Tasas relacionadas

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Cálculo Diferencial e Integral

de Una Variable

Ciclo 2007 - 2

UPC

Habilidades

1. Identifica los tipos de problemas sobre tasas relacionadas.2. Resuelve problemas de tasas.

Estrategia

1. Lea con cuidado el problema.2. Trace si es posible, un diagrama.3. Adopte una notación. Asigne símbolos a todas las cantidades

que sean funciones del tiempo.4. Exprese la información dada y la tasa requerida en términos de

derivadas.5. Deduzca una ecuación que relacione las diversas cantidades del

problema. Si es necesario, use la geometría del caso que se ve, para eliminar una de las variables por sustitución.

6. Utilice la regla de la cadena para derivar ambos lados de la ecuación, con respecto al tiempo.

7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y despeje la rapidez o tasa desconocida.

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 2

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

12 m

A

B

Ejemplo 2

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

1 pm.

A B

Ejemplo 2

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

2 pm.

B

A

Ejemplo 2

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

3 pm.

B

A

Ejemplo 2

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

4 p.m.

A

B

Ejemplo 3

Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el muro cuando está a 4 m de la pared?

Ejemplo 3

Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el muro cuando está a 4 m de la pared?

Ejemplo 4

Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda atada a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta polea está 1 m mas alta que la proa del bote. Si la cuerda se desliza con una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de él?

Ejemplo 4

Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda atada a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta polea está 1 m mas alta que la proa del bote. Si la cuerda se desliza con una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de él?

Ejemplo 5

Un canal tiene 10 pies de largo y sus extremos presentan la forma de triángulo isósceles de 3 pies de ancho y 1 pie de altura. Si el canal se llena de agua con un flujo de 12 pies cúbicos por minuto, ¿con qué velocidad cambia el nivel del agua cuando hay 6 pulgadas de profundidad?

Ejemplo 6

Cuando el aire se expande adiabáticamente (sin ganar ni perder calor), su presión P y su volumen V se relacionan mediante la ecuación:

CPV 4,1

donde C es una constante. En cierto instante el volumen es 400 cm3 y la presión 80 kPa y disminuye a 10 kPa/min. ¿Con qué velocidad aumenta el volumen en ese momento?

Ejemplo 7

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

P

Ejemplo 7

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

P

Ejemplo 7

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

P

Ejemplo 7

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

P

Ejemplo 7

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

P

Ejemplo 7

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

P

Ejemplo 7

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

P

Ejemplo 8

Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?

NE

E

Ejemplo 8

Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?

NE

E

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Sección 3.10

Ejercicios 3.10 pág 257:2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 17, 18, 20, 21, 24, 26,29, 31, 32,33.