 )+sin( t5 + T5 )⟹
T=2π , T3=2 π⟹T=6 π , T
5=2π⟹T=10π
Minimo común múltiplo: T=30 π
e) |sin wo t|⟹|sinwo ( t+T )|=|sin (wot+woT )|⟹wo=2π⟹wo=2π⟹T=2πwo
1.29) Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:
f ( t )={1−π<t<00 0<t<π
Cn=1T ∫
−T2
−T2
f (t)e− jn wo t dt= 1T ∫
−T2
0
e− jnwo t dt= 1T (−e− jnwo tjnw o )| 0
−T2
= 12 jnπ
(e jn π−1 )= 12 jn π
(cosnπ+ j sin nπ−1 )= 12 jn π
(cosn π−1 )⟹ si nes impar⟹Cn=jn π
f (t )= ∑n=−∞
∞
Cnejnwo t= ∑
n=−∞
∞ ej (nwo+ π2 )nπ
= ∑n=−∞
∞ 1nπ (−sin nwot+ jcosn wo t )⟹ paranimpar⟹
f ( t )= ∑n=−1
∞ −2nπ
sin nwo t
1.33) Encontrar la serie de Fourier para la función:
f (t )=|A sinwo t|
Jose Roman Melendez Trujillo Comunicaciones I 25/Mayo/2015
bn=4T ∫0
T2
f ( t ) sin nw0t dt=4T∫0
T2
|A sin nwot|sin nwot dt=4 AT ∫
0
T2
(sin nw ot )2dt=4 A
T (12∫0
T2
dt−∫0
T2
cos2nwo t dt)=4 AT ( t2−
sin2nwo t2n wo )|T2
0=A−2 A sin 2nπ
nπ=A (1− sin 2nπ
n π )
