Tarea4 08 sol+antena (1)

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

Universidad Politécnica de Valencia

INGENIERÍA DE CONTROL I 2008-9

___________________________________________________________________________________________ P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail [email protected] J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail [email protected]

Tarea 4. (entrega 12/01/09) El sistema de posicionamiento de una antena, cuyo modelo viene expresado por:

( ) ( )( ) ( )2.0

4+⋅

==sssV

ssG θ

se controla con un relé que conecta a la entrada ±5 Voltios en función del error. a. Analizar en el plano de fase la respuesta a un cambio en la referencia. b. Se realiza una realimentación de la velocidad para acelerar la convergencia al punto

final (pese a las oscilaciones mantenidas de alta frecuencia). Determinar la ganancia de esta realimentación para que alcance este punto en tiempo mínimo para cambios de ±1 unidad en el ángulo de referencia.

c. Con el fin de reducir la frecuencia de las oscilaciones, en el esquema inicial (sin realimentación de la velocidad), se incluye un retardo en la realimentación del ángulo tal como:

( ) ( )( ) sss

sH m

⋅+==

τθθ

11

Calcular cómo varía la amplitud y frecuencia de las oscilaciones de la posición de la antena en función del retardo τ.





Solución

a. Plano de fase. El esquema de control del sistema de posicionamiento de una antena es el mostrado en la siguiente figura:

Tomamos como variables del vector de estado: [ ]Tωθ

y las ecuaciones de estado:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

=

Vdtddtd

42.0 ωω

ωθ

Con una acción de control no lineal: ( )⎩⎨⎧

<−>+

==0 si 50 si 5

ee

eV φ

Para trasladar el punto de funcionamiento al origen tomaremos como variables de fase el error y su derivada:

ω

θ

−==

−==

dtdex

refex

2

1

Lo que nos proporciona las siguientes ecuaciones de estado:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=−=

=

122

21

42.0 xxdtd

dtdx

xdtdx

φω

El plano de fase queda dividido en dos regiones, dependiendo del signo del error, y en cada región la trayectoria del plano de fase vendrá determina por la pendiente:

( )2

12

1

2 42.0x

xxdxdx

Sφ⋅−−

==

Si integramos esta ecuación para cada región podremos obtener la trayectoria del plano de fase, desde el punto de partida, para cada una de las dos regiones en que se divide el plano de fase. La línea que divide ambas regiones es. 01 == ex :

wu

theta

e 4

(s+0.2)Zero-PoleStep Relay

Plano de fasey/dy

Plano de fasee/de

1s

Integrator

du/dt

Derivative





• Región I (e>0):

( )( )

( )

( )[ ] ( ) ( )( )0202.0021

202.0

542.0

1122

222

012

022

2

2

1

2

1

1

2

2

xxxxx

dxxdxx

xx

dxdx

S

x

x

x

x

−⋅−−=−

−−=

⋅−−==

∫∫

• Región II (e<0): ( )

( )( )

( )

( )[ ] ( ) ( )( )0202.0021

202.0

542.0

1122

222

022

022

2

2

1

2

1

1

2

2

xxxxx

dxxdxx

xx

dxdx

S

x

x

x

x

−⋅+−=−

+−=

−⋅−−==

∫∫

Lo que nos permite comprobar que se trata de trayectorias parabólicas, con la característica de tener una pendiente constante para cada valor de x2.

Región I Región II

Pendiente 2

2 202.0xx

S−−

=2

2 202.0xx

S+−

=

x2=−100 0 −0.4 x2=−20 0.8 −1.2 x2=−10 1.8 −2.2 x2=−5 3.8 −4.2 x2=−1 19.8 −20.2 x2=0 −∞ ∞ x2=1 −20.2 19.8 x2=5 −4.2 3.8 x2=10 −2.2 1.8 x2=20 −1.2 0.8 x2=100 −0.4 0

Si realizamos una simulación, partiendo de posición nula y reposo, y aplicamos una referencia de 1; la trayectoria en el plano de fase parte de 11 == ex y 02 =x , y evoluciona de forma oscilatoria hasta alcanzar la posición de equilibrio en tiempo infinito. En las siguientes gráficas podemos ver la evolución temporal de las señales y del plano de fase, donde observamos como el sistema presenta una oscilación que va reduciendo su amplitud y periodo, hasta alcanzar el error de posición nulo. La acción de control cambia cada vez con mayor frecuencia conforme nos acercamos a la posición final.





-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-6

-4

-2

0

2

4

6

x1 = e

x 2 = d

e/dt

Plano de fase (e/de)

Región IRegión II

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

Pos

ició

n

Ejercicio a

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

0

10

Vel

ocid

ad

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0

5

V

Tiempo (seg)





b. Realimentación de la velocidad. Añadiendo la realimentación de la velocidad, el esquema de control queda de la siguiente forma:

La entrada al relé, en este caso es como si se aplicará un control PD de la siguiente forma:

Tomando como variables de fase el error y su derivada, se obtiene el mismo sistema que en el apartado anterior, pero ahora cambia la entrada del relé:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−=−=

=

2122

21

42.0 Kxxxdtd

dtdx

xdtdx

φω

El plano de fase queda dividido en dos regiones, dependiendo del signo 21 Kxxa += .

Si integramos la ecuación de la pendiente: 1

2

dxdx

S = , para cada región podremos obtener

la trayectoria del plano de fase, desde un punto de partida ( ) ( )( )0,0 21 xx . La línea que divide ambas regiones es. 021 =+ Kxx .

• Región I ( 021 >+ Kxx ): 2

2

1

2 202.0xx

dxdxS −−

==

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )0202.0021

202.0

1122

22

2

022

022

1

1

2

2

xtxtxxtx

dxxdxxtx

x

tx

x

−⋅−−=−

−−= ∫∫

• Región II ( 021 <+ Kxx ): 2

2

1

2 202.0xx

dxdxS +−

==

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )0202.0021

202.0

1122

22

2

022

022

1

1

2

2

xtxtxxtx

dxxdxxtx

x

tx

x

−⋅+−=−

+−= ∫∫

V w

ref

theta

4

(s+0.2)Zero-Pole

StepRelay

-K-

K

1s

Integrator

V wref a

theta

4

(s+0.2)Zero-PoleStep Relay-K-

K

1s

Integratordu/dt

Derivative





Si partimos del sistema en reposo y aplicamos una referencia de +1, el plano de fase empieza en el punto (1, 0), situado en la región I; lo que hace que el sistema evolucione siguiendo la trayectoria de la región I hasta llegar al punto (x1, x2) situado en la línea que separa las dos regiones ( 021 =+ Kxx ). A partir de este punto cambiamos a la región II y el sistema evoluciona siguiendo la trayectoria de la región II hasta que vuelva a encontrarse con la línea que separa las dos regiones, en nuestro caso el punto (0, 0) para que el sistema se detenga. Particularizando las dos ecuaciones de las trayectorias deseadas, obtenemos el sistema de ecuaciones formado por:

1) la trayectoria de la región I del punto (1, 0) al punto (x1, x2)

( ) ( )1202.021

1222 −⋅−−= xxx

2) la trayectoria de la región II del punto (x1, x2) al punto (0, 0)

122 20

21 xx −=−

Despejando x1 en las dos ecuaciones e igualando se obtiene:

( )( ) ( )

0160016804.0

404.0404.040

401

202.02

222

32

2222

22

22

2

22

1

=−−+

−−=−−

=+−−

=

xxx

xxxx

xxxx

Cuyas soluciones son: x2 = −200.1, 4.5213, −4.4213. Que proporcionan respectivamente: x1 = 1001, 0.5111, 0.4887. De estas tres soluciones la correcta es la tercera, ya que el sistema parte de (1, 0) y evoluciona con x2 negativas disminuyendo x1, tal como se puede observar el plano de fase del apartado a, pero en este caso hasta alcanzar la línea 021 =+ Kxx . Por tanto el punto (0.4887, −4.4213) se encuentra en la línea de cambio de región, lo que nos permite determinar la constante K:

1105.04213.4

4887.00

2

1

21

=−

−=−=

=+

xx

K

Kxx

En las siguientes gráficas podemos ver la evolución temporal de las señales y del plano de fase, donde observamos como el sistema alcanza la posición de error cero con un solo cambio en la acción de control y por tanto en tiempo mínimo.





0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

x1 = e

x 2 = d

e/dt

Plano de fase (e/de)

x1+K*x2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

0.5

1

Erro

r

Ejercicio b

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-6

-4

-2

0

De/

dt

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-5

0

5

V

Tiempo (seg)





c. Retardo en la realimentación. Añadiendo el retardo en la realimentación resulta el siguiente sistema de control:

Cuya ecuación característica es: ( ) ( ) ( ) 01 =⋅⋅+ sHsGAK

Separamos la parte lineal de la no lineal: ( ) ( ) ( )sHsGAK

⋅=− 1

La condición de equilibrio se produce cuando la respuesta en frecuencia de la parte lineal es real:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sssssssHsG

2.02.014

12.04

232 +++=

+⋅+=⋅

τττ

( ) ( ) ( ) ( ) jjHjGωτωωτ

ωω2.02.01

432 +−+⋅+−

=⋅

La parte imaginaria se anula para: ( )τ

τωτω 2.002.0 2 =⇒=−

Con lo que tenemos la evolución de la frecuencia en función del retardo, con los siguientes límites:

( )

( ) 02.0lim

02.0lim

0

=∞

=

∞==

∞→

→

τω

τω

τ

τ

Para dicha frecuencia el módulo de la parte lineal vale:

( ) ( ) ( ) ( ) ττ

ττ

ωτωω

τω 2.01

202.02.01

42.014

22.0+

−=+

−=+

−=⋅=

jHjG

Igualando con la función descriptiva:

( ) ( ) ( )

( ) ( )πτττπ

ττ

ωω

2.0120

202.0120

1

2

+=⇒−=

+−

−=⋅

AAAK

jHjG

Nos proporciona la evolución de la amplitud de las oscilaciones en función del retardo, con los siguientes límites:

( ) ( )( ) ( ) 636.6198

2.0400

2.01400lim

002.010400lim

0

==∞⋅+∞⋅=

=⋅+⋅=

∞→

→

ππτ

πτ

τ

τ

A

A

e u

thetaStep Relay

1

tau.s+1H(s)

4

s +0.2s2

G(s)





En la siguiente gráfica podemos ver la evolución de ambos parámetros, con respecto a la constante de tiempo τ.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

Frec

uenc

ia

Apartado c

τ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

200

400

600

800

Am

plitu

d

τ

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