TECNICAS DE CONTEOEl principio fundamental en el proceso de contar ofrece un mtodo general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar.

Si un evento Apuede ocurrir den1maneras y una vez que este ha ocurrido, otro eventoBpueden2maneras diferentes entonces, el nmero total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual an1xn2.De cuntas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener ms de un premio?Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primerpremio. Una vez que ste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, yposteriormente quedarn 8 personas para el tercer premio. De ah que el nmero de manerasdistintas de repartir los tres premios.

n10 x 9 x 8 = 720

Cuntas placas de automvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No seadmiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

nun nmero entero positivo, el producton(n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.El smbolo ! se leefactorialy es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; esdecir, sean5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Por definicin 0! = 1

Si el nmero de posibles resultados de un experimento es pequeo, es relativamente fcil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran nmero de posibles resultados tales como el nmero de nios y nias por familias con cinco hijos, sera tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades seran, 5 nios, 4 nios y 1 nia, 3 nios y 2 nias, 2 nios y 3 nias, etc.

Para facilitar el conteo examinaremos tres tcnicas:

*La tcnica de la multiplicacin*La tecnica aditiva*La tecnica de la suma o Adicion*La tcnica de la permutacin*La tcnica de la combinacin.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1maneras o formas, el segundo paso de N2maneras o formas y el r-simo paso de Nrmaneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de.El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y as sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento ocurren E1 y E2..y Ep es igual a producto.

N1x N2x ..........x Nr maneras o formasEjemplo:Se dispone de 3 vas para viajar de C1 a C2 y de 4 vas para viajar de C2 a C1. De cuntas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cul tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la ltima de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevadaa cabo de,

M + N + .........+ Wmaneras o formas

Ejemplos:1)Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cul ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solucin:

M = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora WhirpoolN = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 manerasN = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2=30 maneras de seleccionar una lavadora

Ejercicios resueltos del Principio MultiplicativoEjercicios resueltos del Principio Multiplicativo.1.- Calcular cuntos nmeros enteros diferentes de tres dgitos se pueden formar con los dgitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dgitos no pueden repetirse.

Solucin:Si es un nmero de tres dgitos, necesitamos un dgito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dgitos dados, despus un dgito para las decenas que puede elegirse entre los seis dgitos restantes y finalmente el dgito de las unidades seelegir de los cinco ltimos dgitos. Aplicando el Principio multiplicativo , tendremos:

7x6x5 = 210 nmeros

2.- Calcular cuntos nmeros enteros diferentes de tres dgitos se pueden formar con los dgitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dgitos puedenrepetirse.

Solucin:Si es un nmero de tres dgitos, necesitamos un dgito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dgitos dados, despus un dgito para las decenas que puede elegirse entre los siete dgitos y finalmente el dgito de las unidades se elegir de los siete dgitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

7x7x7 = 343 nmeros

3.- Calcular de cuntas maneras diferentes se pueden sentar tres nios en una banca de tres asientos.

Solucin:El primer nio puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo nio puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer nio se sentar en el nico lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

3x2x1 = 6 maneras diferentes

4.- Calcular de cuntas maneras diferentes se pueden sentar tres nios en una banca de cuatro asientos.

Solucin:El primer nio puede sentarse en cualquiera de los cuatro lugares disponibles, el segundo nio puede sentarse en cualquiera de lostres asientos restantes y el tercer nio se sentar en alguna de los dos lugares que quedan disponibles quedando un lugar vaco.

Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

4x3x2 = 24 maneras diferentes

5.- Calcular cuntos passwords de cuatro letras distintas se pueden disear con las letras de la palabra MEMORIA.

Solucin:

La palabra memoria tiene siete letras distintas, de modo que la primera letra del password puede elegirse de siete maneras, la segunda letra de seis maneras, la tercera de cinco maneras y la cuarta letra del password de cuatro maneras. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

7x6x5x4 = 840 passwords

6.- Calcular cuntos passwords de cuatro letras se pueden disear con las letras de la palabra memoria.

Solucin:En este problema no se indica la condicin de que las letras deben ser distintas, por lo tanto, pueden repetirse y puesto que la palabra memoria tiene siete letras distintas, tendremos:

7x7x7x7 = 2401 passwords

7.- Calcular cuntas placas de automvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas de cuatro dgitos con la condicin de que no pueden repetirse las letras ni los dgitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y{1,3,4,5,7,8,9}.

Solucin:Las letras pueden elegirse de 6x5x4 = 120 maneras y los dgitos pueden elegirse de 7x6x5x4 = 840 maneras Por lo tanto, pueden hacerse 120x840 = 100,800 placas de automvil.

8.- Calcular cuntos nmeros de tres dgitos distintos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dgitos1,2,4,6,7,8,9.

Solucin:

Tenemos siete dgitos, de los cuales tres de ellos son menores que seis, los cuales pueden ser elegidos para la posicin de las centenas. As, tenemos tres opciones para las centenas. Habiendo elegido el dgito para las centenas, cualquiera de los seis dgitosrestantes se pueden seleccionar para las decenas y los cinco restantes para las unidades. Por lo tanto, se pueden formar 3x6x5 = 90 nmeros con las condiciones dadas.

9.- Calcular cuntos nmeros de tres dgitos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dgitos 1,2,4,6,7,8,9.

Solucin:En este caso los dgitos pueden repetirse, de modo que, como en el ejemplo anterior, las centenas pueden ser ocupadas por cualquiera de los dgitos 1,2,4 y las dems posiciones por cualquiera de los siete dgitos. Por lo tanto, tendremos 3x7x7 = 147 nmeros

10.- Calcular cuntas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MOUSE de modo que empiecen con consonante, terminen con vocal y que no se repitan las letras.

Solucin;La primera letra puede ser la M o la S, es decir, hay dos maneras; la ltima letra puede ser la O, la U o la E, o sea, hay tres maneras. Habiendo escogido la primera y la ltima letra, quedan tres letras para las posiciones intermedias y como no pueden repetirse tendremos 3x2x1 = 6 maneras para seleccionarlas. En total tendremos 2x6x3 = 36 palabras diferentes.

11.- Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposicin tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dosmodelos distintos. Cuntas opciones tiene para ensamblar el servidor?3x3x4x2 = 72

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCIONSi una primera operacin puede realizarse de m maneras y una segunda operacin de n maneras, entonces una operacin o la otra pueden efectuarse de: m+n maneras.

Ejemplo:Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo econmico un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo econmico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. Cuntas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA PLAYASEconmico ResidencialCondominio CalifornianoProvenzalm=2 n=3

2+3= 5 maneras

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicacin, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutacin: un arreglos o posicin de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es: FRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplo: Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?Aplicando la formula de la permutacin tenemos:

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= nmero total de objetos r= nmero de objetos seleccionados!= factorial, producto de los nmeros naturales entre 1 y n.NOTA: se puede cancelar nmeros cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !

EJERCICIOS RESUELTOSCuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5 n = 5

Sentran todos los elementos. De 5 dgitos entran slo 3.

Simporta el orden. Son nmeros distintos el 123, 231, 321.

Nose repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2.De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sentran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Simporta el orden.

Nose repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

3.De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4.Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Sentran todos los elementos.

Simporta el orden.

Sse repiten los elementos.

5.Con las letras de la palabralibro, cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza poriuoseguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sentran todos los elementos.

Simporta el orden.

Nose repiten los elementos.

6.Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000?

Sentran todos los elementos.

Simporta el orden.

Nose repiten los elementos.

Si es impar slo puede empezar por 7 u 8

7.En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nueve banderas?

Sentran todos los elementos.

Simporta el orden.

Sse repiten los elementos.

8.De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta que la portera?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

Sentran todos los elementos.

Simporta el orden.

Nose repiten los elementos.

9.Una mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:

Sentran todos los elementos.

Simporta el orden.

Nose repiten los elementos.

10.Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuntas formas distintas es posible ordenarlos si:

1.Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2.Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.

11.Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?

12.Resolver las ecuaciones:

1.

2.

3.

13. Tienes 5 libros para acomodar en un estante de cuantas formas los puedes acomodar:P 5 en 5 = 5*4*3*2*1= 1201b Si solo hay tres lugares de cuantas formas se pueden acomodar los librosP 5 en 3= 5*4*3= 60

14. En una carrera corren 8 caballos, si solo los 3 primeros ganan premio de cuantas maneras se puede hacer la premiacion:P de 8 en 3 = 8*7*6= 336 maneras

PRINCIPIO DE COMBINACION:

En una permutacin, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinacin. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados sern permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados sern combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CBCombinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el nmero de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.La frmula de combinaciones es:

n C r = n! r! (n r)!

Ejemplo: En una compaa se quiere establecer un cdigo de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinacin de 3 colores diferentes. Ser adecuado este cdigo de colores para identificar las 42 partes del producto?Usando la frmula de combinaciones:n C r = n! = 7! = 7! = 35r! (n r )!3! (7 3)!3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

Estasson una pagina interactiva interesantes, que les puede ser muy util para el mejor entendimiento de las Tecnicas de Conteo:

EJERCICIOS RESUELTOS1.En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar?

Noentran todos los elementos.

Noimporta el orden: Juan, Ana.

Nose repiten los elementos.

2.De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres?

Noentran todos los elementos.

Noimporta el orden.

Nose repiten los elementos.

3.A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado?

Noentran todos los elementos.

Noimporta el orden.

Nose repiten los elementos.

4.En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas?

Noentran todos los elementos. Slo elije 4..

Noimporta el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans.

Sse repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

5.Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

Noentran todos los elementos.

Noimporta el orden.

Nose repiten los elementos.

6.Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices?

Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vrtices.

Noentran todos los elementos.

Noimporta el orden.

Nose repiten los elementos.

Son, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

7.Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 5 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si:

1.Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.

2.Una mujer determinada debe pertenecer al comit.

3.Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

8.Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

9.Resolver lasecuaciones combinatorias:

1.

2.

3.

27 no es solucin porque el nmero de orden en las combinaciones es menor que el nmero de elementos.