Tarea4 06 sol+suspmag

Departamento de Ingeniera de Sistemas y Automtica

Universidad Politcnica de Valencia

INGENIERA DE CONTROL I 2006-7

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J.V. Roig. Dept. Ingeniera de Sistemas y Automtica. UPV. Ext.: 75768 e-mail [email protected]

Tarea 4. Sistema de suspensin magntica (entrega 11-01-07)

Este sistema de Suspensin Magntica consiste en mantener flotando, en el aire, una pelota de material magntico por medio de un solenoide cuya corriente es controlada a partir de una realimentacin (de tipo ptica) de la posicin de la pelota. Este sistema tiene los ingredientes bsicos de los sistemas de levitacin de masas, usado en giroscopios, acelermetros y trenes de alta velocidad.

Sistema de suspensin magntica

Usando la segunda ley de Newton se puede obtener la siguiente ecuacin de movimiento: ( )iyFgmykym ,++= &&&

donde: - m = 0.01 Kg, es la masa de la pelota, - k = 0.001 Kg/s, es el coeficiente de friccin viscoso, - g = 9.81 m/s2, es la aceleracin de la gravedad, - F(y, i) es la fuerza generada por el solenoide, - i es la corriente elctrica.

La inductancia del solenoide va a depender de la posicin de la pelota y ser modelada como:

( )a

yLLyL+

+=1

01

donde L0 = 0.01, L1 = 0.02 y a = 0.05 son constantes positivas. Puede verificarse fcilmente que el modelo presentado considera que la inductancia es mxima (L0+L1) cuando la pelota est ms cerca del solenoide y decrece a L1 cuando no hay pelota (y = ).

Como la energa almacenada en el campo magntico de la bobina es ( ) ( ) 221

, iyLiyE = , la

fuerza F(y, i) viene dada como:




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( ) 22

0

12,

+

=

=

a

ya

iLyEiyF

Por ltimo, el modelo de la parte del circuito elctrico se consigue usando las leyes de Kirchhoff de tensin, obteniendo:

iRV += & donde:

- V es la tensin aplicada, - R = 10 , es la resistencia del circuito elctrico, - ( ) iyL = es el flujo magntico.

SE PIDE:

1. Modelo en espacio de estados del sistema de suspensin magntica. 2. Determinar el valor de todas las variables para el punto de funcionamiento de

equilibrio determinado por la posicin: y0 = 0.05 m. 3. Modelo linealizado aproximado alrededor del punto de funcionamiento anterior.

Indicar si el punto de funcionamiento es estable o inestable. 4. Diseo del control LQR de la posicin de la bola para el sistema linealizado

aproximado, que minimice el siguiente ndice cuadrtico:

( )

=

+=0

221000t

dtVyJ

5. Linealizar exactamente el sistema mediante una realimentacin del estado. 6. Diseo del control por realimentacin del estado para el sistema linealizado por

realimentacin que site los polos del sistema en -20, -21 y -22. 7. Comparar las respuestas de ambos sistemas tomando distintas referencias y

partiendo de diferentes posiciones iniciales (y0+0.05, y0+0.5, y0+0.8). Comentar los resultados.




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Solucin

1. Modelo en espacio de estados del sistema de suspensin magntica. Tomando los estados como:

=

=

iyy

x

x

x

x &

3

2

1

y la entrada V, se obtiene la siguiente representacin en Espacio de Estados:

( )( )

=

=

=

Vxxxfxxxxfx

xx

,,,

,,

32133

32122

21

&

&

&

Con:

( ) ( )( ) ( ) ( )

+

++=

+

+=

21

2303

13213

21

230

23212

1,,,

2,,

xa

xxaLVxRxL

Vxxxf

xam

xaLgxm

kxxxf

2. Determinar el valor de todas las variables para el punto de funcionamiento de equilibrio determinado por la posicin: y0 = 0.05 m. De la representacin no lineal del apartado anterior, pueden calcularse los valores de

rgimen permanente de la corriente i0 = x30 y de la tensin V0 que son necesarios para mantener la pelota en una posicin de equilibrio deseada y0 = 0.05.

Como estamos en rgimen permanente:

=

=

000

3

2

1

x

x

x

x

&

&

&

&

con lo que se puede obtener que:

( )( )

( ) AaL

xamgixxam

xaLgxm

k 9809.122

00

20100

3201

20300

2 =

+==

+

+=

( ) ( ) VxRVxaxxaLVxR

xL809.1910 03

020

1

02

03000

301

==

+

++=

Este ltimo resultado es lgico dado que en rgimen permanente, el circuito elctrico es puramente resistivo. Tambin puede verse de la ltima expresin, que a medida que la posicin de equilibrio de la pelotita se aleja del ncleo, la corriente, y por lo tanto la tensin de rgimen permanente, necesariamente deben ser mayores (variando linealmente con respecto a y0).




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3. Modelo linealizado aproximado alrededor del punto de funcionamiento anterior. Indicar si el punto de funcionamiento es estable o inestable. En el punto de operacin del sistema (punto de equilibrio), los valores de los estados

son:

=

=

9809.1005.0

0

0

0

03

02

01

iyy

x

x

x

&

Por lo tanto, procederemos a linealizar el modelo no lineal obtenido en el apartado 1, en torno al punto de operacin.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

+

+

=

+

+

=

=

VV

Vxfx

x

Vxfx

x

Vxfx

x

Vxfx

xx

xxxfx

x

xxxfx

x

xxxfx

xx

0

33

03

32

02

31

01

33

303

32122

02

32121

01

32122

21

,,,,

,,,,,,

&

&

&

Donde: ( ) ( )

( )( )

( )( ) 9045.9

,,

1.0,,

2.196,,

201

030

03

3212

02

3212

301

2030

01

3212

=

+

=

==

=

+

=

xam

xaLx

xxxfm

kx

xxxfxam

xaLx

xxxf

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) 401,

4001,

9618.3,

021,

010

3

201

020

0103

3

201

01

030

02

3

301

01

03

020

201

03

02000

301

120

101

3

==

=

+

+=

=

+

=

=

+

+

+=

xLVVxf

xa

xaLRxLx

VxfxaxL

xaLx

VxfxaxLxxaL

xa

xxaLVxRdx

xdLxLx

Vxf

Recordar que: ( )1

01

1

011

1 xaaLL

a

x

LLxL+

+=+

+= , y por tanto: ( ) ( )210

1

1

xa

aLdx

xdL+

=

El modelo en espacio de estados (A, B, C, D) queda de la siguiente forma:




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[ ]

+=

+

=

Vxy

Vxx

00014000

4009618.309045.91.02.196010

&

Los valores propios de la matriz A son: 13.9101, -14.1083 y -399.9017, como tiene un polo positivo se trata de un punto de equilibrio inestable.

4. Diseo del control LQR de la posicin de la bola para el sistema linealizado aproximado, que minimice el siguiente ndice cuadrtico:

( )

=

+=0

221000t

dtVyJ

Para expresar el ndice de forma normalizada, hacemos la siguiente transformacin:

( ) ( ) ( )

=

=

=

+=+=+=000

22 10001000t

TT

t

TTT

t

dtVRVxQxdtVVxCCxdtVyJ

Siendo:

==

000000001000

1000 CCQ T , y 1=R .

Calculamos la matriz de realimentacin del estado que minimiza el ndice, aplicando el comando lqr de MATLAB: >> K = lqr(A, B, Q, R) = [-412.5111, -29.1606, 0.6977] La ley de control ser la siguiente: ( )000 xxKVxKVV ==

5. Linealizar exactamente el sistema mediante una realimentacin del estado. Para linealizar el sistema no lineal:

( )( )

=

=

=

Vxxxfxxxxfx

xx

,,,

,,

32133

32122

21

&

&

&

mediante una realimentacin del estado, aplicamos el siguiente cambio de variables de estado:

( ) ( )21230

23212223

212

11

2,,

xam

xaLgxm

kxxxfx

x

x

+

+====

==

=

&&

&

Con esto conseguimos trasladar la no linealidad a la ltima ecuacin: ( ) ( ) ( ) ( )

33

32122

2

32121

1

321232123

,,,,,,,,

xx

xxxfx

x

xxxfx

x

xxxfdt

xxxdf&&&&

+

+

== Siendo:




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( )( )

( )

( )( )21

30

3

3212

2

3212

31

230

1

3212

,,

,,

,,

xam

xaLx

xxxfm

kx

xxxfxam

xaLx

xxxf

+

=

=

+

=

La 3 ecuacin de estado queda de la siguiente forma:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Vxxxxxx

Vxxxfxam

xaLxxxf

m

kx

xam

xaL

xxam

xaLx

m

kx

xam

xaL

+=

+

+

=

+

+

=

3213213

321321

30321223

1

230

3

321

30213

1

230

3

,,,,

,,,,,

&

&

&&&&

Con:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )121

30

321

230

12

1

30321223

1

230

1

1,,

xLxamxaL

x

xRxa

xxaLxLxam

xaLxxxf

m

kx

xam

xaLx

+

=

+

+

+

=

El sistema transformado:

( ) ( )

+=

=

=

Vxxxxxx 321321332

21

,,,,

&

&

&

se linealiza con:

( ) ( )[ ]uxxxxxxV += 321321 ,,,,1

Quedando el siguiente sistema:

uBA

u

LL +=

+

=

&

&

&

&

100

000100010

3

2

1

3

2

1

6. Diseo del control por realimentacin del estado para el sistema linealizado por realimentacin que site los polos del sistema en -20, -21 y -22. La accin de control que nos permite linealizar el sistema mediante realimentacin del

estado y conseguir a la vez asignar los polos del sistema es la siguiente:

( ) ( )[ ] += KrxxxxxxV 321321 ,,,,1




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La matriz de realimentacin del estado que nos permite fijar los polos en la posicin deseada, la podemos calcular con el comando place de MATLAB: >> K = place(AL, BL, [-20, -21, -22]) = [ 9240, 1322, 63]

7. Comparar las respuestas de ambos sistemas tomando distintas referencias y partiendo de diferentes posiciones iniciales (y0+0.05, y0+0.5, y0+0.8). Comentar los resultados.

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