Tarea(Sistema Masa Amortiguador Resorte) de Modelamiento de Sistemas Dinamicos Jose Arenas

7/22/2019 Tarea(Sistema Masa Amortiguador Resorte) de Modelamiento de Sistemas Dinamicos Jose Arenas

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UNIVERSIDAD DEL ATLNTICO

FACULTAD DE INGENIERA

PROGRAMA DE MECNICA

BARRANQUILLA

2 DE MARZO DE 2014

MATERIA: MODELAMIENTO DE SISTEMAS DINAMICOS

TEMA: MODELAMIENTO SISTEMA AMORTIGUADOR MASARESORTE

REALIZADO POR:

ARENAS CAAS JOS LUIS

cd.:702 112102

PRESENTADO A:

ING. GUILLERMO E. VALENCIA OCHOA


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SISTEMA MASA-AMORTIGUADOR- RESORTE.

1) Solucin analtica:

Se sabe que las transformadas de Laplace para los trminos ,,,son:

De lo anterior se tiene:

[ ] [ ] [] Teniendo en cuenta que tanto la velocidad y la posicin son 0 en el tiempo 0, se tiene entonces

que las condiciones iniciales son:

Es decir que la ecuacin I quedara de la siguiente forma:

Ecuacin diferencial descriptiva del

sistema.

Donde

b: constante de amortiguamiento.

k: constante elstica del resorte.

m: masa.

f(t): funcin forzamiento.


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Teniendo en cuenta que la funcin de forzamiento es la funcin escaln unitario, lo queindica que su transformada de Laplace es

Es decir que la ecuacin II quedara de la siguiente forma:

Debido a que en el denominado se tiene un factor cuadrtico irreducible y un factor lineal no

repetido, se procede a realizar una expansin por fracciones parciales del trmino anterior para

facilitar la solucin de la ecuacin algebraica a travs de la transformada inversa de Laplace. De lo

anterior la ecuacin se puede expresar como:

Lo que indica que se tiene el siguiente sistema para determinar los las constantes ,A, B.

Antes de abordar de lleno la solucin de la ecuacin diferencial se debe hacer una inferencia que

permita saber el tipo de solucin que se tendra para los distintos valores de las constantes del

sistema que en este caso seran k y b. la figura siguiente muestra las posibles soluciones y las

condiciones que deben cumplirse para que dicha solucin se d.


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Figura 1 (posibles respuestas del sistema estudiado)

nota*: La inferencia anterior se bas en la naturaleza de las races del denominador de la funcin

X(s) o la ecuacin III

a) si la raz tenia componente imaginaria se trataba de una respuesta oscilatoria teniendo en

cuenta que la componente real fuese negativa, lo que se cumple si b) si dicha raz solo tena componente real, si y solo si , se trataba de una respuesta

estable no oscilatoria.

c) si dicha raz solo tena componente real, si y solo si , se podan tener dos casos,en donde se tienen respuestas estable no oscilatoria; si se cumple , y Empleando la terminologa de la dinmica de los sistemas masa-amortiguador resorte, si la

respuesta es estable oscilatorios se hacer referencia a que el sistema es amortiguado, si es la

respuesta es estable no oscilatorio se habla de un sistema sobre-amortiguado, y si se trata de una

respuesta inestable no oscilatoria (no es posible fsicamente) se trata de un sistema sub-

amortiguado.

Retomando la solucin de la ecuacin diferencial que se plante al inicio del problema y

reemplazando los valores de los residuos obtenido en la expansin por fracciones parciales se

tiene:


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Debido a que se hace necesario tener el valor de cada constante para poder solucionar la ecuacin

diferencial, se darn valores arbitrarios teniendo, en cuenta los criterios que se obtuvieron como

resultado la inferencia de la solucin algebraica, obtenida al aplicar la transformada de Laplace,

Esto permitir aplicar la transformada inversa y corroborar la naturaleza de la solucin. Para lo

anterior se emplear una masa unitaria en unidades de SI (1Kg)

Respuesta estable no oscilatoria (sobre-amortiguada)

() ()

() () () () () ()

() () Efectivamente la solucin fue estable no oscilatoria esto se puede observar al graficar la funcin

en un intervalo de 0


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Respuesta estable oscilatoria (amortiguada)

() () () ()

() ()

() ()

()

() () () ( )

() ()

() * + * +

Efectivamente la solucin fue estable oscilatoria esto se puede observar al graficar la funcin en

un intervalo de 2,5


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2) Solucin numricaLa solucin numrica se realiz empleando Simulink de Matlab, se expres la ecuacin diferencial

descriptiva , en un diagrama de bloques. (Ver figura 2). Simulink emplea lafuncin ode45, que resuelve la ecuacin diferencial empleando el mtodo numrico de Runge-

Kutta.

Figura 2 (diagrama de bloques de ecuacin diferencial)

Al igual que la solucin analtica se emple la funcin paso escaln como funcin de forzamiento

del sistema.

Para observar el tipo de solucin hay que modificar las ganancias en el diagrama de bloques, eso

indicar el comportamiento de la solucin para cada valor de cada constante. Se emplearan los

mismos valores que se le dieron a cada tipo de solucin en la parte analtica.


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Para b=6; k=9 (solucin estable no oscilatoria o sobre amortiguada )

Del mismo modo que la solucin analtica el comportamiento de la solucin es estable no

oscilatorio o sobre amortiguada.

Para b=3; k=4 (solucin estable oscilatoria o amortiguada )


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La solucin es idntica a la obtenida analticamente, se observa claramente la oscilacin estable de

la solucin.

Para b=5 ;k=2No se solucion analticamente, pero se pude corroborar la inferencia que se hizo de la

desigualdad . Donde se intuy que la respuesta era estable no oscilatoria.

Efectivamente se observa que la respuesta es estable no oscilatoria para la desigualdad en

cuestin.

3) Anlisis del papel de cada constante en el sistema. Anlisis para k (constante elstica del resorte )

El anlisis se realizar dndole valores a la constante k sin altera los dems trminos, lo que

permitir observar como esta variacin afecta a solucin de la ecuacin diferencial.

Empleando una constante de amortiguamiento b=2 y una masa unitaria y variando las constante

de elasticidad del resorte se obtuvo.


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Se observa que a medida que se aumenta el valor de la constante de elasticidad del resorte la

solucin del sistema tiende a estable oscilatoria, lo cual un interpretacin lgica.

Anlisis para b (constante de amortiguamiento)El anlisis se realizar dndole valores a la constante b sin altera los dems trminos, lo que

permitir observar como esta variacin afecta a solucin de la ecuacin diferencial.

Empleando una constante elstica del resorte b=20 y una masa unitaria y variando las constante

de amortiguamiento se obtuvo.

De la grfica anterior se puede intuir que a medida que se aumenta el valor de la

constante de amortiguamiento la solucin tiende a ser estable no oscilatoria o sobre

amortiguada.

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