Benemérita universidad Autónoma de Puebla, Control digital

Diseño con lugar de las raíces

Vidal Crispín Santiesteban, crispin.201132315@gmail.com

Considere el caso que se muestra en la figura donde la planta a controlar tiene la función de

transferencia

( )

( )

Se desea que se diseñe el sistema de control tal que:

Error en estado estacionario ante una rampa unitaria de 4%

El sobreimpulso ante un escalón unitario de 7%

Tiempo de estabilización de 0.8s

I. CALCULO DE ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

El error en estado estacionario se calcula como

Donde se expresa

( )

(

( ))

Por lo que el error es estado estacionario es

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II. SOBREIMPULSO ANTE UN ESCALON UNITARIO DEL 7%

La ecuación característica del sistema se define como

( )

Representamos la ecuación forma estándar

El tiempo de asentamiento corresponde a

( )( )

El sistema tiene un sobre impulso

( )

√ ( )

Necesitamos un sobreimpulso al 7%, por tanto necesitamos encontrar el factor de

amortiguamiento relativo que cumpla la ecuación.

√

Aplicando logaritmo natural en ambos lados

√

La exponencial se elimina con el logaritmo con lo cual obtenemos la expresión

√

Sustituyendo el factor de amortiguamiento relativo

√

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( )

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√ ( )

( )

Los polos se ubican en

√

III. FASE DE LA FUNCION EN LAZO ABIERTO

Mediante técnicas de control tradicional se usara un compensador de avance de fase.

Veamos cuánto vale la función de transferencia de lazo abierto el polo deseado:

( ) ( )

( )( )

( )( )

Convirtiendo a grados

No pertenece al lugar de las raíces porque no es múltiplo impar de para compensar el

sistema, insertamos un compensador de fase que se suma a al sistema sin compensar.

( ) ( ) ( ) ( )

El compensador debe de contribuir a la fase con

( )

Por lo tanto el compensador debe aportar a la fase en con

IV. CALCULO DE COMPENSADOR DE ADELANTO

Hay muchas formas para determinar el polo y el cero del compensador. A continuación se

presenta un procedimiento con el propósito de obtener el mayor valor posible . Primero

dibuje una línea que pase por el punto P, localización deseada para uno de los polos

dominantes en lazo cerrado. Dibuje una línea horizontal

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Hay muchas formas de determinar la localización del cero y del polo del compensador de

adelanto. A continuación se presenta un procedimiento con el propósito de obtener el

mayor valor posible para . Primero dibuje una línea horizontal que pase por el punto P,

localización deseada para uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Esto corresponde a

la línea PA de la Figura 1. Dibuje una línea que conecte el punto P con el origen.

Biseccione el ángulo que forman las líneas PA y PO, como se muestra en la citada figura.

Dibuje dos líneas PC y PD que formen ángulos de

con la bisectriz PB. Las intersecciones

de PC y PD con el eje real negativo proporcionan la localización necesaria para el polo y el

cero de la red de adelanto. Por tanto, el compensador diseñado hará de P un punto sobre el

lugar de las raíces del sistema compensado. La ganancia en lazo abierto se determina

mediante la condición de magnitud. 1

En el sistema actual, el ángulo de G(s) del polo en lazo cerrado deseado es

Cuando biseccionamos el ángulo APO y tomamos a cada lado, tenemos la

localización del polo y el cero como se muestra

𝐶𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑠

𝑃𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑠

Así 𝐺𝑐(𝑠) se expresa como:

1 Ogata, Ingeniera de control moderna

P

A

C

B

D

O

Figura 1. Determinacion de polo y de cero de compensador de adelanto

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𝐺𝑐(𝑠)

𝑠

𝑠

Verifiquemos la condición de fase del sistema

𝐺𝐶(𝑠) 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) (

𝑖

( 𝑖)( 𝑖 )

𝑖

Ya pertenece al lugar de las raíces

Para que 𝑠 y su conjugado sean polos d lazo cerrado debe de satisfacer la condición de

magnitud

𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

𝑖

𝑖

( 𝑖)( 𝑖 )

No satisface la condición de magnitud, por tanto tendríamos que bajar la ganancia

aproximadamente a la mitad para acercase a la magnitud de 1.

Pero no podemos bajar la ganancia por que se desajusta el error en estado estacionario.

Para evitar esto insertamos un compensador de atraso que simule bajar la ganancia.

V. CALCULO DE COMPENSADOR DE ATRASO

La función de transferencia del compensador de atraso de expresa como se muestra en la

ecuación

( )

Para satisfacer la condición de magnitud, sabemos que la ganancia se debe bajar en un

factor de

665. en términos de bode equivale a sumar

(

)

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Entonces

Ahora, si T es lo suficientemente grande

( )

Propongamos , Con esto la función de transferencia del compensador queda como:

( )

VI. SISTEMA COMPENSADO

El sistema de compensado de adelanto-atraso de fase queda entonces como

( ) ( )𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

𝑠

𝑠

( )

( ) ( )𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑠 𝑠

𝑠4 𝑠3 𝑠 𝑠

Corroboremos si satisface la condición de fase y magnitud. La fase del sistema

compensado Adelanto-atraso se obtiene

𝐺𝐶(𝑠) 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) ( )

𝜋 (

𝑖

( 𝑖)( 𝑖 )

( 𝑖 )

( 𝑖 )

𝑖

Es un valor muy cercano a , por lo que satisface la condición de ángulo

Ahora corroboremos si satisface la condición magnitud.

𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠)𝐻(𝑠 ( ))

𝑖

𝑖

( 𝑖)( 𝑖 )

( 𝑖 )

( 𝑖 )

𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠)𝐻(𝑠 ( ))

Por lo tanto satisface la condición de magnitud. Solo nos queda verificar si el error

estacionario no ha cambiado su valor

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𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠)𝐻(𝑠 ( )

()

𝑠

𝑠

(𝑠)(𝑠 )

)

𝑠