Taringa Comets

of 73 /73
Top comments Naruto Uzumaki 5 months ago sha-la-la ...eat a taquito Reply · 92 Vie all !! repli es "scar #eung ! $ay ago %Naruto Uzumaki &onna 'uy a taquito e(erytime this song plays on my i)hone. Reply · *inene Uryuu922 5 months ago +inally a Normal non )itche$ Version Reply · !, Vie all repl ies *s)ulimen / months ago %*inene Uryuu922 0pre(iously $eaththeki$9221  5 3ecause o4 me / Reply ·  6kmal Ra(en  7 $ays ago 8 thought that too its $i44erent than aire$ on TV. The part hen the Rinnegan shoe$ up oul$ 'e 4aster 4olloe$ 'y Naruto turning 'ack. The part hen asuke slashes "rochimaru a4ter he shoe$ his haringan a4ter getting in the ater ere also missing Reply · :arin 01 7 months ago sha la la to'i is o'ito Reply · / Vie all /5 repli es ;a$e Ro'' / $ays ago <(eryone shoul$ no 'y no not to 'e mean an$ not to 'e a hater Tema 1. Teoría de Códigos 1

Embed Size (px)

Transcript of Taringa Comets

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    1/73

    Top comments

    Naruto Uzumaki5 months ago

    sha-la-la...eat a taquito

    Reply 92

    Vie all !! replies

    "scar #eung! $ay ago

    %Naruto Uzumaki &onna 'uy a taquito e(erytime this song plays on my i)hone.

    Reply

    *inene Uryuu9225 months ago

    +inally a Normal non )itche$ Version

    Reply !,

    Vie all replies

    *s)ulimen/ months ago

    %*inene Uryuu922 0pre(iously $eaththeki$92215 3ecause o4 me /Reply

    6kmal Ra(en7 $ays ago

    8 thought that too its $i44erent than aire$ on TV. The part hen the Rinnegan shoe$ up oul$

    'e 4aster 4olloe$ 'y Naruto turning 'ack. The part hen asuke slashes "rochimaru a4ter he

    shoe$ his haringan a4ter getting in the ater ere also missing

    Reply

    :arin 017 months ago

    sha la la to'i is o'ito

    Reply /

    Vie all /5 replies

    ;a$e Ro''/ $ays ago

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    2/73

    Reply

    the'igguns22!2 eeks ago

    ,5ha &6###

    Reply 7

    Vie all 7 replies

    the'igguns22!! eek ago

    %$octor4 ! lol rite

    Reply !

    imme kaki5 $ays ago

    %$octor4 ! $r orochimaru

    Reply

    alestereric7 months ago6m 8 the only one ho thinks orochimaru looks like a per( hen he as atching sasuke=

    Reply !5

    Vie all 7 replies

    imme kaki5 $ays ago

    6lays thought that since 2,,

    Reply

    Rolan$>o(e2 $ays ago

    *y 4a(orite moment asuke in his 'ath? @A

    Reply !

    3ram'l/ tar2 months ago

    Tema 1. Teora de Cdigos

    2

    https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4http://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m58shttp://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m58shttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/user/alestererichttps://www.youtube.com/user/alestererichttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQhttps://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13dejijzrjpybdsf23ldnzb0u3ohpl0zhttps://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFghttps://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13gidw42ynvdbsr004cgl2aclmawnwihyg0khttps://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFghttps://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQhttps://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/user/alestererichttps://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4http://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m58shttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/user/alestererichttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13dejijzrjpybdsf23ldnzb0u3ohpl0zhttps://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13gidw42ynvdbsr004cgl2aclmawnwihyg0k
  • 7/24/2019 Taringa Comets

    3/73

    Bey 'oy you anna ha >a >a ith me=

    Reply /

    3lack*ania&aming! $ay ago

    Nostalgia.

    Reply

    Cen >en DCensariE Ca4-4lo/ $ays ago

    sha la la 8 slept ith ino

    Reply

    :o'ra:lash/ $ays ago

    orochimaru as clinching his ass cheeks in the ater

    Reply !

    6n$y 6lmen$arez5 months ago

    3ack hen Naruto as a'out actual ninFas lol

    Reply 2,

    Vie all / replies

    &ri44in :ing2 months ago

    %6$am Gilliams 8 thought u ere saying that all the the su''e$ (ersions ere out

    Reply

    6$am Gilliams2 months ago

    Gell the su' $oes come out like a $ay a4ter the ;apanese ith no sun comes out %&ri44in :ing

    Reply

    Tema 1. Teora de Cdigos

    3

    https://www.youtube.com/user/insaneminecraftninjahttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12luriwxpf2tvltu23tw5twfyf3gdxjx04https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12luriwxpf2tvltu23tw5twfyf3gdxjx04https://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQhttps://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z131fzwgnzy3wf32m23yvddxcuzycxk2rhttps://www.youtube.com/channel/UCjTaKaaP28-2OspDPQfy0xAhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z120cpg54nbhgrzqy04ce304it35wvhouu40khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z120cpg54nbhgrzqy04ce304it35wvhouu40khttps://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNghttps://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bghttps://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/channel/UCBxkqqSbYZN9Xtzkcp6Hz2whttps://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bghttps://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNghttps://www.youtube.com/channel/UCjTaKaaP28-2OspDPQfy0xAhttps://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQhttps://www.youtube.com/user/insaneminecraftninjahttps://www.youtube.com/user/insaneminecraftninjahttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12luriwxpf2tvltu23tw5twfyf3gdxjx04https://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z131fzwgnzy3wf32m23yvddxcuzycxk2rhttps://www.youtube.com/channel/UCjTaKaaP28-2OspDPQfy0xAhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z120cpg54nbhgrzqy04ce304it35wvhouu40khttps://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7A
  • 7/24/2019 Taringa Comets

    4/73

    *isaki an$ :otaro5 months ago

    +inally 4oun$ the regular one. 8 keep listening to the high pitche$ (ersion an$ i got use$ to

    listening to it. )lus i like (er. 2 'etterHIH

    Reply

    Vie all 2 replies

    ;oe Ro'inson7 months ago

    %#ukio Bans Vorarl'ernaomeone likes #ukio

    Reply

    The killer Areams2 $ays ago

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    5/73

    t4ppl srsly2 eeks ago

    %canni'alistic &houl>ol that pic tho... remin$s me o4 :ai'a 4rom #u-&i-"h.

    Reply

    Aillon 6u'in!5 hours ago

    )ause at ,77an$ take a close look at :a'uto.

    Reply

    Nathan ".6/ $ays ago

    l like this song.

    Reply

    3yaku san/ months ago

    Chek out my top 5 naruto shippu$en oppeningsReply

    6nime +ore(er 0 !,,O >i4e 1 5 months ago 0e$ite$1

    no llorare no llorare N" >>"R6R< N""""?? pinchi (i$eo Fusto en la in4ancia KC me trae

    muchos recuer$os quiero (ol(er a esos momentos ....... TPPT cuan$o era 4eliz y esta'a con

    mis hermanos TTPPPTT quiero (iaFar al pasa$o y que$arme alli para siempre TT---TT y ahora

    esta 'ien ca'rQn el manga ee 0Naruto gai$en1 lamenta'lemente nunca 4ui naruhina y nunca

    lo sere uu y el anime .....$os pinches capitulo y ya $e nue(o le ponen relleno #.# 3ale 3e$Fa>a 3i$a

    Reply

    Vie all 5 replies

    almen$ra 'arra! eek ago

    %rocio acua yo hinata osea en the last el siempre lo supo pero nesesita'a una mas una

    prue'a $e amor a$emas naruto es un i$iota nose $a cuenta $e na$a pero na$a pero

    narutosakura no sakura ama a sasuke a$emas a nauto le $iFo que lo ama'a y naruto le $iFo

    no (ete ala mier$a te estas en gaan$o porque naruto ya lo sa'e a$emas asi es la reali$a$

    Tema 1. Teora de Cdigos

    5

    https://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjAhttps://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjAhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z122ghbaevmuypi0423su1sp3m24vtql1https://www.youtube.com/user/InuzukaxClanhttps://www.youtube.com/channel/UCmtlzOKMO6o5rmffi-zMLrQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13fjtvrtxjbw5twl04ccp2yekyvd1nbkso0khttp://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m44shttps://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMghttps://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12whvobzyf0ztaqf04cjbnjzw2wgrvahhohttps://www.youtube.com/channel/UCPX8a_ss5myxD9sTNScYIkghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12sxr0zhnzuy3wqa04cdtkhomqwexrgyxs0khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12sxr0zhnzuy3wqa04cdtkhomqwexrgyxs0khttps://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3whttps://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3whttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCCNfgRQWVn2BP3Rs79rXkmwhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/channel/UCCNfgRQWVn2BP3Rs79rXkmwhttps://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3whttps://www.youtube.com/channel/UCPX8a_ss5myxD9sTNScYIkghttps://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMghttps://www.youtube.com/channel/UCmtlzOKMO6o5rmffi-zMLrQhttps://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjAhttps://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjAhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z122ghbaevmuypi0423su1sp3m24vtql1https://www.youtube.com/user/InuzukaxClanhttps://www.youtube.com/channel/UCmtlzOKMO6o5rmffi-zMLrQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13fjtvrtxjbw5twl04ccp2yekyvd1nbkso0khttp://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m44shttps://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12whvobzyf0ztaqf04cjbnjzw2wgrvahhohttps://www.youtube.com/channel/UCPX8a_ss5myxD9sTNScYIkghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12sxr0zhnzuy3wqa04cdtkhomqwexrgyxs0khttps://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3whttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCCNfgRQWVn2BP3Rs79rXkmwhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30
  • 7/24/2019 Taringa Comets

    6/73

    siempre 4ue asi ya que el anime 4ue crea$o con ese 4uturo aunque no estaria mal narusaku

    pero mas hinanaru LS

    Reply

    rocio acua! eek ago 0e$ite$1

    %almen$ra 'arra no que equi(ocas el narusaku era lo mas pro'a'le en la historiia $e naruto y

    si u'o un 4inal naruhina es porque en pocas pala'ras el autor se (en$io K y la triste (er$a$ es

    que naruto nunca miro a hinata K en cam'io en shippu$en sakura miro con oFos a naruto y eso

    se (io acercamientos en el manga y anime K en cam'io hinata lo unico que hizo en to$a la

    serie en ru'orizarse y escon$erse atras $e un ar'ol y $ecir naruto - kun osea que pe$o K

    $on$e que$o tu naruhina = a$emas cuan$o ella le con4eso a naruto en la pelea $e pain con

    un te amo naruto no respon$io K sakura apenas termino la pelea lo a'razo y le $iFo gracias K

    asi que no se pensalo te $oy mi mas humil$e opinion salu$os 1

    TEMA 1. TEORA DE CDIGOS.

    Introduccin

    Definicin:Consideremos un conjunto finito A={a1, a2, ... aq}, al que denominaremosalfabeto, a sus elementos, a1, a2, . . . aq , les llamaremos letras o smbolos. Lassucesiones finitas de elementos de A se llamanpalabras.

    Aa

    Palabraaaa

    j

    p

    i

    iii

    ...21

    La palara ai1ai2...ain se dice que tiene lon!itud n o ien que es una n-palabra."na palara de lon!itud n se puede considerar como un elemento del producto

    cartesiano de A por si mismo n #eces, es decir, de$

    %l producto cartesiano est& formado por todas las n'tuplas de A$

    }()......{* 1 AaaaA inn =

    %sto es i!ual que una palara, s+lo camia la notaci+n.

    %l conjunto de todas las palaras sore el alfaeto A se denotar& como A *con

    independencia de la lon!itud de las palaras).

    .......}2,1{

    .....}2,1,-{

    =

    =

    =

    +

    +

    Z

    N

    AAZn

    n

    Tema 1. Teora de Cdigos

    n

    n AAAA ....=

    https://www.youtube.com/user/rocio58223https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/user/rocio58223https://www.youtube.com/user/rocio58223https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30
  • 7/24/2019 Taringa Comets

    7/73

    Definicin: "n c+di!o sore el alfaeto A es un suconjunto C de A, ,AC*conjunto formado por palaras del alfaeto).

    A los elementos del c+di!o C se les llamapalabras de cdigo.

    %l n/mero de elementos del c+di!o C, que normalmente ser& finito, se denota por 0C0 se denomina tamao del c+di!o.

    i C es un c+di!o sore A A tiene q elementos *0A0=q) entonces se dice que C es un

    c+di!o q'ario. %l ejemplo m&s normal de alfaeto usado en teora de c+di!os es

    A = 2 = {-,1} tendremos as c+di!os inarios.

    %jemplo de c+di!o inario$

    C = {-1--,--1-,-111}

    Definicin: i C es un c+di!o cuas palaras tienen todas la misma lon!itud n,decimos que C es un c+di!o de longit!d fijao un c+di!o de blo"!es a n se le llama

    lon!itud del c+di!o C.

    %l c+di!o C anterior es un c+di!o de loques de lon!itud 4.

    C = {-11, 1-11, 1-}6o es un c+di!o de loques *no podemos 7alar de la lon!itud

    del c+di!o)

    i C es un c+di!o de lon!itud n tamao m se dice que C es un *n,m)'c+di!o.

    C = {-1--,--1-,-111}*4,3) c+di!o

    8ado un alfaeto al que denominaremos alfabeto f!ente dado un c+di!o C sore elalfaeto A, se llama funci+n de codificaci+n a una aplicaci+n iecti#a f$

    )*)...*)*...

    )*

    $

    2121 nn fff

    f#

    C#f

    es el alfaeto en el cual est& la informaci+n que queremos codificar. "na aplicaci+n

    iecti#a entre 2 conjuntos es una aplicaci+n inecti#a *elementos diferentes tienen

    im&!enes diferentes) soreecti#a *los elementos del conjunto C son im&!enes de

    al!/n elemento de , en este caso de 1 a que la aplicaci+n es inecti#a). A #eces f noser& una aplicaci+n iecti#a9 si f no fuese inecti#a 7ara #arios smolos del

    alfaeto fuente que se codificaran de la misma forma, lo que 7ara la decodificaci+n

    mu difcil. Cuando f es iecti#a 7alamos de c+di!os descifrales.

    %n muc7as ocasiones se le llama c+di!o a la funci+n de codificaci+n9 pero nosotros le

    llamamos c+di!o al conjunto C *ima!en de f).

    %jemplo$

    Tema 1. Teora de Cdigos

    :

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    8/73

    ---111-1----1--1

    -111)*

    -1--)*

    --1-)*

    }-111,--1-,-1--{},,{

    },,{

    ===

    ==

    =

    babc

    cfc

    bfb

    afa

    Ccba#

    cba#

    f

    %jemplos de c+di!os$

    ;oli#io *ao 2-< a.C.) o c+di!o de fue!o !rie!o.

    }54....25,24,23,22,21,15,14,13,12,11{$

    }5,4,3,2,1{$

    },...,{

    ==

    =

    C

    A

    #Alfabeto

    55 no se inclue a que el alfaeto A tiene 24 letras. "n alfaeto A de lon!itud q tiene

    qnpalaras de lon!itud n *qn= 0An0 )

    54)*

    .

    .

    12)*

    11)*$

    =

    =

    =

    f

    f

    fC#f#ea

    %ste es un *2,24) c+di!o. %ste c+di!o persi!ue claridad, facilidad de transmisi+n de

    mensajes a distancia. %ste c+di!o no permite detectar (o corre!ir errores. e piensa

    que este c+di!o se usaa para ocultar la informaci+n. %n cripto!rafa no se 7ala de

    c+di!o sino de cifraso criptosistemas. %ste c+di!o se denomina cifra de ;oli#io.

    8amero de ;oli#io$

    1 2 3 4 5

    1 2

    3

    4

    5

    Tema 1. Teora de Cdigos

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    9/73

    f*) = 11 f*)=12 .......

    C+di!o orse. e usa para transmisiones tele!r&ficas. e usa para codificar unmensaje fuente en len!uaje natural.

    = {a, , c ......>}

    A = {., ?, }

    e usan 3 smolos$ punto, raa espacio.

    ..??)*

    ?..?)*

    ?.)*?)*

    .)*

    $

    =

    =

    ==

    =

    $f

    f

    ingl%senfrec!entesm&s'etrasaftf

    ef

    A#f

    %ste c+di!o no es de lon!itud fija. Las letras m&s frecuentes se codifican con palaras

    cortas, mientras que las letras menos usadas se codifican con palaras m&s lar!as9 esto

    se usa para conse!uir m&s eficiencia, cuanto m&s frecuentes sean las letras m&s cortas

    son las palaras del c+di!o.Los espacios se usan para separar palaras * espacios) o letras entre palaras *3

    espacios). %ste c+di!o no permite corre!ir (o detectar errores no tiene fines

    cripto!r&ficos.

    C+di!o [email protected]@ *American tandard Code for @nformation @nterc7an!e). %stec+di!o es usado por los ordenadores para representar los caracteres alfanumricos

    caracteres especiales. %l [email protected]@ est&ndar usa palaras de : its$

    C = {-------, ------1, .......1111111}2: = 12< palaras

    %l c+di!o [email protected]@ eBtendido usa palaras de < its$

    C= {--------, ......11111111}

    2< = 25

    %sta eBtensi+n permite codificar m&s smolos.

    --1-----%spacio

    Tema 1. Teora de Cdigos

    D

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    10/73

    Al c+di!o [email protected]@ de : its se le aade un it de paridad para que el n/mero de 1 de la

    palara sea par$

    1------1

    --------

    %ste es el c+di!o [email protected]@ est&ndar con control de paridad. %l c+di!o [email protected]@ est&ndar no

    detecta ni corri!e errores, si camia un it de la palara sta se confunde con otra

    palara del c+di!o. Al aadir el it de paridad si se camia un it la palara que se

    otiene no es #&lida, a que el n/mero de 1 pasa a ser impar con lo que se detecta el

    error. %ste c+di!o s+lo detecta errores, no puedo saer cu&l fue la palara que se en#i+.

    %l [email protected]@ con control de paridad es un *>>>, asi!naramos un si!nificado a cada palara de este c+di!o,

    pero si se cometiese un error a tendramos otra palara del len!uaje no podramos

    saer cu&l es la palara en#iada.

    %sto no ocurre en el len!uaje natural. 7annon estudi+ la redundancia del idioma

    in!ls lle!+ a la conclusi+n de que la redundancia del in!ls es del :5E. i se

    7uiese diseado el in!ls para minimi>ar la redundancia se reduciran los teBtos en la

    4F parte. i en un teBto en in!ls, la proailidad de eliminar una letra es de G el teBto

    no ser& reconocile9 por el contrario si la proailidad de eliminar una letra es de H el

    teBto ser& reconocile.

    Cdigos Detectores de Errores: Ejem!os

    e intenta uscar una transmisi+n precisa entre dos puntos. %stos c+di!os se usan

    cuando se reali>a una transmisi+n por un canal ruidoso. "n canal es el medio fsico

    por el cual se reali>a la transmisi+n9 un canal ruidoso es un canal que est& sujeto a

    perturaciones que !enera alteraciones en el mensaje *ejemplos de canales$atm+sfera, lnea telef+nica....). Los c+di!os detectores de errores se usan para

    Tema 1. Teora de Cdigos

    1-

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    11/73

    recuperar la informaci+n que se en#i+ incorrectamente. "n ejemplo de esto se usa en

    los C8, para que la informaci+n se manten!a a pesar de que el C8 est raado.

    %n la teora de la informaci+n, desde el punto de #ista de la eficiencia, nos centramos

    en la codificaci+n pero a7ora nos centraremos en los errores que se producen en elcanal. La codificaci+n decodificaci+n deen ser f&ciles r&pidas9 la transmisi+n a

    tra#s del canal dee ser r&pida9 deemos maBimi>ar la cantidad de informaci+n

    transmitida por unidad de tiempo deemos detectar corre!ir errores, esta /ltima

    caracterstica entra en conflicto con las anteriores caractersticas a que 7ace que

    aumente el tamao de lo que se transmite. %l c+di!o dee ser lo m&s eficiente posile

    dee permitir detectar corre!ir errores.

    %l canal acepta smolos de un alfaeto finito A={a1, a2, ... aq} que llamaremos

    alfaeto del canal *ejemplo$ A = {-, 1}). C+mo saemos si un canal es mu ruidoso o

    poco ruidoso9 esto se sae si conocemos cu&l es la proailidad de que si se emite un

    smolo se recia otro smolo$;*ajreciido0aien#iado) *proailidad de que si se 7a en#iado a ise recia aj). Cuando

    este conjunto de proailidades se conoce para todos los #alores de i j conocemos las

    caractersticas del canal.

    %l canal perfecto sera aquel en el que$

    ijij aaP =)0*

    pero esto no eBiste en la pr&ctica. A estas proailidades se les llama probabilidadesdel canaloprobabilidades de transicin.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    11

    % s q u e m a d e u n a t r a n s m i s i + n $

    I r i ! e n C o d i f i c a d o r C a n a l 8 e c o d i f i c a d o r 8 e s t i n o

    J u i d o

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    12/73

    Definicin:"n canal es un alfaeto *de canal) A={a1, a2, ... aq} junto con un conjuntode proailidades de transici+n ;*ajreciido0aien#iado) que satisfacen$

    =

    ="

    j 1

    ij 1en#iado)a0reciido;*a

    es decir, siempre se recie un car&cter del alfaeto. "na palara de c+di!o de lon!itud

    n correspondiente al c+di!o del alfaeto del canal da una palara reciida de lon!itud

    n que no tiene por qu coincidir con la en#iada *ni ser una palara de c+di!o, a que

    puede ser una palara del alfaeto pero no del c+di!o).

    6o eBiste dificultad para identificar el comien>o de la 1F palara en#iada. i usamos

    un c+di!o de loques saemos donde empie>a acaa cada palara.

    %l ruido se distriue aleatoriamente9 la proailidad de que un smolo sea camiado

    por otro en la transmisi+n es la misma para todos los smolos. La transmisi+n de un

    smolo no est& influenciada por la transmisi+n del smolo precedente ni de los

    anteriores, es decir, el canal es un canal sin memoria. %l error en la transmisi+n de unsmolo no afecta a la transmisi+n de los si!uientes smolos.

    alfabetodelPalabraA

    cdigodePalabraCccc

    en(iadocrecibidoPen(iadocrecibidoPsim%tricocanal

    n

    n

    n

    n

    i

    ii

    =

    =

    = =

    ...

    ...

    )0*)0*

    1

    1

    1

    Cada suceso es independiente del anterior. Kodos los sucesos son independientes.

    %l canal que usaremos m&s a menudo es el canal inario simtrico *inar simetric

    c7annelC). %l alfaeto del canal es A={-,1}.

    1- p1'pproailidad del canal

    pproailidad del cruce

    pproailidad de que un - sea reciido como un 1

    1'pproailidad de que un - sea reciido como un -

    Tema 1. Teora de Cdigos

    12

    1 ' p

    1 ' p

    p

    p

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    13/73

    p = - Canal perfecto

    p = 1 iempre se comete error *%ste caso se con#ierte en perfecto in#irtiendo el

    smolo reciido).

    %n un canal simtrico eBiste la misma proailidad de que un smolo se reciaincorrectamente adem&s si un smolo se recie incorrectamente 7a la misma

    proailidad de que se recia cualquier otro smolo.

    i 12(1 p e puede con#ertir el canal de tal forma que 2(1- p simplementecamiando los smolos reciidos. p = M es el caso m&s desfa#orale. %n la pr&ctica

    los canales tienen una alta fiailidad. upondremos que traajamos con un C que

    cumple 2(1- p .upon!amos que queremos detectar errores9 deemos disear un c+di!o de tal forma

    que si a una palara del c+di!o le camiamos un /nico smolo la palara resultante

    no sea una palara del c+di!o para as poder saer que se 7a producido un error. i

    adem&s queremos corre!ir errores, la idea es parecida, para 7acer la correcci+n 7aque saer cu&l es la palara en#iada. La idea &sica es comparar la palara reciida

    con todas las palaras de c+di!o asi!narle la palara que difiera en menos smolos.

    %jemplo$

    C = {--, -1, 1-, 11} =2

    2Z

    2= {-, 1}

    %ste c+di!o no ser#ira para detectar errores.

    i se producen errores las palaras que se otienen son palaras del c+di!o. ;ara

    detectar errores 7a que aadir redundancia. e modifica el c+di!o para conse!uir que

    las palaras del c+di!o se pare>can menos entre s. La idea m&s sencilla es repetir la

    palara$

    C1= {------, -1-1-1, 1-1-1-, 111111}

    Aumento la lon!itud de las palaras. i a7ora recio 111-1- #eo que no es una palara

    #&lida del c+di!o as s que se 7a cometido un error. Comparo esta palara con las

    palaras del c+di!o #eo en cu&ntos smolos se diferencia de las palaras del c+di!o.

    Neo que la palara m&s pr+Bima es la 1-1-1- a que s+lo camia un smolo

    podramos asi!narle esta palara. %ste c+di!o tiene la propiedad de que si al transmitir

    una palara se comete un /nico error siempre podemos recuperar la palara

    ori!inalmente transmitida a que dista uno de una palara m&s de uno del resto de

    palaras. e dice que este c+di!o corri!e un error. %sto se lo!ra a costa de aumentar la

    Tema 1. Teora de Cdigos

    13

    % n # i a d o J e c i i d o

    - 1

    1 1

    - -

    3 o n p a l a r a s d e l c + d i ! o

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    14/73

    lon!itud del c+di!o, necesitamos el triple de tiempo espacio para transmitir la misma

    informaci+n *disminue la eficiencia del c+di!o). %ste c+di!o se denomina c+di!o de

    repetici+n. i nos conformamos con que s+lo se detecte un error podramos usar este

    c+di!o$

    C2= {---, -11, 1-1, 11-}

    Aadimos un it de paridad. i a al!una palara le camiamos un /nico smolo la

    palara otenida no es una palara del c+di!o. %ste c+di!o no permite corre!ir errores9

    si se recie 1-- podra 7aerse en#iado ---, 1-1 o 11- 7aiendo cometido un error,

    pero no podemos saer qu es lo que realmente se 7a transmitido. e dee requerir una

    nue#a transmisi+n de la palara. La eficiencia 7a disminuido con respecto a C pero no

    tanto como con C1.

    Clases )esid!ales *d!lo n:

    = {-, 1, '1, 2, '2, .....}

    ea 2, nZn . 8ados a, Z se dice que a es con!ruente con m+dulo n,a *mod n) n 0 a' *n di#ide a a') O ( a' = On

    {*a,) ( a *mod n)} B

    La relaci+n de con!ruencia m+dulo n es una relaci+n de equi#alencia, pues es$

    ' JefleBi#a, a a *mod n) Za' imtrica a *mod n) a *mod n) Zba ,' Kransiti#a a *mod n), c *mod n) a c *mod n) Zcba ,,

    La relaci+n de equi#alencia permite definir las clases de equi#alencia a . La clasede equi#alencia de a se define como aquellos n/meros relacionados con a$

    a , a ={ Z ( a *mod n)}

    %l conjunto de todas las clases de equi#alencia forman una partici+n de * es la

    uni+n disjunta de todas las clases). Al conjunto de todas las clases de equi#alencia se

    le denomina conjunto cociente *sus elementos son clases).

    }({ ZaaZn

    Z =

    ;ropiedades$

    ean a, , las si!uientes condiciones son equi#alentes$

    i) a *mod n)

    ii) +nabZ+ += (

    iii) a tienen el mismo resto al di#idir por n

    Tema 1. Teora de Cdigos

    14

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    15/73

    8i#isi+n entera$ a,n a= nq P r nr- , r = a *mod n), el resto o residuo es/nico.

    }({}({)}*mod({ npordi(idiralrestomismoeltienenb,aZbZ++nanbaZba =+==

    QCu&ntas clases de equi#alencia mod n 7aR Cada elemento est& en la misma clase de

    equi#alencia que su resto al di#idir por n9 el n/mero de clases es el n/mero de posilesrestos al di#idir por n *n clases).

    }1......1,-{ =

    nZn

    Z

    ,,

    )))

    ,,

    )))

    S),*

    ),*

    S

    ++

    "n anillo *J,P,S) es un conjunto J junto con dos operaciones inarias P S que

    cumplen estas propiedades$

    ' J con respecto a la suma es un !rupo aeliano$ P es asociati#a, tiene elemento

    neutro *-), todo elemento de J tiene simtrico *'B) **J,P) es !rupo) es

    conmutati#a **J,P) es un !rupo aeliano).

    ' S es asociati#a tiene elemento neutro *1).

    ' S es distriuti#a con respecto a P, es decir$

    o *B P ) S > = B S > P S >

    o B S * P >) = B S P B S >

    )$, ,,

    %l anillo J se dice conmutati#o cuando S es conmutati#a.

    )

    ),,,))

    )

    )$,$,$,

    ==+=+

    =+=+

    =+=+++=++

    S11S

    ,-)*)*(,

    --

    ,,)*)*

    Los anillos usuales son *,P,S)9 *J,P,S)9 *C,P,S) *T,P,S).

    Definicin:"n c!erpoes una anillo tal que todo elemento no nulo tiene in#erso.

    *,P,S) no es un cuerpo pero *J,P,S)9 *C,P,S) *T,P,S) son cuerpos conmutati#os.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    15

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    16/73

    }1,....1,-{

    0)*mod

    =

    nnZ

    Z

    bannba

    %nnZ

    Z se definen dos operaciones$

    -124S3

    1:43

    }5,4,3,2,1,-{

    S$S

    $

    ,

    ==

    ==+

    =

    =

    +=+

    ZZ

    baba

    baba

    nZZba

    *nZ

    Z ,P,S) es un anillo conmutati#o. %l opuesto de 2 es 4 * -42 ==+ )

    Los alfaetos que usaremos son conjuntos de clases residuales.

    ;ara cada )2* nZn sea

    n$={-,1,2.....n'1}

    i para cada entero a llamamos a*mod n) al resto de di#idir a por n, la aplicaci+ndefinida as$

    )*mod)* naafa

    ZnZ

    Zn

    f

    =

    es una aplicaci+n iecti#a. Amos conjuntos tienen n elementos, as para #er que f es

    iecti#a asta con #er que sea inecti#a.

    ean banbanbnabfafnZ

    Zba === )*mod)*mod)*mod)*)*,

    As la aplicaci+n es inecti#a, a que si dos elementos tienen la misma ima!en

    entonces son el mismo elemento.

    8efinimos en nlas si!uientes operaciones nZ, , $

    Tema 1. Teora de Cdigos

    1

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    17/73

    B P $= *B P ) *mod n)

    B S $= *B S ) *mod n)

    *n , P , S) es un anillo conmutati#o. f es un isomorfismo de anillos, es una aplicaci+n

    entre 2 anillos que conser#a las operaciones$

    f*aP) = f*a) P f*)

    f*aS) = f*a) S f*)

    Los 2 anillos son isomorfos, tienen las mismas propiedades. %stos 2 anillos se pueden

    identificar.

    = {-,1,2,3,4,5,}

    5P2=1 3S5=3 5P3=2

    QCu&ndo es nun cuerpoR "n cuerpo es un anillo en el que todo elemento diferente de- tiene in#erso para el producto.

    2 = {-,1} es un cuerpo. U1=1 *1 P 1 = -).

    3= {-,1,2} es un cuerpo.

    P - 1 2

    - - 1 2

    1 1 2 -

    2 2 - 1

    '1 = 2%l opuesto del 1 *1 P *'1) = -9 1 P 2 = -)

    4= {-,1,2,3} no es un cuerpo a que 2 no tiene in#erso para el producto. 2 S 2 = -, 2

    es un di#isor de -, un anillo con di#isores de - no puede ser un cuerpo.

    )-*min dedi(isorestieneno-nteroioDoC!erpo/

    "n di#isor de - no puede tener in#erso para la multiplicaci+n.

    5= {-,1,2,3,4} es un cuerpo. 2 S 3 = 1, 4 S 4 =1.

    no es un cuerpo, :es un cuerpo...

    nes un cuerpo si n es primo.

    Zba , d0a, d0d0a, d0 d0d si d es el m&Bimo com/n di#isor de a se denota d = mcd *a,) od = *a,).

    =

    =

    ==

    +

    i

    lei

    +i

    l

    i

    +i

    e

    i

    ii

    ii

    pbamcd

    pbpa

    1

    ),min*

    11

    ),*

    Tema 1. Teora de Cdigos

    1:

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    18/73

    %sto tiene un incon#eniente a que se necesita descomponer los n/meros como

    producto de n/meros primos, lo cual es infactile computacionalmente.

    Neremos a7ora un al!oritmo que nos permite 7allar el mcd de 2 n/meros, el al!oritmo

    de %uclides, usa una sucesi+n de di#isiones enteras.

    Proposicin:ean a, , entonces Vd 0 a , d 0 W Vd 0 , d 0 a *mod n)W

    Proposicin: :ean a, , entonces mcd *a,) = mcd *,a*mod ). %sto es unaconsecuencia directa de la anterior propiedad.

    a X e reduce el c&lculo al 7allar el mcd a que a*mod ) es menor que .

    ean a, Pr'1= a

    r-= a = q1 P r1r'1= q1r-P r1r-= q2r1P r2r1= q3r2P r3

    .

    .

    .

    rO'3 = qO'1rO'2P rO'1rO'2= qOrO'1P rOrO'1= qOP1rO

    r3Y r2Y r1 Y r-

    mcd *a,) = mcd *,r1) = mcd *r1,r2) Z = mcd *ri,riP1) Z.

    %ste proceso no continua de forma indefinida, se alcan>ar& un resto cero9 supon!amos

    que rOP1= -. %ste resto - se otiene en un n/mero pequeo de pasos.

    mcd *a,) = mcd *rO,-) = rOrOP1 = - mcd *a,) = rO

    %jemplo

    1 2 2

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    19/73

    mcd *a,) = rO= rO'2U qOrO'1= rO'2U qO*rO'3UqO'1rO'2) = Z.. = ua P #

    Proposicin:n es cuerpo n es primo

    8emostraci+n$

    [[ upon!amos que n no es primo, entonces n = rs, r,s X 1. r,s n, rs= - n r s son di#isores de - r s no tienen in#erso para el producto.

    [[ upon!amos que n es primo sea a n, a -. mcd *a,n) = 1 u, # ( 1 = ua P #n 1 *mod n) = ua *mod n) P #n *mod n) 1 = ua *mod n) ua = 1 n

    %jemplo$

    D 23

    2 1 1 4

    23 D 5 4 1

    5 4 1 -

    1 = 5 U 4 = 5 U *D U5) = 2S5 U D = 2S *23 U 2SD) U D = 2S23 U 5SD

    1 = '5SD *mod 23)

    %n 23D S *'5) = 1 23'5 = 1ar m para que el c+di!o ten!a J lo maor posile. e definen unos n/meros$

    Aq*n,d) $= maB {m ( eBiste *n,m,d)'c+di!o q'ario}

    "n *n,Aq*n,d),d)'c+di!o se dice que es un c+di!o optimale.

    ;rolema principal de la teora de c+di!os$ 8eterminar el #alor de Aq*n,d)

    Aq*n,d) qn'dP1 *Cota de in!leton)

    Cota de ;lotOin$

    a) i n es par entonces$

    ;ara n Y 2d, A2*n,d)

    ndd

    2

    Tema 1. Teora de Cdigos

    2D

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    30/73

    ;ara n = 2d, A2*n,d) = 4d

    ) i n es impar entonces$

    ;ara n Y 2d P 1, A2*n,d)

    +

    +nd

    d121

    ;ara n = 2d P 1, A2*2dP1,d) 4d P 4

    7annon$ A at7ematica K7eor of Communication

    Keorema del Canal Juidoso$ %ste teorema demuestra que eBisten uenos c+di!os pero

    no dice c+mo otenerlos.

    ;ara un C con proailidad de paso p la capacidad es$

    )1*lo!)1*lo!1)* 22 pppppC ++=

    Consideremos un C con capacidad C*p). i J*C) Y C*p) entonces para cada X -eBiste un *n,m)'c+di!o C cua tasa de transmisi+n es maor o i!ual que J para el

    cual ;*error de descodificaci+n) Y .

    %jemplo$

    C con p = -.-1

    C*p) = -.D1D *casi D2E);odemos encontrar un c+di!o con J = -.D1D con proailidad de error

    aritrariamente aja.

    Cdigos )ine#!es

    Los c+di!os lineales son espacios #ectoriales sore un cuerpo finito. Los alfaetos que

    usaremos son cuerpos finitos *).

    p= {-,1....p'1}q = prp primo, \qcuerpo finito con q elementos.

    %n particular si q = p *primo), entonces \q= \p= p.

    \2= 2= {-,1}

    \3 = {-,1,2}

    \5= {-,1,2,3,4}

    Definicin:"n c+di!o lineal de lon!itud n sore es un 'suespacio #ectorial C den

    n= {*B1..Bn) ( B1,ZBn }

    Tema 1. Teora de Cdigos

    3-

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    31/73

    8ados 2 elementos de C su suma su producto pertenece a C * P S son cerradas).

    C n, #,^ C, , # P ^ C

    = 2

    C = {---,-1-}C+di!o Lineal

    =+=+=+

    ----1--1-

    -1--1----

    ---------

    %n el caso inario la suma de dos palaras dee ser una palara del c+di!o.

    C(!C(! +,

    C = {-1-}

    6o es un c+di!o lineal, a que no contiene a ---.

    C = {---,-1-,11-}6o es un c+di!o lineal a que 11- P -1- = 1-- C

    "n c+di!o lineal inario tiene un n/mero de palaras que es potencia de 2.

    "n c+di!o lineal C sore de lon!itud n dimensi+n O se dice que es un Vn,OW'c+di!o

    *lineal)9 si la distancia es d, se dice que es un Vn,O,dW'c+di!o.

    QCu&l es el tamao de un Vn,O,dW'c+di!o q'arioR

    i C es un Vn,OW'c+di!o q'ario C es isomorfo a O*C O)0C0 = 0O0 = 00O= qO

    m = qO

    "n Vn,O,dW'c+di!o q'ario es un *n,qO,d)'c+di!o q'ario.

    #C, C c+di!o inario # P # = 2# = -

    )epaso de =lgebra 'ineal:

    N 'espacio #ectorial *N un %N sore un cuerpo ). 8ado un suconjunto N, elsuespacio de N !enerado por es el menor suespacio de N que contiene a se

    denota YX. e #erifica que$

    },({1

    #(.(# ii

    n

    i

    ii >=< =

    i YX = N entonces se dice que es un conjunto !enerador de N.

    },({ 1 #(.(0ii

    n

    iii = =

    Tema 1. Teora de Cdigos

    31

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    32/73

    N, se dice que es linealmente independiente cuando$

    ni#(.( i

    n

    i

    iiii ....1,-,,-1

    ====

    N, = {#1, Z.#n}. e dice que es una ase de N cuando es conjunto !eneradorde N es [email protected]

    es ase =

    =n

    i

    iin ((.0(1

    1

    - (,....,

    = =

    ====n

    i

    ii

    n

    i

    ioii ni(((1 1

    ....1C,C

    Proposicin:e N un 'espacio #ectorial N* un suconjunto de N). Lassi!uientes afirmaciones son equi#alentes$

    i) es una ase.

    ii) es un conjunto [email protected] maBimal de N.iii) es un conjunto !enerador minimal de N.

    Conjunto [email protected] maBimal Conjunto [email protected] tal que cualquier suconjunto de N que lo

    conten!a propiamente no es [email protected]

    Conjunto !enerador minimal Conjunto !enerador tal que nin!/n suconjunto

    propio de es conjunto !enerador.

    Corolario:ea N un 'espacio #ectorial. Kodo conjunto !enerador de N contiene unaase todo conjunto [email protected] de N est& contenido en una ase.

    Corolario:Kodo 'espacio #ectorial N tiene una ase. Adem&s todas las ases de Ntienen la misma cardinalidad *n/mero de elementos) que en nuestro caso es siempre

    finita que se llama dimensi+n de N, dim N.

    Proposicin: dim N = O N O. Kodos los %N de la misma dimensi+n sonisomorfos. "n isomorfismo es una aplicaci+n iecti#a lineal *conser#a las

    operaciones).

    8emostraci+n$

    Tema 1. Teora de Cdigos

    32

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    33/73

    [[ dim N = O N tiene una ase = {#1, .....#O}

    =

    ==

    +

    i

    +

    +ii

    +f

    .(f((0(

    .0

    1

    1 ),.....*)*,

    Cn

    dim C dim n= n

    Vn,O,dW'c+di!o lineal

    O n

    O = - C = {--Z.-}O = n C = n

    Definicin:ea L una sucesi+n *puede 7aer trminos i!uales) finita de #ectores den, *#1....#O). e llaman operaciones elementales sore *#1,....#O) a las si!uientes$

    i) e*p,q) $ @ntercamiar #p #q*#p #q)ii) e*p) $ Jeempla>ar el #ector #p por el #ector #p, donde , -

    *#p #p).iii) e*p)P(q)$ Jeempla>ar un #ector #pde la sucesi+n por #p P #q, con ,

    - *#p #pP#q).

    i e denota una operaci+n elemental de las anteriores, llamaremos e*L) a la sucesi+n

    finita de #ectores otenida a partir de L mediante la aplicaci+n de e.

    Proposicin:ea L una sucesi+n finita de #ectores de n e una operaci+n elementalsore L. %ntonces se #erifica$

    i) YLX = Ye*L)X

    ii) L es [email protected] e*L) es [email protected]

    8emostraci+n$

    i) Kodo elemento de e*L) es una CL de los elementos de L #ice#ersa, as el

    espacio que !eneran es el mismo.

    ii) Consecuencia de i).

    i aplicamos una opraci+n elemental lue!o su in#ersa otenemos la sucesi+n L.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    33

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    34/73

    111)*)*

    1

    )*)*

    )*

    1

    )*

    ),*

    1

    ),*

    1

    ==

    =

    =

    =

    +

    eeee

    ee

    ee

    ee

    "p"p

    pp

    "p"p

    "na sucesion finita de #ectores de nes una matri> de O filas n columnas.

    L = *#1,......#O) sucesi+n finita de #ectores de natrices OBn*)

    #1 = *#11,....#1n)

    #2= *#21,Z#2n)

    .

    .

    .

    #O = *#O1,Z#On)

    %sto se puede #er as$

    )*

    ...

    ..

    ...

    ..

    ...

    1

    111

    .*

    ((

    ((

    +n

    +n+

    n

    Las operaciones elementales se aplicar&n a las filas de la matri>. Namos a transformar

    una matri> dada en otra que nos sea m&s /til para traajar.

    Definicin: "na sucesi+n finita #1,....#Onse dice que es escalonada cuando, si seconsidera la 1F componente no nula de cada #ector todas las componentes no

    posteriores de los #ectores si!uientes son cero adem&s todos los #ectores - de la

    sucesi+n est&n al final, es decir, #p= - #pP1= ...= #O = -.

    %jemplo$

    *3, 5, -, 1, 4, 2, 2)

    *-, -, 3, 1, -, 2, 4)

    *-, -, -, -, 5, 2, 1)*-, -, -, -, -, 2, 3)

    *-, -, -, -, -, -, 1)

    *-, -, -, -, -, -, -)

    *-, -, -, -, -, -, -)

    Proposicin:i L = *#1, ....#O) es una sucesi+n escalonada de #ectores de n, entonceslos #ectores no nulos de L forman una ase de YLX.

    "na sucesi+n escalonada es [email protected]

    Tema 1. Teora de Cdigos

    34

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    35/73

    Proposicin: ea L un conjunto finito de #ectores de n, entonces L se puedetransformar en una sucesi+n escalonada por medio de un n/mero finito de operaciones

    elementales. La sucesi+n as otenida *descartando los #ectores nulos si los 7uiera) es

    una ase de YLX.

    i aado n'O #ectores de forma que la sucesi+n resultante sea escalonada oten!o unaase de n.

    %jemplo$

    )*

    1-21-12

    121-221

    211-122

    12-2121

    211-2--

    335 Z* =

    3= {-, 1, 2}

    Namos a transformar esta matri> en escalonada mediante operaciones elementales.

    1------

    2121---

    211-2--

    --1221-

    12-2121

    222-1--

    --111--

    211-2--

    --1221-

    12-2121

    222-1--

    --111--

    --1221-

    211-2--

    12-2121

    1-21-12

    121-221

    211-122

    211-2--

    12-2121

    1-21-12

    121-221

    211-122

    12-2121

    211-2--

    )3*2)5*

    )3*2)4*

    )3,2*)1*2)5*

    )1*)4*

    )1*2)3*

    )2,1*

    e

    e

    ee

    e

    e

    e

    %l c+di!o !enerado por los 5 primeros #ectores est& formado por estos 5 #ectores. Los

    primeros #ectores a forman una ase pero en !eneral no suceder& esto. %sta matri>

    tiene ran!o 5.

    C = Y1-11-1, -11---, 11-1-1, --1-1-X

    2Z

    %n primer lu!ar deemos encontrar una ase de C.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    35

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    36/73

    +

    +

    ------

    -1-1--

    ---11-

    1-11-1

    -1-1--

    ---11-

    ---11-

    1-11-1

    -1-1--

    1-1-11

    ---11-

    1-11-1

    )4,3*

    )2*)3*

    )1*)3* e

    e

    e

    "na ase de C, ={1-11-1, -11---, --1-1-}

    C = Y1-11-1,-11---, --1-1-X

    Namos a #er a7ora c+mo es el c+di!o eBplcitamente.

    C = Yu1, u2, u3X

    C = {u1, u2, u3, -, u1Pu2, u1Pu3, u2Pu3, u1Pu2Pu3}

    C = {------, 1-11-1, -11---, --1-1-,11-1-1, 1--111, -1--1-,111111}

    qO= 23

    dim C = 3

    C = Y-121, 21-1X4

    3Z

    121-

    1-12on [email protected]

    3= {-, 1, 2}

    Kamao del c+di!o = qO= 32= D

    C = {----, -121, 21-1, 12-2, -212, 2222, 1-2-, 2-1-, 1111}

    C = Y1----11, -1--1-1, --1-11-, ---1111X :2Z

    V:,4W' c+di!o *_ammin!)

    24= 1 palaras

    QC+mo 7allar la distancia mnimaR

    %n !eneral, para un c+di!o aritrario se toma todo el c+di!o se #an comparando las

    palaras para #er cu&l es la distancia mnima9 si el c+di!o tiene tamao m deeramos

    calcular

    2

    m distancias, n/mero que puede ser !rande *m=1----

    2

    m=

    4DDD5---)

    La distancia mnima es la distancia mnima entre dos palaras del c+di!o que sean

    distintas.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    3

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    37/73

    Definicin: ea C un c+di!o *no necesariamente lineal) # C una palara delc+di!o. e define el peso de # como el n/mero ^*#) de smolos no nulos de #.

    # = 1--1- ^*#) = 2

    Proposicin:ea C un c+di!o lineal u,# C. %ntonces se #erifica$

    d*u,#) = ^*u'#) ^*u) = d*u,-)

    %l c+di!o dee ser lineal a que u'# dee pertenecer al c+di!o.

    Definicin:ea C un c+di!o. e llama peso de C *o peso mnimo de C) a$

    }-,()*min{$)* = (C((:C:

    Proposicin:i C es un c+di!o lineal entonces d*C) = ^*C).

    8emostraci+n$

    ean u,# C tales que d*u,#) = d*C)

    ^*C) ^ *u'#) -^*u'#) = d*u,#) = d*C)

    As $ ^*C) d*C)ea u una palara distinta de cero de peso mnimo, es decir, ^*u) = ^*C)

    d*C) d*u,-) = ^*u) = ^*C)As$ d*C) ^*C)

    `untando las dos desi!ualdades otenemos$ d*C) = ^*C).

    ;ara otener la distancia mnima s+lo ten!o que recorrer m'1 palara del c+di!o

    calcular sus pesos, con lo que el n/mero de operaciones se reduce.

    %l peso mnimo no tiene por qu coincidir con el peso mnimo de los elementos de la

    ase.

    M#trices Gener#trices % M#trices de Contro!

    Definicin: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal sore un cuerpo *C n). "na matri>!eneratri> de C es una matri> de OBn*) cuas filas forman una ase de C.

    La matri> !eneratri> no es /nica a que 7a muc7as ases.

    C = Y1-11-1, -11---, 11-1-1, --1-1-X es un V,3W'c+di!o

    Tema 1. Teora de Cdigos

    3:

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    38/73

    =

    =

    -1-1--

    1-11-1

    ---11-

    C)*

    -1-1--

    ---11-

    1-11-1

    23 7Z*7

    iempre se cumple que O n.

    ;ara que una matri> sea !eneratri> sus filas deen ser una ase del c+di!o, deen ser

    un conjunto [email protected] La matri> dee tener ran!o O *= n/mero de filas).

    Proposicin:i ] OBn*) con O n, ] es matri> !eneratri> de un c+di!o linealsore *Vn,OW'c+di!o) si s+lo si r!*]) = *]) = O.

    Proposicin: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal sore ] una matri> !eneratri> de C.%ntonces C = { B] ( B O} la aplicaci+n$

    7C.

    f+

    es un isomorfismo de O'espacios #ectoriales.

    B O, B 1BO*)] OBn*)B] 1Bn*) = n

    e multiplica la primera componente de B por la primera fila de ] as sucesi#amente,

    al final se 7ace una suma componente a componente.

    )111*3)--1*2)1--*1

    111

    --1

    1--

    )321* ++=

    ] OBn*)9 *]) = O = *f) = dim*@m f)9 @m f = C

    80 f

    dim N = dim Oer f P dim @m f

    O = dim Oer f P O dim Oer f = - f es inecti#a

    N [email protected]

    @nteresa encontrar matrices !eneratrices lo m&s sencillas posiles para que la

    descodificaci+n sea sencilla. Neamos c+mo conse!uir matrices !eneradoras lo m&s

    sencillas posiles.

    Definicin:ea C un *n,m,d)'c+di!o q'ario sore un alfaeto A. Consideramos los dostipos de operaciones si!uientes$

    Tema 1. Teora de Cdigos

    3

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    39/73

    1' ea una permutaci+n del conjunto de ndices {1, 2, .... n}. %s una aplicaci+niecti#a de un conjunto en si mismo. %jemplo$

    =

    =

    45123

    54321

    )5*)4*)3*)2*)1*

    54321

    ;ara cada palara de c+di!o u = u1u2...un, ui A, se sustitue u por la palara u*1)u*2).... u*n)*permutaci+n posicional).

    2' ea para cada ndide i {1, 2, ....n}, i$ AA una permutaci+n. e sustituecada palara del c+di!o u = u1u2 ...un por u1u2 ...i*ui)... un *permutaci+n desmolos).%jemplo$

    i = 3

    22

    3

    ZZ

    3= *1 -)Cada elemento #a al si!uiente el /ltimo #a al primero.

    1-11-1--1-

    Definicin:%l c+di!o C es equi#alente al c+di!o C cuando C se otiene a partir de Cmediante una sucesi+n finita de operaciones de los 2 tipos anteriores.

    %jemplo$

    C = {1-121, 2112-, --221, 1-12-, -1212} 5

    3Z

    5= *1 3) *2 5)

    13 25

    31 52

    C= {11121, 1b221, 21-2-, 1-12-, 22-11}

    A7ora aplico$

    *1) *- 2 1) en la posici+n 1*4) *- 1) en la posici+n 4

    Aplico 1$C = { -112-, --221, 11-2-, --12-, 12-11}

    Aplico 4$

    C = {-112-, --221, 11-2-, --12-, 12--1}

    Tema 1. Teora de Cdigos

    3D

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    40/73

    %sta relaci+n es una relaci+n de equi#alencia, es decir, cumple las propiedades

    refleBi#a, simtrica transiti#a.

    %stas operaciones conser#an todos loas par&metros del c+di!o *lon!itud, tamao

    distancia entre palaras). 8os c+di!os equi#alentes tienen los mismos par&metros la

    misma distancia mnima, con lo que tienen la misma capacidad de corre!ir errores.

    Proposicin:ea C un c+di!o de lon!itud n sore el alfaeto A u An. %ntonceseBiste un c+di!o C equi#alente a C tal que u C.

    8emostraci+n$

    ea # C. ediante a lo sumo n permutaciones de smolos se pasa de # a u.%ntonces el c+di!o C otenido a partir de esas permutaciones es equi#alente a C

    tenemos la propiedad de que u C.

    Definicin:"na matri> !eneratri> ] de un Vn,OW'c+di!o se dice normali>ada o est&ndar*o est&ndar por la i>quierda) cuando es de la forma si!uiente$

    )0* A>7 +=

    donde @Oes la matri> identidad de O*) *matrices cuadradas O B O). Adem&s si un

    c+di!o C tiene una matri> !eneratri> est&ndar se dice que C es un c+di!o sistem&tico.

    %jemplo$

    V5,3W'c+di!o

    ] =

    3534

    2524

    1514

    1--

    -1-

    --1

    aa

    aa

    aa

    AO filas n'O columnas

    A OB*n'O)*)

    n = O, n= C

    Vn,nW'c+di!o

    ] =

    1...-

    ...

    .-.

    -1-

    -..-1

    "n c+di!o de este tipo es el c+di!o [email protected]@ est&ndar.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    4-

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    41/73

    %l c+di!o [email protected]@ con it de paridad es un *

    1

    1

    1

    11

    1-

    ..

    ..

    -.-1--..-1

    :

    Neamos a7ora un ejemplo en 3$

    -12

    121

    6o es un c+di!o sistem&tico. a que la matri> de 2B2 tiene ran!o 1

    *1S1 ' 2S2 = -)

    Las primeras O columnas de la matri> deen formar una matri> OBO de ran!o O para

    que el c+di!o sea sistem&tico a que as podemos transformar esta matri> OBO en la

    matri> identidad aplicando operaciones elementales.

    Proposicin:e #erifican las si!uiente propiedades$

    i) Kodo c+di!o lineal es equi#alente a un c+di!o sistem&tico.

    ii) "n c+di!o sistem&tico posee una /nica matri> !eneratri> est&ndar.iii) i C es un Vn,OW'c+di!o sistem&tico entonces para cada u = u1u2...un O

    eBiste una /nica palara de c+di!o cuC de la forma cu= u1u2...uOBOP1...Bn.Komamos todo O le aadimos n'O smolos de tal forma que el c+di!o

    si!a siendo un %N. Las O primeras componentes se llaman smolos de

    informaci+n las n'O si!uientes se llaman smolos de control o smolos

    de redundancia.

    C+di!o [email protected]@ con it de paridad Las : primeras posiciones no corri!en errores,

    forman todo:

    2Z , lue!o se aade un smolo de control para permitir la detecci+n

    de errores.

    8emostraci+n$

    i) upon!amos que el primer coeficiente no nulo de la fila i est& en la

    columna ji *i ji). ean i1....irlas filas de la matri> escalonada tales que+i+

    ji *O = 1....r). Consideremos la permutaci+n posicional de la palarasde C$ *ir jr) *ir'1 jr'1) .... *i1 j1), todas estas trasposiciones son disjuntas

    forman una permutaci+n *la trasposici+n situada m&s a la derec7a es la que

    se aplica primero). %jemplo$

    Tema 1. Teora de Cdigos

    41

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    42/73

    21-------

    121------

    2112-11--

    11212-121

    j2= 3, j3= :, j4= de C, el primer loque es de

    tamao OBO el se!undo loque es de tamao OB*n'O). Aplicando

    operaciones elementales por columnas esta matri> se reduce a una matri>

    !eneratri> est&ndar.

    ii) ean ] ] matrices !eneratrices est&ndar de C sean a i ai las filas

    i'sima de ] ]. Como amas matrices !eneran el mismo c+di!o las filas

    de ] se pueden poner como CL de las filas de ]. a i tiene un 1 en la

    posici+n i, aideer ser i!ual a a i, a que si ailo pusisemos como CL de

    las filas de ] en esta CL s+lo inter#endra la fila a i a que si no la matri>

    fila aitendra unos en una posici+n distinta de la i.

    iii) 3, V5,3W'c+di!o. C = { ....}-1-,--2,--1,--- , aparecen todas las

    posiles palaras de

    3

    3Z 7a una /nica palara que comien>a por esossmolos. u = u1....uO O, sea ] una matri> !eneratri> est&ndar con filasa1,...aO n. *u1....uO)] = u1a1 P u2a2 P ....uOaO = u1u2 ...uOBOP1....Bn.

    )...-.....--1*1 a+

    = . La palara empie>a por los smolos u ideido

    a que la matri> es est&ndar lue!o aparecen otros elementos. Kodas las

    palaras del c+di!o se otienen as. %l c+di!o [email protected]@ con un it de paridad

    es un c+di!o sistem&tico a que se co!e todo:

    2Z se le aade un it de

    redundancia.

    ea C el c+di!o ternario de matri> !eneratri>$

    =

    1211-

    111-1

    --221

    7

    %ncontrar un c+di!o sistem&tico que sea equi#alente a C una matri> !eneratri> de

    dic7o c+di!o.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    42

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    43/73

    -12--

    1121-

    --221

    1211-

    1121-

    --221

    1211-

    111-1

    --221)2*)3*)1*)2* ee

    %sta matri> es una matri> !eneratri> del mismo c+di!o a que s+lo 7emos reali>ado

    operaciones elementales. %l c+di!o C a es sistem&tico, #amos a 7allar la matri>

    est&ndar. La matri> 3B3 tiene ran!o 3. ;ara que la matri> OBO escalonada ten!a ran!o O

    los elementos de la dia!onal deen ser distintos de cero.

    -21--

    1--1-

    12--1

    -21--

    1--1-

    --221

    -21--

    1121-

    --221

    -12--

    1121-

    --221)2*2)1*

    )3*2)1*

    )3*2)2*)3*2 e

    e

    ee

    _acer lo mismo con un c+di!o C cua matri> !eneratri> es$

    )*

    -1211

    112-1

    --221

    353 Z*7

    =

    12---

    11-1-

    --221

    -1-2-

    11-1-

    --221

    -1211

    112-1

    --221)2*)3*)1*)3*

    )1*)2*

    ee

    e

    %l ran!o de la matri> 3B3 no es 3. %sta matri> no se puede reducir mediante

    operaciones elementales a la matri> identidad a que sta tiene ran!o 3.

    -21--

    -2-1-

    22--1

    -21--

    -2-1-

    2--21

    -21--

    -111-

    2--21

    12---

    11-1-

    --221)2*2)1*)3*)2*53

    eecc

    C es equi#alente a C. %l c+di!o C se otiene a partir de C permutando las posiciones

    3 5. Itra matri> !eneratri> de C sera$

    21-11

    211-1

    2--21

    8iferencia entre la descodificaci+n de fuente la descodificaci+n de canal$

    La descodificaci+n de canal consiste en, al usar un c+di!o detector de errores, reciir

    las palaras transmitidas si stas no son palaras del c+di!o por al!/n mtodo

    sustituir la palara reciida por una palara del c+di!o. La descodificaci+n de la fuente

    consiste en tomar la informaci+n pasarla a su formato ori!inal.

    %n el caso de los c+di!os lineales la codificaci+n descodificaci+n de fuente es

    astante eficiente.

    ea ] la matri> !eneratri> de un Vn,OW'c+di!o C sore .

    Tema 1. Teora de Cdigos

    43

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    44/73

    7

    C.7+

    %sta aplicaci+n es un isomorfismo de %N. ;ara codificar se codifica por loques9 se

    construe la fuente como elementos de O aplicando el isomorfismo pasamos al

    c+di!o C.La descodificaci+n de fuente consiste en una #e> que se 7a reciido B] recuperar B9

    esto se 7ace resol#iendo un sistema de ecuaciones lineales.

    =

    +n+

    n

    aa

    aa

    7

    ..

    .

    .

    ..

    1

    111

    B = *B1,.....,BO)

    ).....,.....,.....,.....*),.....,* 11211211111 ++nn++++n aaaaaa!!7 ++++==

    a11B1 P ZZP aO1BO= u1.

    .

    a1nB1P .......P aOnBO= un

    %ste sistema tiene ran!o O, entonces tiene soluci+n /nica. _a O ecuaciones [email protected], con lo

    que podemos eliminar n'O ecuaciones. %l n/mero de inc+!nitas es i!ual al ran!o del

    sistema, la soluci+n es /nica.

    _a un caso en el que esto es mu sencillo. i C es un c+di!o sistem&tico$

    u = u1....uO Ou u] = u1....uOBOP1....Bn

    )0* A>7 +=

    As las descodificaci+n es tri#ial, asta con truncar las palaras tomando los Oprimeros smolos.

    Definicin:ea C un Vn,OW. %l c+di!o dual *c+di!o orto!onal) de C es el espacio#ectorial orto!onal de C con respecto al producto escalar ordinario de n, es decir$

    nn .C,,.C == },-S({$

    Proposicin:i C es un Vn,OW'c+di!o entonces C es un Vn,n'OW'codi!o.

    ea u1...uO nuna ase de C, entonces }....1,-S({ +i!.C in === .

    Tema 1. Teora de Cdigos

    44

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    45/73

    i ui= *ui1,....uin) i = 1...O, entonces C es la soluci+n del sistema 7omo!neo.u11B1 P ZZP u1nBn= -

    .

    .

    uO1B1P .......P uOnBn= -

    Ken!o n inc+!nitas el sistema tiene ran!o O. La soluci+n es un eN de ran!o n'O.

    Propiedades:

    i) i C 8 son c+di!os lineales tales que C 8, entonces 8 C .ii) i ] es una matri> !eneratri> de C entonces C = {B n ( B]t= -}.iii) C = C.

    8emostraci+n$

    i#) dim C = n U dim C9 dim C = n U dim C = n U *n U dim C) = dim C C C , pero dim C = dim C C = C

    %jemplo$

    C = Y-11-, 12-1X4

    3Z

    =

    1-21

    -11-7

    B2P B3= -

    B1P 2B2PB4= -

    dim C = 4 U2 = 2

    B3= B4 =

    B2= '

    B1= 2' = - = 1*'1,-,-,1) = 1 = -*2,'1,1,-)

    =

    -112

    1--1C7 es una matri> !eneratri> del c+di!o C

    Definicin:e llama matri> de control *parit'c7ecO matriB) de C a cualquier matri>!eneratri> de C . i _ es una matri> de control de C entonces$

    }-({ == tn /.C

    Tema 1. Teora de Cdigos

    45

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    46/73

    i C es un Vn,OW'c+di!o _ es una matri> de control de C, _ *n'O)Bn*)

    CC = - cuando traajamos con el cuerpo de los n/meros reales, pero para otroscuerpos esto no tiene por qu ser cierto *cuerpos finitos, cuerpo de los n/meros

    complejos).

    Definicin: "n c+di!o lineal C se dice autodual cuando coincide con su dual.

    %jemplo$

    C = Y11--,--11X

    Comproar que C = C .

    B1P B2= -

    B3 P B4= -

    B2= B3=

    B1= 'B3= '

    = 1 = -*11--) = - = 1*--11)

    C = C

    Al!unos liros dan esta definici+n de matri> de control$

    ; es una matri> de control de C cuando u C u;t= -Aqu no se eBi!e que la matri> !enere C .

    %l c&lculo de la matri> de control en la pr&ctica se 7ace de forma diferente a la que

    7emos 7ec7o.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    4

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    47/73

    Proposicin: ea C un c+di!o lineal sistem&tico que tiene una matri> !eneratri>est&ndar ] = *@O 0 A). %ntonces ; = *A

    t0 '@n'O) es una matri> de control de C.

    8emostraci+n$

    i demostramos que las filas de ; son #ectores de C adem&s que son [email protected], entoncestendremos n'O #ectores [email protected] de C que tiene dimensi+n n'O, as forman una

    ase de C . Las filas !eneran un suespacio de dimensi+n n'O de C como dim C = n'O se tiene que las filas son una ase de C , es decir, ; esuna matri> de control de C.

    e tiene que ];t= - por tanto las filas de ; pertenecen a C . %l ran!o de ; es n'O,

    lue!o sus n'O filas son [email protected]

    Definicin:e dice que la matri> de control ; del c+di!o C es una matri> de controlest&ndar cuando es de la forma ; = * 0 @n'O)

    i C es un c+di!o inario sistem&tico con matri> !eneratri> ] = *@ O0 A) entonces lamatri> ; = *At0 @n'O) es una matri> de control est&ndar de C *'1 = 1).

    ] = *@O0 A)

    %l sistema que 7ara que resol#er para otener C sera$

    B1P a1OP1BOP1P .....P a1nBn= -

    B2P a2OP1BOP1P Z..P a2nBn = -

    .

    .

    BOP aOOP1BOP1P Z..P aOnBn = -

    Komamos n'O par&metros *BOP1...Bn). Itenemos una ase.

    ea C el c+di!o inario de matri> !eneratri>$

    =

    1111---

    -11-1--

    1-1--1-

    11----1

    7

    C = _2*3) *C+di!o de _ammin!)

    _allar una matri> de control de C.

    ; = *At0 '@n'O)

    ]= *@40 A)

    =

    111

    -11

    1-1

    11-

    A

    Tema 1. Teora de Cdigos

    4:

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    48/73

    =

    1--1-11

    -1-11-1

    --1111-

    P

    Caractersticas de las matrices !eneratrices las matrices de control$

    La #entaja de la matri> !eneratri> es que a partir de ella es m&s f&cil otener las

    palaras del c+di!o *CL de sus filas).

    ;ara el c&lculo de la distancia mnima es mejor tener la matri> de control. A partir de la

    matri> !eneratri> no se conoce nin!/n mtodo directo para otener ^*C), en camio a

    partir de la matri> de control s.

    Proposicin:ea ; una matri> de control de un Vn,O,dW'c+di!o lineal. %ntonces ladistancia mnima d es el menor entero positi#o r para el cual eBisten r columnas

    linealmente dependientes en la matri> ;.

    8emostraci+n$

    ean p1....pnlas columnas de ;. ea B = B1....Bn n. B C B;t= -

    B;t= B1S*1F fila de ;t) P B2S*2F fila de ;

    t) P ..... BnS*nF fila de ;t) = B1p1P ... Bnpn

    B C B1p1P ... Bnpn= -

    i B es una palara de peso mnimo el n/mero de coeficientes no nulos es el menor de

    entre todas las palaras del c+di!o. %l peso mnimo es el n/mero mnimo de columnasL8 *cada palara me da un CL de las columnas de la matri>).

    %jemplo$

    _2*3)

    =

    1--1-11

    -1-11-1

    --1111-

    P

    QCu&l es el mnimo n/mero de columnas linealmente dependientesR

    r! ; = 3 %l n/mero m&Bimo de columnas [email protected] es 3, as 4 columnas son L8, ladistancia mnima es menor o i!ual que 4.

    Q;uede 7aer 3 columnas L8R

    La 3F columna es la suma de las dos primeras9 as d 3, 7e encontrado 3 columnasL8.

    d 1 a que s+lo el #ector - puede formar por s solo un conjunto L8.6o 7a 2 columnas L8 a que una deera ser m/ltiplo de la otra, pero en este caso

    esto implicara que fuesen i!uales. Lle!amos a que d = 3.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    4

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    49/73

    ea C el V1-, de control de C, _ *n'O)Bn*). Lamatri> _ define una aplicaci+n lineal$

    ))** tt

    t

    +n?n

    /

    /

    ..

    La aplicaci+n se puede dar de cualquiera de estas dos formas.

    _ = *7)eeLas columnas de _ son las im&!enes de los #ectores de la ase de n

    mediante 7.

    Definicin:upon!amos que se transmite la palara B C n que la palarareciida es

    n. %ntonces a la diferencia = U B nse le llama palara deerror.

    QC+mo se puede determinar a partir de 7R

    B n9 B C B_t= -

    %sto es lo mismo que decir que$

    C = Oer 7 = {B n( 7*B) = -}

    %ntonces se #erifica que 7*) = 7*B P ) = 7*B) P 7*) = 7*)

    t

    +n?n

    /

    ..

    Oer 7 = C

    n(C = {B P C ( B n}%N de nm+dulo suespacio CB P C = {B P u ( u C} n

    Tema 1. Teora de Cdigos

    4D

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    50/73

    7 define una relaci+n de equi#alencia en n$

    B, n9 B 7 7*B) = 7*) 7*B U ) = - B U C er 7 = C

    La clase de equi#alencia de B n es BPC. %l conjunto cociente asociado a la

    relaci+n de equi#alencia es$

    n(C = {B P C ( B n}

    Las clases {B P C ( B n} *el conjunto cociente) constituen una partici+n de n.n es la uni+n disjunta de las clases de BPC con B n.n(C es un 'espacio #ectorial con operaciones$

    1) *BPC) P *PC) $= BPPC n., ,

    2) a*BPC) $= aBPC nn ..a ,

    i BPC n(C entonces

    !!

    CC

    ++

    es una iecci+n entre C BPC, lue!o 0BPC0 = 0C0 B n.%l c+di!o es la clase del -.

    00 = q, 0n0 = qn, 0BPC0 = 0C0 = qO

    %l n/mero de clases es$

    qn(qO= qn'O, 0n(C0 = qn'O

    80 f

    N(er f @m f

    n(C n'O

    7*) = 7*)

    Definicin:ea C un Vn,OW'c+di!o con matri> de control _. 8ado B n

    se llamasndrome de B a la palara 7*B) = B_ t n'O. B C si s+lo si el sndrome de B es -.

    Proposicin: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal con matri> de control _. %ntonces siB, n, B e tienen el mismo sndrome si s+lo si pertenecen a la misma clase delespacio cociente n(C.

    La descodificaci+n por distancia mnima consiste en uscar la palara de pesomnimo entre todas las que tienen el mismo sndrome que la palara reciida a

    continuaci+n calcular B = ' .

    s"!ema:

    Tema 1. Teora de Cdigos

    5-

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    51/73

    ' e calcula el sndrome de la palara reciida , 7*) = _t.

    ' e determina la clase lateral asociada a este sndrome, PC.

    ' e usca en esta clase la palara de peso mnimo .' e calcula B = '.

    i C es un c+di!o t'corrector en la transmisi+n se 7an cometido t o menos errores

    entonces en la clase PC 7a una /nica palara de peso menor o i!ual que que es la

    palara de error .

    8escodificaci+n por sndrome$

    Construimos la tala est&ndar$

    ea C un Vn,OW'c+di!o de tamao m*=qO), C n

    )*..

    .....

    .....

    )*

    )*

    -)-*-..-

    2

    133133

    222122

    1

    +n+n+n+n+n ""m"""

    m

    m

    +n

    m

    !?C!c!c!!

    !?C!c!c!!

    !?C!c!c!!

    .?Ccc

    +++

    ++++++

    =+

    ea u2una palara de n'C de peso minimal. La 2F fila est& formada por las palaras

    de u2PC. ea u3una palara de n'C que no pertenece a u2PC de peso minimal.

    0n(C0 = qn'O

    Jepetimos esto qn'O#eces. nes la uni+n disjunta de las clase uPC.

    Las palaras de la 1F columna de la tala est&ndar se llaman lderes de clase tienen

    peso minimal dentro de la clase.

    i C es t'corrector, cualquier palara de nde peso menor o i!ual que t es lder de

    clase.

    %n el caso inario el c&lculo del sndrome se reali>a tomando la matri> de control9 nos

    fijamos en las componentes no nulas de la palara reciida sumamos las columnas

    de la matri> de control que ocupan las posiciones no nulas de la palara reciida.

    %jemplo$

    ea C el c+di!o con matri> de control$

    =

    1--11

    -1--1

    --11-

    /

    Construir la tala est&ndar descodificar las palaras reciidas$ 111-1, --11- -11-1.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    51

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    52/73

    %n primer lu!ar #amos a determinar una matri> !eneratri> para 7allar las palaras del

    c+di!o. C es un V5,2W'c+di!o. i calculo la matri> de control del c+di!o dual oten!o

    una matri> !eneratri> del dual del dual, que es el c+di!o C. _ es una matri> de control

    est&ndar as el c+di!o es sistem&tico.

    _ = *[email protected])] = *@20t)

    =

    1-11-

    11--17

    La distancia mnima es el n/mero mnimo de columnas L8 de la matri> de control.

    r!*_) = 34 columnas ser&n L8

    6o 7a nin!una columna que sea -, as d X 1. 2 columnas L8, en el caso inario,seran i!uales, como no 7a 2 columnas i!uales d X 2. _a 3 columnas L8 *1F = 4F P

    5F), as d = 3.

    %l c+di!o es 1'corrector.

    Namos a construir la tala est&ndar.

    111-1-1-11--1--1111-1--

    11---11-1-1-1-1-1111---

    --111111-11--1--1-----1

    -1-111---11111---1---1-1--11-1--1--11-111--1--

    1-11-11---1-111-11-1---

    -11-111-111-1---111----

    ---1111--11-11--11-----

    #indromes'deres

    %n un c+di!o t'corrector todas las palaras de peso menor o i!ual que t #an a ser

    lderes de clase.

    A7ora deo tomar la palara de peso 2 que no 7aamos puesto *7asta la F fila).

    ;onemos una palara de peso 2 otenemos su sndrome, si ste a 7a salido es que la

    palara a 7a salido deemos co!er otra palara.

    = -11-1

    7*) = -11-1 _t= ---

    -11-1 C *er 7 = C)

    6o puede 7aer ocurrido un error a que se 7a reciido una palara del c+di!o9

    tampoco se pueden 7aer cometido 2 errores, pero si se pudieron cometer 3 errores.

    = -11-1B = -11-1

    = 111-1

    Tema 1. Teora de Cdigos

    52

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    53/73

    7*) = --1 * C)

    uscamos el lder de clase de este sndrome.

    B = P 1---- = -11-1

    %sta es la /nica palara que podemos otener si se 7a producido un /nico error. i

    7uiesen ocurrido 2 errores la palara real podra ser otra pero este c+di!o s+lo corri!e

    un error. %sta palara es la palara de c+di!o que aparece en la columna de la palara

    en la tala.

    = --11-7*) =11-

    %l lder de clase es 11---, que tiene peso 2, as se 7an cometido al menos 2 errores,

    como el c+di!o es 1'corrector no #amos a tener la se!uridad de 7acer la

    descodificaci+n correcta.

    8escodificaramos como$

    B = ' = 1111-

    e 7an cometido 2 errores la palara reciida podra 7aer sido -----. i se 7an

    cometido 2 errores cualquiera de estas dos palaras podra 7aer sido transmitida.

    %ste mtodo tiene un incon#eniente a que la tala est&ndar puede ser !rande, por

    ejemplo, en un c+di!o inario de lon!itud 1-- en la tala 7ara que poner 21--

    palaras *sin contar sndromes). %sto 7ace que para c+di!os de estos tamaos la tala

    sea inaordale9 por eso en estos casos se utili>ara una tala reducida con 2 columnas,la columna de los lderes de clase la de los sndromes. Kendramos esto$

    ..

    ..

    .1

    -----

    peso

    #ndrome'deres

    %n primer lu!ar #amos poniendo las palaras de peso uno su sndrome. Al acaar

    con las palaras de peso uno pasamos a las de peso 2. %sta tala es muc7o m&s

    reducida. %jemplo$

    V1--,-W'c+di!o, n'O = 4-, tenemos 24- lderes de clase sus correspondientes

    sndromes. Contando las 2 columnas$ 2S24-= 241. %ste mtodo de descodificaci+n #ale

    para cualquier c+di!o. %Bisten c+di!os que tienen mtodos de descodificaci+n

    especficos.

    %l prolema principal en el caso de los c+di!os lineales es dada la lon!itud n la

    distancia mnima d encontrar la dimensi+n m&Bima O para la cual eBiste un

    Vn,O,dW'c+di!o lineal.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    53

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    54/73

    %ste prolema es demasiado difcil, entonces se plantea otro m&s f&cil9 fijadas la

    lon!itud la dimensi+n cu&l es la m&Bima distancia d posile. La cota de in!leton

    nos da esto.

    Proposicin:i C es un Vn,O,dW'c+di!o lineal entonces d n'OP1

    8emostraci+n$

    Kodo c+di!o lineal saemos que es equi#alente a un c+di!o lineal sistem&tico la

    equi#alencia de c+di!os conser#a los par&metros de los c+di!os. Itenemos un c+di!o

    sistem&tico equi#alente a C, con lo que tendr& sus mismos par&metros. ;odemos

    suponer que C es sistem&tico$

    ] = *@O0A) A OB*n'O)*)

    d peso m&Bimo de cualquier fila de la matri> !eneratri> *= peso m&Bimo de las filasde ])

    A lo sumo en cada fila de ] tenemos n'OP1 d!itos distintos de cero. %ntonces a lo

    sumo el peso de las filas de ] es n'OP1. %ntonces d n'OP1. %sta cota se puedealcan>ar.

    Definicin: "n Vn,O,dW'c+di!o lineal C se dice que es un c+di!o 8 *maBimundistance separale code) cuando d = n'OP1.

    8emostrar que eBisten c+di!os q'arios 8 de tipo Vn,n,1W, Vn,1,nW Vn,n'1,2W. %stos

    c+di!os se llaman c+di!os 8 tri#iales.

    q = 2, C =n

    Z2 Vn,n,1W'c+di!o

    C1= Y11...1X

    C1= {--....-,11....1} Vn,1,nW'c+di!o

    1C Vn,n'1,2W'c+di!o

    *11....1) es una matri> !eneratri> de C1,1C tiene como matri> de control

    1

    1...101

    n

    .

    ] = *@O0A) _ = *[email protected]'O)

    1C tiene como matri> !eneratri> *matri> de control de C1 de 1B*n'1)) a$

    Tema 1. Teora de Cdigos

    54

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    55/73

    1-..-1

    -...

    ....

    .1-1

    -..-11

    _a que #er que la distancia mnima es 2$

    1C _ = *1011....1)

    2 columnas son L8 d = 2 %s un c+di!o 8

    Cdigos Eseci#!es: Cdigos de $#mming* de Go!#% % de Reed+Mu!!er

    Cdigos de $#mming:

    %stos fueron los primeros c+di!os interesantes que aparecieron. \ueron descuiertos

    independientemente por J. _ammin! *1D5-) . ]ola *1D4D). %stos c+di!os tienen

    un procedimiento de descodificaci+n especial.

    Kenemos un Vn,OW'c+di!o lineal9 su distancia mnima es el mnimo n/mero de

    columnas L8 de una matri> de control. ea d la distancia mnima entonces si tomamos

    d'1 columnas cualesquiera de cualquier matri> de control #a a ser [email protected], pero 7a un

    !rupo de d columnas L8.

    Namos a construir un Vn,O,3W'c+di!o lineal. Construimos este c+di!o de tal forma que

    su matri> de control ten!a 2 columnas cualesquiera [email protected] con 3 columnas L8,

    co!iendo el m&Bimo n/mero de columnas posile.

    %l c+di!o de _ammin! q'ario de orden r *r , r 2) #a a ser un c+di!o q'ario

    Tema 1. Teora de Cdigos

    55

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    56/73

    Hq*r) que tiene una matri> de control _q*r) con r = n U O filas con el m&Bimo

    n/mero posile de columnas *siendo d = 3). Las columnas de _q*r) son #ectores der

    "5 .

    2 #ectores deer se [email protected] Los suespacios que !eneran son distintos*las 2 rectas que!eneran deen ser diferentes).

    Considero todas las rectas de r"5 que son de la forma Y#X, # r"5 .

    Komemos un #ector no nulo en cada recta Y#Xr

    "5 9 2 de estos #ectores son [email protected] siempre puedo co!er 3 que son L8.

    r"5(

    r

    " (5

    >= de control de Hq*r) es una matri> que tiene r filas n =1

    1

    "

    "r

    columnas,

    el c+di!o Hq*r) es un Vn,O,3W'c+di!o donde O = n U r. %sta matri> se llama matri> de

    _ammin! no es /nica.

    Consideremos los elementos de _q*r) como n/meros en el sistema de numeraci+n dease q. %le!imos los que son distintos de cero que tienen d!itos m&s si!nificati#o

    i!ual a 1. %ntonces las columnas de _q*r) son estos n/meros escritos en orden

    creciente.

    H2*3)

    =

    1-1-1-1

    11--11-

    1111---

    )3*2/

    r = 3. Las columnas son n/meros de 3 d!itos inarios.

    n = :12

    12

    1

    1 3=

    =

    "

    " r

    d = 3

    %l tomar el d!ito m&s si!nificati#o i!ual a 1 implica que co!emos un /nico punto en

    cada recta.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    5

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    57/73

    =

    21-21-21-21-1

    222111---111-

    111111111----

    )3*3/

    Las columnas est&n ordenadas en orden creciente.

    n = 1313

    133=

    i pusisemos la columna2

    -

    -

    sera m/ltiplo de1

    -

    -

    as d = 2 *co!eramos 2 #ectores

    en la misma recta).

    =321-4321-4321-4321-4321-133332222211111-----11111-

    1111111111111111111------

    )3*5/

    314

    124

    15

    153==

    =n

    r = 3 = n U O O = 2onamiento para d con la matri> ]2#emos que ^*d) 1.i ^*i) = 1 entonces u es una fila de ]1 nin!una de ellas tiene peso 4, lue!o ^*i) 2

    %l mismo ra>onamiento muestra que ^*d) 2.%ntonces tiene que ser ^*i) = ^*d) = 2.

    ^*i) = 2 u es la suma de 2 filas de ] 1pero nin!una de estas sumas puede tenerpeso 4.

    !24es un V24,12,

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    62/73

    %l C+di!o de ]ola inario !23$

    e otiene a partir de !24pinc7ando una componente a !24*usualmente se elimina el

    /ltimo smolo de todas las palaras).

    n = 23, m = 212

    La distancia mnima o es la misma o disminue una unidad. %n este caso al pinc7ar la

    /ltima columna de la matri> de control de !24la /ltima fila tienen peso :, as d = :. ! 23es un V23,12,:W'c+di!o. !23es perfecto. !24se otiene a partir de !23aadindole un it

    de paridad.

    Los C+di!os de ]ola Kernarios$

    !12tiene por matri> !eneratri> ] = *@0) donde

    =

    -12211

    1-1221

    21-121

    221-11

    1221-1

    11111-

    3

    A partir de la 3F fila una fila se otiene a partir de la anterior despla>&ndola una

    posici+n 7acia la derec7a.

    Propiedades:

    i) !12es autodual.

    ii) es simtrica.

    iii) ]12es un V12,,W'c+di!o.

    i#) %l c+di!o ternario !11 otenido pinc7ando !12 es un V11,,5W'c+di!o

    perfecto.

    Cdigos de ,ordstrom+Ro-inson:

    on c+di!os no lineales tienen la propiedad de que tienen una distancia mnimamaor que cualquier c+di!o lineal que ten!a el mismo tamao la misma lon!itud.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    2

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    63/73

    Cdigos de Reed+Mu!!er:

    %stos c+di!os son f&ciles de descodificar.

    Definicin: "na funci+n de oole de m #ariales es una aplicaci+n 22$ ZZfm .

    Las funciones de oole se suelen representar dando su tala de #erdad.

    m = 3

    %ntero

    inario

    - 1 2 3 4 5 :

    B1 - - - - 1 1 1 1

    B2 - - 1 1 - - 1 1

    B3 - 1 - 1 - 1 - 1

    \*B1,B2,B3) - 1 1 1 - 1 1 -

    ;ara dar la funci+n ooleana me asta quedarme con la /ltima fila a que me descrie

    completamente la funci+n *si asumo que siempre ten!o el mismo orden).

    %Biste una correspondencia iun#oca entre funciones de oole de m #ariales

    palaras inarias de lon!itud 2m

    .

    2

    4

    2$ ZZf

    1-111-1--1---11-

    f*111-) = 1

    f*-1-1) = -

    Bm= {funciones de oole de m #ariales}

    0Bm0 =m22 n/mero de palaras inarias de lon!itud m

    %n Bm se define una suma$

    f, ! Bm, *f P !)*B1,Z.Bm) $ = f*B1,Z.Bm) P !*B1,Z.Bm)

    *Bm,P) es un !rupo aeliano.

    o eBclusi#o *Bor)

    *f P !)*B1,Z.Bm) = 1 f*B1,Z.Bm) = 1 o !*B1,Z.Bm) = 1 pero no amos son 1.

    8efinimos una multiplicaci+n escalar$

    Tema 1. Teora de Cdigos

    3

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    64/73

    2, f Bm, *f) *B1,Z.Bm) $ = *f*B1,Z.Bm))

    Bm es un 2'espacio #ectorial.

    8ados f, ! Bm, *f S !)*B1,Z.Bm) $ = f*B1,Z.Bm) S !*B1,Z.Bm)

    ea m$ = {\*B1,....Bm) =}.....)*

    21

    1

    )...*

    1= mm

    m

    Z!!!

    !

    m

    ! !a, con a*u) 2.

    A los elementos de este conjunto se les llaman polinomios de oole.

    0m0 =m

    22

    QCu&ntos monomios 7a de !rado O$ +!! m!m! m =++ ....(... 111 R

    _a

    +

    mmonomios de !rado O en m #ariales.

    mm

    m

    mmmm2)11*.....

    21-=+=

    +

    +

    +

    , estos son todos los posiles monomio de m

    #ariales.

    Proposicin:La aplicaci+n$

    m Bm\ f

    que a cada polinomio de oole \*B1,....Bm) le 7ace corresponder la funci+n de oole

    f*B1,...Bm) dada por f*B1,...Bm) = \*B1,....Bm) es un isomorfismo de 2'espacios

    #ectoriales.

    8emostraci+n$

    asta demostrar que toda funci+n de oole de m #ariales est& inducida por un

    polinomio de oole de m #ariales a que los 2 conjuntos tienen el mismo n/mero de

    elementos, as si la aplicaci+n es soreecti#a es iecti#a.

    _a que demostrar que toda funci+n de oole f*B1,....Bm) Bmest& inducida por unpolinomio de oole. "samos inducci+n en m.

    m = 1

    Las funciones de oole de 1 #ariale son --, 11, -1, 1-.

    -- -

    11

    1-1 B1

    Tema 1. Teora de Cdigos

    4

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    65/73

    1- 1 P B1

    Kodas las funciones de 1 #ariale est&n inducidas por polinomios.

    upon!amos que se #erifica para m'1 #ariales sea f*B1,....Bm) Bm

    f*B1,....Bm) = f*-,B2,ZBm) P 1*B1,ZBm)Vf*1,B2,...Bm) U f*-,B2,...Bm)W

    donde 1*B1,ZBm) = B1, es decir

    f*B1,....Bm) = f*-,B2,ZBm) P B1*B1,ZBm)Vf*1,B2,...Bm) U f*-,B2,...Bm)W

    8efinimos funciones de oole de m'1 #ariales$

    f-*B2,...Bm) $ = f*-,B2,ZBm)

    f1*B2,...Bm) $ = f*1,B2,ZBm)

    ;or la 7ip+tesis de inducci+n eBisten polinomios de oole \ -*B2,...Bm) \1*B2,...Bm)

    tales que$

    \-*B2,...Bm) = f-*B2,...Bm) = f*-,B2,ZBm)

    \1*B2,...Bm) = f1*B2,...Bm) = f*1,B2,ZBm)

    La funci+n 1*B1,ZBm) est& inducida por el polinomio ]*B1,...Bm) = B1. %ntonces elpolinomio

    \*B1,...Bm) = \-*B2,ZBm) P B1V\1*B2,...Bm) U \-*B2,...Bm)W

    induce la funci+n f*B1,...Bm).

    'ea f la funci+n de oole dada por$

    -11---11

    _allar el polinomio de oole que la induce.

    11---11-)*,,*

    1-1-1-1-

    11--11--

    1111----

    321

    3

    2

    1

    f

    -11-),,-*

    1-1-

    11--

    32

    3

    2

    f

    Tema 1. Teora de Cdigos

    5

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    66/73

    11--),,1*

    1-1-

    11--

    32

    3

    2

    f

    f*B1,...Bm) = f*-,B2,ZBm) P B1Vf*1,B2,ZBm) U f*-,B2,...Bm)W

    -11---11 = -11- P B1V--11 ' -11-W = -11- P B1*-1-1) = -1 P B2V1- ' -1W P B1V-1 P

    B2V-1 ' -1WW = -1 P B2*11) P B1*-1) = V- P B3*1 U -)W P B2V1 P B3*1 U 1)W P B1V- P

    B3*1 U -)W = B3P B2P B1B3

    '_allar los polinomios de oole que inducen las funciones$

    a) --1-1--1

    ) -1--1-111-1---1-

    a) --1-1--1 = --1- P B1*1-11) = B2*1-) P B1V1- P B2*-1)W = B2V1 P B3W P B1V1 P B3P B2B3W = B2P B2B3P B1P B1B3 P B1B2B3

    ) -1--1-111-1---1- = -1--1-11 P B1*111-1-11) = -1-- P B2*1111) P B1V111- P

    B2*-1-1)W = -1 P B3*-1) P B2*11) P B1V11 P B3*-1) P B2V-1 PB3*-1)WW = B4P B3B4P B2 P B1V1 P B4B3 P B2B4 P B2B3B4W = B4 P B3B4 P B2 P B1 P B1B4B3 P B1B2B4PB1B2B3B4

    d2

    2

    m

    Z Bm m3d

    Definicin:ea m un entero positi#o mr- . e define el c+di!o de Jeed'ullerJ*r,m), de lon!itud 2m orden r como el conjunto de las palaras inarias de

    m

    Z22asociadas a polinomios de oole de mque tienen !rado menor o i!ual que r.

    J*r,m) es un c+di!o lineal

    m*r) J*r,m)

    m*r)polinomios de oole de m #ariales de !rado menor o i!ual que r

    %jemplos$

    J*-,m)

    1... --1 =m

    - S -... --

    1 =m

    1 S 1... --

    1 =m

    Tema 1. Teora de Cdigos

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    67/73

    J*-,m) = { m2

    -...-,

    m2

    1...1} = Jep* m2 )

    m

    Z22

    J*m,m) =m

    Z22

    J*1,3)

    Los polinomios de oole de 3 #ariales !rado menor o i!ual que 1 son de la forma$

    332211-1S +++

    con i 2 i = -...3

    Los 4 monomios forman una ase del espacio de los polinomios. La palara de J*1,3)correspondiente a este polinomio ser&$

    )-1-1-1-1*)--11--11*)----1111*)11111111* 321- +++

    Las palaras entre parntesis son los polinomios que corresponden a los polinomios de

    oole de 4 #ariales.

    1111----1-1-1-1-

    11--11--

    1111----

    1

    3

    2

    1

    ;olinomios de 3 #ariales de !rado menor

    o i!ual que 1

    ;olinomio

    - --------

    B1 ----1111

    B2 --11--11

    B3 -1-1-1-1

    B1PB2 --1111--

    B1PB3 -1-11-1-B2PB3 -11--11-

    B1PB2PB3 -11-1--1

    1 11111111

    1PB1 1111----

    1PB2 11--11--

    1PB3 1-1-1-1-

    1PB1PB2 11----11

    1PB1PB3 1-1--1-1

    1PB2PB3 1--11--1

    1PB1PB2PB3 1--1-11-

    Tema 1. Teora de Cdigos

    :

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    68/73

    %Bcepto la palara 1 la - todas las palaras tienen 4 unos 4 ceros. %l peso mnimo

    es 4, as este c+di!o tiene distancia mnima 4.

    Proposicin:ea \*B1...Bm) = BmP p*B1...Bm'1) donde p*B1...Bm'1) es un polinomio deoole. %ntonces la funci+n de oole inducida por \ toma los #alores - 1 el mismo

    n/mero de #eces, es decir, 2m'1

    #eces.22$ ZZ5

    m

    8emostraci+n$

    *B1,...Bm'1,Bm)m

    Z2*B1,...Bm'1,-)

    *B1,...Bm'1,1)

    Kodos los elementos dem

    Z2 los puedo otener a partir de los de1

    2

    m

    Z aadiendo alfinal un 1 o un -.

    i p*B1...Bm'1) = -$

    \*B1...Bm'1,1) = 1 P - = 1

    \*B1...Bm'1,-) = - P - = -

    i p*B1...Bm'1) = 1$

    \*B1...Bm'1,1) = 1 P 1 = -

    \*B1...Bm'1,-) = 1 P - = 1

    La mitad toma el #alor 1 la otra mitad el #alor -.

    Proposicin:Kodas las palaras de J*1,m) tienen peso mnimo 2m'1, eBcepto la palara--...- la palara 11...1. %n consecuencia la distancia mnima de J*1,m) es 2m'1.

    8emostraci+n$

    J*1,m) est& formado por palaras que a eBcepci+n de -...- 1...1 est&n inducidas por

    polinomios de oole de la forma Bt P p*B1...Bt'1BtP1...Bm). %stas palaras tienen 2m'1

    ceros 2m'1 unos.

    %n los c+di!os de Jeed'uller m no es el tamao del c+di!o si no el n/mero de

    #ariales del polinomio de oole que le corresponde.

    Proposicin:%l c+di!o de Jeed'uller J*r,m) tiene lon!itud 2m dimensi+n$

    +

    +

    +=

    r

    mmm+ ...

    211

    Ls tasa del c+di!o es$

    Tema 1. Teora de Cdigos

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    69/73

    m

    +)

    2=

    8emostraci+n$

    %l c+di!o es isomorfo a los polinomios de oole de !rado menor o i!ual que r, que

    tiene como ase los monomios de !rado menor o i!ual que r. %l n/mero de polinomios

    de !rado menor o i!ual que r es$

    +

    +

    +=r

    mmm+ ...

    211

    Kamao = 2O

    n = lon!itud del c+di!o

    m

    ++

    n)

    2

    2lo!2 ==

    '8eterminar cu&les de las si!uientes palaras pertenecen al c+di!o J*2,4)

    a) 11-1 111- ---1 1--1

    ) --11 -1-1 --11 1-1-

    %ste c+di!o tiene lon!itud 1.8eemos #er que los polinomios de oole que inducen

    estas palaras tienen !rado menor o i!ual que 2.

    a) 11-1111- P B1*11---111) = 11-1 P B2*--11) P B1*11-- P B2*1-11)) = 11 P B3*1-) P B2*B3*11)) P B1*11 P B3*11) P B2 *1- P B3*-1))) = 1 P B3*1 P B4) P B2B3P B1 *1

    P B3P B2 *1 P B4P B3B4)) = 1 PB3P B3B4P B2B3P B1B3PB1B2 P B1B2B4P B1B2P B1B2B3B4

    %ste polinomio de oole tiene !rado 4. La palara no pertenece a J*2,4)

    ) --11-1-1 P B1*--111-1-) = --11 P B2*-11-) P B1 *B2 *1111)) = B3 *11) P B2*-1 P B3*11)) P B1B2*11) = B3P B2B4P B3B2P B1B2

    %sta palara pertenece a J*2,4)

    Definicin:ea C1un *n,m1,d1)'c+di!o lineal C2un *n,m2,d2)'c+di!o lineal sore uncuerpo . e define un c+di!o lineal sore $

    },()*{$ 2121 C(C!(!!CC +=

    donde u*uP#) es la uBtaposici+n de las palaras u uP#.

    Tema 1. Teora de Cdigos

    D

  • 7/24/2019 Taringa Comets

    70/73

    n

    n

    .C

    .C

    2

    1

    n.CC

    2

    21 , lue!o 21 CC es un c+di!o de lon!itud 2n.

    u*uP#) P u*uP#) = *uPu)*uPuP#P#) 21 CC *u*uP#)) = u*uP#) 21 CC

    Proposicin: 21 CC es un *2n,m1m2,d)'c+di!o con d= min{2d1,d2}

    8emostraci+n$

    ea B1= u1*u1P#1) B2= u2*u2P#2)9 u1,u2 C1, #1,#2 C2.

    i #1 = #2entonces d*B1,B2) = ^**u1'u2)*u1'u2)) = 2^*u1'u2) = 2d*u1,u2)

    2d1

    i #1#2entonces d*B1,B2) = ^*u1'u2)P ^**u1'u2) P *#1'#2)) ^*#1'#2) = d*#1