tarea4
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Ecuaciones Diferenciales I. Tarea 4. Semestre 2015-II [ev/ab]. Fecha de entrega: 8.abril.15 1. Encuentre la soluci´ on exacta del problema de valor inicial dado y posteriormente aplique el m´ etodo de Euler para aproximar (a 4 cifras decimales) esta soluci´ on en el intervalo [0, 1], con tama˜ no de paso: a) h =0.01 y b) h =0.005. Haga una tabla que muestre los valores aproximados y el valor real junto con el porcentaje de error en la aproximaci´ on m´ as exacta, siendo x un m´ ultiplo entero de 0.2. y 0 = y - 2,y(0) = 1 2. Aplica el m´ etodo de iterados de Picard y deter- mina los primeros 4 t´ erminos de la sucesi´ on {φ n (x)}. a) dy dx = xy, y(0) = 1 b) y 0 = e x + y 2 , y(0) = 0 c) y 0 =2x + y 3 , y(0) = 0 3. Para cada ecuaci´ on, indica si se cumple el teo- rema de existencia y unicidad; resu´ elvela e indica el dominio donde est´ a bien definida la soluci´ on: a) dy dx = x y-3 , y(-1) = 0 b) y 0 = -y 3 , y(0) = -1 c) y 0 =1+ y, y(0) = 1 4. ¿Por qu´ e la ecuaci´ on y 0 = y 1/3 , con la c. i. y(0) = 0, tiene una infinidad de soluciones?, ¿con- tradice el teorema de existencia y unicidad? Verifica que la funci´ on y es soluci´ on para cada c ≥ 0, donde y =[ 2 3 (x - c)] 3/2 ,x ≥ c y adem´ as y =0,x ≤ c. 5. Encuentre el miembro de la familia de trayecto- rias ortogonales de x + y = C 1 e y que pasa por el punto (0, 5). 6. Hallar la edo de la familia de c´ ırculos que pasan por los puntos (1, 0) y (-1, 0). 7. Considere una poblaci´ on P (t) que est´ a aumen- tando de acuerdo con la ecuaci´ on de crecimiento log´ ıstico dP dt = P (α - βP ). Demuestre que la tasa de crecimiento es m´ axima cuando la poblaci´ on es la mitad de su tama˜ no de equilibrio. 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´ on de protozoarios, a una tasa constante μ. Se ha observado que las bacterias son consumidas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. La concentraci´ on c(t) de bacterias satisface entonces: dc dt = μ - λc 2 , donde λ> 0. Determine c(t) en t´ erminos de c(0), e indica cu´ al es la concentraci´ on de equilibrio de las bacterias. 9-10. Elegir (al menos) dos problemas de la lista siguiente, y resolverlos, planteando la edo respec- tiva: a) Suponga que T (t) es la diferencia de tempera- tura en el tiempo t entre un objeto y el medio circun- dante. La ley de enfriamiento de Newton establece que dT dt = -kT , donde k> 0. En t´ erminos de k, calcule el tiempo necesario para que la diferencia de temperatura disminuya hasta: i) la mitad de su valor inicial, ii) un cuarto de su valor inicial. b) (Inter´ es compuesto continuo) Previo al nacimiento de su primer hijo, una pareja deposit´ o5 mil d´ olares en una cuenta que paga el 8 % de inter´ es compuesto continuamente. Los pagos de inter´ es son acumulables al capital. ¿Cu´ anto habr´ a en la cuenta cuando cumpla 18 a˜ nos el hijo? c) (Concentraci´ on de carbono radiactivo) El car- bono obtenido de un antiguo cr´ aneo contiene sola- mente la sexta parte de 14 C respecto del carbono obtenido de un hueso actual. ¿Qu´ e tan antiguo es el cr´ aneo? d) (Rumores) Una cierta versi´ on de dudosa procedencia acerca del contenido de feniletilamina en el agua para beber comienza a propagarse en una ciudad con una poblaci´ on de 100 mil habitantes. En una semana 10 mil personas tienen noticia de este rumor. Considere que la tasa que incrementa el n´ umero de individuos que han tenido noticia del ru- mor es proporcional al n´ umero de quienes no la han tenido, ¿cu´ anto tiempo pasar´ a hasta que la mitad de la poblaci´ on de la ciudad tenga noticia del rumor? e) (Eliminaci´ on de drogas) Suponga que el pen- tobarbital de sodio se usa para anestesiar a un perro. ´ Este queda anestesiado cuando su torrente sangu´ ıneo contiene al menos 45 mg del f´ armaco por kg de peso. Suponga tambi´ en que esta sustancia se elimina expo- nencialmente del torrente sangu´ ıneo del animal con una vida media de 5 h, ¿qu´ e dosis se le debe admin- istrar a un perro de 50 kg de peso para anestesiarlo durante 1 h? f) (Mezclas) Suponga que una soluci´ on salina con 2 kg de sal por litro se introduce en un tanque que contiene inicialmente 500 litros de agua y 50 kg de sal. La soluci´ on entra al tanque a raz´ on de 5 litros/minuto. La mezcla se mantiene uni- forme revolvindola, y sale del tanque a raz´ on de 5 litros/minuto. Determine la concentraci´ on, en kilo- gramos/litro, de la sal en el tanque despus de 10 minutos.
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Ecuaciones Diferenciales I. Tarea 4. Semestre 2015-II [ev/ab]. Fecha de entrega: 8.abril.15
1. Encuentre la solucion exacta del problema devalor inicial dado y posteriormente aplique el metodode Euler para aproximar (a 4 cifras decimales) estasolucion en el intervalo [0, 1], con tamano de paso:a) h = 0.01 y b) h = 0.005. Haga una tabla quemuestre los valores aproximados y el valor real juntocon el porcentaje de error en la aproximacion masexacta, siendo x un multiplo entero de 0.2.
y′ = y − 2, y(0) = 1
2. Aplica el metodo de iterados de Picard y deter-mina los primeros 4 terminos de la sucesion {φn(x)}.
a) dydx = xy, y(0) = 1
b) y′ = ex + y2, y(0) = 0c) y′ = 2x+ y3, y(0) = 0
3. Para cada ecuacion, indica si se cumple el teo-rema de existencia y unicidad; resuelvela e indica eldominio donde esta bien definida la solucion:
a) dydx = x
y−3 , y(−1) = 0
b) y′ = −y3, y(0) = −1c) y′ = 1 + y, y(0) = 1
4. ¿Por que la ecuacion y′ = y1/3, con la c. i.y(0) = 0, tiene una infinidad de soluciones?, ¿con-tradice el teorema de existencia y unicidad? Verificaque la funcion y es solucion para cada c ≥ 0, dondey = [23(x− c)]3/2, x ≥ c y ademas y = 0, x ≤ c.
5. Encuentre el miembro de la familia de trayecto-rias ortogonales de x + y = C1e
y que pasa por elpunto (0, 5).
6. Hallar la edo de la familia de cırculos que pasanpor los puntos (1, 0) y (−1, 0).
7. Considere una poblacion P (t) que esta aumen-tando de acuerdo con la ecuacion de crecimientologıstico dP
dt = P (α − βP ). Demuestre que la tasade crecimiento es maxima cuando la poblacion es lamitad de su tamano de equilibrio.
8. Se suministran bacterias como alimento a unapoblacion de protozoarios, a una tasa constante µ.Se ha observado que las bacterias son consumidasa una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad.La concentracion c(t) de bacterias satisface entonces:dcdt = µ − λc2, donde λ > 0. Determine c(t) enterminos de c(0), e indica cual es la concentracionde equilibrio de las bacterias.
9-10. Elegir (al menos) dos problemas de la listasiguiente, y resolverlos, planteando la edo respec-tiva:
a) Suponga que T (t) es la diferencia de tempera-tura en el tiempo t entre un objeto y el medio circun-dante. La ley de enfriamiento de Newton estableceque dT
dt = −kT , donde k > 0. En terminos de k,calcule el tiempo necesario para que la diferencia detemperatura disminuya hasta: i) la mitad de su valorinicial, ii) un cuarto de su valor inicial.
b) (Interes compuesto continuo) Previo alnacimiento de su primer hijo, una pareja deposito 5mil dolares en una cuenta que paga el 8 % de interescompuesto continuamente. Los pagos de interes sonacumulables al capital. ¿Cuanto habra en la cuentacuando cumpla 18 anos el hijo?
c) (Concentracion de carbono radiactivo) El car-bono obtenido de un antiguo craneo contiene sola-mente la sexta parte de 14C respecto del carbonoobtenido de un hueso actual. ¿Que tan antiguo es elcraneo?
d) (Rumores) Una cierta version de dudosaprocedencia acerca del contenido de feniletilaminaen el agua para beber comienza a propagarse en unaciudad con una poblacion de 100 mil habitantes. Enuna semana 10 mil personas tienen noticia de esterumor. Considere que la tasa que incrementa elnumero de individuos que han tenido noticia del ru-mor es proporcional al numero de quienes no la hantenido, ¿cuanto tiempo pasara hasta que la mitad dela poblacion de la ciudad tenga noticia del rumor?
e) (Eliminacion de drogas) Suponga que el pen-tobarbital de sodio se usa para anestesiar a un perro.Este queda anestesiado cuando su torrente sanguıneocontiene al menos 45 mg del farmaco por kg de peso.Suponga tambien que esta sustancia se elimina expo-nencialmente del torrente sanguıneo del animal conuna vida media de 5 h, ¿que dosis se le debe admin-istrar a un perro de 50 kg de peso para anestesiarlodurante 1 h?
f) (Mezclas) Suponga que una solucion salinacon 2 kg de sal por litro se introduce en un tanqueque contiene inicialmente 500 litros de agua y 50kg de sal. La solucion entra al tanque a razonde 5 litros/minuto. La mezcla se mantiene uni-forme revolvindola, y sale del tanque a razon de 5litros/minuto. Determine la concentracion, en kilo-gramos/litro, de la sal en el tanque despus de 10minutos.
