TASA DE VARIACI ÓN

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008

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TASA DE VARIACIÓN

Dada una función cualquiera f(x), se define su tasa de variación media en un intervalo [a, b], como:

TVM[a, b]

= var i ac i ón de f ( x )

var i ac i ó n de x =

f ( b ) - f ( a )

b - a

Aplicación de la TVM

Velocidad media:

La función del espacio recorrido es dependiente del tiempo: s(t)

vm

= espac i o recorr i d o

t i empo e mp l eado =

∆s

∆t

Consideramos la tasa de variación instantánea de una función f(x) en a:

TVI(a) = lim

b a

Si utilizamos h = b – a, la expresión anterior queda:

TVI(a) = lim

h 0

Aplicación de la TVI: velocidad instantánea:

El límite de las sucesivas secantes cuando h tiende a 0 es la recta tangente a la gráfica de la función en

el punto (t = a, s(t) = f(a))

f ( b ) - f ( a )

b - a

f ( a + h ) - f ( a )

h



DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Crecimiento y decrecimiento

• Si f’(a) > 0 la función es creciente en el punto (a, f(a))

• Si f’(a) < 0 la función es decreciente en el punto (a, f(a))

Si una función f(x) tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en x = a y existe f’(a), entonces f’(a) = 0.

La derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x = a es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica

de f(x) en el punto (a, f(a)). Se designa por f’(a):

f'(a) = lim

h 0 f ( a + h ) - f ( a )

h

Derivadas laterales

Derivada lateral por la izquierda:

f'-(a) = lim

h 0-

Derivada lateral por la derecha:

f'+

(a) = lim

h 0+

Si las derivadas laterales no existen o no coinciden entonces f(x) no es derivable en el punto a:

En este caso f’+

(0) = 1 y f’-(x) = -1, luego f(x) = |x| no es derivable en x = 0.

f ( a + h ) - f ( a )

h

f ( a + h ) - f ( a )

h



FUNCIÓN DERIVADA

La función derivada de f(x) se define como aquella que hace corresponder a cada valor de a la derivada de f(x) en x = a, es decir, f’(a). Se representa mediante f’(x).

• Función constante: Si f(x) = k entonces f’(x) = 0

• Función identidad: Si f(x) = x entonces f’(x) = 1

= lim 1 = 1

• Función cuadrática: Si f(x) = x2 entonces f’(x) = 2x

• Función potencial: Si f(x) = xn entonces f’(x) = nxn-1

f'( x ) = li m f ( x + h ) - f ( x )

h = li m

k - k

h = li m 0= 0

f'( x ) = li m f ( x + h ) - f ( x )

h = li m

x + h - x

h = li m

h

h

f'( x ) = li m f ( x + h ) - f ( x )

h = li m

( x + h )2

- x2

h

h 0 h 0

h 0 h 0 h 0

h 0 h 0

h 0 h 0

h 0

h 0

= li m ( x

2 + 2 x h + h

2) - x

2

h = li m

2 x h + h2

h

= li m (2 x + h) = 2 x

• Función logarítmica:

Si f(x) = loga

x entonces f’(x) =

Si f(x) = ln x entonces f’(x) =

• Función exponencial:

Si f(x) = ax entonces f’(x) = ax · ln a

Si f(x) = ex entonces f’(x) = ex · ln e = ex

• Funciones trigonométricas:

Si f(x) = sen x entonces f’(x) = cos x

Si f(x) = cos x entonces f’(x) = -sen x

1

x

.

1

l n a

1

x . 1

l n e =

1

x

Derivada de algunas operaciones con funciones

• (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)

• (k · f(x))’ = k · f’(x)

• (f(x) · g(x))’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)

• (f ( x )

g ( x ) ) ’ =

f ( x ) · g ( x ) - f ( x ) g ( x )

( g ( x ) )2

’ ’·



APLICACIONES DE LA DERIVADA

Representación de funciones

• Determinar el dominio.

• Estudiar la continuidad.

• Determinar sus ramas infinitas, es decir, sus asíntotas y su comportamiento en +∞ y en -

∞.

• Averiguar los puntos de intersección con los ejes de coordenadas.

• Determinar sus puntos críticos, es decir, en qué puntos la tangente es horizontal. Dichos

puntos cumplen f’(x) = 0.

• Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Dichos intervalos se

averiguan conociendo el signo de f’(x).

Ecuación de la recta tangente

Si f(x) es derivable en el punto x = a, el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en a es f’(a):

Ecuación punto-pendiente de la recta tangente a f(x) en x = a:

y – f(a) = f’(a) · (x – a)

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