Tarea3 07 sol+generadorsincronolineal

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

Universidad Politécnica de Valencia

INGENIERÍA DE CONTROL I 2007-8

__________________________________________________________________________________________________ P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail [email protected] J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail [email protected]

Tarea 3. Control de un generador sincrónico Considerar el siguiente modelo continuo para el generador sincrónico:

( )( )

( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

+−

++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡sEsP

ss

ssssE

s

q

4.015.0

4.005.0

4.006.0

130476

2δ

Además la medida del ángulo δ(t) presenta un retardo de 0.1 seg. Se pide:

a. Obtener la matriz de transferencia discreta, con T = 0.05 seg, que incluya los retardos en la medida del ángulo.

b. Obtener una realización mínima del sistema discreto.

c. Analizar la posibilidad de realizar un desacoplamiento del sistema discreto mediante prealimentación dinámica.

d. Analizar la posibilidad de realizar un desacoplamiento mediante realimentación del estado del sistema discreto.

e. Diseñar un observador de orden reducido y de tiempo mínimo.

f. Implementar un control integral por realimentación del estado observado que sea lo más rápido posible.

g. Diseñar un control óptimo con el siguiente índice de costes:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

0 2001

10010

k

TT kukukykyJ

Solución.

a. Obtener la matriz de transferencia discreta, con T = 0.05 seg, que incluya los retardos en la medida del ángulo.

Los retardos, si son múltiplos del periodo de muestreo, se reducen a multiplicar por el operador 1−z . Por lo tanto, discretizaremos la matriz de transferencia, sin retardo, y después aplicaremos un factor 22/ −⇒= zTτ . Utilizaremos Matlab®:

1. Definimos )(sG

g11=tf(76,[1 4 130]); g12=tf(-0.06,[1 0.4]); g21=tf(-0.05,[1 0.4]); g22=tf(0.15,[1 0.4]);

G=[g11,g12;g21,g22]





2. Discretizamos el sistema sin retardo, manteniendo la respuesta a un escalón (“zoh”)

T=0.05; Gz=c2d(G,T,'zoh')

Podriamos haber utilizado cualquier otro procedimiento de discretización, como Euler, bilineal, … Obtendríamos discretizaciones ligeramente distintas, válidas para pequeños periodos de muestreo. En este caso es:

0.08662 z + 0.08098

g11(z)=: ----------------------

z^2 - 1.532 z + 0.8187

-0.002475

g21(z)= ----------

z - 0.9802

-0.00297

g12(z)= ----------

z - 0.9802

0.007425

g22(z)= ----------

z - 0.9802

3. Para incluir el retardo, multiplicamos por el operador ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

100T)0], 0 [1tf(1,

2R .

R2(1,1)= tf(1,[1 0 0],T); R2(1,2)=0;R2(2,1)=0;R2(2,2)=1;

siendo

Grz=R2* Gz,

b. Obtener una realización mínima del sistema discreto.

Pasamos la representación al espacio de estados:

S=ss(Grz);

y obtenemos una realización mínima:

Sm=minreal(S)

Podemos comprobar si la realización es correcta viendo los polos de ambos sistemas:

pole(Grz)

eig(Sm.a)





c. Analizar la posibilidad de realizar un desacoplamiento del sistema discreto mediante prealimentación dinámica.

Para poder hacer un desacoplamiento dinámico debemos anteponer un sistema dinámico cuya matriz de transferencia sea realizable y estable y que, premultiplicada por Grz de una matriz diagonal.

Las dos opciones más usadas son

1. Se premultiplica la matriz inversa de Grz (si existe) por una matriz diagonal F de forma que el producto sea realizable.

D(z)=Grz-1.F(z)

2. Se descompone Grz en una matriz diagonal R post-multiplicada por una matriz polinomial A (cuya inversa siempre es realizable)

D(z)=A-1; Grz(z)=R(z) . A(z)

En ambos casos, como se hace una cancelación de los ceros del sistema inicial, el sistema debe ser de fase mínima.

Resolvemos el tema hallando los ceros de transmisión de S, es decir, los ceros de Grz:

zero(Sm)

zero(Grz)

que están dentro del círculo unidad y el desacoplamiento será posible. El cálculo concreto de las matrices F, R o A, no puede hacerse con Matlab. Ha de utilizarse tratamiento simbólico o, en este caso, hacerlo manualmente.

d. Analizar la posibilidad de realizar un desacoplamiento del sistema discreto mediante realimentación del estado.

Las matrices del sistema de orden mínimo son: Sm: (Am,Bm,Cm,Dm)

Am=Sm.a; Bm=Sm.b;Cm=Sm.c;Dm=Sm.d;

Calcularemos la condición de Gilbert:

CB1=Cm(1,:)*Bm;

CB1= 10-16*[-.4 0], que es prácticamente nulo.

Igual pasa con CAB1= Cm(1,:)*Am*Bm

En cambio,





CA2B1=Cm(1,:)*Am*Am*Bm = [0.0866 -0.003] ≠ 0;

Por otra parte

CB2=Cm(2,:)*Bm= [-0.0025 0.0074] ≠ 0;

Analicemos el rango de la matriz:

J=[CA2B1;CB2];

Como rango de J=2, es de rango completo, el sistema es desacoplable mediante una realimentación Kg del estado y una prealimentación Fg

La matriz Kg Kg=-inv(J)*Ag

Ag1=Cm(1,:)*Am; Ag2=Cm(2,:)*Am;

Ag=[Ag1;Ag2];

Ji=inv(J);

Kg=-Ji*Ag

e. Diseñar un observador de orden reducido y de tiempo mínimo.

Comprobamos que el sistema es observable:

Om=obsv(Am,Cm);

rank(Om)

que es completo (=6), luego es observable.

Tenemos dos salidas y seis estados. Realizaremos una transformación del estado de forma que las dos primeras variables de estado sean las salidas, es decir, con una matriz T, de rengo completo, cuyas primeras filas sean Cm.

El proceso de diseño será el descrito en las notas de clase (ver figura), asignando los cuatro polos del observador de orden reducido, (A22-KoA12), en el origen.





h. Implementar un control integral por realimentación del estado observado que sea lo más rápido posible.

En este caso, tenemos acceso a todo el estado. Ampliaríamos el sistema con sendos integradores del error (diferencia de las dos referencias y las dos salidas):

kkkk

rI

uB

vx

ICA

vx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

00

0

1; [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vx

kku i

y calculamos las matrices K y Ki para asignar los ocho polos próximos al origen.

i. Diseñar un control óptimo con el siguiente índice de costes:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

0 2001

10010

k

TT kukukykyJ

El diseño es directo, utilizando el comando lqry de Matlab.

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