TC Diagramas a Estima

8/10/2019 TC Diagramas a Estima

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Tema complementario

Diagramas de Esfuerzos:

Resolucin a Estima

Manuel Manzano Gmez - Estructuras 1

Dpto. Mecnica de Medios Continuos, Teora de las Estructuras e Ingeniera del Terreno

Escuela Tcnica Superior de Arquitectura de Sevilla


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ndice de Contenidos

1. Introduccin

1.1. Los diagramas de esfuerzos en el anlisis estructural1.2. La utilidad de conocer los diagramas de esfuerzos en las estructuras

2. Conceptos Previos a Repasar2.1. Cargas

2.2. Enlaces exteriores o Vnculos

2.3. Enlaces interiores o Nudos

2.4. Estructuras isostticas

3. Origen de los Esfuerzos: Principio de Equilibrio

4. Tipos de Esfuerzos4.1. Tipos de Esfuerzos y Criterios de Signos

4.2. Criterios de Representacin

5. Proceso de Resolucin de Diagramas a Estima5.1. Metodologa

5.2. Relacin entre las leyes y puntos singulares

5.3. Estructuras simtricas y antisimtricas

6. Ejercicios Resueltos y Comentados


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1. introduccin. 1.1. Los diagramas de esfuerzos en el anlisis estructural

Efectuar un anlisis o clculo estructural de un edificio, como ya vimos en el tema 01, conlleva

seguir la siguiente metodologa:

Fase 1: Se definen y cuantifican las accionesque intervendrn en la estructura(CTE-DB SE-AE); se establece un estado de cargas [Temas 03 y 04].

Fase 2: Se define un modelo estructural simplificado que se comporte deforma aproximada a la estructura real (definir geometra, vnculos, materiales).

[Temas 02 y 05].

Fase 3: Una vez definidos adecuadamente los vnculos y coacciones de la

estructura, se halla el valor de las reacciones (condiciones de equilibrio: Fx=0;Fy=0; M=0) [Tema 06].

Fase 4: Se calculan los esfuerzosde la estructura. Se determinan las leyes deesfuerzos, localizando y cuantificando los valores mximos (las secciones ms

solicitadas) [Tema 07].

Fase 5: Clculo de tensiones en las secciones ms solicitadas, comprobandoque no se sobrepasan las tensiones que resiste el material en ningn punto de la

estructura (E.L.U.).

Fase 6: Clculo de deformaciones de la estructura, comprobando que no sesobrepasan los valores admisibles de servicio limitados por la normativa (E.L.S.).

La resolucin de

Diagramas deEsfuerzos a

Estima, suponetrabajar en estas

fases 3 y 4


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Las cargas que actan sobre un edificio, se transmiten a travs de su estructura hasta la

cimentacin y finalmente al terreno. La estructura acta como un esqueleto.

Los Diagramas de Esfuerzos nos indican cmo est trabajando esa estructura. A modo deradiografa, nos muestra cmo se transmiten y distribuyen internamente las cargas a travs de

las barras que conforman el esqueleto estructural del edificio.

1. introduccin. 1.2. Utilidad de conocer los diagramas de esfuerzos de las estructuras (1)


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El clculo estructural se basa en comprobarque en ningn punto de la estructura se superan

las tensiones que el material puede soportar.

1. introduccin. 1.2. Utilidad de conocer los diagramas de esfuerzos de las estructuras (2)

Los Diagramas de Esfuerzos constituyen unmtodo grfico de lectura inmediata, donde se

representa la distribucin de los esfuerzos en las

barras, y pueden localizarse las secciones ms

solicitadas, en las cuales convendr realizar lascomprobaciones tensionales. Tambin nos sirven

para analizar cualitativamente las deformaciones

de la estructura.

+

-

+

mx. cortante

Zona de

mx. flector

mx. cortante


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2.1. Cargas [Repasar Temas 03 y 04]

Segn su naturaleza, pueden ser: Permanentes (G): concargasVariables (Q): sobrecargas de uso y acciones climticas

Segn su punto de aplicacin: Puntuales (kN)

Repartidas (lineales: kN/m)

2.2. Enlaces exteriores o Vnculos [Repasar Tema 06]

Apoyo (carrito) Articulacin Empotramiento

1 Coaccin 1 Reaccin 2 Coacciones2 Reacciones 3 Coacciones3 Reacciones

2. Conceptos previos a repasar. 2.1. Cargas 2.2. Enlaces exteriores o Vnculos

Se impide el movimiento vertical. Se

permite el movim. horizontal y el giro

Eje de mov. impedido

Reaccin

Ejes de mov. impedido

Reacciones Reacciones

Se impide el desplazamiento (movimiento

horizontal y vertical). Se permite el giro.

Se impiden todos los movimientos:

desplaz. horizontal, vertical y el giro.


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2.3. Enlaces interiores o Nudos (uniones entre barras) [Repasar Tema 06]

Unin articulada o rtula: impide el desplazam. relativo entre lasbarras, pero permite el giro entre ellas. No se transmiten momentos.

Unin rgida o empotrada: impide el desplazamiento y el girorelativos entre las barras. Se transmiten la fuerzas y momentos.

2.4. Estructuras isostticas [Repasar Tema 06]Trabajaremos en este tema con estructuras planas de tipo isostticas. Las estructuras

isostticas son aquellas que disponen de las coacciones justas para ser una estructura

estable. Para el caso de estructuras planas, se necesitan 3 coacciones.

Vigas isostticas: viga biapoyada (apoyada-articulada) Viga mnsula

La resolucin de este tipo de modelos, se realiza mediante las ecuaciones de equilibrio de laesttica. Estructuras isostticas en el plano: 3 coacciones (incgnitas)

Resolucin:mediante las 3 ecuaciones de equilibrio:

Fhorizontales= 0; Fverticales= 0; Men cualquier punto= 0

2. Conceptos previos a repasar. 2.3. Enlaces interiores 2.4. Estructuras isostticas

Nudo

articulado

Nudo rgido

deformada

1 coacc. 2 coacc. 3 coacc. 0 coacc.


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Un cuerpo (estructura) sometido a un estado de cargas

(acciones) debe estar en equilibrio.

Las infinitas secciones o rebanadas que conforman este

cuerpo deben tambin disponer de su propio equilibrio

interno. A estas fuerzas internas que se producen en cada

seccin transversal o rebanada le denominamos esfuerzos.

3. Origen de los Esfuerzos: Principio de Equilibrio

Para determinar estos esfuerzos en una seccin determinada, cortamos la estructura por esa

seccin y aislamos una de las dos partes (la que queramos). Para restablecer el equilibrio,

sustituimos la estructura suprimida por una serie de acciones en la seccin de corte. Estas

acciones que actan sobre la seccin de corte, son los esfuerzos de la estructura en esa seccin.

As pues, podemos definir los esfuerzos de una estructura como las fuerzas o momentosinteriores que van ligados en cada seccin y que cuantifican la oposicin de sta frente al

desequilibrio que intentan producir las acciones aplicadas sobre la estructura.

Cuerpo en

equilibrio

Rebanada

en equilibrio

Acciones de la

parte suprimida

Esfuerzos en

la seccin (3)

Cuerpo en equilibrio Corte por la seccin considerada Sistema en equilibrio

mediante esfuerzos

Rebanada

en equilibrio


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4. Tipos de Esfuerzos[Repasar Tema07]

4.1. Tipos de Esfuerzos y Criterio de Signos Esfuerzo Axil (N): Lo producen fuerzas en la directriz de la

barra (perpendiculares a la rebanada). Segn su signo, ser de

traccin o de compresin. Producir alargamiento o acortamien-

to en las barras.

Esfuerzo Cortante (V): Lo producen fuerzas perpendiculares ala directriz de la barra (paralelas a la rebanada). Su deformacin

es una distorsin angular que suele despreciarse frente a lasmayores deformacin de los otros esfuerzos.

Momento Flector (M): Es el momento resultante de los momen-tos y fuerzas perpendiculares a la directriz de la barra (fuerza x

brazo). Deforma a la barra curvndola.

Momento Torsor (T): No se da en estructuras planas, por lo queno lo trataremos en este tema.

(+)Axil de (-)Axil deTraccin Compresin

Cortante (+) Cortante (-)

N N N N

V V V V

M M M M

Mto.Flector (+) Mto.Flector(-)

4.2. Criterios de Representacin

x x x xo o o o

N V

M

T


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5. Proceso de Resolucin de Diagramas a Estima: 5.1. Metodologa

1. Dibujar las reacciones a estima: Aplicaremos las ecuaciones de equilibrio de la esttica: FH=0;FV=0; M=0. En base al tipo de vnculo que tengamos (apoyo, articulacin, empotramiento) definiremos

las reacciones con su signo correcto.Aspectos a recordar: El equilibrio debe hacerse de toda la estructura, no de una parte, incluyendo todas

las reacciones, fuerzas exteriores y momentos que intervienen. Importante definir bien el signo de cada

reaccin: una vez halladas las reacciones, comprobar que se cumple el equilibrio de fuerzas y de

momentos en cualquier punto de la estructura.

2. Comenzar los diagramas empezando siempre por los extremos de la estructura, donde

los esfuerzos son conocidos: El Axil en el extremo de la barra ser igual a la reaccin o cargapuntual aplicada en ese extremo en la direccin de la barra. El Cortanteen el extremo de la barra serigual a la reaccin o carga puntual aplicada en ese extremo en direccin perpendicular a la barra. El

Momento Flector en el extremo ser igual al momento puntual aplicado en ese extremo.

3. Dividir la viga en tramos, en funcin a la carga: Dibujar los diagramas desde los extremos alas zonas centrales, teniendo en cuenta los tipos de leyes, las pendientes y los puntos singulares. Para

ello, es necesario conocer y recordar una serie de consideraciones importantes en la resolucin dediagramas, que exponemos en pginas siguientes.

4. Dibujar la deformada de la estructura: Para ello, slo consideramos los esfuerzos N y M. El axilproducir acortamiento o alargamiento en las barras. El flector curvar las barras segn el siguiente criterio:

Flector positivo Curvatura Cncava Flector negativo Curvatura Convexa

Recordar: Donde Flector=0 es un punto de inflexin en la deformada / El giro es 0 en los empotramientos.


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5. Proceso de Resolucin de Diagramas a Estima: 5.2. Relacin entre leyes

Existe una relacin entre el Estado de Cargas, el diagrama de Cortantes y el de Flectores:

-q= dV/dx ; V=dM/dx ; tambin se puede expresar como: V= -qdx ; M= Vdx

O lo que es lo mismo: - La ley de cargas (q) es la pendiente de la ley de Cortantes V(x).

- El Cortante (V) es la pendiente de la ley de Flectores M(x).

Estado de Cargas q(x) Ley de Cortante V(x) Ley de Flectores M(x) Deformada

q(x) = 0

(slo cargas puntuales)

Recta horizontal

(ley constante)

Recta inclinada

(ley lineal)

Parbola

(curva 3er grado)

q(x) = cte

(carga uniforme)

Recta inclinada

(ley lineal)

Parbola

(curva 2 grado)

Parbola

(curva 4 grado)

q(x) = lineal

(carga triangular)

Parbola

(curva 2 grado)

Parbola

(curva 3er grado)

Parbola

(curva 5 grado)

_ Donde V(x)=0(ley lineal o curva)

Pendiente=0(tangente horizontal)

_

Carga puntual

aplicada

Salto en la ley de

Cortante V(x)

Cambio de Pte.

(punto anguloso)

_

_ _ Donde M(x)=0

(ley lineal o curva)

Punto de inflexin

(cambio concavidad)


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5. Proceso de Resolucin de Diagramas a Estima: 5.2. Relacin entre leyes

Tipo de accin

Efecto en la seccin de aplicacin Efecto a lo largo de la barra(tipo de ley o diagrama)

En el diagrama de

esfuerzo cortante

En el diagrama de

momento flector

En el diagrama de

esfuerzo cortante

En el diagrama de

momento flector

carga puntual Salto(del valor de la carga)

Cambio dependiente brusco

rectas horizontales(valores constantes)

rectas inclinadas

momento no se aprecia

Salto

(del valor del Mto.)rectas horizontales

(valores constantes)

rectas inclinadas

(o rectas horizontales

si el cortante es nulo)

carga continua

uniformeno se aprecia no se aprecia rectas inclinadas

parbolas

(curvas de 2 grado)

Cuadro extrado del Tema 07


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5. Proceso de Resolucin de Diagramas a Estima: 5.3. Simetra y AntisimetraSaber identificar los casos de estructuras simtricas y antisimtricas, puede sernos de mucha utilidad, ya que

estas estructuras presentan unas propiedades que nos simplifican la resolucin de los diagramas.

Estructuras Simtricas: consideramos una estructura simtrica cuando lo es a la vez en forma, vnculos,cargas y materiales.

Propiedades: En las estructuras simtricas, los diagramas N(x), M(x) y la Deformadasern simtricos.

El diagrama V(x) ser antisimtrico (ya que V es un esfuerzo antisimtrico).

En la seccin contenida en el eje de simetra: El Cortante ser nulo (V=0); No habr giro (pendiente=0); Nohabr desplazamiento horizontal.

Estructuras Antisimtricas: consideramos una estructura antisimtrica cuando essimtrica en forma, vnculos y materiales, y es antisimtrica en cargas.

Propiedades: En las estructuras antisimtricas, los diagramas N(x), M(x) y la

Deformadasern antisimtricos. El diagrama V(x) ser simtrico.

En la seccin contenida en el eje de antisimetra: El Axil ser nulo (N=0); el Flectortambien ser nulo (M=0); No habr desplazamiento vertical (flecha).

Estructura simtrica Estructura no simtrica(no lo es en vnculos). Estructura no simtrica(no lo es en cargas).

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

Estructura antisimtrica


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6. Ejercicios resueltos de diagramas a estima: Diagrama n 01Aclaraciones a la Resolucin de los diagramas:

1. Hallar las reacciones: Estructura simtrica, las reacciones en ambosapoyos deben ser iguales. Por tanto, para que se cumpla F

v

=0, ambas

reacciones deben valer P/2. Comprobar cmo tambin se cumple el

equilibrio de momentos en cualquiera de los apoyos (M=0).

2. Diagrama de Cortantes (V): Si comenzamos a analizar la estructurapor el extremo izquierdo, tenemos una fuerza de valor RA=P/2 Cortantede valor positivo (recordamos el criterio de signos). Desde este extremo

izquierdo hasta el centro de la viga no actan ms cargas por lo que la ley

de Cortantes es constante de valor V(x) = +P/2.

3. Diagrama de Flectores (M): Tambin analizamos la viga desde los

4. Deformada: Toda la viga sometida a flector positivo: curvatura

cncava. Estructura simtrica en la seccin central el giro = 0 (tg. horiz).

V(x)

M(x)

Def.

Por el extremo derecho, aplicando el mismo criterio,

obtenemos un Cortante de valor V(x) = -P/2 (recordar el

criterio de signos: carga ascendente por la derecha,

cortante negativo). En el centro del vano, donde se aplica

la carga P, se produce el salto en el diagrama decortantes (de valor P). El diagrama es antimtrico.

V V

V V

(+)

(-)

P

RA=P/2 RB=P/2x M(x)=RAx

extremos hacia el centro. En losextremos M(x)=0, ya que el brazo

(x=0). A medida que nos movemos

hacia el centro, el Flector aumenta

linealmente. El Flector mximo seda en la seccin central: M=RAL/2


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1. Hallar las reacciones: Empotramiento (3 coacciones): aplicamos cond.de equilibrio: debe haber una reaccin vertical que compense la fuerza P

(Fv=0). P tambin produce un momento en el empotramiento (PL), queproduce una reaccin de momento del mismo valor y signo contrario (MA=0).

Recordar segn el criterio de signos del Cortante, que ambos sonpositivos aunque ambas fuerzas tienen signos contrarios. A lo largo de

toda la viga no existen otras fuerzas, por lo que el V(x) no vara. Recordemos:

estado de cargas con slo cargas puntuales V(x)=cte M(x)=lineal.

4. Deformada: En el empotramiento no hay giro (sale con tg. horiz)describiendo una parbola. Al estar toda la viga sometida a un Flector

negativo, la curvatura ser toda ella convexa. M(x) = negat.

V(x)

M(x)

Def.

2. Diagrama de Cortantes (V): Comenzando el anlisistanto por la izquierda como por la derecha, obtenemos un

valor de V(x) =+P en ambos extremos (carga puntual P en

el extremo de la mnsula, y reaccin RA=P en el

empotramiento).

V V (+)

3. Diagrama de Flectores (M): Serlineal (recta inclinada) y en el extremo de la

mnsula ser 0 (ya que no hay Momento

aplicado). En el extremo del empotramientotendremos una reaccin de Mto. de valor

MA=PL (MA=0). Su signo ser contrario alMomento PL producido por la carga en el

extremo de la mnsula para compensarlo.

Existe una reglilla para comprobar que

es correcto el signo del Momento en el

empotramiento: Lapunta de la flecha

siempre encontrar antes a la defor-

mada que a la viga.


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6. Ejercicios resueltos de diagramas a estima: Diagrama n 031. Hallar las reacciones: Estamos ante una estructura no simtrica, porlo que las reacciones: RARB. Si tomamos M=0 por donde pasa la fuerzaP (para que sta no nos produzca momento), podemos deducir fcilmente

que RA > RB (ya que a < b). Aunque estamos en casos de resolucin aestima, y no tenemos porqu calcular numricamente las reacciones, s

debemos saber que RA> RB.

2. Diagrama de Axiles (N): No existen fuerzas ni componentes defuerzas horizontales, por lo que no habr Axiles: N(x) = 0.

3. Diagrama de Cortantes (V): Comenzando el anlisis por losextremos: por el extremo izquierdo, V tiene el valor de la fuerza aplicada

RA (fuerza perpendicular a la barra, produce un Cortante del mismovalor). Igualmente, comenzamos a analizar la estructura por el extremo

derecho, sabemos que V = RB. Desde estos extremos hasta el punto

interior de la barra donde est aplicada P, no hay ms cargas, por lo que

el Cortante mantendr esos valores constantes RApor al izquierda y RB

por la derecha. En el punto de aplicacin de la carga P se produce un

salto de ese valor.

4. Diagrama de Flectores (M): Ser lineal (recta inclinada) y en ambosapoyos ser 0. Si analizamos por la izquierda, en la seccin donde pasaP, el flector valdr M=RAa. De igual modo, por la derecha, en esa misma

seccin el flector valdr M=RBb. Ambos valores deben ser iguales:

condicin de MC=0 (al no haber momento aplicado, tambin sabemos queno puede haber salto en la ley de Flectores). Comprobamos efectivamente

cmo un salto en la ley V(x) produce un punto anguloso en la ley de M(x).

5. Deformada: Flector positivo curvatura cncava: La estruc-tura no es simtrica, por lo que no sabremos donde est la tg.horiz (giro 0).

N(x)

V(x)

M(x)

Def.

P

RA RBa b

N(x)=0

RA

RB

+

-

+

RAa = RBb

Salto= P


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1. Estructura antisimtrica: Estamos ante una estructura antisimtrica,por lo que podemos saber que: N(x), M(x) y Def sern antisimtricas. V(x)

ser simtrica. Las reacciones tambin sern antisimtricas.

2. Hallar las reacciones: Las 2 fuerzas P aplicadas se anulan alestablecer el equilibrio FV=0. Pero no hay que olvidar que tambin provocanun par de fuerzas (giro en la barra) que debemos compensarlo con otro par

de fuerzas con las reacciones de los apoyos.

De aqu se deduce que R < P, ya que los momentos que producen ambos

pares de fuerzas deben ser iguales para que se establezca el equilibrio, y

podemos ver que el brazo del par R es mayor al brazo del par P.3. Diagrama de Axiles (N): No existen fuerzas ni componentes defuerzas horizontales, por lo que no habr Axiles: N(x) = 0.

4. Diagrama de Cortantes (V): Ley simtrica, formada por tramos devalor constante (rectas horizontales), ya que lo producen cargas

puntuales. En el punto de aplicacin de cada carga, tenemos un salto en

V(x) del valor de esa carga.

5. Diagrama de Flectores (M): Ser lineal (rectas inclinadas) yantisimtrica. De esto ltimo se deduce que en el eje de antisimetra su

valor es 0. En los puntos de aplicacin de la carga (salto en el Cortante),

se produce un cambio de pendiente (punto anguloso) en los Flectores.

6. Deformada: Donde el Flector es positivo curvatura cncava:Donde el Flector es negativocurvatura convexa: . Lgicamentedonde el Flector =0 se produce el punto de inflexin (cambio de curvatura

de cncava a convexa). La deformada ser antisimtrica.

N(x)

V(x)

M(x)

Def.

PR

a

N(x)=0

Salto= P

P

a

R

+

- -R R

+

-

Ra

Punto

inflexin

M(x)=0


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1. Estructura simtrica: Estamos ante una estructura simtrica, por loque podemos saber que: las Reacciones, N(x), M(x) y la Deformada sern

simtricas. V(x) ser antisimtrica.

2. Hallar las reacciones: Por simetra, sabemos que ambas reaccionessern iguales, por lo que slo tenemos una incgnita (R); estableciendo

equilibrio de FV=0, se deduce de inmediato que R+R=qL.


4. Diagrama de Cortantes (V): Ley antisimtrica de tipo lineal (rectainclinada), ya que tenemos una carga continua. Como esta carga

continua tiene el mismo valor qpara toda la barra, la pendiente de V(x)ser tambin la misma para toda la barra. El valor de V en los extremos

de la viga es igual al valor de la carga puntual aplicada (reaccin R). Al

ser una ley antisimtrica, se deduce que en el eje de simetra V=0.

5. Diagrama de Flectores (M): Al ser V(x) lineal, M(x) ser una leyparablica de 2 grado. En los extremos M(x) es cero, ya que nosencontramos con apoyos donde no hay momento puntual aplicado. En el

eje de simetra, donde V=0, tendremos en la ley M(x) una tg. horizontal

(giro=0); al ser ste el vrtice de la parbola, ser el flector mximo.

6. Deformada: Todo el flector es positivo curvatura cncava: .La deformada ser simtrica: en el eje de simetra, el giro de la

deformada es 0, por lo que tendremos ah el punto de flecha mxima.

N(x)

V(x)

M(x)

Def.

q

+

-

tg. horiz

+

R=qL/2

N(x)=0

R

R

tg. horiz (giro=0)

mx. flecha

R=qL/2

Mmax=qL /82

parb.

2gr.


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1. Hallar las reacciones: Al no ser la estructura simtrica, lasreacciones: RARB. Si tomamos M=0 en el ficticio punto de aplicacinde la resultante de la carga continua (a una distancia a/2 del apoyoizquierdo, para que q no nos produzca momento), podemos deducirfcilmente que RA>RB. Tambin sera fcil suponerlo, ya que RA est

mucho ms cerca de la carga q, por lo que es fcil pensar que eseapoyo se llevar ms carga.


3. Diagrama de Cortantes (V): El tramo donde acta la carga q(q=cte), la ley V(x) ser lineal (recta inclinada). El tramo donde no acta

la carga continua, sabemos que V(x) tendr un valor cte.

Si empezamos a leer por los extremos, vemos como el Cortante por la

izquierda valdr RA(+) y enseguida decrece porque empieza a actuar la

carga q. Por la derecha valdr RB(-), siendo este valor constante en eltramo donde no acta otra carga. A lo largo de la viga no habr salto en

V(x), ya que no hay cargas puntuales.4. Diagrama de Flectores (M): El tramo donde V(x) es lineal, M(x)ser parbola de 2 grado. El tramo donde V(x) es cte, M(x) ser lineal

(recta inclinada). Donde el Cortante es 0 se produce una tg. horizontal en

M(x) (pendiente=0). Donde la ley V(x) pasa de cte a lineal, al no haber

salto, significa que en M(x) habr tg. comn (entra con la misma pte.).

5. Deformada: El Flector es positivo curvatura cncava en todo el

tramo de la viga: . La deformada no ser simtrica, ya que no loes la estructura.

N(x)

V(x)

M(x)

Def.

N(x)=0

q

RA RB

a b

RA

RB

+

-

tg. horiz

tg.com

n

tramo

recto

parb.

2gr.

+


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1. Hallar las reacciones: Aplicamos condicin de equilibrio: debehaber una reaccin vertical que compense la carga q (Fv=0) sededuce que R = qL. Esta carga qtambin produce un momento en elempotramiento de valor M=qLL/2 (ME=0). No hay reaccin horizontal enel empotramiento ya que no existen cargas horizontales.


3. Diagrama de Cortantes (V): Como la ley de cargas es uniforme,sabemos que V(x) ser lineal (recta inclinada). En el extremo de la

mnsula V(x)=0, ya que leyendo por la derecha, en la rebanada ltimadel extremo de la mnsula no acta la carga q(carga resultante=qx, yxextremo=0). A medida que nos alejamos del extremo, V(x) comienza a

crecer linealmente, ya que comienza a crecer el valor de x.

Leyendo por la izquierda, en el empotramiento tenemos una carga

puntual de valor R, que producir un Cortante de ese valor. A medida que

nos distanciamos del empotramiento, comienza a actuar la carga q (x

empieza a crecer), por lo que tendremos un decrecimiento lineal de V(x).4. Diagrama de Flectores (M): Como V(x) es lineal, la ley de FlectoresM(x) ser parablica de 2 grado. Tambin sabemos que donde V(x)=0

(extremo de la mnsula) se produce una tg. horizontal en M(x) (pte=0).

Leyendo por la derecha, en el extremo de la mnsula M(x)=0, ya que no

hay Momento puntual aplicado. Leyendo por la izquierda, M(x) tendr el

valor de la reaccin de Momento (M) en el empotramiento.

5. Deformada: En el empotramiento no hay giro (sale con tg. horizontal).El Flector es negativo en toda la barra curvatura convexa:

N(x)

V(x)

M(x)

Def.

q

N(x)=0

M

R

R +

tg. horiz

-

parb.

2gr.

tg. horiz

M


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1. Hallar las reacciones: Al no ser la estructura simtrica, lasreacciones: RARB. Si tomamos M=0 en el ficticio punto de aplicacinde la resultante de la carga trangular (a una distancia L/3 del apoyoizquierdo, para que q no nos produzca momento), podemos deducirfcilmente que RA>RB. Tambin sera fcil suponerlo, ya que RA est

mucho ms cerca de la resultante de la carga q, por lo que es fcilpensar que ese apoyo se llevar ms carga.


3. Diagrama de Cortantes (V): Como tenemos una ley de cargastriangular (lineal), la ley V(x) ser parablica de 2 grado. Donde la ley

triangular vale 0 (en el apoyo derecho), quiere decir que pendiente de

V(x) es nula, es decir, que tendremos una tangente horizontal en V(x).

Si empezamos a leer por los extremos, vemos como el Cortante por la

izquierda valdr RA(+) y enseguida decrece porque empieza a actuar la

carga q. Por la derecha valdr RB (-), y crecera igualmente por efecto

de la carga q. A lo largo de la viga no habr salto en V(x), ya que no haycargas puntuales.

4. Diagrama de Flectores (M): Como V(x) es parablica de 2 grado,M(x) ser parablica de 3ergrado en toda su longitud. Donde el Cortante

es 0 se produce una tg. horizontal en M(x) (pendiente=0).

5. Deformada: El Flector es positivo curvatura cncava en todo eltramo de la viga: . La deformada no ser simtrica, ya que no lo

es la estructura.

N(x)

V(x)

M(x)

Def.

N(x)=0

q

RA RB

tg. horiz

-

RA +

RBV(x)=0

tg. horiz

parb.

3er gr.

+

parb.

2gr.


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1. Hallar las reacciones: Si tomamos MB=0, rpidamente nospodemos dar cuenta que RAdebe ser hacia abajo, y de menor valor

que P (ya que L>v). Una vez conocido esto, estableciendo el equilibrioFV=0, igualmente deducimos que RB=RA+P. Por tanto, RA


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1. Hallar las reacciones: La nica forma de equilibrar el Momentoaplicado en el centro de la viga es mediante un par de fuerzas en los

apoyos M=RL. Estas reacciones R, adems de crear el equilibrio deM=0, se compensan ambas y tambin mantienen el equilibrio FV=0.

2. Estructura antisimtrica: La estructura es antisimtrica, ya que elMomento se considera una fuerza antisimtrica. Por tanto, N(x), M(x) y

la Deformada sern antisimtricos, mientras que V(x) ser simtrico.


4. Diagrama de Cortantes (V): Sobre la estructura slo actancargas puntuales, por lo que la ley V(x) ser constante (recta horizontal).

Tanto si comenzamos a leer por la izquierda como por la derecha de la

viga, tenemos un valor de V(x) de la carga puntual aplicada (reacciones

en los apoyos) V(x)=-R. El Momento puntual aplicado en el centro del

vano no produce salto, ya que slo afecta a la ley de Flectores.

5. Diagrama de Flectores (M): Ser lineal (rectas inclinadas), ya que

la ley de Cortantes es constante. En los extremos M(x)=0, ya que nohay momento aplicado en los apoyos. Por la izquierda, R provoca un

flector negativo, y por la derecha uno positivo. En el centro de la viga

hay un momento puntual aplicado M, que provocar en la ley M(x) un

salto de valor M.

6. Deformada: Donde el Flector es positivo curvatura cncava:Donde el Flector es negativocurvatura convexa: . Donde elFlector cambia de (+) a (-), se produce el punto de inflexin (cambio de

curvatura de cncava a convexa). La deformada ser antisimtrica.

N(x)

V(x)

M(x)

Def.

N(x)=0

R R

M

-R R

-

+

Punto

inflexin

Salto=M

M/2=RL/2

M/2=RL/2


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6. Ejercicios resueltos de diagramas a estima: Diagrama n 11

2. Diagrama de Axiles (N): La fuerza P en el extremo de la barra L2se trasmite a labarra L1en forma de Axil de compresin. La barra L2no soporta axil.

3. Diagrama de Cortantes (V): La barra L2soporta un Cortante de valor P (estecortante es el que se trasmite a la barra L1en forma de compresin). La barra L1no

soporta Cortante, ya que no soporta cargas perpendiculares a dicha barra.

4. Diagrama de Flectores (M): El flector en el empotramiento vale M=PL2. En labarra L1no hay cortante, por lo que M(x) ser una ley constante de valor M.

Leyendo la barra L2 por la derecha, el extremo en mnsula tiene Flector=0. La carga

P produce un flector negativo creciente a medida que nos alejamos del extremo.

Como la barra L2tiene un Cortante de valor constante, el flector ser lineal.

5. Deformada: Las 2 barras estn sometidas a Flector negativo curvaturaconvexa: . En el empotramiento, la deformada sale tangente a la barra. En el

nudo rgido que une L1y L2se mantiene el ngulo de 90.

N(x) V(x) M(x) Def.

P

P

L1

L2

M=PL2

Punto

de vista

-

+

PP

-

-

PL2

PL2

PL2

P

P

Aclaraciones a la Resolucin de los diagramas:

1. Hallar las reacciones: La reaccin vertical equilibra la fuerza P (FV=0). Esta fuerza P tambin produce un Momento devalor PL2, que debe ser equilibrado con un momento en el empotramiento del mismo valor y sentido contrario.

P

M=PL2

P

M=PL2

L1

L2P

P

M=PL2

Estudio del equilibrio de

cada barra por separado.

El nudo rgido trasmite las

fuerzas y momentos entre

las barras.


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6. Ejercicios resueltos de diagramas a estima: Diagrama n 12

Aclaraciones a la Resolucin de los diagramas:1. Hallar las reacciones: Las reacciones en los apoyos deben equilibrar el momento puntual M aplicado en el nudo. Nopuede haber reaccin horizontal en la articulacin porque se rompera el equilibrio de FH=0. Las reacciones verticalesdeben formar un par que compense el momento M RL2=M.2. Diagrama de Axiles (N): La reaccin R produce un axil en la barra L1que se trasmite a la barra L2en forma de Cortante.3. Diagrama de Cortantes (V): La barra L2soporta un Cortante de valor R (este cortante es el que se trasmite a labarra L1en forma de compresin). La barra L1no soporta Cortante, ya que no soporta cargas perpendiculares a ella. El

momento puntual no afecta ni a la ley N(x) ni a V(x).4. Diagrama de Flectores (M): Si comenzamos a leer la estructura por el extremo inferior de la barra L 1, slo tenemosuna reaccin en la direccin de la barra, por lo que no producir esfuerzo Cortante ni Flector (en toda la longitud de la

barra). Al llegar al nudo, tenemos un salto de valor M (momento aplicado). Leyendo L 2por la derecha, en el carrito el

Flector es 0, pero la carga R (perpendicular a la barra), crea un Flector negativo lineal creciente a medida que nos

distanciamos de la reaccin. Al llegar al nudo por la barra L2el Flector vale RL2que se equilibra con el Momento puntual M.

5. Deformada: La barra L2est sometida a Flector negativo curvatura convexa: . La barra L1no est sometidaa Flector, por lo que no se curvar, pero s puede girar en la articulacin. En el nudo rgido se mantiene el ngulo de 90.

N(x) V(x) M(x) Def.L1

L2

Puntode vista

M

R

R

mov.

del carrito

-

+ -R

R

R

M=RL2

R


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6. Ejercicios resueltos: Diagrama n 131. Hallar las reacciones: En principio, podra parecer que en ambosapoyos tendramos sendas reacciones verticales hacia arriba, pero

analizando el equilibrio de momentos, vemos como no es as:

Si tomamos MB=0 vemos como tanto RBcomo la resultante de la cargaqpasan por B, por lo que no producen momento: por tanto, no puedehaber reaccin en A (RA=0). La estructura se comporta como un balancn.

Igualmente, si tomamos MA=0 FV=0 podemos ver que RB= q2a.

2. Diagrama de Axiles (N): En la barra horizontal no hay axiles, yaque todas las cargas que actan son perpendiculares a ella. En cambio,

sobre la barra inclinada acta la carga qque s tiene una componente

en la directriz de la barra por lo que tendremos un axil de traccin lineal.En el apoyo B, la reaccin puntual RB tiene una componente en la

direccin de la barra inclinada, por lo que tendremos un salto de ese valor.

3. Diagrama de Cortantes (V): La carga uniforme q produciresfuerzo cortante en ambas barras, y ser lineal. En los dos extremos

de la estructura no hay cargas puntuales, por lo que el Cortante=0.

Leyendo la estructura por la derecha, la carga qprovoca un Cortantepositivo lineal que alcanza su mximo valor en B (V=qa). Por la

izquierda, la componente de qperpendicular a la barra inclinada tambinproduce un Cortante lineal, de signo negativo. RBprovoca el salto.

4. Diagrama de Flectores (M): Ser parablico de 2 grado. En losextremos de la estructura (donde el cortante es 0), en M(x) tendremos

tangentes a las barras (pendiente=0). El nudo B es rgido, por lo que se

transmitirn los momentos flectores entre ambas barras (M=qa2/2).

5. Deformada: Flector negativo curvatura convexa: . En elnudo B, se mantiene el ngulo en el encuentro entre ambas barras.

N(x)

V(x)

M(x)

Def.

aRA=0

RB=2qa

a

q

tg. horiz

tangente

+

+

-

--

qa /22


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6. Ejercicios resueltos: Diagrama n 141. Hallar las reacciones: Las reacciones en los apoyos sern verticaleshacia arriba. No confundir la direccin de RAporque la barra sea inclinada:

debemos conseguir que el sistema est en equilibrio, por lo que si

pusisemos RA inclinada, no podramos contrarrestar la componentehorizontal de RA con ninguna otra fuerza (el carrito no puede tener

reaccin horizontal, y qtampoco tiene). Tomando M=0 tambin podemosdeducir que RA= RB.

2. Diagrama de Axiles (N): En la barra horizontal no hay axiles, ya quetodas las cargas y reacciones que actan son perpendiculares a ella. En

cambio, sobre la barra inclinada, tanto qcomo las reacciones s tienen

una componente en la directriz de la barra por lo que tendremos un axilde tipo lineal. En el nudo central se produce un salto, ya que la barra

horizontal transmite la carga RB, que s tiene una componente en la

direccin de la barra inclinada, produciendo una traccin en ella.

3. Diagrama de Cortantes (V): Al tener una carga uniforme,tendremos una ley V(x) de tipo lineal. La carga uniforme q y lasreacciones actan por completo en la barra horizontal en forma de

Cortante. En la barra inclinada, el Cortante lo producen las componentes

de estas cargas perpendiculares a la directriz de esta barra.

4. Diagrama de Flectores (M): Ser parablico de 2 grado. En losapoyos de la estructura, M=0. En la seccin donde el cortante es 0, en

M(x) tendremos una tangente a la barra inclinada (pendiente 0 respecto a

la directriz de esa barra). En el nudo, al ser rgido, se transmitirn los

momentos flectores entre ambas barras.

5. Deformada: Flector positivo curvatura cncava en ambasbarras . El carrito no impide el movimiento horizontal al flectar las barras.

N(x)

V(x)

M(x)

Deformada

a b

q

RB

RAa>b

+

-(a+b)/2

-

+

tg.ho

riz

+

+

mov.

del carrito

-

RA1RA2

RA2

RA1

RB

TC Diagramas a Estima

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