Taringa Comets

7/24/2019 Taringa Comets

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Naruto Uzumaki5 months ago

sha-la-la...eat a taquito

Reply 92

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"scar #eung! $ay ago

%Naruto Uzumaki &onna 'uy a taquito e(erytime this song plays on my i)hone.

Reply

*inene Uryuu9225 months ago

+inally a Normal non )itche$ Version

Reply !,

Vie all replies

*s)ulimen/ months ago

%*inene Uryuu922 0pre(iously $eaththeki$92215 3ecause o4 me /Reply

6kmal Ra(en7 $ays ago

8 thought that too its $i44erent than aire$ on TV. The part hen the Rinnegan shoe$ up oul$

'e 4aster 4olloe$ 'y Naruto turning 'ack. The part hen asuke slashes "rochimaru a4ter he

shoe$ his haringan a4ter getting in the ater ere also missing

Reply

:arin 017 months ago

sha la la to'i is o'ito

Reply /

Vie all /5 replies

;a$e Ro''/ $ays ago


2/73

Reply

the'igguns22!2 eeks ago

,5ha &6###

Reply 7

Vie all 7 replies

the'igguns22!! eek ago

%$octor4 ! lol rite

Reply !

imme kaki5 $ays ago

%$octor4 ! $r orochimaru

Reply

alestereric7 months ago6m 8 the only one ho thinks orochimaru looks like a per( hen he as atching sasuke=

Reply !5

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imme kaki5 $ays ago

6lays thought that since 2,,

Reply

Rolan$>o(e2 $ays ago

*y 4a(orite moment asuke in his 'ath? @A

Reply !

3ram'l/ tar2 months ago

Tema 1. Teora de Cdigos

2
https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4http://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m58shttp://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m58shttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/user/alestererichttps://www.youtube.com/user/alestererichttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQhttps://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13dejijzrjpybdsf23ldnzb0u3ohpl0zhttps://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFghttps://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13gidw42ynvdbsr004cgl2aclmawnwihyg0khttps://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFghttps://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQhttps://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/user/alestererichttps://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4http://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m58shttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/user/thebigguns221https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4https://www.youtube.com/user/alestererichttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-ghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00khttps://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13dejijzrjpybdsf23ldnzb0u3ohpl0zhttps://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13gidw42ynvdbsr004cgl2aclmawnwihyg0k


3/73

Bey 'oy you anna ha >a >a ith me=

Reply /

3lack*ania&aming! $ay ago

Nostalgia.

Reply

Cen >en DCensariE Ca4-4lo/ $ays ago

sha la la 8 slept ith ino

Reply

:o'ra:lash/ $ays ago

orochimaru as clinching his ass cheeks in the ater

Reply !

6n$y 6lmen$arez5 months ago

3ack hen Naruto as a'out actual ninFas lol

Reply 2,

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&ri44in :ing2 months ago

%6$am Gilliams 8 thought u ere saying that all the the su''e$ (ersions ere out

Reply

6$am Gilliams2 months ago

Gell the su' $oes come out like a $ay a4ter the ;apanese ith no sun comes out %&ri44in :ing

Reply


3
https://www.youtube.com/user/insaneminecraftninjahttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12luriwxpf2tvltu23tw5twfyf3gdxjx04https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12luriwxpf2tvltu23tw5twfyf3gdxjx04https://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQhttps://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z131fzwgnzy3wf32m23yvddxcuzycxk2rhttps://www.youtube.com/channel/UCjTaKaaP28-2OspDPQfy0xAhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z120cpg54nbhgrzqy04ce304it35wvhouu40khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z120cpg54nbhgrzqy04ce304it35wvhouu40khttps://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNghttps://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bghttps://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/channel/UCBxkqqSbYZN9Xtzkcp6Hz2whttps://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bghttps://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNghttps://www.youtube.com/channel/UCjTaKaaP28-2OspDPQfy0xAhttps://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQhttps://www.youtube.com/user/insaneminecraftninjahttps://www.youtube.com/user/insaneminecraftninjahttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12luriwxpf2tvltu23tw5twfyf3gdxjx04https://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z131fzwgnzy3wf32m23yvddxcuzycxk2rhttps://www.youtube.com/channel/UCjTaKaaP28-2OspDPQfy0xAhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z120cpg54nbhgrzqy04ce304it35wvhouu40khttps://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7Ahttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7A


4/73

*isaki an$ :otaro5 months ago

+inally 4oun$ the regular one. 8 keep listening to the high pitche$ (ersion an$ i got use$ to

listening to it. )lus i like (er. 2 'etterHIH

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;oe Ro'inson7 months ago

%#ukio Bans Vorarl'ernaomeone likes #ukio

Reply

The killer Areams2 $ays ago


5/73

t4ppl srsly2 eeks ago

%canni'alistic &houl>ol that pic tho... remin$s me o4 :ai'a 4rom #u-&i-"h.

Reply

Aillon 6u'in!5 hours ago

)ause at ,77an$ take a close look at :a'uto.

Reply

Nathan ".6/ $ays ago

l like this song.

Reply

3yaku san/ months ago

Chek out my top 5 naruto shippu$en oppeningsReply

6nime +ore(er 0 !,,O >i4e 1 5 months ago 0e$ite$1

no llorare no llorare N" >>"R6R< N""""?? pinchi (i$eo Fusto en la in4ancia KC me trae

muchos recuer$os quiero (ol(er a esos momentos ....... TPPT cuan$o era 4eliz y esta'a con

mis hermanos TTPPPTT quiero (iaFar al pasa$o y que$arme alli para siempre TT---TT y ahora

esta 'ien ca'rQn el manga ee 0Naruto gai$en1 lamenta'lemente nunca 4ui naruhina y nunca

lo sere uu y el anime .....$os pinches capitulo y ya $e nue(o le ponen relleno #.# 3ale 3e$Fa>a 3i$a

Reply

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almen$ra 'arra! eek ago

%rocio acua yo hinata osea en the last el siempre lo supo pero nesesita'a una mas una

prue'a $e amor a$emas naruto es un i$iota nose $a cuenta $e na$a pero na$a pero

narutosakura no sakura ama a sasuke a$emas a nauto le $iFo que lo ama'a y naruto le $iFo

no (ete ala mier$a te estas en gaan$o porque naruto ya lo sa'e a$emas asi es la reali$a$


5
https://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjAhttps://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjAhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z122ghbaevmuypi0423su1sp3m24vtql1https://www.youtube.com/user/InuzukaxClanhttps://www.youtube.com/channel/UCmtlzOKMO6o5rmffi-zMLrQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13fjtvrtxjbw5twl04ccp2yekyvd1nbkso0khttp://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m44shttps://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMghttps://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12whvobzyf0ztaqf04cjbnjzw2wgrvahhohttps://www.youtube.com/channel/UCPX8a_ss5myxD9sTNScYIkghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12sxr0zhnzuy3wqa04cdtkhomqwexrgyxs0khttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12sxr0zhnzuy3wqa04cdtkhomqwexrgyxs0khttps://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3whttps://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3whttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCCNfgRQWVn2BP3Rs79rXkmwhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/channel/UCCNfgRQWVn2BP3Rs79rXkmwhttps://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3whttps://www.youtube.com/channel/UCPX8a_ss5myxD9sTNScYIkghttps://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMghttps://www.youtube.com/channel/UCmtlzOKMO6o5rmffi-zMLrQhttps://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjAhttps://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjAhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z122ghbaevmuypi0423su1sp3m24vtql1https://www.youtube.com/user/InuzukaxClanhttps://www.youtube.com/channel/UCmtlzOKMO6o5rmffi-zMLrQhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13fjtvrtxjbw5twl04ccp2yekyvd1nbkso0khttp://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m44shttps://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12whvobzyf0ztaqf04cjbnjzw2wgrvahhohttps://www.youtube.com/channel/UCPX8a_ss5myxD9sTNScYIkghttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12sxr0zhnzuy3wqa04cdtkhomqwexrgyxs0khttps://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3whttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4https://www.youtube.com/channel/UCCNfgRQWVn2BP3Rs79rXkmwhttps://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30


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siempre 4ue asi ya que el anime 4ue crea$o con ese 4uturo aunque no estaria mal narusaku

pero mas hinanaru LS

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rocio acua! eek ago 0e$ite$1

%almen$ra 'arra no que equi(ocas el narusaku era lo mas pro'a'le en la historiia $e naruto y

si u'o un 4inal naruhina es porque en pocas pala'ras el autor se (en$io K y la triste (er$a$ es

que naruto nunca miro a hinata K en cam'io en shippu$en sakura miro con oFos a naruto y eso

se (io acercamientos en el manga y anime K en cam'io hinata lo unico que hizo en to$a la

serie en ru'orizarse y escon$erse atras $e un ar'ol y $ecir naruto - kun osea que pe$o K

$on$e que$o tu naruhina = a$emas cuan$o ella le con4eso a naruto en la pelea $e pain con

un te amo naruto no respon$io K sakura apenas termino la pelea lo a'razo y le $iFo gracias K

asi que no se pensalo te $oy mi mas humil$e opinion salu$os 1

TEMA 1. TEORA DE CDIGOS.

Introduccin

Definicin:Consideremos un conjunto finito A={a1, a2, ... aq}, al que denominaremosalfabeto, a sus elementos, a1, a2, . . . aq , les llamaremos letras o smbolos. Lassucesiones finitas de elementos de A se llamanpalabras.

Aa

Palabraaaa

j

p

i

iii

...21

La palara ai1ai2...ain se dice que tiene lon!itud n o ien que es una n-palabra."na palara de lon!itud n se puede considerar como un elemento del producto

cartesiano de A por si mismo n #eces, es decir, de$

%l producto cartesiano est& formado por todas las n'tuplas de A$

}()......{* 1 AaaaA inn =

%sto es i!ual que una palara, s+lo camia la notaci+n.

%l conjunto de todas las palaras sore el alfaeto A se denotar& como A *con

independencia de la lon!itud de las palaras).

.......}2,1{

.....}2,1,-{

=

=

=

+

+

Z

N

AAZn

n


n

n AAAA ....=
https://www.youtube.com/user/rocio58223https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30https://www.youtube.com/user/rocio58223https://www.youtube.com/user/rocio58223https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30


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Definicin: "n c+di!o sore el alfaeto A es un suconjunto C de A, ,AC*conjunto formado por palaras del alfaeto).

A los elementos del c+di!o C se les llamapalabras de cdigo.

%l n/mero de elementos del c+di!o C, que normalmente ser& finito, se denota por 0C0 se denomina tamao del c+di!o.

i C es un c+di!o sore A A tiene q elementos *0A0=q) entonces se dice que C es un

c+di!o q'ario. %l ejemplo m&s normal de alfaeto usado en teora de c+di!os es

A = 2 = {-,1} tendremos as c+di!os inarios.

%jemplo de c+di!o inario$

C = {-1--,--1-,-111}

Definicin: i C es un c+di!o cuas palaras tienen todas la misma lon!itud n,decimos que C es un c+di!o de longit!d fijao un c+di!o de blo"!es a n se le llama

lon!itud del c+di!o C.

%l c+di!o C anterior es un c+di!o de loques de lon!itud 4.

C = {-11, 1-11, 1-}6o es un c+di!o de loques *no podemos 7alar de la lon!itud

del c+di!o)

i C es un c+di!o de lon!itud n tamao m se dice que C es un *n,m)'c+di!o.

C = {-1--,--1-,-111}*4,3) c+di!o

8ado un alfaeto al que denominaremos alfabeto f!ente dado un c+di!o C sore elalfaeto A, se llama funci+n de codificaci+n a una aplicaci+n iecti#a f$

)*)...*)*...

)*

$

2121 nn fff

f#

C#f

es el alfaeto en el cual est& la informaci+n que queremos codificar. "na aplicaci+n

iecti#a entre 2 conjuntos es una aplicaci+n inecti#a *elementos diferentes tienen

im&!enes diferentes) soreecti#a *los elementos del conjunto C son im&!enes de

al!/n elemento de , en este caso de 1 a que la aplicaci+n es inecti#a). A #eces f noser& una aplicaci+n iecti#a9 si f no fuese inecti#a 7ara #arios smolos del

alfaeto fuente que se codificaran de la misma forma, lo que 7ara la decodificaci+n

mu difcil. Cuando f es iecti#a 7alamos de c+di!os descifrales.

%n muc7as ocasiones se le llama c+di!o a la funci+n de codificaci+n9 pero nosotros le

llamamos c+di!o al conjunto C *ima!en de f).

%jemplo$


:


8/73

---111-1----1--1

-111)*

-1--)*

--1-)*

}-111,--1-,-1--{},,{

},,{

===

==

=

babc

cfc

bfb

afa

Ccba#

cba#

f

%jemplos de c+di!os$

;oli#io *ao 2-< a.C.) o c+di!o de fue!o !rie!o.

}54....25,24,23,22,21,15,14,13,12,11{$

}5,4,3,2,1{$

},...,{

==

=

C

A

#Alfabeto

55 no se inclue a que el alfaeto A tiene 24 letras. "n alfaeto A de lon!itud q tiene

qnpalaras de lon!itud n *qn= 0An0 )

54)*

.

.

12)*

11)*$

=

=

=

f

f

fC#f#ea

%ste es un *2,24) c+di!o. %ste c+di!o persi!ue claridad, facilidad de transmisi+n de

mensajes a distancia. %ste c+di!o no permite detectar (o corre!ir errores. e piensa

que este c+di!o se usaa para ocultar la informaci+n. %n cripto!rafa no se 7ala de

c+di!o sino de cifraso criptosistemas. %ste c+di!o se denomina cifra de ;oli#io.

8amero de ;oli#io$

1 2 3 4 5

1 2

3

4

5



9/73

f*) = 11 f*)=12 .......

C+di!o orse. e usa para transmisiones tele!r&ficas. e usa para codificar unmensaje fuente en len!uaje natural.

= {a, , c ......>}

A = {., ?, }

e usan 3 smolos$ punto, raa espacio.

..??)*

?..?)*

?.)*?)*

.)*

$

=

=

==

=

$f

f

ingl%senfrec!entesm&s'etrasaftf

ef

A#f

%ste c+di!o no es de lon!itud fija. Las letras m&s frecuentes se codifican con palaras

cortas, mientras que las letras menos usadas se codifican con palaras m&s lar!as9 esto

se usa para conse!uir m&s eficiencia, cuanto m&s frecuentes sean las letras m&s cortas

son las palaras del c+di!o.Los espacios se usan para separar palaras * espacios) o letras entre palaras *3

espacios). %ste c+di!o no permite corre!ir (o detectar errores no tiene fines

cripto!r&ficos.

C+di!o [email protected]@ *American tandard Code for @nformation @nterc7an!e). %stec+di!o es usado por los ordenadores para representar los caracteres alfanumricos

caracteres especiales. %l [email protected]@ est&ndar usa palaras de : its$

C = {-------, ------1, .......1111111}2: = 12< palaras

%l c+di!o [email protected]@ eBtendido usa palaras de < its$

C= {--------, ......11111111}

2< = 25

%sta eBtensi+n permite codificar m&s smolos.

--1-----%spacio


D


10/73

Al c+di!o [email protected]@ de : its se le aade un it de paridad para que el n/mero de 1 de la

palara sea par$

1------1

--------

%ste es el c+di!o [email protected]@ est&ndar con control de paridad. %l c+di!o [email protected]@ est&ndar no

detecta ni corri!e errores, si camia un it de la palara sta se confunde con otra

palara del c+di!o. Al aadir el it de paridad si se camia un it la palara que se

otiene no es #&lida, a que el n/mero de 1 pasa a ser impar con lo que se detecta el

error. %ste c+di!o s+lo detecta errores, no puedo saer cu&l fue la palara que se en#i+.

%l [email protected]@ con control de paridad es un *>>>, asi!naramos un si!nificado a cada palara de este c+di!o,

pero si se cometiese un error a tendramos otra palara del len!uaje no podramos

saer cu&l es la palara en#iada.

%sto no ocurre en el len!uaje natural. 7annon estudi+ la redundancia del idioma

in!ls lle!+ a la conclusi+n de que la redundancia del in!ls es del :5E. i se

7uiese diseado el in!ls para minimi>ar la redundancia se reduciran los teBtos en la

4F parte. i en un teBto en in!ls, la proailidad de eliminar una letra es de G el teBto

no ser& reconocile9 por el contrario si la proailidad de eliminar una letra es de H el

teBto ser& reconocile.

Cdigos Detectores de Errores: Ejem!os

e intenta uscar una transmisi+n precisa entre dos puntos. %stos c+di!os se usan

cuando se reali>a una transmisi+n por un canal ruidoso. "n canal es el medio fsico

por el cual se reali>a la transmisi+n9 un canal ruidoso es un canal que est& sujeto a

perturaciones que !enera alteraciones en el mensaje *ejemplos de canales$atm+sfera, lnea telef+nica....). Los c+di!os detectores de errores se usan para


1-


11/73

recuperar la informaci+n que se en#i+ incorrectamente. "n ejemplo de esto se usa en

los C8, para que la informaci+n se manten!a a pesar de que el C8 est raado.

%n la teora de la informaci+n, desde el punto de #ista de la eficiencia, nos centramos

en la codificaci+n pero a7ora nos centraremos en los errores que se producen en elcanal. La codificaci+n decodificaci+n deen ser f&ciles r&pidas9 la transmisi+n a

tra#s del canal dee ser r&pida9 deemos maBimi>ar la cantidad de informaci+n

transmitida por unidad de tiempo deemos detectar corre!ir errores, esta /ltima

caracterstica entra en conflicto con las anteriores caractersticas a que 7ace que

aumente el tamao de lo que se transmite. %l c+di!o dee ser lo m&s eficiente posile

dee permitir detectar corre!ir errores.

%l canal acepta smolos de un alfaeto finito A={a1, a2, ... aq} que llamaremos

alfaeto del canal *ejemplo$ A = {-, 1}). C+mo saemos si un canal es mu ruidoso o

poco ruidoso9 esto se sae si conocemos cu&l es la proailidad de que si se emite un

smolo se recia otro smolo$;*ajreciido0aien#iado) *proailidad de que si se 7a en#iado a ise recia aj). Cuando

este conjunto de proailidades se conoce para todos los #alores de i j conocemos las

caractersticas del canal.

%l canal perfecto sera aquel en el que$

ijij aaP =)0*

pero esto no eBiste en la pr&ctica. A estas proailidades se les llama probabilidadesdel canaloprobabilidades de transicin.


11

% s q u e m a d e u n a t r a n s m i s i + n $

I r i ! e n C o d i f i c a d o r C a n a l 8 e c o d i f i c a d o r 8 e s t i n o

J u i d o


12/73

Definicin:"n canal es un alfaeto *de canal) A={a1, a2, ... aq} junto con un conjuntode proailidades de transici+n ;*ajreciido0aien#iado) que satisfacen$

=

="

j 1

ij 1en#iado)a0reciido;*a

es decir, siempre se recie un car&cter del alfaeto. "na palara de c+di!o de lon!itud

n correspondiente al c+di!o del alfaeto del canal da una palara reciida de lon!itud

n que no tiene por qu coincidir con la en#iada *ni ser una palara de c+di!o, a que

puede ser una palara del alfaeto pero no del c+di!o).

6o eBiste dificultad para identificar el comien>o de la 1F palara en#iada. i usamos

un c+di!o de loques saemos donde empie>a acaa cada palara.

%l ruido se distriue aleatoriamente9 la proailidad de que un smolo sea camiado

por otro en la transmisi+n es la misma para todos los smolos. La transmisi+n de un

smolo no est& influenciada por la transmisi+n del smolo precedente ni de los

anteriores, es decir, el canal es un canal sin memoria. %l error en la transmisi+n de unsmolo no afecta a la transmisi+n de los si!uientes smolos.

alfabetodelPalabraA

cdigodePalabraCccc

en(iadocrecibidoPen(iadocrecibidoPsim%tricocanal

n

n

n

n

i

ii

=

=

= =

...

...

)0*)0*

1

1

1

Cada suceso es independiente del anterior. Kodos los sucesos son independientes.

%l canal que usaremos m&s a menudo es el canal inario simtrico *inar simetric

c7annelC). %l alfaeto del canal es A={-,1}.

1- p1'pproailidad del canal

pproailidad del cruce

pproailidad de que un - sea reciido como un 1

1'pproailidad de que un - sea reciido como un -


12

1 ' p

1 ' p

p

p


13/73

p = - Canal perfecto

p = 1 iempre se comete error *%ste caso se con#ierte en perfecto in#irtiendo el

smolo reciido).

%n un canal simtrico eBiste la misma proailidad de que un smolo se reciaincorrectamente adem&s si un smolo se recie incorrectamente 7a la misma

proailidad de que se recia cualquier otro smolo.

i 12(1 p e puede con#ertir el canal de tal forma que 2(1- p simplementecamiando los smolos reciidos. p = M es el caso m&s desfa#orale. %n la pr&ctica

los canales tienen una alta fiailidad. upondremos que traajamos con un C que

cumple 2(1- p .upon!amos que queremos detectar errores9 deemos disear un c+di!o de tal forma

que si a una palara del c+di!o le camiamos un /nico smolo la palara resultante

no sea una palara del c+di!o para as poder saer que se 7a producido un error. i

adem&s queremos corre!ir errores, la idea es parecida, para 7acer la correcci+n 7aque saer cu&l es la palara en#iada. La idea &sica es comparar la palara reciida

con todas las palaras de c+di!o asi!narle la palara que difiera en menos smolos.

%jemplo$

C = {--, -1, 1-, 11} =2

2Z

2= {-, 1}

%ste c+di!o no ser#ira para detectar errores.

i se producen errores las palaras que se otienen son palaras del c+di!o. ;ara

detectar errores 7a que aadir redundancia. e modifica el c+di!o para conse!uir que

las palaras del c+di!o se pare>can menos entre s. La idea m&s sencilla es repetir la

palara$

C1= {------, -1-1-1, 1-1-1-, 111111}

Aumento la lon!itud de las palaras. i a7ora recio 111-1- #eo que no es una palara

#&lida del c+di!o as s que se 7a cometido un error. Comparo esta palara con las

palaras del c+di!o #eo en cu&ntos smolos se diferencia de las palaras del c+di!o.

Neo que la palara m&s pr+Bima es la 1-1-1- a que s+lo camia un smolo

podramos asi!narle esta palara. %ste c+di!o tiene la propiedad de que si al transmitir

una palara se comete un /nico error siempre podemos recuperar la palara

ori!inalmente transmitida a que dista uno de una palara m&s de uno del resto de

palaras. e dice que este c+di!o corri!e un error. %sto se lo!ra a costa de aumentar la


13

% n # i a d o J e c i i d o

- 1

1 1

- -

3 o n p a l a r a s d e l c + d i ! o


14/73

lon!itud del c+di!o, necesitamos el triple de tiempo espacio para transmitir la misma

informaci+n *disminue la eficiencia del c+di!o). %ste c+di!o se denomina c+di!o de

repetici+n. i nos conformamos con que s+lo se detecte un error podramos usar este

c+di!o$

C2= {---, -11, 1-1, 11-}

Aadimos un it de paridad. i a al!una palara le camiamos un /nico smolo la

palara otenida no es una palara del c+di!o. %ste c+di!o no permite corre!ir errores9

si se recie 1-- podra 7aerse en#iado ---, 1-1 o 11- 7aiendo cometido un error,

pero no podemos saer qu es lo que realmente se 7a transmitido. e dee requerir una

nue#a transmisi+n de la palara. La eficiencia 7a disminuido con respecto a C pero no

tanto como con C1.

Clases )esid!ales *d!lo n:

= {-, 1, '1, 2, '2, .....}

ea 2, nZn . 8ados a, Z se dice que a es con!ruente con m+dulo n,a *mod n) n 0 a' *n di#ide a a') O ( a' = On

{*a,) ( a *mod n)} B

La relaci+n de con!ruencia m+dulo n es una relaci+n de equi#alencia, pues es$

' JefleBi#a, a a *mod n) Za' imtrica a *mod n) a *mod n) Zba ,' Kransiti#a a *mod n), c *mod n) a c *mod n) Zcba ,,

La relaci+n de equi#alencia permite definir las clases de equi#alencia a . La clasede equi#alencia de a se define como aquellos n/meros relacionados con a$

a , a ={ Z ( a *mod n)}

%l conjunto de todas las clases de equi#alencia forman una partici+n de * es la

uni+n disjunta de todas las clases). Al conjunto de todas las clases de equi#alencia se

le denomina conjunto cociente *sus elementos son clases).

}({ ZaaZn

Z =

;ropiedades$

ean a, , las si!uientes condiciones son equi#alentes$

i) a *mod n)

ii) +nabZ+ += (

iii) a tienen el mismo resto al di#idir por n


14


15/73

8i#isi+n entera$ a,n a= nq P r nr- , r = a *mod n), el resto o residuo es/nico.

}({}({)}*mod({ npordi(idiralrestomismoeltienenb,aZbZ++nanbaZba =+==

QCu&ntas clases de equi#alencia mod n 7aR Cada elemento est& en la misma clase de

equi#alencia que su resto al di#idir por n9 el n/mero de clases es el n/mero de posilesrestos al di#idir por n *n clases).

}1......1,-{ =

nZn

Z

,,

)))

,,

)))

S),*

),*

S

++

"n anillo *J,P,S) es un conjunto J junto con dos operaciones inarias P S que

cumplen estas propiedades$

' J con respecto a la suma es un !rupo aeliano$ P es asociati#a, tiene elemento

neutro *-), todo elemento de J tiene simtrico *'B) **J,P) es !rupo) es

conmutati#a **J,P) es un !rupo aeliano).

' S es asociati#a tiene elemento neutro *1).

' S es distriuti#a con respecto a P, es decir$

o *B P ) S > = B S > P S >

o B S * P >) = B S P B S >

)$, ,,

%l anillo J se dice conmutati#o cuando S es conmutati#a.

)

),,,))

)

)$,$,$,

==+=+

=+=+

=+=+++=++

S11S

,-)*)*(,

--

,,)*)*

Los anillos usuales son *,P,S)9 *J,P,S)9 *C,P,S) *T,P,S).

Definicin:"n c!erpoes una anillo tal que todo elemento no nulo tiene in#erso.

*,P,S) no es un cuerpo pero *J,P,S)9 *C,P,S) *T,P,S) son cuerpos conmutati#os.


15


16/73

}1,....1,-{

0)*mod

=

nnZ

Z

bannba

%nnZ

Z se definen dos operaciones$

-124S3

1:43

}5,4,3,2,1,-{

S$S

$

,

==

==+

=

=

+=+

ZZ

baba

baba

nZZba

*nZ

Z ,P,S) es un anillo conmutati#o. %l opuesto de 2 es 4 * -42 ==+ )

Los alfaetos que usaremos son conjuntos de clases residuales.

;ara cada )2* nZn sea

n$={-,1,2.....n'1}

i para cada entero a llamamos a*mod n) al resto de di#idir a por n, la aplicaci+ndefinida as$

)*mod)* naafa

ZnZ

Zn

f

=

es una aplicaci+n iecti#a. Amos conjuntos tienen n elementos, as para #er que f es

iecti#a asta con #er que sea inecti#a.

ean banbanbnabfafnZ

Zba === )*mod)*mod)*mod)*)*,

As la aplicaci+n es inecti#a, a que si dos elementos tienen la misma ima!en

entonces son el mismo elemento.

8efinimos en nlas si!uientes operaciones nZ, , $


1


17/73

B P $= *B P ) *mod n)

B S $= *B S ) *mod n)

*n , P , S) es un anillo conmutati#o. f es un isomorfismo de anillos, es una aplicaci+n

entre 2 anillos que conser#a las operaciones$

f*aP) = f*a) P f*)

f*aS) = f*a) S f*)

Los 2 anillos son isomorfos, tienen las mismas propiedades. %stos 2 anillos se pueden

identificar.

= {-,1,2,3,4,5,}

5P2=1 3S5=3 5P3=2

QCu&ndo es nun cuerpoR "n cuerpo es un anillo en el que todo elemento diferente de- tiene in#erso para el producto.

2 = {-,1} es un cuerpo. U1=1 *1 P 1 = -).

3= {-,1,2} es un cuerpo.

P - 1 2

- - 1 2

1 1 2 -

2 2 - 1

'1 = 2%l opuesto del 1 *1 P *'1) = -9 1 P 2 = -)

4= {-,1,2,3} no es un cuerpo a que 2 no tiene in#erso para el producto. 2 S 2 = -, 2

es un di#isor de -, un anillo con di#isores de - no puede ser un cuerpo.

)-*min dedi(isorestieneno-nteroioDoC!erpo/

"n di#isor de - no puede tener in#erso para la multiplicaci+n.

5= {-,1,2,3,4} es un cuerpo. 2 S 3 = 1, 4 S 4 =1.

no es un cuerpo, :es un cuerpo...

nes un cuerpo si n es primo.

Zba , d0a, d0d0a, d0 d0d si d es el m&Bimo com/n di#isor de a se denota d = mcd *a,) od = *a,).

=

=

==

+

i

lei

+i

l

i

+i

e

i

ii

ii

pbamcd

pbpa

1

),min*

11

),*


1:


18/73

%sto tiene un incon#eniente a que se necesita descomponer los n/meros como

producto de n/meros primos, lo cual es infactile computacionalmente.

Neremos a7ora un al!oritmo que nos permite 7allar el mcd de 2 n/meros, el al!oritmo

de %uclides, usa una sucesi+n de di#isiones enteras.

Proposicin:ean a, , entonces Vd 0 a , d 0 W Vd 0 , d 0 a *mod n)W

Proposicin: :ean a, , entonces mcd *a,) = mcd *,a*mod ). %sto es unaconsecuencia directa de la anterior propiedad.

a X e reduce el c&lculo al 7allar el mcd a que a*mod ) es menor que .

ean a, Pr'1= a

r-= a = q1 P r1r'1= q1r-P r1r-= q2r1P r2r1= q3r2P r3

.

.

.

rO'3 = qO'1rO'2P rO'1rO'2= qOrO'1P rOrO'1= qOP1rO

r3Y r2Y r1 Y r-

mcd *a,) = mcd *,r1) = mcd *r1,r2) Z = mcd *ri,riP1) Z.

%ste proceso no continua de forma indefinida, se alcan>ar& un resto cero9 supon!amos

que rOP1= -. %ste resto - se otiene en un n/mero pequeo de pasos.

mcd *a,) = mcd *rO,-) = rOrOP1 = - mcd *a,) = rO

%jemplo

1 2 2


19/73

mcd *a,) = rO= rO'2U qOrO'1= rO'2U qO*rO'3UqO'1rO'2) = Z.. = ua P #

Proposicin:n es cuerpo n es primo

8emostraci+n$

[[ upon!amos que n no es primo, entonces n = rs, r,s X 1. r,s n, rs= - n r s son di#isores de - r s no tienen in#erso para el producto.

[[ upon!amos que n es primo sea a n, a -. mcd *a,n) = 1 u, # ( 1 = ua P #n 1 *mod n) = ua *mod n) P #n *mod n) 1 = ua *mod n) ua = 1 n

%jemplo$

D 23

2 1 1 4

23 D 5 4 1

5 4 1 -

1 = 5 U 4 = 5 U *D U5) = 2S5 U D = 2S *23 U 2SD) U D = 2S23 U 5SD

1 = '5SD *mod 23)

%n 23D S *'5) = 1 23'5 = 1ar m para que el c+di!o ten!a J lo maor posile. e definen unos n/meros$

Aq*n,d) $= maB {m ( eBiste *n,m,d)'c+di!o q'ario}

"n *n,Aq*n,d),d)'c+di!o se dice que es un c+di!o optimale.

;rolema principal de la teora de c+di!os$ 8eterminar el #alor de Aq*n,d)

Aq*n,d) qn'dP1 *Cota de in!leton)

Cota de ;lotOin$

a) i n es par entonces$

;ara n Y 2d, A2*n,d)

ndd

2


2D


30/73

;ara n = 2d, A2*n,d) = 4d

) i n es impar entonces$

;ara n Y 2d P 1, A2*n,d)

+

+nd

d121

;ara n = 2d P 1, A2*2dP1,d) 4d P 4

7annon$ A at7ematica K7eor of Communication

Keorema del Canal Juidoso$ %ste teorema demuestra que eBisten uenos c+di!os pero

no dice c+mo otenerlos.

;ara un C con proailidad de paso p la capacidad es$

)1*lo!)1*lo!1)* 22 pppppC ++=

Consideremos un C con capacidad C*p). i J*C) Y C*p) entonces para cada X -eBiste un *n,m)'c+di!o C cua tasa de transmisi+n es maor o i!ual que J para el

cual ;*error de descodificaci+n) Y .

%jemplo$

C con p = -.-1

C*p) = -.D1D *casi D2E);odemos encontrar un c+di!o con J = -.D1D con proailidad de error

aritrariamente aja.

Cdigos )ine#!es

Los c+di!os lineales son espacios #ectoriales sore un cuerpo finito. Los alfaetos que

usaremos son cuerpos finitos *).

p= {-,1....p'1}q = prp primo, \qcuerpo finito con q elementos.

%n particular si q = p *primo), entonces \q= \p= p.

\2= 2= {-,1}

\3 = {-,1,2}

\5= {-,1,2,3,4}

Definicin:"n c+di!o lineal de lon!itud n sore es un 'suespacio #ectorial C den

n= {*B1..Bn) ( B1,ZBn }


3-


31/73

8ados 2 elementos de C su suma su producto pertenece a C * P S son cerradas).

C n, #,^ C, , # P ^ C

= 2

C = {---,-1-}C+di!o Lineal

=+=+=+

----1--1-

-1--1----

---------

%n el caso inario la suma de dos palaras dee ser una palara del c+di!o.

C(!C(! +,

C = {-1-}

6o es un c+di!o lineal, a que no contiene a ---.

C = {---,-1-,11-}6o es un c+di!o lineal a que 11- P -1- = 1-- C

"n c+di!o lineal inario tiene un n/mero de palaras que es potencia de 2.

"n c+di!o lineal C sore de lon!itud n dimensi+n O se dice que es un Vn,OW'c+di!o

*lineal)9 si la distancia es d, se dice que es un Vn,O,dW'c+di!o.

QCu&l es el tamao de un Vn,O,dW'c+di!o q'arioR

i C es un Vn,OW'c+di!o q'ario C es isomorfo a O*C O)0C0 = 0O0 = 00O= qO

m = qO

"n Vn,O,dW'c+di!o q'ario es un *n,qO,d)'c+di!o q'ario.

#C, C c+di!o inario # P # = 2# = -

)epaso de =lgebra 'ineal:

N 'espacio #ectorial *N un %N sore un cuerpo ). 8ado un suconjunto N, elsuespacio de N !enerado por es el menor suespacio de N que contiene a se

denota YX. e #erifica que$

},({1

#(.(# ii

n

i

ii >=< =

i YX = N entonces se dice que es un conjunto !enerador de N.

},({ 1 #(.(0ii

n

iii = =


31


32/73

N, se dice que es linealmente independiente cuando$

ni#(.( i

n

i

iiii ....1,-,,-1

====

N, = {#1, Z.#n}. e dice que es una ase de N cuando es conjunto !eneradorde N es [email protected]

es ase =

=n

i

iin ((.0(1

1

- (,....,

= =

====n

i

ii

n

i

ioii ni(((1 1

....1C,C

Proposicin:e N un 'espacio #ectorial N* un suconjunto de N). Lassi!uientes afirmaciones son equi#alentes$

i) es una ase.

ii) es un conjunto [email protected] maBimal de N.iii) es un conjunto !enerador minimal de N.

Conjunto [email protected] maBimal Conjunto [email protected] tal que cualquier suconjunto de N que lo

conten!a propiamente no es [email protected]

Conjunto !enerador minimal Conjunto !enerador tal que nin!/n suconjunto

propio de es conjunto !enerador.

Corolario:ea N un 'espacio #ectorial. Kodo conjunto !enerador de N contiene unaase todo conjunto [email protected] de N est& contenido en una ase.

Corolario:Kodo 'espacio #ectorial N tiene una ase. Adem&s todas las ases de Ntienen la misma cardinalidad *n/mero de elementos) que en nuestro caso es siempre

finita que se llama dimensi+n de N, dim N.

Proposicin: dim N = O N O. Kodos los %N de la misma dimensi+n sonisomorfos. "n isomorfismo es una aplicaci+n iecti#a lineal *conser#a las

operaciones).

8emostraci+n$


32


33/73

[[ dim N = O N tiene una ase = {#1, .....#O}

=

==

+

i

+

+ii

+f

.(f((0(

.0

1

1 ),.....*)*,

Cn

dim C dim n= n

Vn,O,dW'c+di!o lineal

O n

O = - C = {--Z.-}O = n C = n

Definicin:ea L una sucesi+n *puede 7aer trminos i!uales) finita de #ectores den, *#1....#O). e llaman operaciones elementales sore *#1,....#O) a las si!uientes$

i) e*p,q) $ @ntercamiar #p #q*#p #q)ii) e*p) $ Jeempla>ar el #ector #p por el #ector #p, donde , -

*#p #p).iii) e*p)P(q)$ Jeempla>ar un #ector #pde la sucesi+n por #p P #q, con ,

- *#p #pP#q).

i e denota una operaci+n elemental de las anteriores, llamaremos e*L) a la sucesi+n

finita de #ectores otenida a partir de L mediante la aplicaci+n de e.

Proposicin:ea L una sucesi+n finita de #ectores de n e una operaci+n elementalsore L. %ntonces se #erifica$

i) YLX = Ye*L)X

ii) L es [email protected] e*L) es [email protected]

8emostraci+n$

i) Kodo elemento de e*L) es una CL de los elementos de L #ice#ersa, as el

espacio que !eneran es el mismo.

ii) Consecuencia de i).

i aplicamos una opraci+n elemental lue!o su in#ersa otenemos la sucesi+n L.


33


34/73

111)*)*

1

)*)*

)*

1

)*

),*

1

),*

1

==

=

=

=

+

eeee

ee

ee

ee

"p"p

pp

"p"p

"na sucesion finita de #ectores de nes una matri> de O filas n columnas.

L = *#1,......#O) sucesi+n finita de #ectores de natrices OBn*)

#1 = *#11,....#1n)

#2= *#21,Z#2n)

.

.

.

#O = *#O1,Z#On)

%sto se puede #er as$

)*

...

..

...

..

...

1

111

.*

((

((

+n

+n+

n

Las operaciones elementales se aplicar&n a las filas de la matri>. Namos a transformar

una matri> dada en otra que nos sea m&s /til para traajar.

Definicin: "na sucesi+n finita #1,....#Onse dice que es escalonada cuando, si seconsidera la 1F componente no nula de cada #ector todas las componentes no

posteriores de los #ectores si!uientes son cero adem&s todos los #ectores - de la

sucesi+n est&n al final, es decir, #p= - #pP1= ...= #O = -.

%jemplo$

*3, 5, -, 1, 4, 2, 2)

*-, -, 3, 1, -, 2, 4)

*-, -, -, -, 5, 2, 1)*-, -, -, -, -, 2, 3)

*-, -, -, -, -, -, 1)

*-, -, -, -, -, -, -)

*-, -, -, -, -, -, -)

Proposicin:i L = *#1, ....#O) es una sucesi+n escalonada de #ectores de n, entonceslos #ectores no nulos de L forman una ase de YLX.

"na sucesi+n escalonada es [email protected]


34


35/73

Proposicin: ea L un conjunto finito de #ectores de n, entonces L se puedetransformar en una sucesi+n escalonada por medio de un n/mero finito de operaciones

elementales. La sucesi+n as otenida *descartando los #ectores nulos si los 7uiera) es

una ase de YLX.

i aado n'O #ectores de forma que la sucesi+n resultante sea escalonada oten!o unaase de n.

%jemplo$

)*

1-21-12

121-221

211-122

12-2121

211-2--

335 Z* =

3= {-, 1, 2}

Namos a transformar esta matri> en escalonada mediante operaciones elementales.

1------

2121---

211-2--

--1221-

12-2121

222-1--

--111--

211-2--

--1221-

12-2121

222-1--

--111--

--1221-

211-2--

12-2121

1-21-12

121-221

211-122

211-2--

12-2121

1-21-12

121-221

211-122

12-2121

211-2--

)3*2)5*

)3*2)4*

)3,2*)1*2)5*

)1*)4*

)1*2)3*

)2,1*

e

e

ee

e

e

e

%l c+di!o !enerado por los 5 primeros #ectores est& formado por estos 5 #ectores. Los

primeros #ectores a forman una ase pero en !eneral no suceder& esto. %sta matri>

tiene ran!o 5.

C = Y1-11-1, -11---, 11-1-1, --1-1-X

2Z

%n primer lu!ar deemos encontrar una ase de C.


35


36/73

+

+

------

-1-1--

---11-

1-11-1

-1-1--

---11-

---11-

1-11-1

-1-1--

1-1-11

---11-

1-11-1

)4,3*

)2*)3*

)1*)3* e

e

e

"na ase de C, ={1-11-1, -11---, --1-1-}

C = Y1-11-1,-11---, --1-1-X

Namos a #er a7ora c+mo es el c+di!o eBplcitamente.

C = Yu1, u2, u3X

C = {u1, u2, u3, -, u1Pu2, u1Pu3, u2Pu3, u1Pu2Pu3}

C = {------, 1-11-1, -11---, --1-1-,11-1-1, 1--111, -1--1-,111111}

qO= 23

dim C = 3

C = Y-121, 21-1X4

3Z

121-

1-12on [email protected]

3= {-, 1, 2}

Kamao del c+di!o = qO= 32= D

C = {----, -121, 21-1, 12-2, -212, 2222, 1-2-, 2-1-, 1111}

C = Y1----11, -1--1-1, --1-11-, ---1111X :2Z

V:,4W' c+di!o *_ammin!)

24= 1 palaras

QC+mo 7allar la distancia mnimaR

%n !eneral, para un c+di!o aritrario se toma todo el c+di!o se #an comparando las

palaras para #er cu&l es la distancia mnima9 si el c+di!o tiene tamao m deeramos

calcular

2

m distancias, n/mero que puede ser !rande *m=1----

2

m=

4DDD5---)

La distancia mnima es la distancia mnima entre dos palaras del c+di!o que sean

distintas.


3


37/73

Definicin: ea C un c+di!o *no necesariamente lineal) # C una palara delc+di!o. e define el peso de # como el n/mero ^*#) de smolos no nulos de #.

# = 1--1- ^*#) = 2

Proposicin:ea C un c+di!o lineal u,# C. %ntonces se #erifica$

d*u,#) = ^*u'#) ^*u) = d*u,-)

%l c+di!o dee ser lineal a que u'# dee pertenecer al c+di!o.

Definicin:ea C un c+di!o. e llama peso de C *o peso mnimo de C) a$

}-,()*min{$)* = (C((:C:

Proposicin:i C es un c+di!o lineal entonces d*C) = ^*C).

8emostraci+n$

ean u,# C tales que d*u,#) = d*C)

^*C) ^ *u'#) -^*u'#) = d*u,#) = d*C)

As $ ^*C) d*C)ea u una palara distinta de cero de peso mnimo, es decir, ^*u) = ^*C)

d*C) d*u,-) = ^*u) = ^*C)As$ d*C) ^*C)

`untando las dos desi!ualdades otenemos$ d*C) = ^*C).

;ara otener la distancia mnima s+lo ten!o que recorrer m'1 palara del c+di!o

calcular sus pesos, con lo que el n/mero de operaciones se reduce.

%l peso mnimo no tiene por qu coincidir con el peso mnimo de los elementos de la

ase.

M#trices Gener#trices % M#trices de Contro!

Definicin: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal sore un cuerpo *C n). "na matri>!eneratri> de C es una matri> de OBn*) cuas filas forman una ase de C.

La matri> !eneratri> no es /nica a que 7a muc7as ases.

C = Y1-11-1, -11---, 11-1-1, --1-1-X es un V,3W'c+di!o


3:


38/73

=

=

-1-1--

1-11-1

---11-

C)*

-1-1--

---11-

1-11-1

23 7Z*7

iempre se cumple que O n.

;ara que una matri> sea !eneratri> sus filas deen ser una ase del c+di!o, deen ser

un conjunto [email protected] La matri> dee tener ran!o O *= n/mero de filas).

Proposicin:i ] OBn*) con O n, ] es matri> !eneratri> de un c+di!o linealsore *Vn,OW'c+di!o) si s+lo si r!*]) = *]) = O.

Proposicin: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal sore ] una matri> !eneratri> de C.%ntonces C = { B] ( B O} la aplicaci+n$

7C.

f+

es un isomorfismo de O'espacios #ectoriales.

B O, B 1BO*)] OBn*)B] 1Bn*) = n

e multiplica la primera componente de B por la primera fila de ] as sucesi#amente,

al final se 7ace una suma componente a componente.

)111*3)--1*2)1--*1

111

--1

1--

)321* ++=

] OBn*)9 *]) = O = *f) = dim*@m f)9 @m f = C

80 f

dim N = dim Oer f P dim @m f

O = dim Oer f P O dim Oer f = - f es inecti#a

N [email protected]

@nteresa encontrar matrices !eneratrices lo m&s sencillas posiles para que la

descodificaci+n sea sencilla. Neamos c+mo conse!uir matrices !eneradoras lo m&s

sencillas posiles.

Definicin:ea C un *n,m,d)'c+di!o q'ario sore un alfaeto A. Consideramos los dostipos de operaciones si!uientes$


3


39/73

1' ea una permutaci+n del conjunto de ndices {1, 2, .... n}. %s una aplicaci+niecti#a de un conjunto en si mismo. %jemplo$

=

=

45123

54321

)5*)4*)3*)2*)1*

54321

;ara cada palara de c+di!o u = u1u2...un, ui A, se sustitue u por la palara u*1)u*2).... u*n)*permutaci+n posicional).

2' ea para cada ndide i {1, 2, ....n}, i$ AA una permutaci+n. e sustituecada palara del c+di!o u = u1u2 ...un por u1u2 ...i*ui)... un *permutaci+n desmolos).%jemplo$

i = 3

22

3

ZZ

3= *1 -)Cada elemento #a al si!uiente el /ltimo #a al primero.

1-11-1--1-

Definicin:%l c+di!o C es equi#alente al c+di!o C cuando C se otiene a partir de Cmediante una sucesi+n finita de operaciones de los 2 tipos anteriores.

%jemplo$

C = {1-121, 2112-, --221, 1-12-, -1212} 5

3Z

5= *1 3) *2 5)

13 25

31 52

C= {11121, 1b221, 21-2-, 1-12-, 22-11}

A7ora aplico$

*1) *- 2 1) en la posici+n 1*4) *- 1) en la posici+n 4

Aplico 1$C = { -112-, --221, 11-2-, --12-, 12-11}

Aplico 4$

C = {-112-, --221, 11-2-, --12-, 12--1}


3D


40/73

%sta relaci+n es una relaci+n de equi#alencia, es decir, cumple las propiedades

refleBi#a, simtrica transiti#a.

%stas operaciones conser#an todos loas par&metros del c+di!o *lon!itud, tamao

distancia entre palaras). 8os c+di!os equi#alentes tienen los mismos par&metros la

misma distancia mnima, con lo que tienen la misma capacidad de corre!ir errores.

Proposicin:ea C un c+di!o de lon!itud n sore el alfaeto A u An. %ntonceseBiste un c+di!o C equi#alente a C tal que u C.

8emostraci+n$

ea # C. ediante a lo sumo n permutaciones de smolos se pasa de # a u.%ntonces el c+di!o C otenido a partir de esas permutaciones es equi#alente a C

tenemos la propiedad de que u C.

Definicin:"na matri> !eneratri> ] de un Vn,OW'c+di!o se dice normali>ada o est&ndar*o est&ndar por la i>quierda) cuando es de la forma si!uiente$

)0* A>7 +=

donde @Oes la matri> identidad de O*) *matrices cuadradas O B O). Adem&s si un

c+di!o C tiene una matri> !eneratri> est&ndar se dice que C es un c+di!o sistem&tico.

%jemplo$

V5,3W'c+di!o

] =

3534

2524

1514

1--

-1-

--1

aa

aa

aa

AO filas n'O columnas

A OB*n'O)*)

n = O, n= C

Vn,nW'c+di!o

] =

1...-

...

.-.

-1-

-..-1

"n c+di!o de este tipo es el c+di!o [email protected]@ est&ndar.


4-


41/73

%l c+di!o [email protected]@ con it de paridad es un *

1

1

1

11

1-

..

..

-.-1--..-1

:

Neamos a7ora un ejemplo en 3$

-12

121

6o es un c+di!o sistem&tico. a que la matri> de 2B2 tiene ran!o 1

*1S1 ' 2S2 = -)

Las primeras O columnas de la matri> deen formar una matri> OBO de ran!o O para

que el c+di!o sea sistem&tico a que as podemos transformar esta matri> OBO en la

matri> identidad aplicando operaciones elementales.

Proposicin:e #erifican las si!uiente propiedades$

i) Kodo c+di!o lineal es equi#alente a un c+di!o sistem&tico.

ii) "n c+di!o sistem&tico posee una /nica matri> !eneratri> est&ndar.iii) i C es un Vn,OW'c+di!o sistem&tico entonces para cada u = u1u2...un O

eBiste una /nica palara de c+di!o cuC de la forma cu= u1u2...uOBOP1...Bn.Komamos todo O le aadimos n'O smolos de tal forma que el c+di!o

si!a siendo un %N. Las O primeras componentes se llaman smolos de

informaci+n las n'O si!uientes se llaman smolos de control o smolos

de redundancia.

C+di!o [email protected]@ con it de paridad Las : primeras posiciones no corri!en errores,

forman todo:

2Z , lue!o se aade un smolo de control para permitir la detecci+n

de errores.

8emostraci+n$

i) upon!amos que el primer coeficiente no nulo de la fila i est& en la

columna ji *i ji). ean i1....irlas filas de la matri> escalonada tales que+i+

ji *O = 1....r). Consideremos la permutaci+n posicional de la palarasde C$ *ir jr) *ir'1 jr'1) .... *i1 j1), todas estas trasposiciones son disjuntas

forman una permutaci+n *la trasposici+n situada m&s a la derec7a es la que

se aplica primero). %jemplo$


41


42/73

21-------

121------

2112-11--

11212-121

j2= 3, j3= :, j4= de C, el primer loque es de

tamao OBO el se!undo loque es de tamao OB*n'O). Aplicando

operaciones elementales por columnas esta matri> se reduce a una matri>

!eneratri> est&ndar.

ii) ean ] ] matrices !eneratrices est&ndar de C sean a i ai las filas

i'sima de ] ]. Como amas matrices !eneran el mismo c+di!o las filas

de ] se pueden poner como CL de las filas de ]. a i tiene un 1 en la

posici+n i, aideer ser i!ual a a i, a que si ailo pusisemos como CL de

las filas de ] en esta CL s+lo inter#endra la fila a i a que si no la matri>

fila aitendra unos en una posici+n distinta de la i.

iii) 3, V5,3W'c+di!o. C = { ....}-1-,--2,--1,--- , aparecen todas las

posiles palaras de

3

3Z 7a una /nica palara que comien>a por esossmolos. u = u1....uO O, sea ] una matri> !eneratri> est&ndar con filasa1,...aO n. *u1....uO)] = u1a1 P u2a2 P ....uOaO = u1u2 ...uOBOP1....Bn.

)...-.....--1*1 a+

= . La palara empie>a por los smolos u ideido

a que la matri> es est&ndar lue!o aparecen otros elementos. Kodas las

palaras del c+di!o se otienen as. %l c+di!o [email protected]@ con un it de paridad

es un c+di!o sistem&tico a que se co!e todo:

2Z se le aade un it de

redundancia.

ea C el c+di!o ternario de matri> !eneratri>$

=

1211-

111-1

--221

7

%ncontrar un c+di!o sistem&tico que sea equi#alente a C una matri> !eneratri> de

dic7o c+di!o.


42


43/73

-12--

1121-

--221

1211-

1121-

--221

1211-

111-1

--221)2*)3*)1*)2* ee

%sta matri> es una matri> !eneratri> del mismo c+di!o a que s+lo 7emos reali>ado

operaciones elementales. %l c+di!o C a es sistem&tico, #amos a 7allar la matri>

est&ndar. La matri> 3B3 tiene ran!o 3. ;ara que la matri> OBO escalonada ten!a ran!o O

los elementos de la dia!onal deen ser distintos de cero.

-21--

1--1-

12--1

-21--

1--1-

--221

-21--

1121-

--221

-12--

1121-

--221)2*2)1*

)3*2)1*

)3*2)2*)3*2 e

e

ee

_acer lo mismo con un c+di!o C cua matri> !eneratri> es$

)*

-1211

112-1

--221

353 Z*7

=

12---

11-1-

--221

-1-2-

11-1-

--221

-1211

112-1

--221)2*)3*)1*)3*

)1*)2*

ee

e

%l ran!o de la matri> 3B3 no es 3. %sta matri> no se puede reducir mediante

operaciones elementales a la matri> identidad a que sta tiene ran!o 3.

-21--

-2-1-

22--1

-21--

-2-1-

2--21

-21--

-111-

2--21

12---

11-1-

--221)2*2)1*)3*)2*53

eecc

C es equi#alente a C. %l c+di!o C se otiene a partir de C permutando las posiciones

3 5. Itra matri> !eneratri> de C sera$

21-11

211-1

2--21

8iferencia entre la descodificaci+n de fuente la descodificaci+n de canal$

La descodificaci+n de canal consiste en, al usar un c+di!o detector de errores, reciir

las palaras transmitidas si stas no son palaras del c+di!o por al!/n mtodo

sustituir la palara reciida por una palara del c+di!o. La descodificaci+n de la fuente

consiste en tomar la informaci+n pasarla a su formato ori!inal.

%n el caso de los c+di!os lineales la codificaci+n descodificaci+n de fuente es

astante eficiente.

ea ] la matri> !eneratri> de un Vn,OW'c+di!o C sore .


43


44/73

7

C.7+

%sta aplicaci+n es un isomorfismo de %N. ;ara codificar se codifica por loques9 se

construe la fuente como elementos de O aplicando el isomorfismo pasamos al

c+di!o C.La descodificaci+n de fuente consiste en una #e> que se 7a reciido B] recuperar B9

esto se 7ace resol#iendo un sistema de ecuaciones lineales.

=

+n+

n

aa

aa

7

..

.

.

..

1

111

B = *B1,.....,BO)

).....,.....,.....,.....*),.....,* 11211211111 ++nn++++n aaaaaa!!7 ++++==

a11B1 P ZZP aO1BO= u1.

.

a1nB1P .......P aOnBO= un

%ste sistema tiene ran!o O, entonces tiene soluci+n /nica. _a O ecuaciones [email protected], con lo

que podemos eliminar n'O ecuaciones. %l n/mero de inc+!nitas es i!ual al ran!o del

sistema, la soluci+n es /nica.

_a un caso en el que esto es mu sencillo. i C es un c+di!o sistem&tico$

u = u1....uO Ou u] = u1....uOBOP1....Bn

)0* A>7 +=

As las descodificaci+n es tri#ial, asta con truncar las palaras tomando los Oprimeros smolos.

Definicin:ea C un Vn,OW. %l c+di!o dual *c+di!o orto!onal) de C es el espacio#ectorial orto!onal de C con respecto al producto escalar ordinario de n, es decir$

nn .C,,.C == },-S({$

Proposicin:i C es un Vn,OW'c+di!o entonces C es un Vn,n'OW'codi!o.

ea u1...uO nuna ase de C, entonces }....1,-S({ +i!.C in === .


44


45/73

i ui= *ui1,....uin) i = 1...O, entonces C es la soluci+n del sistema 7omo!neo.u11B1 P ZZP u1nBn= -

.

.

uO1B1P .......P uOnBn= -

Ken!o n inc+!nitas el sistema tiene ran!o O. La soluci+n es un eN de ran!o n'O.

Propiedades:

i) i C 8 son c+di!os lineales tales que C 8, entonces 8 C .ii) i ] es una matri> !eneratri> de C entonces C = {B n ( B]t= -}.iii) C = C.

8emostraci+n$

i#) dim C = n U dim C9 dim C = n U dim C = n U *n U dim C) = dim C C C , pero dim C = dim C C = C

%jemplo$

C = Y-11-, 12-1X4

3Z

=

1-21

-11-7

B2P B3= -

B1P 2B2PB4= -

dim C = 4 U2 = 2

B3= B4 =

B2= '

B1= 2' = - = 1*'1,-,-,1) = 1 = -*2,'1,1,-)

=

-112

1--1C7 es una matri> !eneratri> del c+di!o C

Definicin:e llama matri> de control *parit'c7ecO matriB) de C a cualquier matri>!eneratri> de C . i _ es una matri> de control de C entonces$

}-({ == tn /.C


45


46/73

i C es un Vn,OW'c+di!o _ es una matri> de control de C, _ *n'O)Bn*)

CC = - cuando traajamos con el cuerpo de los n/meros reales, pero para otroscuerpos esto no tiene por qu ser cierto *cuerpos finitos, cuerpo de los n/meros

complejos).

Definicin: "n c+di!o lineal C se dice autodual cuando coincide con su dual.

%jemplo$

C = Y11--,--11X

Comproar que C = C .

B1P B2= -

B3 P B4= -

B2= B3=

B1= 'B3= '

= 1 = -*11--) = - = 1*--11)

C = C

Al!unos liros dan esta definici+n de matri> de control$

; es una matri> de control de C cuando u C u;t= -Aqu no se eBi!e que la matri> !enere C .

%l c&lculo de la matri> de control en la pr&ctica se 7ace de forma diferente a la que

7emos 7ec7o.


4


47/73

Proposicin: ea C un c+di!o lineal sistem&tico que tiene una matri> !eneratri>est&ndar ] = *@O 0 A). %ntonces ; = *A

t0 '@n'O) es una matri> de control de C.

8emostraci+n$

i demostramos que las filas de ; son #ectores de C adem&s que son [email protected], entoncestendremos n'O #ectores [email protected] de C que tiene dimensi+n n'O, as forman una

ase de C . Las filas !eneran un suespacio de dimensi+n n'O de C como dim C = n'O se tiene que las filas son una ase de C , es decir, ; esuna matri> de control de C.

e tiene que ];t= - por tanto las filas de ; pertenecen a C . %l ran!o de ; es n'O,

lue!o sus n'O filas son [email protected]

Definicin:e dice que la matri> de control ; del c+di!o C es una matri> de controlest&ndar cuando es de la forma ; = * 0 @n'O)

i C es un c+di!o inario sistem&tico con matri> !eneratri> ] = *@ O0 A) entonces lamatri> ; = *At0 @n'O) es una matri> de control est&ndar de C *'1 = 1).

] = *@O0 A)

%l sistema que 7ara que resol#er para otener C sera$

B1P a1OP1BOP1P .....P a1nBn= -

B2P a2OP1BOP1P Z..P a2nBn = -

.

.

BOP aOOP1BOP1P Z..P aOnBn = -

Komamos n'O par&metros *BOP1...Bn). Itenemos una ase.

ea C el c+di!o inario de matri> !eneratri>$

=

1111---

-11-1--

1-1--1-

11----1

7

C = _2*3) *C+di!o de _ammin!)

_allar una matri> de control de C.

; = *At0 '@n'O)

]= *@40 A)

=

111

-11

1-1

11-

A


4:


48/73

=

1--1-11

-1-11-1

--1111-

P

Caractersticas de las matrices !eneratrices las matrices de control$

La #entaja de la matri> !eneratri> es que a partir de ella es m&s f&cil otener las

palaras del c+di!o *CL de sus filas).

;ara el c&lculo de la distancia mnima es mejor tener la matri> de control. A partir de la

matri> !eneratri> no se conoce nin!/n mtodo directo para otener ^*C), en camio a

partir de la matri> de control s.

Proposicin:ea ; una matri> de control de un Vn,O,dW'c+di!o lineal. %ntonces ladistancia mnima d es el menor entero positi#o r para el cual eBisten r columnas

linealmente dependientes en la matri> ;.

8emostraci+n$

ean p1....pnlas columnas de ;. ea B = B1....Bn n. B C B;t= -

B;t= B1S*1F fila de ;t) P B2S*2F fila de ;

t) P ..... BnS*nF fila de ;t) = B1p1P ... Bnpn

B C B1p1P ... Bnpn= -

i B es una palara de peso mnimo el n/mero de coeficientes no nulos es el menor de

entre todas las palaras del c+di!o. %l peso mnimo es el n/mero mnimo de columnasL8 *cada palara me da un CL de las columnas de la matri>).

%jemplo$

_2*3)

=

1--1-11

-1-11-1

--1111-

P

QCu&l es el mnimo n/mero de columnas linealmente dependientesR

r! ; = 3 %l n/mero m&Bimo de columnas [email protected] es 3, as 4 columnas son L8, ladistancia mnima es menor o i!ual que 4.

Q;uede 7aer 3 columnas L8R

La 3F columna es la suma de las dos primeras9 as d 3, 7e encontrado 3 columnasL8.

d 1 a que s+lo el #ector - puede formar por s solo un conjunto L8.6o 7a 2 columnas L8 a que una deera ser m/ltiplo de la otra, pero en este caso

esto implicara que fuesen i!uales. Lle!amos a que d = 3.


4


49/73

ea C el V1-, de control de C, _ *n'O)Bn*). Lamatri> _ define una aplicaci+n lineal$

))** tt

t

+n?n

/

/

..

La aplicaci+n se puede dar de cualquiera de estas dos formas.

_ = *7)eeLas columnas de _ son las im&!enes de los #ectores de la ase de n

mediante 7.

Definicin:upon!amos que se transmite la palara B C n que la palarareciida es

n. %ntonces a la diferencia = U B nse le llama palara deerror.

QC+mo se puede determinar a partir de 7R

B n9 B C B_t= -

%sto es lo mismo que decir que$

C = Oer 7 = {B n( 7*B) = -}

%ntonces se #erifica que 7*) = 7*B P ) = 7*B) P 7*) = 7*)

t

+n?n

/

..

Oer 7 = C

n(C = {B P C ( B n}%N de nm+dulo suespacio CB P C = {B P u ( u C} n


4D


50/73

7 define una relaci+n de equi#alencia en n$

B, n9 B 7 7*B) = 7*) 7*B U ) = - B U C er 7 = C

La clase de equi#alencia de B n es BPC. %l conjunto cociente asociado a la

relaci+n de equi#alencia es$

n(C = {B P C ( B n}

Las clases {B P C ( B n} *el conjunto cociente) constituen una partici+n de n.n es la uni+n disjunta de las clases de BPC con B n.n(C es un 'espacio #ectorial con operaciones$

1) *BPC) P *PC) $= BPPC n., ,

2) a*BPC) $= aBPC nn ..a ,

i BPC n(C entonces

!!

CC

++

es una iecci+n entre C BPC, lue!o 0BPC0 = 0C0 B n.%l c+di!o es la clase del -.

00 = q, 0n0 = qn, 0BPC0 = 0C0 = qO

%l n/mero de clases es$

qn(qO= qn'O, 0n(C0 = qn'O

80 f

N(er f @m f

n(C n'O

7*) = 7*)

Definicin:ea C un Vn,OW'c+di!o con matri> de control _. 8ado B n

se llamasndrome de B a la palara 7*B) = B_ t n'O. B C si s+lo si el sndrome de B es -.

Proposicin: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal con matri> de control _. %ntonces siB, n, B e tienen el mismo sndrome si s+lo si pertenecen a la misma clase delespacio cociente n(C.

La descodificaci+n por distancia mnima consiste en uscar la palara de pesomnimo entre todas las que tienen el mismo sndrome que la palara reciida a

continuaci+n calcular B = ' .

s"!ema:


5-


51/73

' e calcula el sndrome de la palara reciida , 7*) = _t.

' e determina la clase lateral asociada a este sndrome, PC.

' e usca en esta clase la palara de peso mnimo .' e calcula B = '.

i C es un c+di!o t'corrector en la transmisi+n se 7an cometido t o menos errores

entonces en la clase PC 7a una /nica palara de peso menor o i!ual que que es la

palara de error .

8escodificaci+n por sndrome$

Construimos la tala est&ndar$

ea C un Vn,OW'c+di!o de tamao m*=qO), C n

)*..

.....

.....

)*

)*

-)-*-..-

2

133133

222122

1

+n+n+n+n+n ""m"""

m

m

+n

m

!?C!c!c!!

!?C!c!c!!

!?C!c!c!!

.?Ccc

+++

++++++

=+

ea u2una palara de n'C de peso minimal. La 2F fila est& formada por las palaras

de u2PC. ea u3una palara de n'C que no pertenece a u2PC de peso minimal.

0n(C0 = qn'O

Jepetimos esto qn'O#eces. nes la uni+n disjunta de las clase uPC.

Las palaras de la 1F columna de la tala est&ndar se llaman lderes de clase tienen

peso minimal dentro de la clase.

i C es t'corrector, cualquier palara de nde peso menor o i!ual que t es lder de

clase.

%n el caso inario el c&lculo del sndrome se reali>a tomando la matri> de control9 nos

fijamos en las componentes no nulas de la palara reciida sumamos las columnas

de la matri> de control que ocupan las posiciones no nulas de la palara reciida.

%jemplo$

ea C el c+di!o con matri> de control$

=

1--11

-1--1

--11-

/

Construir la tala est&ndar descodificar las palaras reciidas$ 111-1, --11- -11-1.


51


52/73

%n primer lu!ar #amos a determinar una matri> !eneratri> para 7allar las palaras del

c+di!o. C es un V5,2W'c+di!o. i calculo la matri> de control del c+di!o dual oten!o

una matri> !eneratri> del dual del dual, que es el c+di!o C. _ es una matri> de control

est&ndar as el c+di!o es sistem&tico.

_ = *[email protected])] = *@20t)

=

1-11-

11--17

La distancia mnima es el n/mero mnimo de columnas L8 de la matri> de control.

r!*_) = 34 columnas ser&n L8

6o 7a nin!una columna que sea -, as d X 1. 2 columnas L8, en el caso inario,seran i!uales, como no 7a 2 columnas i!uales d X 2. _a 3 columnas L8 *1F = 4F P

5F), as d = 3.

%l c+di!o es 1'corrector.

Namos a construir la tala est&ndar.

111-1-1-11--1--1111-1--

11---11-1-1-1-1-1111---

--111111-11--1--1-----1

-1-111---11111---1---1-1--11-1--1--11-111--1--

1-11-11---1-111-11-1---

-11-111-111-1---111----

---1111--11-11--11-----

#indromes'deres

%n un c+di!o t'corrector todas las palaras de peso menor o i!ual que t #an a ser

lderes de clase.

A7ora deo tomar la palara de peso 2 que no 7aamos puesto *7asta la F fila).

;onemos una palara de peso 2 otenemos su sndrome, si ste a 7a salido es que la

palara a 7a salido deemos co!er otra palara.

= -11-1

7*) = -11-1 _t= ---

-11-1 C *er 7 = C)

6o puede 7aer ocurrido un error a que se 7a reciido una palara del c+di!o9

tampoco se pueden 7aer cometido 2 errores, pero si se pudieron cometer 3 errores.

= -11-1B = -11-1

= 111-1


52


53/73

7*) = --1 * C)

uscamos el lder de clase de este sndrome.

B = P 1---- = -11-1

%sta es la /nica palara que podemos otener si se 7a producido un /nico error. i

7uiesen ocurrido 2 errores la palara real podra ser otra pero este c+di!o s+lo corri!e

un error. %sta palara es la palara de c+di!o que aparece en la columna de la palara

en la tala.

= --11-7*) =11-

%l lder de clase es 11---, que tiene peso 2, as se 7an cometido al menos 2 errores,

como el c+di!o es 1'corrector no #amos a tener la se!uridad de 7acer la

descodificaci+n correcta.

8escodificaramos como$

B = ' = 1111-

e 7an cometido 2 errores la palara reciida podra 7aer sido -----. i se 7an

cometido 2 errores cualquiera de estas dos palaras podra 7aer sido transmitida.

%ste mtodo tiene un incon#eniente a que la tala est&ndar puede ser !rande, por

ejemplo, en un c+di!o inario de lon!itud 1-- en la tala 7ara que poner 21--

palaras *sin contar sndromes). %sto 7ace que para c+di!os de estos tamaos la tala

sea inaordale9 por eso en estos casos se utili>ara una tala reducida con 2 columnas,la columna de los lderes de clase la de los sndromes. Kendramos esto$

..

..

.1

-----

peso

#ndrome'deres

%n primer lu!ar #amos poniendo las palaras de peso uno su sndrome. Al acaar

con las palaras de peso uno pasamos a las de peso 2. %sta tala es muc7o m&s

reducida. %jemplo$

V1--,-W'c+di!o, n'O = 4-, tenemos 24- lderes de clase sus correspondientes

sndromes. Contando las 2 columnas$ 2S24-= 241. %ste mtodo de descodificaci+n #ale

para cualquier c+di!o. %Bisten c+di!os que tienen mtodos de descodificaci+n

especficos.

%l prolema principal en el caso de los c+di!os lineales es dada la lon!itud n la

distancia mnima d encontrar la dimensi+n m&Bima O para la cual eBiste un

Vn,O,dW'c+di!o lineal.


53


54/73

%ste prolema es demasiado difcil, entonces se plantea otro m&s f&cil9 fijadas la

lon!itud la dimensi+n cu&l es la m&Bima distancia d posile. La cota de in!leton

nos da esto.

Proposicin:i C es un Vn,O,dW'c+di!o lineal entonces d n'OP1

8emostraci+n$

Kodo c+di!o lineal saemos que es equi#alente a un c+di!o lineal sistem&tico la

equi#alencia de c+di!os conser#a los par&metros de los c+di!os. Itenemos un c+di!o

sistem&tico equi#alente a C, con lo que tendr& sus mismos par&metros. ;odemos

suponer que C es sistem&tico$

] = *@O0A) A OB*n'O)*)

d peso m&Bimo de cualquier fila de la matri> !eneratri> *= peso m&Bimo de las filasde ])

A lo sumo en cada fila de ] tenemos n'OP1 d!itos distintos de cero. %ntonces a lo

sumo el peso de las filas de ] es n'OP1. %ntonces d n'OP1. %sta cota se puedealcan>ar.

Definicin: "n Vn,O,dW'c+di!o lineal C se dice que es un c+di!o 8 *maBimundistance separale code) cuando d = n'OP1.

8emostrar que eBisten c+di!os q'arios 8 de tipo Vn,n,1W, Vn,1,nW Vn,n'1,2W. %stos

c+di!os se llaman c+di!os 8 tri#iales.

q = 2, C =n

Z2 Vn,n,1W'c+di!o

C1= Y11...1X

C1= {--....-,11....1} Vn,1,nW'c+di!o

1C Vn,n'1,2W'c+di!o

*11....1) es una matri> !eneratri> de C1,1C tiene como matri> de control

1

1...101

n

.

] = *@O0A) _ = *[email protected]'O)

1C tiene como matri> !eneratri> *matri> de control de C1 de 1B*n'1)) a$


54


55/73

1-..-1

-...

....

.1-1

-..-11

_a que #er que la distancia mnima es 2$

1C _ = *1011....1)

2 columnas son L8 d = 2 %s un c+di!o 8

Cdigos Eseci#!es: Cdigos de $#mming* de Go!#% % de Reed+Mu!!er

Cdigos de $#mming:

%stos fueron los primeros c+di!os interesantes que aparecieron. \ueron descuiertos

independientemente por J. _ammin! *1D5-) . ]ola *1D4D). %stos c+di!os tienen

un procedimiento de descodificaci+n especial.

Kenemos un Vn,OW'c+di!o lineal9 su distancia mnima es el mnimo n/mero de

columnas L8 de una matri> de control. ea d la distancia mnima entonces si tomamos

d'1 columnas cualesquiera de cualquier matri> de control #a a ser [email protected], pero 7a un

!rupo de d columnas L8.

Namos a construir un Vn,O,3W'c+di!o lineal. Construimos este c+di!o de tal forma que

su matri> de control ten!a 2 columnas cualesquiera [email protected] con 3 columnas L8,

co!iendo el m&Bimo n/mero de columnas posile.

%l c+di!o de _ammin! q'ario de orden r *r , r 2) #a a ser un c+di!o q'ario


55


56/73

Hq*r) que tiene una matri> de control _q*r) con r = n U O filas con el m&Bimo

n/mero posile de columnas *siendo d = 3). Las columnas de _q*r) son #ectores der

"5 .

2 #ectores deer se [email protected] Los suespacios que !eneran son distintos*las 2 rectas que!eneran deen ser diferentes).

Considero todas las rectas de r"5 que son de la forma Y#X, # r"5 .

Komemos un #ector no nulo en cada recta Y#Xr

"5 9 2 de estos #ectores son [email protected] siempre puedo co!er 3 que son L8.

r"5(

r

" (5

>= de control de Hq*r) es una matri> que tiene r filas n =1

1

"

"r

columnas,

el c+di!o Hq*r) es un Vn,O,3W'c+di!o donde O = n U r. %sta matri> se llama matri> de

_ammin! no es /nica.

Consideremos los elementos de _q*r) como n/meros en el sistema de numeraci+n dease q. %le!imos los que son distintos de cero que tienen d!itos m&s si!nificati#o

i!ual a 1. %ntonces las columnas de _q*r) son estos n/meros escritos en orden

creciente.

H2*3)

=

1-1-1-1

11--11-

1111---

)3*2/

r = 3. Las columnas son n/meros de 3 d!itos inarios.

n = :12

12

1

1 3=

=

"

" r

d = 3

%l tomar el d!ito m&s si!nificati#o i!ual a 1 implica que co!emos un /nico punto en

cada recta.


5


57/73

=

21-21-21-21-1

222111---111-

111111111----

)3*3/

Las columnas est&n ordenadas en orden creciente.

n = 1313

133=

i pusisemos la columna2

-

-

sera m/ltiplo de1

-

-

as d = 2 *co!eramos 2 #ectores

en la misma recta).

=321-4321-4321-4321-4321-133332222211111-----11111-

1111111111111111111------

)3*5/

314

124

15

153==

=n

r = 3 = n U O O = 2onamiento para d con la matri> ]2#emos que ^*d) 1.i ^*i) = 1 entonces u es una fila de ]1 nin!una de ellas tiene peso 4, lue!o ^*i) 2

%l mismo ra>onamiento muestra que ^*d) 2.%ntonces tiene que ser ^*i) = ^*d) = 2.

^*i) = 2 u es la suma de 2 filas de ] 1pero nin!una de estas sumas puede tenerpeso 4.

!24es un V24,12,


62/73

%l C+di!o de ]ola inario !23$

e otiene a partir de !24pinc7ando una componente a !24*usualmente se elimina el

/ltimo smolo de todas las palaras).

n = 23, m = 212

La distancia mnima o es la misma o disminue una unidad. %n este caso al pinc7ar la

/ltima columna de la matri> de control de !24la /ltima fila tienen peso :, as d = :. ! 23es un V23,12,:W'c+di!o. !23es perfecto. !24se otiene a partir de !23aadindole un it

de paridad.

Los C+di!os de ]ola Kernarios$

!12tiene por matri> !eneratri> ] = *@0) donde

=

-12211

1-1221

21-121

221-11

1221-1

11111-

3

A partir de la 3F fila una fila se otiene a partir de la anterior despla>&ndola una

posici+n 7acia la derec7a.

Propiedades:

i) !12es autodual.

ii) es simtrica.

iii) ]12es un V12,,W'c+di!o.

i#) %l c+di!o ternario !11 otenido pinc7ando !12 es un V11,,5W'c+di!o

perfecto.

Cdigos de ,ordstrom+Ro-inson:

on c+di!os no lineales tienen la propiedad de que tienen una distancia mnimamaor que cualquier c+di!o lineal que ten!a el mismo tamao la misma lon!itud.


2


63/73

Cdigos de Reed+Mu!!er:

%stos c+di!os son f&ciles de descodificar.

Definicin: "na funci+n de oole de m #ariales es una aplicaci+n 22$ ZZfm .

Las funciones de oole se suelen representar dando su tala de #erdad.

m = 3

%ntero

inario

- 1 2 3 4 5 :

B1 - - - - 1 1 1 1

B2 - - 1 1 - - 1 1

B3 - 1 - 1 - 1 - 1

\*B1,B2,B3) - 1 1 1 - 1 1 -

;ara dar la funci+n ooleana me asta quedarme con la /ltima fila a que me descrie

completamente la funci+n *si asumo que siempre ten!o el mismo orden).

%Biste una correspondencia iun#oca entre funciones de oole de m #ariales

palaras inarias de lon!itud 2m

.

2

4

2$ ZZf

1-111-1--1---11-

f*111-) = 1

f*-1-1) = -

Bm= {funciones de oole de m #ariales}

0Bm0 =m22 n/mero de palaras inarias de lon!itud m

%n Bm se define una suma$

f, ! Bm, *f P !)*B1,Z.Bm) $ = f*B1,Z.Bm) P !*B1,Z.Bm)

*Bm,P) es un !rupo aeliano.

o eBclusi#o *Bor)

*f P !)*B1,Z.Bm) = 1 f*B1,Z.Bm) = 1 o !*B1,Z.Bm) = 1 pero no amos son 1.

8efinimos una multiplicaci+n escalar$


3


64/73

2, f Bm, *f) *B1,Z.Bm) $ = *f*B1,Z.Bm))

Bm es un 2'espacio #ectorial.

8ados f, ! Bm, *f S !)*B1,Z.Bm) $ = f*B1,Z.Bm) S !*B1,Z.Bm)

ea m$ = {\*B1,....Bm) =}.....)*

21

1

)...*

1= mm

m

Z!!!

!

m

! !a, con a*u) 2.

A los elementos de este conjunto se les llaman polinomios de oole.

0m0 =m

22

QCu&ntos monomios 7a de !rado O$ +!! m!m! m =++ ....(... 111 R

_a

+

mmonomios de !rado O en m #ariales.

mm

m

mmmm2)11*.....

21-=+=

+

+

+

, estos son todos los posiles monomio de m

#ariales.

Proposicin:La aplicaci+n$

m Bm\ f

que a cada polinomio de oole \*B1,....Bm) le 7ace corresponder la funci+n de oole

f*B1,...Bm) dada por f*B1,...Bm) = \*B1,....Bm) es un isomorfismo de 2'espacios

#ectoriales.

8emostraci+n$

asta demostrar que toda funci+n de oole de m #ariales est& inducida por un

polinomio de oole de m #ariales a que los 2 conjuntos tienen el mismo n/mero de

elementos, as si la aplicaci+n es soreecti#a es iecti#a.

_a que demostrar que toda funci+n de oole f*B1,....Bm) Bmest& inducida por unpolinomio de oole. "samos inducci+n en m.

m = 1

Las funciones de oole de 1 #ariale son --, 11, -1, 1-.

-- -

11

1-1 B1


4


65/73

1- 1 P B1

Kodas las funciones de 1 #ariale est&n inducidas por polinomios.

upon!amos que se #erifica para m'1 #ariales sea f*B1,....Bm) Bm

f*B1,....Bm) = f*-,B2,ZBm) P 1*B1,ZBm)Vf*1,B2,...Bm) U f*-,B2,...Bm)W

donde 1*B1,ZBm) = B1, es decir

f*B1,....Bm) = f*-,B2,ZBm) P B1*B1,ZBm)Vf*1,B2,...Bm) U f*-,B2,...Bm)W

8efinimos funciones de oole de m'1 #ariales$

f-*B2,...Bm) $ = f*-,B2,ZBm)

f1*B2,...Bm) $ = f*1,B2,ZBm)

;or la 7ip+tesis de inducci+n eBisten polinomios de oole \ -*B2,...Bm) \1*B2,...Bm)

tales que$

\-*B2,...Bm) = f-*B2,...Bm) = f*-,B2,ZBm)

\1*B2,...Bm) = f1*B2,...Bm) = f*1,B2,ZBm)

La funci+n 1*B1,ZBm) est& inducida por el polinomio ]*B1,...Bm) = B1. %ntonces elpolinomio

\*B1,...Bm) = \-*B2,ZBm) P B1V\1*B2,...Bm) U \-*B2,...Bm)W

induce la funci+n f*B1,...Bm).

'ea f la funci+n de oole dada por$

-11---11

_allar el polinomio de oole que la induce.

11---11-)*,,*

1-1-1-1-

11--11--

1111----

321

3

2

1

f

-11-),,-*

1-1-

11--

32

3

2

f


5


66/73

11--),,1*

1-1-

11--

32

3

2

f

f*B1,...Bm) = f*-,B2,ZBm) P B1Vf*1,B2,ZBm) U f*-,B2,...Bm)W

-11---11 = -11- P B1V--11 ' -11-W = -11- P B1*-1-1) = -1 P B2V1- ' -1W P B1V-1 P

B2V-1 ' -1WW = -1 P B2*11) P B1*-1) = V- P B3*1 U -)W P B2V1 P B3*1 U 1)W P B1V- P

B3*1 U -)W = B3P B2P B1B3

'_allar los polinomios de oole que inducen las funciones$

a) --1-1--1

) -1--1-111-1---1-

a) --1-1--1 = --1- P B1*1-11) = B2*1-) P B1V1- P B2*-1)W = B2V1 P B3W P B1V1 P B3P B2B3W = B2P B2B3P B1P B1B3 P B1B2B3

) -1--1-111-1---1- = -1--1-11 P B1*111-1-11) = -1-- P B2*1111) P B1V111- P

B2*-1-1)W = -1 P B3*-1) P B2*11) P B1V11 P B3*-1) P B2V-1 PB3*-1)WW = B4P B3B4P B2 P B1V1 P B4B3 P B2B4 P B2B3B4W = B4 P B3B4 P B2 P B1 P B1B4B3 P B1B2B4PB1B2B3B4

d2

2

m

Z Bm m3d

Definicin:ea m un entero positi#o mr- . e define el c+di!o de Jeed'ullerJ*r,m), de lon!itud 2m orden r como el conjunto de las palaras inarias de

m

Z22asociadas a polinomios de oole de mque tienen !rado menor o i!ual que r.

J*r,m) es un c+di!o lineal

m*r) J*r,m)

m*r)polinomios de oole de m #ariales de !rado menor o i!ual que r

%jemplos$

J*-,m)

1... --1 =m

- S -... --

1 =m

1 S 1... --

1 =m



67/73

J*-,m) = { m2

-...-,

m2

1...1} = Jep* m2 )

m

Z22

J*m,m) =m

Z22

J*1,3)

Los polinomios de oole de 3 #ariales !rado menor o i!ual que 1 son de la forma$

332211-1S +++

con i 2 i = -...3

Los 4 monomios forman una ase del espacio de los polinomios. La palara de J*1,3)correspondiente a este polinomio ser&$

)-1-1-1-1*)--11--11*)----1111*)11111111* 321- +++

Las palaras entre parntesis son los polinomios que corresponden a los polinomios de

oole de 4 #ariales.

1111----1-1-1-1-

11--11--

1111----

1

3

2

1

;olinomios de 3 #ariales de !rado menor

o i!ual que 1

;olinomio

- --------

B1 ----1111

B2 --11--11

B3 -1-1-1-1

B1PB2 --1111--

B1PB3 -1-11-1-B2PB3 -11--11-

B1PB2PB3 -11-1--1

1 11111111

1PB1 1111----

1PB2 11--11--

1PB3 1-1-1-1-

1PB1PB2 11----11

1PB1PB3 1-1--1-1

1PB2PB3 1--11--1

1PB1PB2PB3 1--1-11-


:


68/73

%Bcepto la palara 1 la - todas las palaras tienen 4 unos 4 ceros. %l peso mnimo

es 4, as este c+di!o tiene distancia mnima 4.

Proposicin:ea \*B1...Bm) = BmP p*B1...Bm'1) donde p*B1...Bm'1) es un polinomio deoole. %ntonces la funci+n de oole inducida por \ toma los #alores - 1 el mismo

n/mero de #eces, es decir, 2m'1

#eces.22$ ZZ5

m

8emostraci+n$

*B1,...Bm'1,Bm)m

Z2*B1,...Bm'1,-)

*B1,...Bm'1,1)

Kodos los elementos dem

Z2 los puedo otener a partir de los de1

2

m

Z aadiendo alfinal un 1 o un -.

i p*B1...Bm'1) = -$

\*B1...Bm'1,1) = 1 P - = 1

\*B1...Bm'1,-) = - P - = -

i p*B1...Bm'1) = 1$

\*B1...Bm'1,1) = 1 P 1 = -

\*B1...Bm'1,-) = 1 P - = 1

La mitad toma el #alor 1 la otra mitad el #alor -.

Proposicin:Kodas las palaras de J*1,m) tienen peso mnimo 2m'1, eBcepto la palara--...- la palara 11...1. %n consecuencia la distancia mnima de J*1,m) es 2m'1.

8emostraci+n$

J*1,m) est& formado por palaras que a eBcepci+n de -...- 1...1 est&n inducidas por

polinomios de oole de la forma Bt P p*B1...Bt'1BtP1...Bm). %stas palaras tienen 2m'1

ceros 2m'1 unos.

%n los c+di!os de Jeed'uller m no es el tamao del c+di!o si no el n/mero de

#ariales del polinomio de oole que le corresponde.

Proposicin:%l c+di!o de Jeed'uller J*r,m) tiene lon!itud 2m dimensi+n$

+

+

+=

r

mmm+ ...

211

Ls tasa del c+di!o es$



69/73

m

+)

2=

8emostraci+n$

%l c+di!o es isomorfo a los polinomios de oole de !rado menor o i!ual que r, que

tiene como ase los monomios de !rado menor o i!ual que r. %l n/mero de polinomios

de !rado menor o i!ual que r es$

+

+

+=r

mmm+ ...

211

Kamao = 2O

n = lon!itud del c+di!o

m

++

n)

2

2lo!2 ==

'8eterminar cu&les de las si!uientes palaras pertenecen al c+di!o J*2,4)

a) 11-1 111- ---1 1--1

) --11 -1-1 --11 1-1-

%ste c+di!o tiene lon!itud 1.8eemos #er que los polinomios de oole que inducen

estas palaras tienen !rado menor o i!ual que 2.

a) 11-1111- P B1*11---111) = 11-1 P B2*--11) P B1*11-- P B2*1-11)) = 11 P B3*1-) P B2*B3*11)) P B1*11 P B3*11) P B2 *1- P B3*-1))) = 1 P B3*1 P B4) P B2B3P B1 *1

P B3P B2 *1 P B4P B3B4)) = 1 PB3P B3B4P B2B3P B1B3PB1B2 P B1B2B4P B1B2P B1B2B3B4

%ste polinomio de oole tiene !rado 4. La palara no pertenece a J*2,4)

) --11-1-1 P B1*--111-1-) = --11 P B2*-11-) P B1 *B2 *1111)) = B3 *11) P B2*-1 P B3*11)) P B1B2*11) = B3P B2B4P B3B2P B1B2

%sta palara pertenece a J*2,4)

Definicin:ea C1un *n,m1,d1)'c+di!o lineal C2un *n,m2,d2)'c+di!o lineal sore uncuerpo . e define un c+di!o lineal sore $

},()*{$ 2121 C(C!(!!CC +=

donde u*uP#) es la uBtaposici+n de las palaras u uP#.


D


70/73

n

n

.C

.C

2

1

n.CC

2

21 , lue!o 21 CC es un c+di!o de lon!itud 2n.

u*uP#) P u*uP#) = *uPu)*uPuP#P#) 21 CC *u*uP#)) = u*uP#) 21 CC

Proposicin: 21 CC es un *2n,m1m2,d)'c+di!o con d= min{2d1,d2}

8emostraci+n$

ea B1= u1*u1P#1) B2= u2*u2P#2)9 u1,u2 C1, #1,#2 C2.

i #1 = #2entonces d*B1,B2) = ^**u1'u2)*u1'u2)) = 2^*u1'u2) = 2d*u1,u2)

2d1

i #1#2entonces d*B1,B2) = ^*u1'u2)P ^**u1'u2) P *#1'#2)) ^*#1'#2) = d*#1

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