Td Modelos de Toma de Decisiones

7/17/2019 Td Modelos de Toma de Decisiones

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MODELOS DE TOMA DE DECISIONES

La teoría de decisiones proporciona una manera útil de clasifcarmodelos para la toma de decisiones. Se supondrá que se ha defnido elproblema, que se tienen todos los datos y que se han identifcado loscursos de acción alternativos. La tarea es entonces seleccionar la mejoralternativa. la teoría de decisiones dice que esta tarea de hacer unaselección caerá en una de las cuatro categorías generales dependiendode la habilidad personal para predecir las consecuencias de cadaalternativa.

Categorías Consecuencias

ertidumbre !eterministas

"iesgo #robabilísticas

$ncertidumbre !esconocidas

on%icto

$n%uidas por un

oponente

TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE

&n los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conocecuáles son los posibles estados de la naturale'a, aunque no dispone dein(ormación alguna sobre cuál de ellos ocurrirá. )o sólo es incapa' depredecir el estado real que se presentará, sino que además no puedecuantifcar de ninguna (orma esta incertidumbre. &n particular, estoe*cluye el conocimiento de in(ormación de tipo probabilístico sobre lasposibilidades de ocurrencia de cada estado.



"&+LS !& !&$S$-)

continuación se describen las di(erentes reglas de decisión enambiente de incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas alejemplo de construcción del hotel.

riterio de ald

riterio /a*ima*

riterio de 0ur1ic'

riterio de Savage

riterio de Laplace

#ara trabajar con los criterios utili'aremos la siguiente matri'2

Estados de laNaturalea

Alternati!as e" e# . . . en

a" *33 *34 . . . *3n



a# *43 *44 . . . *4n

. . . . . . . . . . . . . . .

a$ *m3 *m4 . . . *mn

5orma general de unatabla de decisión



"$6&"$7 !& L#L&

&ste criterio, propuesto por Laplace en 3849, está basado en el%rinci%io de raón insu&ciente2 como a priori no e*iste ninguna ra'ónpara suponer que un estado se puede presentar antes que los demás,podemos considerar que todos los estados tienen la $is$a%ro'a'ilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimientosobre el estado de la naturale'a equivale a afrmar que todos los estadosson equiprobables. sí, para un problema de decisión con n posiblesestados de la naturale'a, asignaríamos %ro'a'ilidad "(n a cada uno deellos.

La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella queproporciona un mayor resultado esperado2

( )

∑=

n

j

jii ea xn

amáx1

,1

_

&:&/#L7

#artiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tablamuestra los resultados esperados para cada una de las alternativas.

Estados de la Naturalea



Alternati!as

Terreno

co$%rado

Aero%uertoen A

Aero%uertoen B

Resultado

es%erad

o

A ") *"# +,-

B *. "" ",-

A / B - *" #

Ninguno + + +

&n este caso, cada estado de la naturale'a tendría probabilidadocurrencia 3;4. &l resultado esperado má*imo se obtiene para la terceraalternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Laplacesería comprar ambas parcelas.

"<6$

La o'0eción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente2ante una $is$a realidad1 %ueden tenerse distintas%ro'a'ilidades1 seg2n los casos 3ue se consideren. #or ejemplo,una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la probabilidadde no moverse es 3;4. &n cambio, tambi=n puede considerarse de lasiguiente (orma2 una partícula puede moverse a la derecha, moverse ala i'quierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es3;>.

!esde un punto de vista práctico, la difcultad de aplicación de estecriterio reside en la necesidad de elaboración de una lista e45austi!a/ $utua$ente e4clu/ente de todos los %osi'les estados de lanaturalea.

#or otra parte, al ser un criterio basado en el conce%to de !alores%erado, su (uncionamiento debe ser correcto tras sucesivasrepeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin embargo, en



aquellos casos en que la elección sólo va a reali'arse una ve', puedeconducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultadospresenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla2


Alternati!as

e" e#

Resultado

es%erado

a" "-+++ *-+++ -+++

a# -+++ 6+++ 6-++

&ste criterio seleccionaría la alternativa a", que puede ser pococonveniente si la toma de decisiones se reali'a una única ve', ya quepodría conducirnos a una p=rdida elevada



"$6&"$7 !& L!

&ste es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lomejor de las peores condiciones posibles. esto es, si el resultado x(ai, e j )representa p=rdida para el decisor, entonces, para ai la peor p=rdidaindependientemente de lo que e j pueda ser, es máx e j { x(ai, e j ) }. &lcriterio minima* elige entonces la acción ai asociada a 2

?,@ A jieai ea x máx mínaElegir ji

=

&n una (orma similar, si x(ai, e j ) representa la ganancia, el criterio eligela acción ai asociada a 2

?,@ A jieai ea x mínmáx aElegir ji

=

&ste criterio recibe el nombre de criterio $a4i$in, y corresponde a un%ensa$iento %esi$ista, pues ra'ona sobre lo peor que le puedeocurrir al decisor cuando elige una alternativa.

&:&/#L7

#artiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tablamuestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridadde las di(erentes alternativas2

Alternati!as Estados de laNaturalea



Terrenoco$%rado

Aero%uertoen A

Aero%uertoen B si

A ") * "# *"#

B * . "" *.

A / B - * " *"

Ninguno + + +

La alternativa óptima según el criterio de ald sería no comprar ningunode los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad.

"<6$

&n ocasiones, el criterio de ald puede conducir a decisiones poco

adecuadas. #or ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, enla que se muestran los niveles de seguridad de las di(erentesalternativas.


Alternati!as

e" e# si

a" "+++ 77 77

a# "++ "++ "++



&l criterio de ald seleccionaría la alternativa a2, aunque lo másra'onable parece ser elegir la alternativa a1, ya que en el caso más(avorable proporciona una recompensa mucho mayor, mientras que en

el caso más des(avorable la recompensa es similar.



"$6&"$7 !& 0B"$C

&ste criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimistahasta la más pesimista. &n las condiciones más optimistas se elegiría laacción que proporcione el máx ai máx e j { x(ai, e j ) D. Se supone que x(ai,e j ), representa la ganancia o benefcio. !e igual manera, en lascondiciones más pesimistas, la acción elegida corresponde a máx ai míne j { x(ai, e j ) D. &l criterio de 0ur1ic' da un balance entre el optimismoe*tremo y el pesimismo e*tremo ponderando las dos condicionesanteriores por los pesos respectivos α y @3E α?, donde F G α G 3. &sto es,si x(ai, e j ) representa benefcio, seleccione la acción que proporcione2

?,@?3@?,@ jie jiea ea x mínea x máx máx j ji

α α −+

#ara el caso donde x(ai, e j ) representa un costo, el criterio selecciona laacción que proporciona2

?,@?3@?,@ jie jiea ea x máx ea x mínmín j ji α α −+

&l parámetro α se conoce como índice de o%ti$is$o8 cuando α H 3, elcriterio es demasiado optimistaI cuando α H F, es demasiado pesimista .Bn valor de α entre cero y uno puede ser seleccionado dependiendo desi el decisor tiende hacia el pesimismo o al optimismo. &n ausencia deuna sensación (uerte de una circunstancia u otra, un valor de α H 3;4

parece ser una selección ra'onable.



&:&/#L7

#artiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tablamuestra las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de losniveles de optimismo y pesimismo de las di(erentes alternativas para unvalor a 9 +,62

Alternati!as

Terrenoco$%rado


Aero%uertoen A

Aero%uertoen B

$ínei

$:4ei S;ai<

A ") *"# *"# ") *#

B *. "" *. "" *+,6

A / B - *" *" - ",6

Ninguno + + + + +

La alternativa óptima según el criterio de 0ur1ic' sería comprar lasparcelas y J, pues proporciona la mayor de las medias ponderadaspara el valor de a seleccionado.



"$6&"$7 !& SK+&

&n 393 Sa!age argumenta que al utili'ar los valores 4i0 para reali'ar laelección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo unestado de la naturale'a con todos los demás resultados,independientemente del estado de la naturale'a bajo el que ocurran. Sinembargo, el estado de la naturale'a no es controlable por el decisor, porlo que el resultado de una alternati!a sólo de'ería serco$%arado con los resultados de las de$:s alternati!as 'a0o el$is$o estado de la naturalea.

on este propósito Savage defne el concepto de %=rdida relati!a o%=rdida de o%ortunidad ri0 asociada a un resultado 4i0 como la

di(erencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que e 0 es elverdadero estado de la naturale'a y el resultado de la alternativa ai bajoel estado e 02

sí, si el verdadero estado en que se presenta la naturale'a es e 0 y eldecisor elige la alternativa ai que proporciona el má*imo resultado 4i0,entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativacualquiera ar , entonces obtendría como ganancia 4r0 y dejaría de ganar4i0*4r0.

Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor delas mayores p=rdidas relativas, es decir, si se defne ri como la mayorp=rdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai,

el criterio de Savage resulta ser el siguiente2



onviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio,se debe calcular la matri' de p=rdidas relativas, (ormada por loselementos ri0. ada columna de esta matri' se obtiene calculando ladi(erencia entre el valor má*imo de esa columna y cada uno de losvalores que aparecen en ella.



7bserve que si x(ai, e j ) es una (unción de benefcio o de p=rdida, lamatri' de p=rdidas relativas, (ormada por los elementos ri0 representa enambos casos p=rdidas. >or consiguiente1 2nica$ente el criterio$ini$a4 ; / no el $a4i$in< %uede ser a%licado a la $atri de

de%loración r,

&:&/#L7

#artiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tablamuestra la matri' de p=rdidas relativas y el mínimo de =stas para cadauna de las alternativas.

Alternati!as

Terrenoco$%rado


Aero%uerto enA

Aero%uerto enB ri

A + #) #)

B #" + #"

A / B . "# "#

Ninguno ") "" ")

&l mayor resultado situado en la columna 3 de la tabla de decisiónoriginal es 3>I al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esacolumna se obtienen las p=rdidas relativas bajo el estado de lanaturale'a Aeropuerto en A. !e la misma (orma, el má*imo de lacolumna 4 en la tabla original es 33I restando a esta cantidad cada unode los valores de esa columna se obtienen los elementos ri0

correspondientes al estado de la naturale'a Aeropuerto en B. omo



puede observarse, el valor ri menor se obtiene para la terceraalternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Savagesería comprar ambas parcelas.



"<6$

&l criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones pocora'onables. #ara comprobarlo, consideremos la siguiente tabla deresultados2


Alternati!as

e" e#

a" 7 #

a# 6 ?

La ta'la de %=rdidas relati!as correspondiente a esta tabla deresultados es la siguiente2


Alternati!as

e" e# ri

a" + 6 6

a# - + -



La alternativa óptima es a". Supongamos ahora que se aMade unaalternativa, dando lugar a la siguiente tabla de resultados2

Estados de la

Naturalea

Alternati!as

e" e#

a" 7 #

a# 6 ?

a) ) 7



La nueva tabla de p=rdidas relativas sería2

Estados de la

Naturalea

Alternati!as

e" e# ri

a" + @ @

a# - ) -

a) ? + ?

&l criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a#,cuando antes seleccionó a". &ste cambio de alternativa resulta un pocoparadójico2 supongamos que a una persona se le da a elegir entre %erasy $ananas1 y prefere %eras. Si posteriormente se la da a elegir entre%eras, $ananas y naran0as, Nesto equivaldría a decir que ahora

prefere $ananas,



EJERCICIOS

CRITERIOS DE DECISION EN INCERTIDUMBRE

3. Bna instalación recreativa debe decidir acerca del nivel deabastecimiento que debe almacenar para satis(acer las necesidades desus clientes durante uno de los días de festa. &l número e*acto declientes no se conoce, pero se espera que est= en una de cuatrocategorías2 4FF,49F, >FF o >9F clientes. Se sugieren, por consiguiente,cuatro niveles de abastecimiento, siendo el nivel i el ideal @desde elpunto de vita de costos? si el número de clientes cae en la categoría i. Ladesviación respecto de niveles ideales resulta en costos adicionales, yasea porque se tenga un abastecimiento e*tra sin necesidad o porque la

demanda no puede satis(acerse. La tabla que sigue proporciona estoscostos en miles de unidades monetarias.

)iveldeabastecimiento

e3@4FF?

e4@49F?

e>@>FF?

eO@>9F?

a3@4FF?

9 3F 38 49

a4@49F?

8 P 8 4>

a>@>FF?

43 38 34 43

aO@>9F

>F 44 3 39

!etermine cual es el nivel de aprovisionamiento óptimo, utili'ando loscriterios e*plicados.

RESULTADOS

A< LA>LACE8



&l principio de Laplace establece que e3, e4, e>, eO tienen la mismaprobabilidad de suceder. #or consiguiente las probabilidades asociadasson #@*?H3;O y los costos esperados para las acciones son2

&@a3? H @3;O?@9Q3FQ38Q49? H 3O.9

E;a#< 9 ;"(6<;.@.#)< 9 "",-

&@a>? H @3;O?@43Q38Q34Q43? H 38.F

&@aO? H @3;O?@>FQ44Q3Q39? H 43.9

#or lo tanto, el mejor nivel de inventario de acuerdo con el criterio deLaplace está especifcado por a4.



B< ALD

Ra que x(ai, e j ) representa costo, el criterio minima* es aplicable. Loscálculos se resumen en la matri' que sigue. La estrategia minima* es

a>2

)iveldeabastecimiento

e3@4FF?

e4@49F?

e>@>FF?

eO@>9F?

a3@4FF?

9 3F 38 49 49

a4@49F?

8 P 8 4> 4>

a>@>FF?

43 38 34 43

#"

;!alor$ini$a4

<

aO@>9F

>F 44 3 39 >F

C< URIC

Supongamos H3;4. Los cálculos necesarios se muestran enseguida. Lasolución óptima está dada por a3 ó a4.



a3

9 49 "- ;$ín<

a

4P 4> "- ;$ín<

a>

34 43 3.9

aO

39 >F 44.9



D< SAAFE

Se obtiene primero la matri' ri0 restando 9, P, 8 y 39 de las columnas 3,4, > y O respectivamente.

)ivel deabastecimiento

e3@4FF?

e4@49F?

e>@>FF?

eO@>9F?

a3@4FF?

9 3F 38 49 3F

a4@49F?

8 P 8 4>

.

;!alor$ini$a4

<

a>@>FF?

43 38 34 43 3

aO@>9F

>F 44 3 39 49

4. onsidere la siguiente matri' de pagos @benefcios?2

e3 e4 e> eO e9

a3

39 3F F E 3P

a4

> 3O 8 4



a>

3 9 3O 4F E>

aO

P 3 3F 4 F

)o se conocen probabilidades para la ocurrencia de los estados de lanaturale'a. ompare las soluciones obtenidas con cada uno de loscriterios aprendidos.



>. onsidere las siguientes tablas de retribuciones en la que cada datoes un rendimiento neto en dólares. Suponga que es una decisión en laque no se tiene conocimiento del estado de la naturale'a. !etermine lamejor decisión utili'ando los criterios aprendidos.

6abla a?

&stados de la

naturale'a

!ecisión

3 4 > O

3>9

44

49 34

44P

49

4F 38

>44

49

49 48

O 4F 49 48 >>

6abla b?

&stados de la

naturale'a

!ecisión

3 4 >

3 > 8 9



4 P O

> 9



TOMA DE DECISIONES BAJO RIESFO

&sta categoría incluye aquellas decisiones para las que lasconsecuencias de una acción dada dependen de algún eventoprobabilista.

&:&/#L7

Suponga que tiene un pequeMo local de ventas de pinos para )avidad.

La primera tarea es decidir cuántos pinos ordenar para la siguientetemporada. Supóngase que se debe pagar T>.9 por cada árbol, sepueden ordenar solo lotes de 3FF y se planea venderlos a T8 cada uno.#or supuesto, si no se venden, no tienen valor de recuperación. Seestudian los registros de ventas pasadas en la iglesia y se anali'a elcrecimiento potencial de las ventas con otros vendedores, llegando a lassiguientes estimaciones para la siguiente temporada2

enta de %inos >ro'a'ilidad

3FF F.>

4FF F.>

>FF F.O

on estos datos se puede calcular la ganancia para cada combinaciónde cantidad ordenada y ventas eventuales. #or ejemplo, si se ordenan>FF pinos y se venden sólo 4FF, la utilidad neta será de TO.9 por cadaárbol vendido menos una p=rdida de T>.9 por los árboles no vendidos,es decir2



4FF@T8ET>.9?E3FF@T>.9?HTFFET>9FHT99F

Si se hace esto para cada una de las combinaciones y se obtienen losresultados mostrados en la tabla de decisiones siguiente o tambi=nllamada matri' de pagos2



E!entos ;de$anda de :r'oles<

Alternati!as de

decisión

3FF 4FF >FF

@F.>? @F.>? @F.O?

3FF TO9F TO9F TO9F

4FF T3FF TFF TFF

>FF TE49F T99F T3.OFF

&l resultado más importante de la teoría de decisiones bajo riesgo esque debe seleccionarse la alternativa que tenga el mayor KL7"&S#&"!7.

&*isten muchas decisiones administrativas que pueden catalogarsecomo toma de decisiones bajo riesgo. lgunas de ellas son2

• U!eberá introducirse un nuevo producto en particularV

• U!eberá o(recerse más para obtener un contratoV

• U!eberá construirse una nueva planta o ampliarse la que se tieneV

• Uuántos pasteles deberá producir una pastelería para la ventadiariaV.

• U!eberá una compaMía petrolera reali'ar pruebas sísmicascostosas antes de hacer una nueva per(oraciónV

• U!eberá iniciarse un nuevo programa costoso de propagandaV



TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE

Si se pueden predecir con certe'a las consecuencias de cadaalternativa de acción, entonces se tiene una tarea de toma dedecisiones bajo certidumbre.

7tra manera de pensar en esto es que e*iste una relación directa decausa y e(ecto entre cada acto y su consecuencia. Si está lloviendo,Udeberá llevarse un paraguasV, si hace (río, Udeberá llevarse unabrigoV. Ra sea que se lleve o no el paraguas o el abrigo, lasconsecuencias son predecibles.

Bna buena parte de las decisiones que se toman a diario cae dentrode esta categoría.

U&n dónde comerV

U&n donde comprar el material de la ofcinaV

lgunos de los modelos o t=cnicas utili'ados para manejar estasdecisiones son2

• nálisis del punto de equilibrio.

• #rogramación Lineal.

• #rogramación de la producción.

• ontrol de $nventarios.



>ROFRAMACION LINEAL

/uchas decisiones de !irección de 7peraciones incluyen el intentarconseguir utili'ar los recursos de la organi'ación de la manera máse(ectiva posible. Los recursos generalmente incluyen maquinarias@como los aviones?, mano de obra @ como los pilotos?, dinero,tiempo y materias primas @como el combustible?. estos recursos se

pueden utili'ar para producir productos @como máquinas, muebles,alimentos y vestuario? o servicios @como listas de vuelos, campaMasde publicidad o decisiones de inversión?.

La programación lineal es un m=todo determinista de análisis paraelegir la mejor entre muchas alternativas. uando esta mejoralternativa incluye un conjunto coordinado de actividades, se lepuede llamar plan o programa.

on (recuencia, seleccionar una alternativa incluye satis(acer varioscriterios al mismo tiempo.

#or ejemplo, cuando se compra una pie'a de pan se tiene el criteriode (rescura, tamaMo, tipo @blanco, de centeno u otro?, costo, rebanadoo no rebanado, etc.

Se pueden además dividir estos criterios en dos categorías2restricciones y objetivo.

Las restricciones son las condiciones que debe satis(acer una soluciónque está bajo consideración.

Si más de una alternativa satis(acen todas las restricciones, el



objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas (actibles.

uando se elige una pie'a de pan, puede quererse un Wilo de pan

blanco rebanado y hecho en el día. Si varias marcas satis(acen estasrestricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo yescoger el más barato.

&*isten muchos problemas administrativos que se ajustan a estemodelo de tratar de minimi'ar o ma*imi'ar un objetivo que estásujeto a una lista de restricciones.

• Bn corredor de inversiones, por ejemplo, trata de

ma*imi'ar el rendimiento sobre los (ondos invertidos pero lasposibles inversiones están restringidas por las leyes y laspolíticas bancarias.

• Bn hospital debe planear que las comidas para lospacientes satis(agan ciertas restricciones sobre sabor,propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que setrata de minimi'ar el costo.

• Bn (abricante, al planear la producción (utura, busca uncosto mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restriccionessobre la demanda del producto, la capacidad de producción, losinventarios, el nivel de empleados y la tecnología.

La programación lineal es una técnica eterminista, noinclu!e pro"a"iliaes. El o"jeti#o ! caa una e las

restricciones se e"en expresar como una relación lineal, e

a$í el nom"re e programación lineal.



6odos los problemas de #L @#rogramación Lineal? tiene cuatropropiedades en común2

3. Los problemas de #L buscan $a4i$iar o $ini$iar unacantidad @generalmente benefcios o costos?. )os re(erimos a ellocomo la Gunción O'0eti!o de un #L. &l principal objetivo de unaempresa tipo es a*imi'ar los benefcios a largo pla'o. &n el caso deun sistema de distribución, el objetivo puede ser minimi'ar loscostos de transporte.

4. La presencia de restricciones limita el grado en que podemosperseguir el objetivo. #or ejemplo, decidir cuántas unidades sedeben (abricar para una línea de productos de una empresa está

restringido por la disponibilidad de horas de mano de obra ymáquinas. Se quiere por tanto, ma*imi'ar o minimi'ar unacantidad @(unción objetivo? sujeta a las limitaciones de recursos@restricciones?.

>. !eben e*istir diHerentes alternati!as donde poder elegir. #orejemplo, si una empresa (abrica tres productos, los directivospueden utili'ar #L para decidir cómo asignar entre ellos susrecursos de producción limitados @trabajo, máquinas y demás?. Sino e*isten alternativas evidentes que seleccionar, nonecesitaremos la #L.

O. La (unción objetivo y las restricciones de un #L deben sere*presadas en t=rminos de ecuaciones lineales o inecuaciones.

Bna de las aplicaciones más comunes de la programación lineal es elproblema del plan de producción. !o o más productos se (abrican conrecursos limitados. La empresa desea saber cuántas unidades deben(abricarse de cada producto, ma*imi'ando los benefcios globales yteniendo en cuenta las limitaciones de recursos.

EJEM>LO



Sony (abrica dos productos2 @3? el alWman un radiocasete portátil y @4?el Shader 6K, un televisor en blanco y negro del tamaMo de un reloj depulsera. &l proceso de producción de ambos productos se asemeja enque los dos necesitan un número de horas de trabajo en eldepartamento de electrónica, y un cierto número de horas de mano de

obra en el departamento de montaje. ada alWman necesita cuatrohoras de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. adatelevisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. !urante elactual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horasen el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje.ada alWman vendido supone un benefcio de P dólares, mientras quepara un televisor el benefcio unitario es de cinco dólares.

&l problema de Sony es determinar la mejor combinación posible dealWmany televisores que debe producir para alcan'ar el má*imobenefcio.

&sta situación puede (ormularse como un programa lineal.

&mpe'aremos resumiendo la in(ormación necesaria para (ormular yresolver este problema.

0oras necesarias para producir unaunidad

!epartamento @*3? alWman @*4? 6elevisores 0rs. disponibles

&lectrónica O > 4OF

/ontaje 4 3 3FF

Jenefcios P 9

Bna ve' hecho esto, utili'aremos la siguiente notación2



Sea 2

"9 n2$ero de al$an a %roducir,

#9 n2$ero de tele!isores a %roducir

hora podemos escribir la (unción objetivo en t=rminos de *3 y *42

Ma4i$iar Bene&cio 9 @4" -4#

)uestro siguiente paso es desarrollar relaciones matemáticas quedescriban las dos limitaciones del problema. Bna relación de caráctergeneral sería que la cantidad de recursos utili'ados sea menor o igual@G?que la cantidad de recursos disponibles.

#rimera restricción2 tiempo de electrónica utili'ado G tiempo deelectrónica disponible.

64" )4# K #6+ ;5oras de tra'a0o enelectrónica<

Segunda restricción2 tiempo de montaje utili'ado G tiempo de montajedisponible.

#4" "4# K "++ ;5oras de tra'a0o en$onta0e<

mbas restricciones representan las limitaciones de capacidad y, porsupuesto, a(ectan al benefcio total. #or ejemplo, Sony no puede producirPF alWman durante el período de producción porque si *3HPF, ambasrestricciones se incumplen.



6ampoco puede hacer 9F alWman y 3F televisores @*3 H 9F, *4 H 3F?,porque en este caso se incumpliría la segunda restricción.

&stas restricciones nos llevan a otro aspecto importante de laprogramación lineal2 e*istirán interacciones entre variables. uantas

más unidades se realicen de un producto menos se (abricarán de otros.

La (orma más (ácil de solucionar un pequeMo problema de #L, comopor ejemplo el de Sony , es la solución gráfca. &l procedimientográfco puede utili'arse cuando e*isten dos variables de decisión,como el número de alWman a producir @3? y el número de televisoresa producir @*4?.

uando e*isten más de dos variables, es imposible dibujarlo en ungráfco de dos dimensiones, por lo que habrán de adoptarse otrosm=todos de resolución más complejos que se describirán másadelante.

Re%resentación gr:&ca de las restricciones

#ara encontrar la solución óptima de un problema #L, en primer lugardebemos identifcar el conjunto o región de soluciones posibles @valoresde las variables que cumplen las restricciones del problema<,

&l primer paso para conseguirlo es dibujar las restricciones del problemaen un gráfco.

"etomemos el problema de ejemplo de Sony2

Ma4i$iar Bene&cio 9 @4" -4#



S,A, 64" )4# K #6+ ;5oras de tra'a0o enelectrónica<

#4" "4# K "++ ;5oras de tra'a0o en$onta0e<

4"1 4# + ;n2$ero de unidadesno de'e ser negati!o<



#ara dibujar las restricciones en un gráfco, debemos trans(ormar lasdesigualdades en igualdades2

Restricción A8 64" )4# 9 #6+

Restricción B8 #4" "4# 9 "++

La variable *3 @alWman? generalmente se dibuja en el eje hori'ontal yla variable *4 @televisores? en el eje vertical.



>ROFRAMACIN LINEAL

>ROBLEMAS

+"Bn (rutero necesita 3 cajas de naranjas, 9 de plátanos y 4F de man'anas. !osmayoristas pueden suministrarle para satis(acer sus necesidades, pero sólovenden la (ruta en contenedores completos. &l mayorista envía en cadacontenedor 8 cajas de naranjas, 3 de plátanos y 4 de man'anas. &l mayorista Jenvía en cada contenedor 4 cajas de naranjas, una de plátanos y P deman'anas. Sabiendo que el mayorista se encuentra a 39F Wm de distancia yel mayorista J a >FF Wm, calcular cuántos contenedores habrá de comprar acada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo ladistancia de lo solicitado.

+#Bna compaMía tiene dos minas2 la mina produce diariamente 3 tonelada decarbón de antracita de alta calidad, 4 toneladas de carbón de calidad media y Otoneladas de carbón de baja calidadI la mina J produce 4 toneladas de cadauna de las tres clases. La compaMía necesita PF toneladas de carbón de altacalidad, 3>F de calidad media y 39F de baja calidad. Los gastos diarios de lamina ascienden a 39F dólares y los de la mina J a 4FF dólares. Uuántos díasdeberán trabajar en cada mina para que la (unción de coste sea mínimaV

+) $maginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona enproteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 34 y unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esacomposición mínima me'clando dos productos y J, cuyos contenidos por Xgson los que se indican en la siguiente tabla2

#roteínas 0idratos +rasas osto;Wg

4 3 FF

J 3 3 > OFF

a? Uuántos Xg de cada producto deberán comprarsesemanalmente para que el costo de preparar la dieta sea

mínimoVb? Uuántos Xg de cada producto deberíamos comprar si elprecio de subiera a 3.FFF pesos;Xg V

+6&n la elaboración de un producto se necesita una sustancia J. La cantidad de obtenida es menor o igual que el doble de J utili'ada, y la di(erencia entre lascantidades del producto J y no supera los 4g mientras que la suma no debesobrepasar los 9g.demás se utili'a por lo menos 3g de J y se requiere 3 g de . La sustancia

http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p01










se vende a 9 millones y la J cuesta O millones el gramo. alcular la cantidad desustancia J necesaria para que el benefcio sea má*imo.



SOLUCIONES

+" • MATEMATIACIN DEL >ROBLEMA

/R7"$S6

/R7"$S6J

)ecesidades

mínimas

)aranjas 8 4 3 cajas

#látanos 3 3 9 cajas

/an'anas 4 P 4F cajas

!istancia 39F Xm >FF Xm

• ARIABLES INSTRUMENTALES

Llamamos x al número de contenedores del mayoristaLlamamos ! al número de contenedores del mayoristaJ

• GUNCIN OBJETIO @Mini$iar?

5@Y? H 39F* Q >FFy

• RESTRICCIONES



• REFIN DE SOLUCIONES GACTIBLES

• SOLUCIN GACTIBLE >TIMA

7bservamos que el mínimo se alcan'a en el punto

"@>,4? @solución óptima?#or tanto el (rutero solicitará > contenedores delmayorista y 4 contenedores del mayorista J.



+#

• MATEMATIACIN DEL >ROBLEMA

/ina /ina J)ecesidade

s mínimas

lta 3 4 PF

/edia 4 4 3>F

Jaja O 4 39F

osto diario T 39F T 4FF


Llamamos x al número de días trabajados en la minaLlamamos ! al número de días trabajados en la minaJ


5@Y? H 39F* Q 4FFy

• RESTRICCIONES





&l mínimo se obtiene en el punto "@F,9? es decir, lacompaMía debe trabajar F días en la mina y 9 díasen la mina J para que el costo sea mínimo.

• ALOR DEL >ROFRAMA LINEAL

omo la (unción objetivo es 5@Y? H 39F* Q 4FFy elvalor del programa lineal @gasto? es 5@Y? H 39FZF Q4FFZ9 H T3F.FFF diarios.



+)

• MATEMATIACIN DEL >ROBLEMA

J )ecesidade

s

#roteínas 4 3 8

0idratos 3 34

+rasas 3 >

osto FF OFF


Llamamos x al número de Xg. usados del producto Llamamos ! al número de Xg. usados del producto J


5@Y? H FF* Q OFFy

• RESTRICCIONES





6odos los puntos que (orman la región % son soluciones(actibles, y por paralelismo con la recta de benefcionulo & vemos que "@>,4? es el punto mínimo. #ortanto, deben comprarse > Wg. de y 4 Wg. de J paraque el gasto sea mínimo.

• ALOR DEL >ROFRAMA LINEAL

uando la (unción objetivo es 5@Y? H FF* Q OFFy elvalor del programa lineal @gasto? es T4.FF

Si la (unción objetivo es 5@Y? H 3FF* Q OFFy lasolución óptima está en el punto [@3,? y el valor del

programa lineal @gasto? es T >.OFF



+6


Llamamos x a la cantidad de sustancia

Llamamos ! a la cantidad de sustancia J• GUNCIN OBJETIO @Ma4i$iar?

5@Y? H 9* Q Oy

• RESTRICCIONES



Se encuentra en el punto [@3F;>, 9;>?, es decir lacantidad de sustancia J para que el benefcio seamá*imo debe ser 9;> g.

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