Tcnica del Banquillo Despus de haber obtenido una solucin inicial (bsica-factible) tenemos que evaluar el resultado para determinar si sta es ptima, es decir, si el costo total de transporte es el mnimo (ptimo). Hay varios mtodos o formas de evaluar el resultado del problema de transporte, uno de ellos es La tcnica del Banquillo, conocida tambin como Stepping-Stone, o Cruce del Arroyo (cruzar por las piedras). Consideremos el ejemplo: La Compaa. Pesquera X y su correspondiente solucin bsica-factibleobtenida por el mtodo de la esquina noroccidental.

figura 6.19 Costo total = (72)(4) + (20)(16) + (56)(24) + (21)(16) + (45)(24) = 3368 Para poder evaluar preguntamos qu suceder si enviamos 1,000 toneladas de sardina enlatada a un centro de distribucin que inicialmente no tuvo ninguna asignacin de mercanca. Si esta accin mejora la solucin(reduce el costo), entonces a este centro le enviaremos algunas unidades de mercanca. Aplicaremos este procedimiento a nuestro ejemplo. Para simplificar el camino usaremos trminos matemticos, identificando a cada casilla por su notacin (matemtica). Observamos que la casilla con valor X12 est vaca; supongamos que asignamos 1,000 toneladas de sardina a esta casilla, enviando de Acapulco a Monterrey una unidad de mercanca (cada unidad de mercanca son 1,000 toneladas de sardina enlatada); para hacer esta modificacin y todava mantener la factibilidad (satisfacer la demanda dependiendo de la disponibilidad de oferta) para el centro de produccin Acapulco, tenemos que quitar una unidad del D. F.; para no exceder la capacidad total (72 unidades) del centro de produccin Acapulco entonces X11tendr 71 unidades y a X12(Monterrey) se le asignar una unidad proveniente de Acapulco. Sin embargo, si quitamos una unidad de X11 tenemos que aumentar una unidad a X21para que se satisfaga la demanda del centro D.F., aumentando una unidad a X21, tenemos que disminuir una unidad a X22 para que no exceda la capacidad del centro de produccin Baja California, as pues X21, ser 21 unidades, X22= 55 unidades. Todava no cumplimos con los requerimientos del centro de distribucin Monterrey, pero esta solucin es tentativa. La tabla figura 6.20Demuestra estas modificaciones.

figura 6.20 Tabla: PRIMERA TABLA DE EVALUACIN. Nota:Para que sea factible la solucin al cambio neto total por columna y por rengln debe ser cero. La pregunta es: qu efecto tuvo este cambio en el costo total?. En la siguiente tabla figura 6.21 observamos el resultado de esta evaluacin.

figura 6.21 Este 4significa que cada unidad de mercanca enviada de Acapulco a Monterrey redujo el costo total de transporte en $4,000 pesos. As conviene considerar esta ruta. Evaluando otras casillas vacas, tal vez nos daran un mejor resultado. Para evaluar cada casilla vaca, aplicando el procedimiento mencionado, habr que asignarle un flujo cerrado, como se observa en la tabla figura 6.22; a estas casillas les asignamos una unidad de mercanca, de tal manera que mantenga siempre el balance en los renglones y las columnas correspondientes; por lo tanto, tenemos que sumar una unidad (+) o restar una unidad (-)a las casillas para mantener la factibilidad. As continuamos con la evaluacin de las casillas. Evaluacin de la casilla X13: X13 - X11 + X21 - X22 + X32 - X33 = 8 4 + 16 24 + 16 24 = = -16 Evaluacin de la casilla X23:

figura 6.22 TABLA: ASIGNACIN DE UN FLUJO CERRADO PARA LA CASILLA X23

X23:

X23 X22 + X32 - X33 = 16 24 + 16 24 = = -6

Evaluacin de la casilla X31:

figura 6.23 TABLA: ASIGNACIN DE UN FLUJO CERRADO PARA LA CASILLA X31 X31: X31 X21 + X22 - X32 = 8 16 + 24 16 = =0

A los valores que resulten de la evaluacin de las casillas vacas les llamaremos ndices de mejoramiento. Cada ndice negativo de mejoramiento representar la cantidad que puede reducirse del costo total de transportacin. Si enviamos una unidad de mercanca a alguna casilla vaca, por ejemplo a la casilla X33, el costo del transporte se reducir 16 pesos, envindola a la casilla X13el costo bajar 12 pesos, conservndonos la casilla X31 8 pesos. De estas tres alternativas con ndice negativo de mejoramiento elegimos la que tiene un ndice negativo ms grande, en nuestro ejemplo ser X23 que tiene un ndice de 16. Ahora hay que determinar cunta mercanca vamos a enviar a X23. Para encontrar la cantidad mxima que podemos transportar a X33 utilizamos el mismo ciclo de evaluacin anterior:

figura 6.24 La mxima cantidad asignada que puede transportarse de Baja California a Guadalajara, se puede determinar acogiendo el valor ms pequeo de las casillas negativas del ciclo donde se encuentra X23; este valor ser 45. Para encontrar la solucin sumamos 45 unidades a las casillas de posicin positiva y restamos 45 a las de posicin negativa, y el ciclo quedar como sigue:

figura 6.25 Como se ve X33 sali de la solucin bsica, entra X23 y se aumenta la asignacin a X32, que tiene costos de transporte menores que X33, mejorando la solucin. El nuevo costo total de transporte ser:

(72)(4) + (20)(16) + (11)(24) + (45)(16) + (66)(16) = 2648 En lugar de los 3368 que tenamos originalmente; de esta etapa es la siguiente tabla figura 6.26

figura 6.26 Ahora habr que empezar a evaluar esta solucin para encontrar si puede mejorarse an ms el costo del transporte. La operacin para la segunda etapa de evaluacin tambin consiste en evaluar las casillas vacas, cuyos resultados son: X12: X12 - X11 + X21 X21 = 8 4 + 16 24 = = -4 X13: X13 - X11 + X23 X23 = 8 4 + 16 16 = =4 X31: X31 X21 + X22 X32 = 8 4 + 16 16 = =0 X33: X33 X23 + X22- X32 = 24 16 + 24 - 16 = = 16 Observando el ndice de mejoramiento de la solucin encontramos un valor negativo para la casilla vaca X12 , lo cual indica que existe posible mejoramiento de los costos de transporte, pues cada unidad de mercanca (1,000 toneladas de pescado en latas) transportado a Monterrey reducir el costo del transporte en 4,000 pesos. Para determinar el nmero de unidades de mercanca que debemos asignar a X12 balanceamos los signos (+) y (-)en columnas y renglones seleccionando el valor ms pequeo de la posicin negativa, en este caso X11, quedando el ciclo como se muestra en las siguientes casillas:

figura 6.27

Este valor de X11 unidades hay que sumarlo a las casillas con valor positivo y restarlo a las de valor negativo, y se tendrn las siguientes:

figura 6.28 La tabla final despus de esta etapa queda como se muestra en la tabla figura 6.29

figura 6.29 TABLA: OTRA NUEVA SOLUCIN MEJOR A LA ANTERIOR El costo totaldel transporte es: (61)(4) + (11)(8) + (31)(16) + (45)(16) + (66)(16) = 2604 Que como se observa mejor an ms con respecto al original y al anterior. Y de nueva cuenta se evalan las celdas vacas con el mismo procedimiento para mejorar el resultado final. X13: X13 - X11 + X21 X23 = 8 4 + 16 16 = = +4 X22: X22 - X12 + X11 X21 = 24 8 + 14 16 = = +4 X31: X31 X11 + X12 X23 = 8 4 + 8 16 = = -4 X33: X33 X32 + X12- X11 + X21 X23 = 24 16 + 8 4 + 16 - 16 = = 12 La tabla final de esta evaluacin queda como la figura 6.30

figura 6.30 TABLA: SOLUCIN PTIMA El costo total es: (72)(8) + (31)(16) + (45)(16) + (61)(8) + (5)(16) = 2360 Haciendo la evaluacin de las celdas vacas: X11: X11 X31 + X32 X12 = 4 8 + 16 8 = = +4 X13: X13 X23 + X21 X31 + X32 X12 = 8 16 + 16 8 + 16 8 = = +8 X22: X22 X32 + X31 X21 = 24 16 + 8 16 = =0 X33: X33 X23 + X21- X31 = 24 16 + 16 8 = = 16 Como no hay ningn ndice negativo de mejoramiento, la ltima solucin es la ptima.

Mtodo de los multiplicadores El mtodo anterior es un proceso largo y laborioso, pues para cada casilla se debe crear un circuito de evaluacin. Estudiaremos un nuevo mtodo, el mtodo de los multiplicadores, que no necesita de circuitos cerrados dentro de la tabla, y por lo tanto con un solo circuito se puede hacer la evaluacin. Usando el mismo ejemplo de la Compaa Pesquera X, con la misma solucin inicial, obtenida del mtodo de la esquina noroccidentalaplicaremos este mtodo de acuerdo con el siguiente procedimiento. Solucin inicial bsica-factible por el mtodo de la esquina noroccidentaldel ejemplo pesquero

figura 6.31 Costo total = (72)(4) + (20)(16) + (56)(24) + (21)(16) + (45)(24) = 3368 Supngase que R y Ksean Rengln y Columna de la tabla figura 6.32tenemos que calcular un valor para cada rengln y columna. Estos valores dependen de una solucin y sirven para encontrar el ndice de mejoramiento. Sea: Ri = valor asignado al rengln. Rj = valor asignado a la columna. Donde i y j son 1, 2, 3 asignado en nuestro ejemplo, es decir, 3 renglones y 3 columnas. Cij =Costo de la interseccin del rengln i y de la columna j.

figura 6.32 Tabla: PREPARACIN DEL EJEMPLO PESQUERO Para calcular los valores de cada columna y rengln utilizamos la siguiente frmula: Ri + Kj = Cij Esta frmula es aplicable slo a las casillas con solucin, no a las casillas vacas. Como en nuestro ejemplo hay cinco casillas con resultados entonces tendremos cinco ecuaciones. R1 + K1 = C11 R2 + K1 = C21 R2 + K2 = C22 R3 + K2 = C32 R3 + K3 = C33 En nuestro ejemplo las Cij estn dadas, y segn la tabla figura 6.32 nuestras ecuaciones son: R1 + K1 = 4 R2 + K1 = 16 R2 + K2 = 24 R3 + K2 = 16 R3 + K3 = 24 De esta manera, tenemos seis incgnitas y slo cinco ecuaciones, para encontrar una solucin o valores para cada R y K, podemos asignar cero a R y encontrar K1. Podramos aplicar tal procedimiento a cualquier ecuacin, pero usualmente se asigna cero al rengln 1. R1 = 0. Ahora resolveremos las ecuaciones:

R1 + K1 = 4 R1 = 0 K1 = 4 Como K1 = 4 entonces R2 + K1 = 16 R2 + 4 = 16 K2 = 12 Como R2 = 12 entonces R2 + K2 = 24 12 + K2 = 24 K2 = 12 Como K2 = 12 entonces R3 + K2 = 16 R3 + 12 = 16 R3 = 4 Como R3 = 4 entonces R3 + K3 = 24 4 + K3 = 24 R3 = 20 Los valores de R y Kpueden ser positivos, negativos o cero. El resultado de estas operaciones aparece en la tabla figura 6.33. La segunda etapa del mtodo multiplicador consiste en calcular los ndices de mejoramiento de la solucin. Para obtener estos ndices, tomamos el costo de cada casilla vaca, restamos a este costo el valor del rengln y el valor de la columna. Entonces tendremos la siguiente frmula:

Si el valor del ndice es negativo se puede mejorar el costo totaldel transporte; si todos los valores del ndice son positivos o cero el costo total del transporte es ptimo y no es posible reducirlo ms. A continuacin evaluamos cada casilla vaca de la solucin inicial vase la tabla figura 6.33

figura 6.33 Para la casilla 12 C12 R1 K2 =ndice de mejoramiento 8 0 12 = -4 Para la casilla 13 C13 R1 K3 8 0 20 = -12

Para la casilla 23 C23 R2 K3 16 12 20 = -16 Para la casilla 31 C31 R3 K1 844=0 Comparando los valores del ndice de mejoramiento la casilla 23tiene el ndice negativo ms grande. De esta forma creamos un ciclo alrededor de esta casilla asignndole el signo (+), un ciclo cerrado al que alternadamente le daremos signos positivos o negativos; elegiremos de entre las casillas con signo negativo el de valor ms pequeo, que sumaremos a la posicin positiva, restndolo a las casillas con posicin negativa. Revisando la tabla 23 Vemos que las casillas de posicin negativa son la 23 y 33, donde la casilla 33 tiene el valor ms pequeo. Siguiendo el mismo procedimiento, obtendremos la tabla figura 6.34

figura 6.34 Al evaluar las casillas vacas, tenemos que encontrar los valores de Ri y Kj. Con cada nueva solucin nuevos valores de Ri y Kj tienen que calcularse. Empezamos con R1 = 0. R1 + K1 = C11 R2 + K1 = C21 R2 + K2 = C22 R2 + K3 = C23 R3 + K2 = C32 R1 = 0. 0 + K1 = 4 K1 = 4 Como K1 = 4 entonces R2 + 4 = 16 R2 = 12 Como R2 = 12 entonces 12 + K2 = 24 K2 = 12 Como R2 = 12 entonces 12 + K3 = 16 K3 = 4 Como K2 = 12 entonces R3 + 13 = 16 R3 = 4 Ahora, usando la frmula Cij = Ri - Kj= ndice de mejoramiento, encontramos los nuevos ndices.

Para la casilla 12 C12 R1 K2 =ndice de mejoramiento 8 0 12 = -4 Para la casilla 13 C13 R1 K3 8 0 4 = 12 Para la casilla 31 C31 R3 K1 844=0 Para la casilla 33 C33 R3 K3 24 4 4 = 16 Los resultados de estas evaluaciones los observamos en las tablas figura 6.35 y figura 6.36 respectivamente.

figura 6.35

figura 6.36 Se evalan las casillas vacas, con la formula general Ri + Kj = Cijpara encontrar los nuevos valores de Ri y Kj. R2 + K1 = C21 R2 + K3 = C23 R3 + K2 = C32 Supngase que R1 = 0 entonces 0 + K1 = 4 K1 = 4 R1 + K2 = C12 0 + K2 = 8 Como K1 = 4 entonces R2 + 4 = 16 R2 = 12

Como R2 = 12 entonces 12 + K3 = 16 K3 = 4 Como K2 = 8 entonces R3 + 8 = 16 R3 = 8 Utilizamos la frmula Cij - Ri - Kj= ndice de mejoramiento, para la casilla 13. Para la casilla 13 C13 R1 K3 =ndice de mejoramiento 804=4 Para la casilla 22 C22 R2 K2 24 12 8 = 4 Para la casilla 31 C31 R3 K1 8 8 4 = -4 Para la casilla 33 C33 R3 K3 24 8 4 = 12 El ndice negativo nos indica que no hemos llegado a la solucin ptima. El ndice negativo pertenece a la casilla 31 , seguimos con el procedimiento (vase tablas figura 6.37 y figura 6.38).

figura 6.37

figura 6.38

De nuevo encontramos los valores Ri y Kj y para evaluar las casillas vacas:

R1 + K2 = C12 R2 + K1 = C21 R2 + K3 = C23 R3 + K1 = C31 R3 + K2 = C32 Supngase que K1 = 0 entonces R2 + 0 = 16 R2 = 16 Como R2 = 16 entonces 16 + K3 = 16 K3 = 0 R3 + 0 = 8 R3 = 8 Como R3 = 8 entonces 8 + K2 = 16 K2 = 8 Como K2 = 8 entonces R1 + 8 = 8 R1 = 0 Utilizamos la frmula Cij - Ri - Kj= ndice de mejoramiento, para la casilla 11. Para la casilla 11 C11 R1 K1 =ndice de mejoramiento 400=4 Para la casilla 13 C13 R1 K3 800=8 Para la casilla 22 C22 R2 K2 24 16 8 = 0 Para la casilla 33 C33 R3 K3 24 8 0 = 16 Como en los valores de los ndices de mejoramiento no hay ningn valor negativo, resulta que no es posible mejorar o bajar el costo total obtenido en la etapa anterior, entonces, la solucin es ptima y el costo total ser: Zptima = (72) (8) + (31) (16) + (45) (16) + (61) (8) + (5) (16) = $ 2360