tecnicas de conteo

5/15/2018 tecnicas de conteo - slidepdf.com

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ESTUDIANTE: …………………….……… FECHA:……………………

QUE APRENDERÉ

A conocer, interpretar y aplicar las técnicas de conteo, mostrando perseverancia, rigor en el

empleo del lenguaje matemático, aportando al trabajo en grupo y participando en forma

activa.SITUACIÓN PROBLEMÁTICA

Juan desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de maneras: piedra o cemento, mientras que las paredes las puede hacer de tres materiales: adoadobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o calamina y por último los acabados los purealizar de dos maneras: yeso o cemento ¿cuántas maneras tiene Juan de construir su casa?

ANALICEMOS

¿Cuál será una forma de construir su casa? Si considera el cimiento y las paredes ¿de cuántas formlos puede construir? Solamente paredes y techo ¿de cuántas maneras lo puede hacer? ¿Qué factores crees que dconsiderar Juan para escoger la forma más apropiada para construir su casa?

¿Nos puede las mates ayudar a absolver estas interrogantes de una forma sencilla? ¿Qué idea o concepto matemátestá presente en el problema?

TÉCNICAS DE CONTEO

EJEMPLIFICAMOS

1. Pedro debe matricular a su hija Carla en el primer grado de secundaria. Puede hacerlo en cuatro colegestatales: JG, MB, NRS o CMDTE”LMV” o en dos privados: Marello o Gaus, ¿de cuántas maneras puematricularlo?

Resolución

Vemos que las actividades: matricularlo en los colegios estatales ymatricularlo en los colegios privados son excluyentes, entonces por el principio………………….., Pedro puede matricular a suhijo en el primero de secundaria de………………..……maneras.

2. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse Fiorella que tiene5 camisas diferentes, 4 pantalones y 2 pares de calzado y 3casacas?

Resolución

Podemos considerar los eventos o actividades: ponerse una camisa, ponerse un pantalón, ponerse un par de

calzados y ponerse una casaca. Vemos que estos eventos no son…………………………………entonces pel principio …………………………………Fiorella se podrá vestir de ……………………….manerasdiferentes.

3. ¿Cuántos números es posible escribir, los que deben constar de tres dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considque el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primposición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números del inciso b empiezan por el númesiete?, d. ¿Cuántos de los números del inciso b forman un número impar?

Resolución

Considerando que los eventos serían: escoger los dígitos para las centenas, las decenas y las unidades, ademno son eventos excluyentes, aplicamos el principio……………………………………..luego:

a. 9.10.10 =…………………………….números b. 9.9.8 =…………………………….números

“El destino es el que bara ja lascartas, pero nosotros somos los

que jugamos”: Shakespeare

Dígitos

Los dígitos o cifras del sistema



g

4. Una familia está compuesta por cuatro personas: papá, mamá y dos hijos. Se necesita que a una reunión barrio vayan tres miembros de la familia. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir esas tres persona

Resolución

Nos preguntamos ¿interesa el orden de la elección?..................¿serán igual los grupos {Rosa, Juan, Beto} que {BRosa, Juan}, luego se trata

una…………………………………………………………………

Los tres miembros de la familia se pueden elegir

14

!3!1!34

!3)!34(!44

3 x x

xC 4 maneras.

APLICAMOS EN GRUPO

1. Se va a formar un comité integrado por Presidente, SecretaTesorero y un Vocal. Si este puede ser formado de entre cimiembros del club Dos de Mayo, ¿cuántos comités diferentes seposibles formar?

2. Se dispone de 5 puntos no colineales. ¿Cuál es el máximo númde triángulos que se podrán formar?

EN RESUMEN

INVESTIGO Y AFIANZO

http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/

En esta dirección encontrarás un material multimedia interesante para conocer más sobre el temaestudiado en la clase. Entra en este link, lee y desarrolla las evaluaciones.

DESARROLLO EN CASA

1. La selección de fútbol del Perú tiene 22 jugadores: 2 arqueros, 9 defensas, 6 volantes y 5 delanteros.Si el entrenador Markarian tiene que elegir 1 arquero, 4 defensas, 3 volantes y 3 delanteros,¿Cuántas selecciones diferentes podrá formar?

2. ¿Cuántas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y decolores distintos pueden confeccionarse a partir de siete colores distintos?

3. La habitación donde duerme Inés tiene cuatro puertas. A) ¿De cuántasmaneras será posible que Inés salga por una puerta cualquiera y entre por una

puerta cualquiera, si siempre es posible hacerlo? B) Si tiene que entrar por unapuerta diferente a la que entró, y es posible hacerlo ¿cuántas formas de salir yentrar tiene Inés? C) Si una puerta conduce al baño que no tiene otra puerta,¿de cuántas podrá Inés entrar y salir de su cuarto?

4. En una embarcación pequeña con la que Rubén cruza el río todos los días hayespacio para 7 personas, una en cada fila, sin contar con el conductor quesiempre va al final manejando el timón. Si suben 6 personas: A) ¿De cuántasmaneras diferentes pueden ubicarse en la embarcación? B) Si nadie quiereubicarse en la primera fila por que algunas veces salta el agua y moja, ¿de

cuántas maneras pueden ubicarse en laembarcación? C) Si el conductor quiere

que el lugar de la primera fila y elcercano a él estén libres, ¿de cuántas

maneras pueden ubicarse en laembarcación?

Las técnicas de conteo permiten determinar el número de casos posibles de un determinado evento.Si un evento tiene m posibilidades y otro tiene n posibilidades, entonces:

- Hay m + n maneras de que ocurra un evento o el otro (regla de la suma).- Hay m . n maneras de que ocurran ambos eventos simultáneamente (regla del producto).

Una permutación es una secuencia ordenada de elementos.Una combinación es un conjunto de elementos en que sólo importa cuáles son sus elementos, no suorden.






cualesquiera. A) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir las dos aves? B) ¿De cuántas maneras si de tomodos debe haber una sola gallina? C) ¿De cuántas maneras si no puede haber dos pat



Cuando un suceso no ocurre

nunca recibe el nombre de

suceso imposible.

Dos sucesos son compatibles

cuando pueden ocurrir a la vez

Visto como conjuntos, si la

intersección es diferente al

vacío: A B

Dos sucesos son incompatible

cuando no pueden ocurrir a l

ESTUDIANTE: ……………………………

QUE APRENDERÉ FECHA:………………

A conocer, interpretar y matematizar situaciones reales utilizando operaciones con eventos asociados a un

experimento aleatorio, mostrando perseverancia, rigor en el empleo del lenguaje matemático, aportando al

trabajo en grupo y respetando las opiniones de los demás.

QUE NECESITO PARA LOGRARLO

a. Sean A={1,3,5}, B={2,3,4,5}, C={2,4,6}, U={0,1,2,3,4,5,6}. Determina: AB=………………………

BC=…………………………….. B-A=……………………………. BC

=……………………………

b. En el experimento aleatorio “lanzar un dado” su espacio muestral E =……………………………

c. Son eventos aleatorios: “que salga un número par” A=………………………………………..

“que salga un múltiplo de 3” B=………………………….. “que salga más de 2” C=……………

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA

LECTURA N° 8 Los sucesos aleatorios y sus operaciones

Suceso elemental, es cada uno de los resultados posibles en un experimento aleatorio.Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar una moneda el espacio muestral tiene 2 sucesoselementales: {cara} y {sello}.

Suceso imposible. ¿Podría darse el caso de que si sueltas una moneda, éstasubirá?, evidentemente la respuesta es no. Ese suceso es imposible.

Otros ejemplos: Sacar una bola roja de una caja que contiene solo bolas blancas. Obtener 7 al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6. Obtener 21 en un examen de 20 puntos (101 en un examen de 100

puntos). Suceso seguro. Al lanzar una moneda que salga cara o sello, al lanzar undado que salga un número menor de 7, estos son sucesos seguros. Sinembargo, en este último que salga número par, no lo es.

Sucesos Compatibles. Considera un juego de naipes de 52 cartas, del quese va a extraer una sola carta. Sean los sucesos C = “obtener corazón” y D = “obtener 10”. Luego:

C = {1,...13} y D = {10 coco, 10 trébol, 10 espada, 10 corazón}

C y D son sucesos compatibles porque tienen un elemento común: 10

“ En el fondo la teoría de laprobabilidad es sólo sentido

común expresado connúmeros”

Pierre Simón de Laplace

Las estadísticas del Hospital “Nuestra Señora delRosario” nos informan que en promedio atienden

cuatro nacimientos diarios en su sala de partos,variando más menos uno o dos. Aunque los datosno nos arrojan más luces sobre el sexo de losbebes recién nacidos, se le plantea a Margot,estudiante del cuarto grado de secundaria: ¿Cuálesserían los posibles nacimientos de mañana enrelación a si serán hombres o mujeres?

ANALICEMOS

Suponiendo que mañana nazcan cuatro bebes, caberazonar si serán dos hombres y dos mujeres, tal ve

todos sean hombres o todas mujeres, más hombres qmujeres o al contrario. Son posibilidades que no

podemos descartar.

¿Cómo se llama este tipo de hechos, dónde no sabemexactamente qué sucederá respecto al sexo en un

nacimiento?, ¿Cuáles son las diferentes posibilidade

que se presentará en los nacimientos con los cuatro qnacerán mañana?, ¿Cómo se llaman todos estosresultados posibles y cuántos son?



cuando no pueden ocurrir a ly p p q

Dos sucesos se llaman

contrarios o complementariocuando se verifica uno de ello

siempre que no se verifique e

otro: A Ac=E

o A C

Complemento contrario de

suceso A.

Sucesos incompatibles. Supongamos que en un colegio preguntamos a los alumnos de secundaria el grado quecursando. El espacio muestral es E = {1ro, 2do, 3ro, 4to, 5to}. Observamos por ejemplo que un estudiante queen 4to no puede estar en 5to y viceversa. Esto significa que cursar el 4to y cursar el 5to a la vez son dos sucesoincompatibles.

En el caso del dado, sean A = “obtener 2” y B = “obtener 5”. Al realizar un lanzamiento no se puedeobtener 2 y 5 a la vez. A y B son dos sucesos incompatibles. Sucesos complementario o contrario. En el experimento aleatorio de

lanzar una moneda podemos asegurar que o bien sale cara o sello.Entonces decimos que los sucesos sale cara y sale sello son sucesoscomplementarios. En una prueba de Elisa para detectar si una persona tiene el VIH elresultado es o bien positivo o bien negativo.

Operaciones: Unión e Intersección de Sucesos

Como los sucesos son subconjuntos del espacio muestral, se puede operar con ellos como se hace con losconjuntos. Veamos estas operaciones con sucesos referidos al experimento aleatorio de lanzar un dado.

Considerando los sucesos A= “salir par”= {2, 4,6} y B=”salir primo”= {2, 3,5}, hallamos la unión e interseccióde A y B:

A B = {…….} A B = {…………………}

El suceso unión, AB, es aquel suceso que se verifica cuando ocurre A o cuando ocurre B: “es par o primo”.

El suceso intersección, AB, es aquel suceso que se verifica cuando A y B ocurren almismo tiempo: “es par y primo”.

La unión de un suceso A y su complemento es el suceso seguro: A = E.

La intersección de un suceso A y su complemento es el suceso imposible: A = Ø.

De acuerdo a la lectura responde:

a. Cuando dos sucesos tienen elementos comunes, se llaman………………………………………………

b. Al nacer un bebé es hombre, su suceso contrario es………………………………………………………

c. Estudiar en cuarto grado y estudiar en tercer grado son…………………………………………………

d. Al lanzar un dado: “salir 8” es un suceso……………………….y “salir par o impar” es un suceso……

e. La intersección de dos suceso incompatibles es el…………………………………………………..

f. Dos sucesos incompatibles son contrarios V ( ) F ( )

APLICAMOS EN GRUPO

1. Considera el experimento aleatorio de extraer una carta de la baraja. Expresacon uniones e intersecciones de los sucesos dados, o con el contrario, los

siguientes sucesos:a. A=”salir figura” B=”salir bastos” …………………………………………………………

b. C=”salir un rey” D=”salir copas” …………………………………………………………

c. M=”salir un as” N=”salir oros” …………………………………………………………

d. R=”salir un rey” S=”salir espadas” …………………………………………………………

2. Elegimos una ficha de dominó al azar.

a. Describe los sucesos: A=”sacar una ficha doble”, B=”sacar una ficha cuyos números sumenmúltiplos de 5”.

b. Escribe AB y AB.



EN RESUMEN

ME AUTOEVALÚO

1. Tenemos una urna con ocho bolas numeradas del 1 al 8. Sacamos una bola al azar y anotamos su númConsideremos los sucesos: A=”salir un número primo” y B= “salir un número par”. Completa lo queescribiendo los elementos:

a. El espacio muestral de E = { }

b. A = { } y B = { }

c. El suceso unión: A B = { }

d. El suceso intersección: A B = { }

e. El suceso diferencia: A – B = { }

f. El suceso contrario de A: A = { }

g. El suceso contrario de B: B = { }

El arreglo de la derecharepresenta un mapa en elcual se encuentran cuatroislas. Los números indicanel tamaño, en casillas, decada isla.

Tu tarea es determinar la ubicación exacta de cadaisla, sombreando las casillas que representan elagua, teniendo en cuanta las siguientes reglas:

1. Las islas deben estar separadas una de laotra. A lo más pueden compartir un

vértice.2. Las casillas sombreadas que representan el

agua deben estar conectadas todas entre si.

3. No debe haber regiones ni blancas, nisombreadas de tamaños 2x2 en adelante(2x3, 3x3, 2x4, …)

Esta es la solución deltablero dado comoejemplo.

DESAFÍO: determina la ubicación exacta las cuatro islas en el tablero 5x5 siguiente:

En borrador En limpio

6 6 62 3

6

2 3

6 6 62 3

6

2 3

6 6 6 2

3 4 6

2

6 6

3 4

Son conceptos básicos de la Probabilidad: experimento aleatorio, espacio muestral, suceso y sus clases,operaciones con sucesos. Experimento aleatorio es aquel que no se puede predecir el resultado; espaciomuestral es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio; suceso es cualquier

subconjunto del espacio muestral; dos sucesos son incompatibles si no se pueden realizar a la vez; sucesocontrario de A al que ocurre cuando no ocurre A, se designa por .



AFIANZO Y COMPLEMENTO EN CASA

1. Escribe el espacio muestral del experimento resultante de tirar 3 monedas. Considera los sucesos: A= “salir una

cara”, B=”salir al menos una cara”. Escribe AB, AB y el suceso contrario de B.

Resolución

2. En una urna hay 15 bolas numeradas del 1 al 15, se extrae una de ellas; considera los sucesos: M=”sacar un

número par”, N=”sacar un múltiplo de 4”. Escribe MN, NM y N M .

Resolución

3. Indica cuáles de los experimentos siguientes son aleatorios y cuáles no lo son. Escribe SI (NO)

a) Hacer girar una ruleta y observar el número obtenido.b) Efectuar una reacción química y determinar los productos obtenidos.c) Extraer una bola de una bolsa opaca que contiene bolas rojas, bolas azules y bolas verdes, y mirar su color.d) Repartir una mano de cinco cartas a cada jugador y mirar las cartas que nos han tocado.e) Lanzar una carta en la mesa y observar si cae sobre el dorso o sobre la figura.f) Calentar agua hasta que entre en ebullición y mirar la temperatura que marca el termómetro.g) Extraer una carta de una baraja y anotar a qué palo pertenece.h) Arrojar una piedra al vacío y medir su aceleración.i) Medir la longitud de una circunferencia de radio 3 cm. j) Abrir las compuertas de un estanque lleno de agua y anotar qué ocurre.

INVESTIGA Y COMENTA

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a. Resume el contenido de lo observado.

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