TÉCNICAS DE REGULARIZACIÓN PARA ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ...

TÉCNICAS DE REGULARIZACIÓN PARA ANÁLISIS DEESTRUCTURAS VISCOELÁSTICAS USANDO UN MÉTODO DE

FUNCIONES DE INFLUENCIA

Adrián Peluffoa, Pablo Ezzattia y Alfredo Canelasb

aCentro de Cálculo, Instituto de Computación, Facultad de Ingeniería, UDELAR, J. Herrera y Reissig565, Montevideo, Uruguay, [email protected], [email protected]

bInstituto de Estructuras y Transporte, Facultad de Ingeniería, UDELAR,J. Herrera y Reissig 565,Montevideo, Uruguay, [email protected]

Palabras Clave: Técnicas de regularización, Viscoelasticidad, Boundary Knot Method.

Resumen.El método conocido comoBoundary Knot Method(BKM) es una técnica que no requie-re de malla para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.Este método ha sido aplicado exitosamente en la solución de diversos problemas de física matemáticae ingeniería. En un trabajo reciente fue propuesta la utilización del BKM en el análisis de estructurasviscoelásticas. Sin embargo, para algunos problemas estudiados, los resultados obtenidos con el BKMhan sido significativamente diferentes de los obtenidos utilizando otras técnicas tradicionales de análisisestructural, como el método de los elementos de contorno. El elevado númerode condición observado enlas matrices de coeficientes de los sistemas lineales del BKM sugiere que las discrepancias observadasson causadas por los errores producidos en la resolución de estos sistemas lineales. Resultados prelimi-nares obtenidos con herramientas que permiten trabajar con mayor precisión confirman esta hipótesis. Eneste trabajo se describe la utilización de varias técnicas de regularización con el objetivo de mejorar losresultados buscando disminuir los errores numéricos producidos en la resolución de los sistemas linealesdel BKM, consiguiendo resultados dispares.

Mecánica Computacional Vol XXIX, págs. 4431-4444 (artículo completo)Eduardo Dvorkin, Marcela Goldschmit, Mario Storti (Eds.)

Buenos Aires, Argentina, 15-18 Noviembre 2010

Copyright © 2010 Asociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

1. INTRODUCTION

En los últimos años los métodos sin malla para la solución de sistemas de ecuaciones enderivadas parciales han ganado la atención de la comunidad científica. Estos métodos evitanel gran esfuerzo computacional asociado a la generación de la malla utilizada por los métodosclásicos como el Método de los Elementos de Contorno (Boundary Element Method, BEM) oel Método de los Elementos Finitos (Finite Element Method, FEM). La generación de la mallaen problemas de geometría compleja es usualmente muy costosa, especialmente en problemasdonde el remallado es necesario, como ocurre, por ejemplo, por razones de precisión o cuandola aplicación requiere definir contornos móviles, como en problemas de contornos libres endinámica o en aplicaciones de optimización de formas.

En la formulación de los métodos sin malla es común el uso de métodos de interpolacióncomo los basados en Funciones de Base Radial (Radial Basis Functions, RBF). Los métodosRBF constituyen una poderosa herramienta de aproximación en problemas de múltiples varia-bles (Buhmann, 2003). Utilizando una solución particular radial de la ecuaciónde campo, desdeaquí en más llamada función radial de Trefftz, es posible definir un método RBF especializado,que en conjunto con la técnica de colocación constituye un método sin malla, pues sólo nece-sita definir un conjunto de nodos en el contorno del dominio del problema para interpolar lasolución.

El primero y más conocido de estos métodos RBF es el Método de lasSoluciones Funda-mentales (Method of Fundamental Solutions, MFS), introducido porKupradze(1964). El MFSha sido reconocido como un método de gran precisión y a la vez rápidamente convergente. Sinembargo, el MFS requiere definir un contorno artificial en el exterior del dominio físico delproblema, lo que constituye una tarea para la cual, a pesar delos grandes esfuerzos realiza-dos (Cisilino y Sensale, 2002; Alves, 2009), no existe todavía un algoritmo a la vez óptimo ysuficientemente eficiente para viabilizar su utilización demodo general.

En los últimos años han aparecido algunas técnicas que evitan el uso del contorno artifi-cial. Por ejemplo, el método conocido comoBoundary Knot Method(BKM), introducido porKang et al.(1999) y porChen y Tanaka(2002). Este método ha sido aplicado exitosamente pararesolver diversos problemas de física, matemática e ingeniería, por ejemplo problemas de vi-braciones de placas (Kang y Lee, 2001), Problemas de Poisson (Chen et al., 2005), problemasde Helmholtz no homogéneos (Jin y Zheng, 2005), etc. Recientemente ha sido propuesto parael análisis de estructuras viscoelásticas porCanelas y Sensale(2010).

En el caso del análisis de estructuras viscoelásticas, se haconstatado que los resultados ob-tenidos con el BKM para algunos ejemplos son significativamente diferentes de los obtenidosutilizando otras técnicas tradicionales de análisis estructural, como el BEM. El elevado númerode condición observado en las matrices de coeficientes de lossistemas lineales del BKM su-giere que las discrepancias observadas son causadas por loserrores producidos en la resoluciónde estos sistemas lineales. Resultados preliminares obtenidos con herramientas que permitentrabajar con mayor precisión confirman esta hipótesis (Canelas y Sensale, 2010). De hecho,los sistemas lineales mal condicionados son una característica inherente al método BKM, asícomo también a otros basados en funciones RBF (Wang et al., 2009). Por esta razón, algunosprocedimientos de regularización han sido estudiados con el objetivo de minimizar los erroresproducidos en la solución de los sistemas lineales. En el caso del MFS pueden citarse los traba-jos deRamachandran(2002), Chen et al.(2006) y Wei et al.(2007), en el caso del BKM puedeser citado el trabajo deWang et al.(2009).

Las herramientas de regularización generalmente se basan en las técnicas de Descompo-

A. PELUFFO, P. EZZATTI, A. CANELAS4432


sición en Valores Singulares (Singular Value Decomposition, SVD), incluyendo restriccionesadicionales al problema original. De esta manera se resuelve un nuevo problema compuesto porel planteo original y una componente adicional de regularización. Generalmente, ambas partesrelacionadas mediante un coeficiente que permite privilegiar la componente de regularizacióno el problema original en sí mismo. En este trabajo se abordanen primera instancia, las técni-cas de regularización directas, como son: la regularización de Tikhonov, Mínimos Cuadradoscon Restricciones Cuadráticas (Least Squares with a Quadratic Constraint, LSQC) y las va-riantes de SVD: SVD truncado (Truncated TSVD, TSVD) y SVD amortiguado (Damped SVD,DSVD) y Mínimos Cuadrados Totales Truncados (Total Truncated Least Squares, TTLS). Pos-teriormente se tratan los métodos de regularización iterativos como: la variante de Método delGradiente Conjugado (Conjugate Gradient Method, CGM), actualización de factores QR conbidiagonalización de Lanczos (Least Squares QR, LSQR) y Método-ν. En todos los casos seevalúa la aplicabilidad de las técnicas a los sistemas presentes en el BKM, así como la elec-ción de los parámetros utilizando la Curva-L, la Validación Cruzada Generalizada (GeneralizedCross Validation, GCV) y el criterioQuasi Optimality.

La estructura del artículo se describe a continuación. En laSección2 se describe la ecuaciónde campo en viscoelasticidad armónica. La descripción del método BKM se pueden encontraren la Sección3. En la Sección4 se presentan y explican los métodos de regularización, mientrasque en la Sección5 se resumen los distintos experimentos realizados para evaluar las técnicas.Por último, en la Sección6, se resumen las conclusiones arribadas durante el trabajo ylas líneasde trabajo futuro planteadas.

2. LA ECUACIÓN DE CAMPO EN VISCOELASTICIDAD ARMÓNICA

La forma general de la ecuación elastodinámica para materiales viscoelásticos en el dominiodel tiempo es (Christensen, 1982):

c2P (t, ·) ∗ ∇∇ · u(x, ·)− c2S(t, ·) ∗ ∇ ×∇× u(x, ·) + b(x, t) = u(x, t) , (1)

donde ‘*’ denota el operador viscoelástico:

f(t, ·) ∗ g(·) =

∫ t

τ0

f(t, τ)∂g

∂τ(τ) dτ , (2)

u(x, t) es el vector desplazamiento en el puntox y en el tiempot, b(x, t) es la densidad de lasfuerzas de volumen actuando en el cuerpo, y, para la aproximación sincrónica (Pipkin, 1972;Sensale et al., 2001),

c2P (t, ·)∗ =1− ν

(1 + ν)(1− 2ν)ρRE(t, ·) ∗ y (3)

c2S(t, ·)∗ =1

2(1 + ν)ρRE(t, ·)∗ , (4)

son, respectivamente, la velocidad de las ondas P y S al cuadrado,ν es el coeficiente de Poisson,ρ es la densidad yRE(t, ·) es la función de relajación del material (Christensen, 1982).

Para problemas armónicos, la descripción de la ecuación de campo es obtenida aplicando latransformada de Fourier a la ecuación elastodinámica en el dominio del tiempo. Para fuerzas devolumen nulas el resultado puede ser expresado como:

c2P (ω)∇∇ · u(x, ω)− c2S(ω)∇×∇× u(x, ω) + ω2u(x, ω) = 0 , (5)

Mecánica Computacional Vol XXIX, págs. 4431-4444 (2010) 4433


dondeω es la frecuencia angular, la barra sobre el vector desplazamiento denota la variabletransformada y

c2P (ω) =1− ν

(1 + ν)(1− 2ν)ρE∗(ω) , (6)

c2S(ω) =1

2(1 + ν)ρE∗(ω) , (7)

donde el módulo complejoE∗(ω) es la transformada de Fourier deRE(t, ·) (Pipkin, 1972;Sensale et al., 2001). Modelos fraccionales de Boltzmann o Kelvin pueden ser utilizados paradefinir E∗(ω) (Schmidt y Gaul, 2002; Canelas y Sensale, 2010). En este trabajo el siguientemodelo es utilizado para definir el módulo complejo:

E∗(ω) = (1 + 2iβ)E , (8)

dondeE es el módulo de Young del material yβ es conocido como el factor viscoso de amor-tiguamiento.

3. EL MÉTODO BKM

La idea fundamental en cualquier método de Trefftz es la aproximación de la variable deinterés, en este caso el campo de desplazamientos, por la superposición de un número finito defunciones, cada una de ellas solución de la ecuación de campohomogénea. Para problemas deviscoelasticidad armónicos, la aproximaciónuN del campo de desplazamientosu en el métododescrito porCanelas y Sensale(2010) es

uN(x, ω) =N∑

j=1

u(x, xj , ω)αj , (9)

dondex es un punto en el dominioΩ del problema y losN puntosxj son fuentes fijas lo-calizadas en el contorno∂Ω. La función de Trefftzu, que proporciona una matriz de tama-ño 2 × 2 en el caso bidimensional, tiene simetría radial con respecto a la fuentexj, es decir,u(x, xj, ω) = u(r, ω) donder = ‖x − xj‖. La expresión deu es descrita en la Sección3.1.Los vectoresαj constituyen las incógnitas del método.

Al igual que las funciones radiales de Trefftz,uN satisface la Ec. (5), es decir,

c2P (ω)∇∇ · uN(x, ω)− c2S(ω)∇×∇× uN(x, ω) + ω2uN(x, ω) = 0 . (10)

Varias alternativas existen para imponer las condiciones de contorno. En el método de colo-cación se requiere de la satisfacción de las siguientes ecuaciones:

uN(xj, ω) = u(xj, ω) , ∀ xj ∈ ∂Ωu , (11)

pN(xj, ω) = p(xj, ω) , ∀ xj ∈ ∂Ωp , (12)

donde al lado izquierdo de las Ecs. (11) y (12) están las aproximaciones correspondientes aldesplazamiento dado por la Ec. (9) y su fuerza de superficie asociada. Al lado derecho de lasEcs. (11) y (12) se representan las condiciones de contorno conocidas. LasEcs. (11) y (12)pueden ser escritas utilizando la Ec. (9) como:

N∑

j=1

Kijαj = yi ⇔ Kα = y , (13)



dondeαj contiene las incógnitas del término númeroj de la expansión de la Ec. (9). En el casoen quexi ∈ ∂Ωu, Kij = u(xi, xj , ω) e yi = u(xi, ω). Si xi ∈ ∂Ωp, Kij = p(xi, xj , ω) eyi = p(xi, ω). El método BKM resuelve el sistema lineal de la Ec. (13) para obtener la soluciónaproximada dada por la Ec. (9).

3.1. Función radial de Trefftz

La expresión de la función radial de Trefftz propuesta porCanelas y Sensale(2010) en nota-ción indicial es:

uℓk =1

2πρc2S

[

ψδℓk − χ∂r

∂xℓ

∂r

∂xk

]

, (14)

donde las funcionesψ y χ son:

ψ(r) = r−2[

kP rJ1(kP r)− kSrJ1(kSr) + k2Sr2J0(kSr)

]

, (15)

χ(r) = r−2[

2kP rJ1(kP r)− k2P r2J0(kP r)− 2kSrJ1(kSr) + k2Sr

2J0(kSr)]

, (16)

donder = ‖x − xj‖, los números de onda sonkP = ω/cP (ω), kS = ω/cS(ω), y Jν denota lafunción de Bessel del primer tipo y ordenν. La fuerza de superficie sobre un plano de normaln, correspondiente la función radial de Trefftz de la Ec. (14), es

pℓk =1

2π

[(

∂ψ

∂r−χ

r

)(

δℓk∂r

∂n+ nℓ

∂r

∂xk

)

−2χ

r

∂r

∂xℓ

(

nk − 2∂r

∂xk

∂r

∂n

)

− 2∂χ

∂r

∂r

∂xℓ

∂r

∂xk

∂r

∂n+ nk

(

c2Pc2S

− 2

)(

∂ψ

∂r−∂χ

∂r−χ

r

)

∂r

∂xℓ

]

. (17)

4. MÉTODOS DE REGULARIZACIÓN

Cuando se resuelve un sistema lineal de la formaAx = b, A ∈ Cm×n, b ∈ C

m, se buscael vector soluciónx ∈ C

n tal que el residuor = b −Ax, es nulo o por lo menos tiene normamínima. Sin embargo, si el sistema es mal condicionado (pequeños errores en las componentesdeA ob conducen a grandes errores en la soluciónx), las estrategias tradicionales (eliminaciónGaussiana, factorización LU, CGM) pueden conducir a resultados completamente erróneos yes en estos contextos que se utilizan las técnicas de regularización.

El objetivo de las técnicas de regularización no es encontrar una soluciónx que satisfagaAx = b, sino buscar un equilibrio entre minimizar la norma del residuor y minimizar la normadel vectorx − x∗, dondex∗ ∈ C

n es una estimación conocida de la solución. La técnicasde regularización pueden clasificarse en dos grandes familias. Los métodos pertenecientes alprimer grupo se denominan directos, mientras que en los métodos de la segunda familia lasolución se construye de forma iterativa.

En lo que resta de la sección se describen someramente las técnicas de regularización y sedetallan algunas técnicas para la selección de los parámetros. En el trabajo deHansen(1998a)se puede profundizar en la temática.

4.1. Métodos directos de regularización

4.1.1. Regularización de Tikhonov

La técnica deTikhonov(1963) busca obtener una soluciónxλ:

xλ = argmınx

‖Ax− b‖22 + λ2‖L(x− x∗)‖22 , (18)



dondeλ ∈ R+ es el parámetro de regularización a determinar,L ∈ C

p×n es una matriz pre-viamente definida yx∗ es una estimación de la solución. Este problema se puede abordar co-mo un problema de mínimos cuadrados que, para el casoL = In, tiene la solución exac-ta: xλ = (AHA + λ2In)

−1(AHb + λ2Inx∗), dondeAH denota la matriz conjugada trans-

puesta deA. En esta forma se puede escribir la matrizA como su descomposición SVDque esA = UDV H =

∑p

i=1 uiσivHi dondep = mın(n,m), U = (u1,u2, . . . ,um) y

V = (v1,v2, . . . ,vn) son matrices cuyas columnas son ortogonales,UUH = Im, V V H = Iny D ∈ C

m×n es una matriz diagonal no negativa conDii = σi ≥ 0. Los valoresσi son llamadosvalores singulares deA. Utilizando la descomposición SVD, la solución pude ser escrita de lasiguiente forma:

xλ =n

∑

i=1

(fiuH

i b

σi+ (1− fi)v

Hi x∗)vi, donde fi =

σ2i

σ2i + λ2

. (19)

4.1.2. TSVD y DSVD

Las técnicas TSVD y DSVD se basan en la descomposición SVD de la matrizA. En lapráctica se trabaja con matricesA que desde un punto de vista estrictamente matemático tienenrango completo. Sin embargo desde un punto de vista numérico, pequeñas perturbaciones enlos coeficientes de la matrizA modifican el rango de la misma. La técnica SVD remplaza lamatrizA por una matrizAk de rango deficiente de la siguiente forma:

Ak =k

∑

i=1

uiσivHi k ≤ n . (20)

lo que es igual a remplazar los valores singulares deA menores aσk por ceros, siendoσi,ui y vi

obtenidos por medio de la descomposición SVD como descrito en la sección anterior. Finalmen-te se procede a resolver un nuevo problema de mínimos cuadradosxk = argmınx ‖Akx − b‖cuya solución de norma mínima se puede escribir como:

xk =k

∑

i=1

uHi b

σivi , o lo que es lo mismo: xk =

n∑

i=1

fiuH

i b

σivi , (21)

dondefi = 1 ∀ i ≤ k y fi = 0 ∀ i > k. Es decir, se filtra la solución del sistema, pudiendoescribir la solución en función defi ( siendo estos los factores de filtrado de la solución). En elcaso del método DSVD se definefi =

σi

σi+λ(para el casoL = In), quedando la solución como

se expresa en la Ec. (22).

xλ =n

∑

i=1

fiuH

i b

σivi . (22)

4.1.3. LSQC

Esta técnica es similar a la regularización de Tikhonov y se basa en la resolución de unproblema de mínimos cuadrados. En este trabajo se utilizó lasiguiente formulación:

xδ = argmınx

‖Ln(x− x∗)‖ , tal que‖Ax− b)‖ ≤ δ , conLn = In . (23)



4.1.4. TTLS

Este método toma la descomposición SVD de la matriz compuesta por [A, b] = UDV H

dondeV ∈ C(n+1)×(n+1) y particiona la matriz de la siguiente forma:

V =

(

V11 V12

V21 V22

)

, V11 ∈ Cn×k, V22 ∈ C

1×(n+1−k) , (24)

dondek es el parámetro de truncamiento. Entonces la solución es:

xk = −V12VH22 /‖V12‖

22 . (25)

Tiene sentido aplicar este método cuando no hay variacionesabruptas en el espectro de losvalores singulares (Hansen, 1998a).

4.2. Métodos iterativos de regularización

4.2.1. CGM y LSQR

El CGM (Saad, 2003) es un método iterativo ampliamente difundido para resolver sis-temas lineales de matriz hermítica y definida positiva. Aplicar el método CGM al sistemaAHAx = AHb tiene efectos regularizantes, donde la cantidad de iteraciones oficia de pa-rámetro de regularización.

También es posible obtener un algoritmo híbrido entre un algoritmo de regularización directoe iterativo. La idea es usar el algoritmo de Lanczos (Golub y Van Loan, 1996) para construir lamatriz bidiagonalBk y en cada paso sustituir la factorización QR deBk por un esquema deregularización como por ejemplo utilizando la regularización de Tikhonov o TSVD. A esteprocedimiento se le denomina LSQR.

4.2.2. Método-ν

Este método iterativo, similar al método CGM, converge más lentamente que el anterior peroes menos sensible al parámetro de regularización, la cantidad de interacciones. Una restriccióndel método es que para obtener convergencia,‖A‖2 tiene que ser levemente menor que uno,de lo contrario el método diverge (Hansen, 1998a). Un forma de abatir esta dificultad es usar elalgoritmo de bidiagonalización de Lanczos.

4.3. Criterios para la selección de parámetros de regularización

Existen distintas técnicas para la elección de los parámetros de los métodos, a continuaciónse describen algunas de las más difundidas. Las técnicas de regularización de Tikhonov, TSVDy DSVD se valen de parámetros para determinar las solucionesregularizadas de los sistemaslineales que intentan resolver. En general, distintos criterios de selección de parámetros de regu-larización dan lugar a soluciones diferentes. Debido a que los parámetros constituyen un factormuy importante para obtener la solución, en este trabajo se prueban distintos criterios. Entreellos destacamos el criterio L-Curve, el GCV y elQuasi Optimality. En Hansen(1998a) seofrece un estudio profundo del tema.

4.3.1. Curva-L

Una de las herramientas más utilizadas para determinar el parámetro de regularización es laCurva-L. Esta herramienta gráfica consiste en graficar para todos losλ posibles los valores que



asume‖L(x − x∗)‖2 contra los de la norma del residuo‖b − Ax‖2. Esto permite visualizarcuánto se compromete el residuo frente a la norma de la solución regularizada del problema.Cuando se grafica utilizando escala logarítmica en cada eje, generalmente se obtiene una curvaen forma de L, de ahí el nombre del criterio. El parámetroλ que se utiliza es aquel asociado alpunto de mayor curvatura.

Este criterio es utilizado para elegir el parámetroλ en la regularización de Tikhonov y en elDSVD, pero también puede extenderse al caso de parámetros deregularización discretos, comoel método TSVD.

4.3.2. GCV

Este criterio se basa en lo siguiente, si no se tiene en cuentaun elementobi deb, entoncesla solución regularizada debería predecir en forma correcta lo ocurrido. Esto sugiere elegir elparámetro de regularización que minimiza la función:

GCV =‖Axλ − b‖22

traza(In −AAI), (26)

dondeAI es la matriz inversa correspondiente al método de regularización (Hansen, 1998a), ypor lo tanto satisfaceAIb = xλ. El criterio GCV puede definirse para parámetros discretos ocontinuos.

4.3.3. Quasi Optimality

Este criterio fue inicialmente definido para parámetros continuos, pero bajo ciertas suposi-ciones se puede extender a parámetros discretos. El criterio se basa en minimizar la función:

Q =

∥

∥

∥

∥

dxλ

dλ

∥

∥

∥

∥

=

√

√

√

√

n∑

i=1

(

fi(1− fi)uH

i b

σi

)2

. (27)

5. EXPERIMENTACIÓN

La experimentación se realizó con MatLab como entorno de trabajo, utilizando númerosen doble precisión. Además, se empleó el paqueteRegularization Tools, versión 4.1 (Hansen,1998b) que incluye la implementación de las técnicas de regularización y los criterios de selec-ción de parámetro de regularización ya mencionados.

5.1. Caso de prueba

El ejemplo considerado corresponde a una ménsula de4,0 m de altura por8,0 m de longi-tud sujeta a un desplazamiento vertical uniforme del extremo empotrado. Las propiedades delmaterial sonG = 0,8 × 1011 Pa,ν = 0,3, E = 2(1 + ν)G, β = 0,05 y ρ = 7800,0 kg/m3.Los resultados son comparados con el obtenido utilizando elprograma QUADPLEH (BEM conelementos cuadráticos) descrito en (Dominguez, 1993).

El módulo de la respuesta en frecuencia en el punto medio del extremo libre obtenido con elprograma QUADPLEH y con la versión original del BKM es mostrado en la Fig.1. El valorω1

de las figuras corresponde a la primera frecuencia fundamental de la viga de Euler constituidapor un material puramente elástico,ω1 ≈ 327,6 s−1 (Han et al., 1999).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

101

ω/ω1

Des

plaz

amie

nto

(m)

BEM−RBKM−1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

6

108

1010

1012

1014

1016

1018

ω/ω1

Núm

ero

de c

ondi

ción

(a) (b)

Figura 1: (a) Resultados originales. (b) Número de condición originales

5.2. Evaluación experimental

En primera instancia se evaluó la aplicación de la técnica deregularización de Tikhonov. Eneste sentido en la Fig.2 (a) y (b) se presentan los resultados obtenidos con la técnica de Tik-honov al escoger el parámetroλ mediante la Curva-L y GCV respectivamente. Los resultadosobservados muestran que la técnica no proporciona una solución satisfactoria para todo el con-junto de frecuencias. Los problemas de precisión persistenpara las bajas frecuencias donde elmodelo sin regularización tampoco arrojaba resultados óptimos. Sin embargo, utilizando GCVse puede apreciar cierta mejora en el intervaloω/ω1 = [0, 2]. También se utilizó el criterioQuasi Optimalitypara determinar el parámetroλ pero no arrojó resultados beneficiosos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

101

ω/ω1

Des

plaz

amie

nto

(m)

BEM−RBKM−1 Reg. Tikhonov λL−Curve

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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101

ω/ω1

Des

plaz

amie

nto

(m)

BEM−RBKM−1 Reg. Tikhonov λGCV

(a) (b)

Figura 2: (a) Aplicación de la técnica de Tikhonov conλ obtenido mediante Curva-L. (b) Aplicación de la técnicade Tikhonov conλ obtenido mediante GCV.

En segunda instancia se abordó la técnica TSVD, escogiendo los parámetros con las técnicasCurva-L y GCV. Estos resultados se resumen en la Fig.3 (a) y (b) respectivamente. Tambiénse probó conQuasi Optimality, no obteniéndose resultados positivos. Notar, que en este caso elparámetro de regularización es discreto y representa el rango de la matrizAk.

La evaluación de la técnica DSVD utilizando los parámetros de regularización antes men-



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ω/ω1

Des

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BEM−RBKM−1 Reg. TSVD λL−Curve

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ω/ω1

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amie

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(m)

BEM−RBKM−1 Reg. TSVD λGCV

(a) (b)

Figura 3: (a) Aplicación de la técnica TSVD conλ obtenido mediante Curva-L. (b) Aplicación de la técnica TSVDconλ obtenido mediante GCV.

cionadas arrojó los resultados presentados en las Fig.4 (a) y (b). Nuevamente utilizando GCVse logró mejorar los resultados en el intervalo crítico deω/ω1 = [0, 2].

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BEM−RBKM−1 Reg. DSVD λL−Curve

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BEM−RBKM−1 Reg. DSVD λGCV

(a) (b)

Figura 4: (a) Aplicación de la técnica DSVD conλ obtenido mediante Curva-L. (b) Aplicación de la técnica DSVDconλ obtenido mediante GCV.

En la Fig.5 se presenta la gráfica con los resultados obtenidos utilizando la estrategia deregularización LSQR. Estas pruebas no alcanzaron resultados alentadores.

También fueron evaluados las técnicas CGM y Método-ν, arribando a resultados muy ale-jados de los correctos en todos los casos, por ende no se profundiza en los resultados de lasmismas.

5.3. Estudios preliminares

Si bien en la sección anterior se obtuvieron algunos resultados promisorios, por ejemploutilizando la regularización de Tikhonov con GCV, en ningún caso se logró representar en formacorrecta los desplazamientos en todo el rango de frecuencias considerado. Por esta razón, en



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ω/ω1

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(m)

BEM−RBKM−1 Reg. LSQC sujeto a ||Ax−b||2≤δ

Figura 5: Aplicación de la técnica LSQC.

esta sección se analizan en forma preliminar algunas estrategias que podrían arrojar resultadospositivos.

5.3.1. Utilización selectiva de regularización

En la Fig.3 (b) se observa que la solución regularizada utilizando la técnica TSVD difiereen forma importante de la solución obtenida por el BEM para la regiónω/ω1 = [1, 2] ∪ [3, 4] ∪[8, 10]. Para los dos últimos tramos se observó que el rango deAk difiere sustancialmente con elrango de la matriz original del sistema, por lo tanto una posible mejora al algoritmo es mantenerel rango de la matrizA si el rango deAk es menor. En la Fig.6 se presenta la solución aplicandola técnica de regularización en forma selectiva.

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nto

(m)

BEM−RBKM−1 Reg. TSVD λGCV

Figura 6: (a) Resultados originales (b) Resultados obtenidos mediante la utilización selectiva de regularización.

5.3.2. Perturbación diagonal

Una situación detectada en el estudio realizado, es que las matrices poseen gran cantidadde ceros en la diagonal. Esto se debe a la forma de construcción de la matriz en la que loscoeficientes son calculados, evaluando una combinación lineal de las funciones de Bessel. Notar



que los coeficientesKij son función de la distancia entre los puntosxi y xj, y por lo tantoaquellos de la diagonal son calculados para distancias nulas.

En este método se sumó un valorδ a la diagonal principal de la matrizK. El objetivo quepersigue esta perturbación es obtener entradas no nulas en la diagonal y así intentar disminuirel número de condición de la matriz del sistema y a su vez afectar lo menos posible la solución.Estas pruebas no han mostrado resultados exitosos.

5.3.3. Utilización de más puntos de campo

Otro problema encontrado al representar el problema fue quelas matrices obtenidas teníanrango numérico deficiente. Es más, en muchas secuencias deω el rango de las matrices decrececonsiderablemente. Teniendo en cuenta esta situación se estudió en forma preliminar agregarecuaciones a través de puntos de colocación adicionales. Así, se obtienen matrices rectangularesque permitieron mejorar levemente los números de condición, esto se expresa en la Fig.7. Sinembargo, los resultados en cuanto a los desplazamientos obtenidos no fueron satisfactorios.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

101

ω/ω1

Des

plaz

amie

nto

(m)

BEM−RBKM−1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

6

107

108

109

1010

1011

1012

1013

1014

1015

ω/ω1

Núm

ero

de c

ondi

ción

Figura 7: (a) Desplazamientos obtenidos con más puntos de campo. (b) Número de condición con más puntos decampo.

5.3.4. Tikhonov con estimación de la solución

Otra variación de las técnicas de regularización que fue evaluada, es el uso de informaciónextra para comenzar la búsqueda de la solución en la técnica de regularización. En particular, elmétodo de Tikhonov permite ingresar un vector solución inicial. En este sentido, y teniendo encuenta la estrategia de cálculo utilizada, que itera en los valores deω, se evaluó ingresar en cadapaso como solución inicial el vector solución de la frecuenciaω anterior. En la Fig.8 se presen-tan los resultados obtenidos con esta estrategia, escogiendo el parámetro de regularización conlas técnicas Curva-L y GCV.

Este experimento es el que arrojó mejores resultados, principalmente en lo que refiere alrango más conflictivo para el método originalω/ω1 = [0, 2].

6. CONCLUSIONES

En el trabajo se evaluó la aplicación de estrategias de regularización a los sistemas linealesdel método BKM para modelar una ménsula de4,0 m de altura por8,0 m de longitud sujeta a



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

101

ω/ω1

Dis

plac

emen

t (m

)

BEM−RBKM−1 Reg. Tikhonov λL−Curve

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

101

ω/ω1

Dis

plac

emen

t (m

)

BEM−RBKM−1 Reg. Tikhonov λGCV

Figura 8: (a) Tikhonov con estimación de la solución usando la Curva-L. (b) Tikhonov con estimación de lasolución usando GCV

un desplazamiento vertical uniforme del extremo empotrado.Los resultados obtenidos al aplicar las técnicas de regularización no alcanzaron niveles sa-

tisfactorios, sin embargo algunos resultados preliminares son alentadores en varios aspectos. Selogró aumentar el rango de las matrices de los sistemas utilizando más puntos de campo, seavanzó en la utilización de las técnicas de regularización en forma selectiva, aplicando única-mente las técnicas en las zonas duras y se aproximó en forma notoriamente mejor el problemaen el rango originalmente más problemático al utilizar información inicial para comenzar labúsqueda de la solución.

Algunas líneas de trabajo futuro incluyen avanzar en la utilización de las técnicas estudiadasen este trabajo y en particular profundizar en el estudio de técnicas híbridas. También resultainteresante el estudio en el manejo de la precisión en la etapa de generación de las matrices,buscando abatir el problema de generación de matrices con rango deficiente.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Comisión Sectorial de Investigación Científica (CSIC) por elapoyo financiero. El tercer autor agradece a la Agencia Nacional de Investigación e Innovación(ANII) por el apoyo financiero.

REFERENCIAS

Alves C.J.S. On the choice of source points in the method of fundamental solutions.Eng. Anal.Bound. Elem., 33(12):1348–1361, 2009.

Buhmann M.D.Radial basis functions: theory and implementations, volumen 12 deCambrid-ge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press,Cambridge, 2003.

Canelas A. y Sensale B. A boundary knot method for harmonic elastic and viscoelastic problemsusing single-domain approach.Eng. Anal. Bound. Elem., 34(10):845–855, 2010.

Chen C.S., Cho H.A., y Golberg M.A. Some comments on the ill-conditioning of the methodof fundamental solutions.Eng. Anal. Bound. Elem., 30(5):405–410, 2006.

Chen W., Shen L.J., Shen Z.J., y Yuan G.W. Boundary knot method for Poisson equations.Eng.Anal. Bound. Elem., 29(8):756–760, 2005.

Chen W. y Tanaka M. A meshless, integration-free, and boundary-only RBF technique.Comput.



Math. Appl., 43(3-5):379–391, 2002.Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity, An Introduction. Academic Press, New York,

second edición, 1982.Cisilino A.P. y Sensale B. Application of a simulated annealing algorithm in the optimal pla-

cement of the source points in the method of the fundamental solutions. Comput. Mech.,28(2):129–136, 2002.

Dominguez J.Boundary elements in dynamics. International Series on Computational Engi-neering. Computational Mechanics Publications, Southampton, 1993.

Golub G.H. y Van Loan C.F.Matrix computations (3rd ed.). Johns Hopkins University Press,Baltimore, MD, USA, 1996. ISBN 0-8018-5414-8.

Han S.M., Benaroya H., y Wei T. Dynamics of transversely vibrating beams using four engi-neering theories.J. Sound Vibration, 225(5):935–988, 1999.

Hansen P.C.Rank-deficient and discrete ill-posed problems: numericalaspects of linear inver-sion. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, 1998a. ISBN0-89871-403-6.

Hansen P.C. Regularization tools - a Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems - version 3.0 for Matlab 5.2.Numer. Algorithms, 6:1–35, 1998b.

Jin B. y Zheng Y. Boundary knot method for some inverse problemsassociated with the Helm-holtz equation.Internat. J. Numer. Methods Eng., 62(12):1636–1651, 2005.

Kang S.W. y Lee J.M. Free vibration analysis of arbitrarily shaped plates with clamped edgesusing wave-type functions.J. Sound Vibration, 242(1):9–26, 2001.

Kang S.W., Lee J.M., y Kang Y.J. Vibration analysis of arbitrarily shaped membranes usingnon-dimensional dynamic influence function.J. Sound Vibration, 221(1):117–132, 1999.

Kupradze V.D. A method for the approximate solution of limiting problems in mathematicalphysics.USSR Comput. Math. Math. Phys., 4:199–205, 1964.

Pipkin A.C.Lectures on Viscoelasticity Theory. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin,1972.

Ramachandran P.A. Method of fundamental solutions: singular value decomposition analysis.Commun. Numer. Meth. Eng., 18(11):789–801, 2002.

Saad Y.Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Society for Industrial and Applied Mat-hematics, Philadelphia, PA, USA, 2003. ISBN 0898715342.

Schmidt A. y Gaul L. Finite element formulation of viscoelastic constitutive equations usingfractional time derivatives.Nonlinear Dyn., 29(1–4):37–55, 2002.

Sensale B., Partridge P.W., y Creus G.J. General boundary element solution for ageing viscoe-lastic structures.Internat. J. Numer. Methods Eng., 50(6):1455–1468, 2001.

Tikhonov A.N. Solution of incorrectly formulated problemsand the regularization method.Soviet Math. Dokl., 4:1035–1038, 1963.

Wang F., Chen W., y Jiang X. Investigation of regularized techniques for boundary knot method.Commun. Numer. Meth. Eng., 2009. doi:10.1002/cnm.1275.

Wei T., Hon Y.C., y Ling L. Method of fundamental solutions with regularization techniquesfor Cauchy problems of elliptic operators.Eng. Anal. Bound. Elem., 31(4):373–385, 2007.



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