TECNICAS DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS PARA NIVEL PRIMARIA.

7/28/2019 TECNICAS DE ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS PARA NIVEL PRIMARIA.

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en el nivel primario(Segunda Versin)

Tcnicasdeenseanzade la

matemtica

Problema

3X9

6X6-3X3 3X9

6X3+3X3 9X3

La Paz, enero de 2011

Elaborado por: Equipo de Matemtica de La Paz


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2AUTORES:

El equipo de Matemticas est conforma-do por ex becarios que realizaron cursos dematemticas patrocinados por la Agencia

de Cooperacin Internacional del Japn(JICA). Un grupo de ellos se interes y de-dic su compromiso y empeo en la elabo-racin del presente documento. Estos son:

Nlida Lpez Pinto Ex becaria JICASapporo JapnCurso: Mtodos de enseanza dematemticas para pases sudamericanos.Gestin 2008

Hugo Colque Jimnez Ex becario JICA Tsukuba Japn

Curso: Mtodos de enseanza de matemticas para pases sudamericanos.Gestin 2009

Irma Arpazi Huanca Ex Becaria JICA PROMECA Kyoto Japn.Curso: Estudio de Clase. Gestin 2004

Walter Orihuela Rabaza Ex becario Programa Me gusta Matemtica!, segunda capacitacinregional de matemtica, Tegucigalpa Honduras. Gestin 2007

Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo Ex becario Programa Me gusta Matemtica!, cuartacapacitacin regional de matemtica, Tegucigalpa Honduras. Gestin 2009

Con la participacin de:Oscar Demetrio Quintana Huaylluco Ex becario Programa Me gusta Matemtica!, segundacapacitacin regional de matemtica, Tegucigalpa Honduras. Gestin 2007.

Dposito Legal: 4-1-414-11

Diseo y diagramacin:Dalia Nogales

Diseo de Tapa:Richard Cornejo

Impreso:Preview Grfica

2011, Bolivia

Esta publicacin ha sido posible gracias al auspicio financiero y la asistencia tcnica de JICA.


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3Prlogo

El presente texto, enfocado en el desarrollo y aplicacin de tcnicas de enseanza de la Mate-mtica para el nivel Primario, es fruto de un conjunto de actividades, experiencias e iniciativasque las y los autores, todos ellos ex becarios de cursos de capacitacin realizados en Japn yHonduras, han sabido aprovechar, implementar y contextualizar en sus unidades educativas.

Desde julio de 2003 y durante 7 aos continuos, la Agencia de Cooperacin Internacional delJapn (JICA) conjuntamente con el Ministerio de Educacin desarrollaron el Proyecto de Me-joramiento de la Calidad de la Enseanza Escolar (PROMECA) con el objetivo de mejorar eldesempeo de las maestras y maestros bolivianos orientado a promover el protagonismo de losnios y nias en su aprendizaje.

Uno de los valiosos impactos del PROMECA fue la organizacin de forma voluntaria de equiposde trabajo en las reas de Lenguaje y de Matemtica, por solicitud e iniciativa de las maestrasy maestros con el propsito de mejorar y profundizar su capacitacin en sus respectivas reas.

De esta forma, en esta oportunidad podemos presentar el trabajo del Equipo de Matemtica delDepartamento de La Paz, que ha tenido la continuidad necesaria en su trabajo, contando conel apoyo de la Unidad de Asistencia Tcnico-Pedaggica de la Direccin Departamental de Edu-cacin (ex SEDUCA) de La Paz.

El presente texto incluye diversas tcnicas de enseanza de la Matemtica para los diferentescursos del nivel Primario que, sobre la base de los componentes temticos del currculum japo-

ns y por medio del mtodo de Estudio de Clases japons, los autores han sabido aplicar en susaulas y adaptar al contexto educativo boliviano.

El Estudio de Clases (Jugyou Kenkyu) es una actividad de capacitacin continua que permite nosolamente compartir experiencias y conocimientos para aprender unos de otros, sino tambinaportar con el estudio de un rea para el mejoramiento de la calidad de educacin.

Agradecemos la meritoria contribucin de los autores, cuya dedicacin e iniciativa se encuentraplasmada en cada uno de los trabajos presentados.

Esperamos que este trabajo, que constituye una segunda versin, responda a las necesidades yexpectativas de las maestras y maestros bolivianos que trabajan en el rea de la Matemtica,y se constituya en un real aporte de difusin y enriquecimiento de la educacin primaria enBolivia.

Hirofumi MATSUYAMADirector Representante Residente

JICA Bolivia


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4 Presentacin

El Ministerio de Educacin y la Agencia de Cooperacin Internacional de Japn (JICA), han im-plementado desde el ao 2003 hasta julio de 2010 el Proyecto de Mejoramiento de la Calidadde la Enseanza Escolar (PROMECA) en las Unidades Educativas seleccionadas del Departa-mento de La Paz, con el propsito de que los maestros/as del nivel primario perfeccionen lasestrategias pedaggicas y mtodos de gestin educativa, de esta manera los nios y las niassean protagonistas en sus aprendizajes.

El Ministerio de Educacin y la Institucin JICA han beneficiado tambin a varios docentes delas Unidades Educativas donde se implement el PROMECA con las becas a los pases de JAPNY HONDURAS.

Las experiencias de los docentes beneficiados con becas y la adecuacin de la experiencia ja-ponesa al contexto regional se desarrollaron en las Unidades Educativas donde se implementPROMECA.

En ese contexto, actualmente la Direccin Departamental de Educacin de La Paz, a travs dela Unidad de Asistencia Tcnico-Pedaggica organizo un equipo de matemticas con algunosmaestros/as ex becarios, con el propsito de fortalecer las estrategias de aprendizaje-enseanzade los docentes de nivel primario en el rea de matemticas y difundir las experiencias adquiri-das en el rea. De esta manera estos materiales le servirn como un material de consulta a las ylos docentes y estudiantes de las Escuelas Superiores de Formacin de Maestros y a las maestrasy maestros interesados en el rea de la Matemtica de nuestro Sistema Educativo Plurinacional.

Prof. Esteban Quispe AlanocaJEFE DE LA UNIDAD DE ASISTENCIA TCNICO PEDAGGICA

DIRECCIN DEPARTAMENTAL DE EDUCACIN DE LA PAZ


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5Introduccin

El Equipo de Matemticas de la ciudad de La Paz, conformado por docentes ex becarios de JICAen Japn y en terceros pases, en este caso Honduras, motivado por todas las experiencias reci-bidas, especialmente de los maestros/as y expertos/as japoneses, y preocupado por difundirlas,tal y como aprendimos de la filosofa de los auspiciantes: adoptar y adaptar, decidimos acudiruna vez ms a JICA Bolivia para la difusin de las tcnicas adquiridas en los cursos en ambospases, que fueron desarrolladas y validadas en nuestras escuelas con nias y nios bolivianos.El presente texto se constituye en la sistematizacin de dichas tcnicas.

Las Tcnicas expuestas fueron adquiridas tanto por observacin directa de clases pblicas desa-rrolladas por maestros japoneses, como por observacin de las mismas en videos o por transmi-sin directa e indirecta de los maestros/as japoneses en charlas, conferencias o talleres. Entonces,dichas tcnicas fueron aplicadas por cada uno de los miembros del equipo in situ, con nuestrospropios estudiantes, en los diferentes grados en los que nos desenvolvemos cotidianamente yen talleres de rplica de conocimientos adquiridos. Por tanto fueron validadas, adecuando y/omodificndolas de acuerdo a nuestras necesidades y nuestras realidades.

El esquema propuesto (componente o mbito, contenido, ao de escolaridad, objetivo, descrip-cin y procedimiento) proviene de un anlisis realizado por el Equipo, resaltando que todos losintegrantes participaron en el Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseanza Escolar(PROMECA) desde su respectivo lugar de trabajo.

El presente documento constituye segunda entrega a los maestros de nuestro pas; sin embargoen esta versin se pone mayor nfasis a la socializacin de tcnicas en los cuatro mbitos que

propone el currculo japons: Nmeros y clculo, Cantidad y medicin, Figuras y Relacin entrecantidades. Para cada uno de ellos proponemos tambin algn ejemplo.

En esta versin presentamos el detalle de los mbitos o componentes mencionados, as como laestructuracin de las clases, el esquema de Plan de Orientacin (Plan de clase) de enseanza dela matemtica, al estilo japons, que resalta la importancia del proceso seguido en el aprendiza-je y el protagonismo de los nios y nias, y finalmente incluimos los roles del maestro/a durantelas clases, por la gran importancia que tiene para nosotros la difusin del proceso pedaggicoque se desarrolla en el aula japonesa, especialmente en matemtica ya que sta podra ser, entreotros, la diferencia en el logro de resultados alcanzados en la educacin matemtica. Por tanto,se destaca el Modelo de resolucin de problemas, centrado en el proceso y no en el resultado, ya quelo interesante en todo momento siempre ha sido y siempre ser analizar las maneras que tienen

los estudiantes de resolver un ejercicio o problema; pues nuestra funcin como educadores esbrindarles las oportunidades de que lo hagan y, al hacerlo, expresen su pensamiento.

Al igual que en nuestra primera versin, resaltamos la importancia de la Consigna Desafian-te, para detonar en el estudiante el inters por resolver una situacin conflictiva matemtica-mente, haciendo de sta asignatura un espacio entretenido, alegre y mgico de aprendizaje.

Ponemos, a consideracin de los lectores la presente propuesta, esperando sea del inters y uti-lidad para nuestra permanente formacin profesional en beneficio de nuestros estudiantes, queson los protagonistas del aprendizaje.

Nlida Lpez PintoCoordinadora Equipo de Matemticas

La Paz Bolivia


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6 Agradecimientos

Expresamos un especial agradecimiento a la Agencia de Cooperacin Internacional de Japn(JICA) en Bolivia, y al Gobierno japons que nos brindaron la oportunidad de acceder a nuevosconocimientos que enriquecen nuestra prctica profesional, y que ahora nos brindan la oportu-nidad de difundir nuestras experiencias a travs de la publicacin de este texto.

Agradecemos tambin:

Al Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseanza Escolar (PROMECA-JICA), por suinvaluable aporte a la educacin boliviana, especialmente en el protagonismo de los nios yde las nias.

Al personal de las Escuelas Anexas a las Universidades de Educacin de Tsukuba y Hokkaidoen Japn, muy especialmente a los profesores japoneses que compartieron con nosotros sus ex-periencias y nos motivaron en la bsqueda de nuevas tcnicas de enseanza de la matemticapara hacer de sta una asignatura interesante, gil, divertida y alegre.

Al personal de las Universidades de Educacin de Hokkaido en Japn y de la Universidad Peda-ggica Francisco Morazn en Tegucigalpa, Honduras.

A los asesores y lderes del 1 y 2 Cursos de Mtodos de enseanza de la matemtica para pa-ses sudamericanos en Japn, desarrollados en las gestiones 2008 y 2009, y del PROMETAM Megusta Matemtica!, en Honduras, gestiones 2007 y 2009.

Por ltimo, a los colegas de pases latinoamericanos que participaron con nosotros durantenuestra estada en Japn y en Honduras, por haber compartido su experiencia y su amistad.

Los autores


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7Divisin temtica de los contenidosmatemticos en primaria (Japn)

Sistematizacin elaborada por Nlida Lpez Pinto, con base en documen-

tos entregados en el Primer Curso: Mtodos de enseanza de matemti-

cas para pases sudamericanos, gestin 2008.

El presente texto toma como referente la Divisin Temtica de los Contenidos Matemticos enla Escuela Primaria de Japn, a fin de orientar el trabajo de manera ms sistemtica. Dichoscontenidos, si bien no difieren de los abordados en nuestro pas, pueden variar, quizs en cuantoa la agrupacin en los mbitos correspondientes.

Los mbitos propuestos son:

A) Nmeros yclculo

Enteros, decimales,fracciones, operacionesaritmticas, relaciones

Numerales, ordinales, cardinales, naturales, enteros,decimales, fracciones, las cuatro operaciones, clculomental, aproximacin, redondeo, valor posicional,propiedades de interrelacin +, , X, /., entre otroscontenidos.

B) Cantidades ymedida

Longitud, peso,superficie, capacidady volumen, tiempoy hora, velocidad,

ngulos

Medicin concreta de la longitud, el volumen, losngulos y el peso; sistemas de unidades, mtodosde medicin (mediante comparacin directa,comparacin indirecta, unidades arbitrarias, unidades

convencionales), relacin proporcional, tiempo, clculode superficie (rea, capacidad), volumen, desarrollode la percepcin de magnitudes, clculos de superficie,equivalencias fraccionarias, etc.

C) Figuras Figuras planas, figurasslidas

Lneas, cuadrilteros, (cuadrado y rectngulo,paralelogramo); tringulo (tringulo rectngulo,tringulo equiltero, tringulo issceles); crculos,esferas, polgonos, componentes paralelos yperpendiculares y componentes de las figuras, distinciny dibujo, por ejemplo.

D) Relacionescuantitativas oentre cantidades

Expresiones confrmula, funciones,estadstica

Expresar datos en grficos, clasificndolos yordenndolos; expresar cambios en grficos decolumnas, lineales, circulares y de barras, expresarmediante frmulas dos cantidades que varan en formaproporcional, leyes asociativas, relaciones cuantitativasy propiedades de las cuatro operaciones, regularidaden multiplicacin, proporcin, intervalos numricos,promedio, entre otros.


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8 Estructuracin de las clases

Sistematizacin elaborada por Nlida Lpez Pinto en base a documentosentregados en el Primer Curso: Mtodos de enseanza de matemticas

para pases sudamericanos, Japn, gestin 2008.

Procesos educativos Acciones del maestro/a Acciones de los nios/as

INTRO-

DUCCINRevisin de cono-

cimientos previos.Comprende el estado de los nios/as sobrepreparacin para aprender.

Responden preguntas

Presentacin deltema a estudiar

Define el tema y lo da a conocer. Observan, hacen preguntas

DESARROLLO

Debate del tema Desarrolla el contenido de la clase anterior.Impulsa, motiva y despierta el entusiasmo.

Ven el tema de diversos ngulos.Definen la idea acerca del tema.

Planteamiento de

los pronsticos ehiptesis

Extrae las ideas de los nios/as

Crea un ambiente para el debate.Aprecia las impresiones propias de los nios/as.

Plantean el pronstico.

Definen el fundamento.

Anlisis del m-todo para su reso-lucin

Da instrucciones. Apoya el desarrollo delpensamiento. Promueve el pensar juntos paraencontrar otra idea, revisa las relaciones en-tre el tema y el procedimiento.

Piensan, seleccionan informa-cin, verifican el pronstico.

Expresin del m-todo de resolucine ideas

Indica el mtodo y procedimiento para elresumen, analizan juntos, hace ingeniar unaexplicacin lgica.

Tienen definida su propia idea yprocedimiento. Expresan cmodesarrollaron su idea. Inventan elmtodo de expresin

CONCLUSIN

Debate con baseen la presentacin

Educa para que admitan otras ideas, hacerazonar a los nios/as.

Comparan sus ideas y formas depensar, aceptan otras ideas, pro-fundizan sus ideas

Resumen del con-tenido y mtodoeducativo

Reconoce el cambio en los nios/as, resume eltema, el mtodo de resolucin y la forma depensar, evala el desempeo de los nios/as.

Reflexionan en el estudio, sin-tetizan el contenido y el proce-dimiento, reconocen el cambioocurrido en s mismos

Aviso para la si-guiente clase

Notifica el tema para la siguiente clase, eva-la los planes y procesos educativos.

PLAN DE ORIENTACIN DE ENSEANZA DE MATEMTICA PARA LA UNIDAD COMPLETA(Modelo Japons)

Lugar: Grado: Cantidad: Nios: Nias:Dirigido por: Elaborado por:I. NOMBRE DE LA UNIDADII. SOBRE LA UNIDAD

Nombre del mbito relacionado con la unidad:Grado de importancia (relacin con aprendizajes futuros prximo ao)III. SOBRE LOS NIOSIV. PLAN DE ORIENTACIN DE ENSEANZA PARA LA UNIDAD COMPLETA (perodos)

Resea de cada clase (secuencia)V. OBJETIVOS DE LA UNIDAD COMPLETAVI. OBJETIVOS DE LA CLASE ACTUALVII. DESARROLLO DE LA CLASE

Proceso de orientacin Estrategias del maestro/a Actividades de los nios/as

Introduccin (10 min)

Desarrollo (25 min) Consigna desafiante - propsito de la clase

Conclusin (10 min)VIII. EVALUACINIX. TAREA


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9Cmo explican y estructuran su claselos maestros/as japoneses

Sistematizacin elaborada por Hugo Colque Jimnez en base a documen-

tos entregados en el Segundo Curso: Mtodos de enseanza de matem-

ticas para pases sudamericanos, gestin 2009.

Proceso de las clases como resolucin estructurada de problemas

Revisin de la clase anterior.Presentacin de los problemas del da.Trabajo individual o grupal de los alumnos.

Discusin de los mtodos de resolucin.Puesta en relieve y resumen del punto principal.

Roles del maestro/a durante las clases

Hatsumonen la presentacin del problemaAl comenzar la sesin, hacer una pregunta clave para atraer el pensamiento del alumno sobreun punto particular en una clase.

Kikan-shido durante la resolucin de problemas por los alumnos.Significa instruccin en el escritorio del alumno, el maestro/a se mueve por el aula.Evala el progreso de la resolucin de problemasToma nota mental (forma esperada y otra de inters)

Neriagees una discusin de toda la clase.Proceso de pulir las ideas del estudiante y obtener una idea matemtica.Ofrece la palabra para que presenten sus mtodos de resolucin en la pizarra

Matomecomo recapitulacin (indispensable en la clase)

Revisa brevemente lo que han discutido y recapitula lo que han aprendido.


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10 Cuntos bloques hay?

Adaptacin de la Prof. Nlida Lpez Pinto, ex becaria JICA 2008, en basea un video de una clase desarrollada por un maestro Japons, validada

en la U.E. La Merced A.

COMPONENTE:FigurasCONTENIDO:Cuerpos slidosAO DE ESCOLARIDAD:Primer ao de primariaOBJETIVO:Involucrar a los estudiantes en la visualizacin de una pila de bloques, para quedeterminen la cantidad que la compone, a travs de la formulacin de diferentes formulacionesmatemticas.DESCRIPCIN:La tcnica consiste en mostrar de manera concreta una pila de bloques (cu-

bos), desde diferentes ngulos y proponer a los estudiantes que determinen la cantidad de cubosque la compone.PROCEDIMIENTO:Previamente el maestro/a debe haber puesto una pila de cubos sobre unbuen soporte.

El maestro/a muestra la vista delantera de una pila de cubos y pide a los estudiantes que deter-minen el nmero de bloques.

La mayora de los estudiantes, al ver solo la vista delantera dirn 4 bloques. El maestro/a dibuja.

Posteriormente, el maestro/a hace girar el soporte, de tal manera que se pueda visualizar otrongulo de la pila y pide que determinen el nmero de bloques que piensan que hay. Nuevamen-te dibuja en la pizarra.

Este mismo grfico (de la pizarra), es distribuido en fotocopias a cada uno de los nios/as. El

maestro/a pide que escriban la manera en que calculan el nmero de bloques y su respuesta.No es tan importante la respuesta, como la forma en que piensan los nios/as para conseguirel nmero.

Algunas de las expresiones elaboradas por los nios/as, para determinar la cantidad de bloques,son:

4 + 3 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 4 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2

Cada vez que una nueva expresin sea formulada, el maestro/a pide que expliquen su trabajoa la clase y pregunta si alguien ms hizo el mismo razonamiento que su compaero e indagaacerca del proceso de razonamiento: por qu piensan que es as?

Para concluir, el maestro pide a los estudiantes que se acerquen al frente, de modo que puedanver claramente la pila y comprueben cuntos bloques hay en la pila.


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11Cmo aprender la multiplicacin!

La presentacin de la Dr. Sc. Yuriko Yamamoto Baldn, adaptada porIrma Arpazi Huanca ex becaria JICA a Japn 2004, validada en sesiones

de capacitacin a docentes de primaria.

COMPONENTE: Nmeros y clculoCONTENIDO: Multiplicacin de nmeros naturalesAO DE ESCOLARIDAD: Tercer ao de primariaOBJETIVO: Desarrollamos la comprensin del problema de multiplicacin a travs del diagra-ma del rbol para que les permita representar el algoritmo con facilidad.DESCRIPCIN: Tanto las faldas como las blusas tienen que ser de diferentes coloresPROCEDIMIENTO: Resolucin del problema

El maestro o maestra debe pensar y planificar con anticipacin sobre las actividades a realizaren el aula para que favorezcan el aprendizaje de los nios y nias, puede ser como sigue:

1er Paso Presentacin del problemaCarola tiene 3 faldas y 4 blusas de diferentes co-lores. De cuntas maneras distintas puede ves-tirse con estas ropas? Cuntas formas de vestirpuede combinar con estas prendas? Cuntascombinaciones distintas puede preparar paravestirse con las prendas?2do Paso Comprensin del problema

Para que el problema sea bien comprendido esnecesario dar una buena lectura y las preguntasdeben estar bien formuladas, porque los nios ynias tienen que descubrir los distintos caminospara llegar al resultado.3er Paso Elaboracin del planReconocimiento de la accinEs necesario hacer identificar a los nios y niasla accin del problema y se puede ayudar conalgunas preguntas sobre lo conocido, para quela resolucin del problema le resulte fcil comose detalla a continuacin.Qu es lo que tiene Carola?De qu colores son las blusas y faldas?

Qu necesita hacer Carola?

4to Paso EjecucinCada nio o nia debe encontrar la forma decombinar las prendas de vestir (faldas y blusasde mueca, de papel y requiere mucha creativi-dad de los nios y nias), luego debe ser socia-lizado en plenaria. Pero es necesario llegar a unmismo resultado, una alternativa de presenta-cin de las respuestas es la siguiente:


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Faldas

Blusas Roja AzulVerdeclaro

Amarillo

Rojo

Azul

Celeste

Blusas

FaldasAmarillo Rojo Azul Celeste

Roja

Azul

VerdeClaro

5to Paso Anlisis de Solucin o ResultadoUna vez que hayan llegado al resultado, el docente promueve el anlisis a travs de las siguien-tes preguntas:

Cuntas formas de combinacin hemos obtenido?

Por qu hemos obtenido esa cantidad?

De dnde sali?

Cmo podemos presentar con nmeros?

Presentacin del algoritmo de la multiplicacin:

De manera horizontal De manera vertical

33 x 4 = 12 x 4

12

Al mismo tiempo se puede demostrar la propie-dad conmutativa de la siguiente manera:

Presentacin del algoritmo:Recordamos: 3 faldas por 4 blusas o 4 blusas por3 faldas

3F x 4B 4B x 3F3 x 4 4 x 3

12 12


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13Multiplicaciones divertidas

Recopilado por la Prof. Nlida Lpez Pinto, ex becaria JICA 2008, de lasexperiencias adquiridas con maestros japoneses, validada en la U.E. La

Merced A y en sesiones de capacitacin a docentes de primaria.

COMPONENTE: Nmeros y clculoCONTENIDO: Clculo mental, multiplicacin.AO DE ESCOLARIDAD: Tercer ao de primariaOBJETIVO: Estimular el clculo mental, a travs de la observacin cuidadosa de algoritmos,para que resuelvan ejercicios de multiplicacin mentalmente.DESCRIPCIN: Plantillas de ejercicios de multiplicacin, cuyos rangos decenales de ambos mul-tiplicandos sean los mismos y cuya suma de unidades de ambas cantidades sean siempre diez.

PROCEDIMIENTO:

El maestro/a presenta en una plantilla el ejercicio:

Los nios/as desarrollan el ejercicio y luego verifican con su compaero para ver si tienen el mis-mo resultado. Si estn equivocados se les indica que no borren la respuesta sino que la corrijan.

Luego se les presenta el siguiente ejercicio:Se sigue el mismo procedimiento anterior.

Posteriormente se les presenta el ejercicio:

En este momento un nio podra darse cuenta que falta una multiplicacin en la serie (23 x 27)y pasar a presentar la operacin faltante y resolverla. Este momento servir para darnos cuen-ta de que empiezan a descubrir la regla. En todo caso el maestro/a anima a ir encontrando larelacin que hay entre la secuencia de nmeros, les ayuda escribiendo en la pizarra sus ideas.

Pide que expliquen las caractersticas de las operaciones.

Qu observamos en los multiplicandos? R. ambos son del mismo grupo de decenas.

Qu se puede decir de las unidades? R. Que si las sumamos nos dan diez

Cmo seran las caractersticas de estas expresiones? 30 x 30 y 29 x 31 R. Los estudiantes expli-

can utilizando lo aprendido.El maestro/a pregunta: Cmo explicamos los resultados de estas expresiones? Presenta la seriede ejercicios:

21 x 29

22 x 28

23 x 27

24 x 2625 x 25

22 x 28 = 616

24 x 26 = 624

25 x 25 = 625


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El maestro/a pregunta Hay alguna regla para encontrar el resultado? Todos los nios/as mues-tran inters en resolver los ejercicios y pasar a explicar el procedimiento que han usado y aldescubrir la regla.

Una vez descubierta una de las reglas

Los ltimos dgitos del resultado son iguales al producto de las cifras de lasunidades de los multiplicandos.

El maestro/a construye la regla final con las ideas de todos los estudiantes:

Las otras cifras del resultado provienen de multiplicar la decena de uno de losmultiplicandos por el nmero que le sigue.

Es decir si la decena es 2, entonces se debe multiplicar 2 x 3, considerando que 3 es el nmeroque sigue al 2.

Los nios/as proponen otros ejemplos: 35 x 35; 33 x 37; 31 x 39 y descubren que la regla tam-

bin se cumple para ellos:

32x 38= 121634x 36= 122435x 35= 122533x 37= 122131x 39= 1209

Este es un interesante ejemplo de aplicacin de metodologas que permiten al nio analizar porsi mismo, las situaciones matemticas y llegar a descubrir reglas que le facilitan la interpreta-cin de los resultados obtenidos.


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15La construccin del pensamientomultiplicativo

La presentacin de la Dr. Sc. Yuriko Yamamoto Baldn, adaptada por

Irma Arpazi Huanca ex becaria de Japn.

COMPONENTE:Nmeros y operacionesCONTENIDO:Multiplicacin de nmeros naturalesAO DE ESCOLARIDAD:Tercero de primariaOBJETIVO:Desarrollamos la comprensin del problema de multiplicacin mediante los prin-cipios combinatorios para contribuir al desarrollo del pensamiento lgico.DESCRIPCIN:La bandera puede ser nuestro o de otro pas, lo importante es que sea de tres

colores diferentes.PROCEDIMIENTO:Resolucin del problema

1er Paso Presentacin del problemaPintar y modificar la bandera del Estado Plurinacional, de tal modo que en dos franjas seguidasno se repita el mismo color, pero s, se puede repetir dos franjas del costado. Cuntas banderasdiferentes podemos combinar?2do Paso Comprensin del problema a travs de la lecturaPara comprender el problema es necesaria una buena lectura para que los nios/as descubrandistintas maneras de llegar al resultado.3er Paso Elaboracin del plan - Reconocimiento de la accinEs necesario reconocer la accin del problema y puede ayudarse con algunas preguntas sobre loconocido, para que la resolucin del problema le resulte fcil.Qu tenemos?

Cuntas franjas tiene nuestra bandera y de qu colores?

Qu debemos hacer?

Cuntas banderas diferentes podemos combinar?

Cmo podemos combinar?

4to Paso EjecucinPara facilitar el procedimiento, el docente puede presentar la bandera y cada nio o nia encon-trar la estrategia para llegar a combinar a travs del movimiento de las franjas de la bandera.Posteriormente realizar la socializacin.

5to

Paso ConclusinSobre las decisiones que hayan tomadopara las combinaciones puede ser comosigue:

Primera decisin:Escoger el color parala primera franja.

Segunda decisin: Escoger los colorespara la segunda franja, no puede ser lamisma que la primera franja.

Tercera decisin: Escoger los colorespara la tercera franja, no puede ser los mismos colores que la segunda franja, ms bien sepuede repetir los colores de la primera franja.


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16 Regularidades

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jimnez Ex Becario JICA, en base auna presentacin del Prof. Takao Seiyama de la Escuela Anexa a la Uni-

versidad de Tsukuba Japn, validada en la U.E. Gral Jos de San Martn

y en sesiones de capacitacin a docentes de primaria.

COMPONENTE:Relaciones entre cantidadesCONTENIDO:Regularidades en la multiplicacinAO DE ESCOLARIDAD: Cuarto-Quinto grado de PrimariaOBJETIVO: Encontrar la frmula que tenga como respuesta una cifra inferior en uno, pararesolver situaciones de multiplicacinDESCRIPCIN:Planteamiento de una situacin de multiplicacin aparentemente complica-

da, pero que a travs de ejercicios sencillos, los estudiantes pensando, encuentran la regulari-dad, la regla que permitir solucionar el desafo o situacin problemtica.PROCEDIMIENTO:Se puede dar clases con este tema: Por ejemplo:

Escribir 50 x50 = 2500Ahora escribir una respuesta inferior en uno

50 x50 = 2500

? = 2499Entonces se tiene una respuesta que es inferior en uno al primer resultado.

CONSIGNA:Debemos encontrar una frmula de multiplicacin que tenga como respuesta unacifra inferior en uno.

Entonces como con nmeros grandes es complicado para pensar, vamos a achicar el nmero yaveriguaremos la frmula: 3 x3 = 9

? = 8Preguntamos: Cmo se va a hacer para que tenga una respuesta?

Cmo debe ser la frmula?

Puede ser esto Se puede presentar ms ejemplos...

3 x3 = 9 4 x4 = 16

4x2= 8 5x3= 15Hasta este nivel los estudiantes de primaria pueden solucionar, por ejemplo:

8 x8 = 64

9x7= 63Entonces preguntamos cul es la frmula para encontrar la respuesta inferior en uno?

50 x50 = 2500

51x49= 2499

.1

.1

.1 .1

.1

.1


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17Empezando por cifras pequeas, sencillas, pensando los estudiantes encuentran alguna reglaque existe, ellos pueden imaginar fcilmente esta frmula.

Entonces lo importante es hacer preguntas:

Cmo concluyeron en esa idea?, Cmo se form esa idea?, por qu dicen eso?

Lo que se quiere es que el nio o la nia, diga que a travs de esas tres frmulas encontr unaregla.

50 x50 = 2500

51x49= 2499

3 x3 = 9 4 x4 = 16 8 x8 = 64

4x2= 8 5x3= 15 9x7= 63

Vamos a probar con otros nmeros:

60 x60 = 3600

61x59= 2499

Cul es la frmula?

60 x60 = 3600

+1 x1 = 2499Inicialmente un ejercicio parece difcil, pero por medio de encontrar una regla que tiene, a tra-vs de clculos iniciales sencillos, se lo puede resolver con facilidad.

Ahora hagamos la aplicacin:

50 x50 = 2500

= 2496

Cmo ser la frmula ahora?

Dejar que piensen y respondan, que hagan clculos

De igual manera, para que comprendan mejor, se puede empezar con nmeros pequeos.

3 x3 = 9 4 x 4 = 16 8 x 8 = 64

5x1= 5 6x2= 12 10x6= 60Preguntar: Hasta aqu, Pueden encontrar alguna regla?

Responden:

50 x 50 = 2500

52x 48 = 2496

.1

.1

.1

4

4

4

4 4

.1.1 .1


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18Vamos a probar con otros nmeros:

60 x 60 = 3600 60 x 60 = 3600Cul es la frmula?

61x59= 3596 +1 x1 = 3596Entonces cuando se da una frmula, la explicacin para cursos superiores sera:

(a + b) (ab) =a2 + b2

Aplicando las cifras del desafo:

50 x50 = 2500 (50 + 1) (50 1)=502 12

=25001

? = 2499 51 x 49 =2499

50 x50 = 2500 (50 + 2) (502)=502 22

=25004

? = 2496 52 x 48 =2496

Ahora con - 9

50 x50 = 2500

= 2491

Y cmo va a ser ahora?

50 x50 = 2500 (50 + 3) (503)=502 32

3x3 =25009

53 x 47 = 2491 53 x 47 =2491

Ahora con - 16, Cunto ser?

50 x50 = 2500 (50 + 4) (504)=502 42

4x4 =250016

54 x 46 = 2484 54 x 46 =2484

Para finalizar con - 25, Cunto ser?

50 x50 = 2500 (50 + 5) (505)=502 525x5 =250025

55 x 45 = 2475 55 x 45 =2475Los estudiantes pueden seguir probando con otros nmeros para su aplicacin.

4

.1

4

9

9

16

25

4


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Esta estrategia para trabajar ofrecela oportunidad a los estudiantes detrabajar en equipo y tomar intersen la bsqueda de soluciones.Los estudiantes disfrutan de la acti-

vidad y aprenden jugando.A partir de sus experiencias propiasy de trabajo en comunidad, puedenrealizar la produccin de textos ma-temticos.

Son ellos quienes construyen su propiomaterial de trabajo y de esta formason ms responsables en el cuidadodel mismo y tambin exploran los ma-teriales necesarios para la actividad.Ayuda a reforzar el aprendizaje me-diante el trabajo en parejas y conti-

nua siendo un recurso que brinda laoportunidad de establecer relacionesentre nmeros, dentro de un ambien-te de seguridad y compaerismo.

TRABAJO REALIZADO CON LOS PRO-FESORES. Antes de poner en prcticacon los estudiantes estos materiales, esconveniente reunirse con otros profe-sores del colegio, ciclo o ao de esco-laridad para practicar y as evitar po-sibles problemas que se presenten conlos estudiantes o detectar dificultades

que supongamos tengan los estudian-tes. De esta manera se puede realizaradecuaciones necesarias.

Relacin entre nmeros

Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA PROMECA,Me gusta Matemtica, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, ges-

tin 2007, validado en la U.E. Juan Lechn Oquendo

COMPONENTE: Relaciones entre cantidadesCONTENIDO: Mayor qu, menor qu e igual aNIVEL: PrimarioOBJETIVO: Desarrollar en los estudiantes un pensamiento crtico y reflexivo con relacin al valorposicional de las cifras y la relacin que existe entre dos nmeros (>, =,


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20 Actividades Recursos Puntos de atencin

ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 minutos

1. Explicar que se desarrollar una actividad decomparacin de dos nmeros, utilizando 2 juegos de

tarjetas de nmeros del 0 al 9.2. Solicitar a dos nios (as) que pasen al frente.

3. Proporcionar a cada nio un juego de tarjetas del 0al 9.

4. Solicitar a cada nio que saque seis tarjetas en turnosalternos, colocando cada tarjeta en la tabla que seencuentra en el pizarrn, de tal manera que formen elnmero mayor.

5. Cada nio deber pensar en qu lugar colocar latarjeta que vaya sacando (podr pedir apoyo de suscompaeros para colocar la tarjeta en el lugar que crea

conveniente para formar el nmero mayor)6. Luego de haber formado los dos nmeros, preguntar a

todos los nios/as CUL ES EL NMERO MAYOR.

7. Presentar los signos mayor que, menor que, igual que,luego pedir a un nio que coloque el signo correctoentre los dos nmeros formados.

8. Preguntar a todos los nios/as POR QUE es el nmeromayor el sealado. Pedir 3 intervenciones de talmanera que se les induzca hacia la respuesta correcta.

9. Concluir indicando la regla de comparacin que seaplica a la comparacin de los nmeros formados.

- Tarjetas denmeros

- Tarjetas con

signos de >mayor que,< menorque, = igualque.

1. Tomar en cuenta laposicin de los nmerosformados para lacolocacin del signo dedesigualdad correcto.

10.Reglas de comparacin dedos nmeros naturales:

a. Comparar la cantidad decifras. El que tenga mscifras es el mayor.

b. Si los dos tienen lamisma cantidad de cifras,comparar la primera cifrade la izquierda de cadanmero. El que tenga lacifra mayor es el mayor.

c. Si las primeras cifras soniguales, comparar lasegunda cifra de cada uno;el que tenga la mayor cifraes el mayor.

d. Si las primeras dos cifrasde ambos nmerosson iguales, compararla tercera cifra y assucesivamente con el

mismo procedimiento.

e. Si uno tiene menos casillas,entonces tienen el nmeromenor.

Si al final todas las cifras soniguales, los dos nmeros soniguales.

En los casos de modificacin dela posicin de los nmeros, pasara nios/as a colocar el signo decomparacin de cantidades (>

< =) y que expliquen POR QUcoloc el signo.

ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 min.

10. Realizar el mismo juego en parejas para lo cual sedebe explicar cmo llenar la hoja de trabajo y comoconstruir sus materiales para jugar.

Reglas, tijeras,fotocopias,lpices.

ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 min.

11. Presentar los otros casos, tomando en cuenta elresultado del ejercicio anterior (modificar la posicinde algunas tarjetas de manera que la comparacin delos dos nmeros se resuelvan de la siguiente manera:

a. Que la primera cifra de la izquierda en ambosnmeros sean diferentes o iguales

b. Que las primeras dos cifras a la izquierda seaniguales

c. Que las primeras tres cifras de la izquierda seaniguales y as sucesivamente.

d. Verificar tambin que la cantidad de cifras de losnmeros sean diferentes (23567>457)


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21MODELO DE HOJA PARA EL JUEGO:

Comparacin de nmeros

Fecha: Curso:

Nombre del nio o nia de la izquierda Nombre del nio o nia de la derecha

Resultados del juego

Primer juegoNmero del nio o nia (izquierda) Nmero del nio o nia (derecha)

Segundo juegoNmero del nio o nia (izquierda) Nmero del nio o nia (derecha)

Tercer juegoNmero del nio o nia (izquierda) Nmero del nio o nia (derecha)

Cuarto juegoNmero del nio o nia (izquierda) Nmero del nio o nia (derecha)

Quinto juegoNmero del nio o nia (izquierda) Nmero del nio o nia (derecha)

=

MODELO DE FICHAS PARA EL JUEGO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

MODELO DE RAYADO EN LA PIZARRA PARA EL JUEGO:


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22 Problemas de longitud y espacialidad



COMPONENTE: Cantidad y medidaCONTENIDO: Clculo de longitudes y orientacin espacialNIVEL: PrimarioOBJETIVO: Poder determinar longitudes, realizar ejercicios de orientacin y establecer lugaresa travs del uso de una rejilla. Adems de determinar o formular problemas sobre estos aspectosDESCRIPCIN: Este tipo de dibujos se puede usar para la formulacin de problemas comodecir

Juan quiere ir a su escuela desde su casa y debe recorrer tres cuadras en forma horizontal y dosen vertical. Donde est la escuela

Juan olvido sus cuadernos y su mam debe mandarlos y decide enviarlos en un taxi a quiendebe indicar la direccin dnde es la el colegio?

ESCUELADE JUAN

CASADE

JUAN

EMPRESADE TXIS


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23Misterios del clculo de lamultiplicacin

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jimnez Ex Becario JICA, Tsukuba

Japn, 2009, validado en la U.E. Gral. Jos de San Martn y en capaci-

taciones a docentes de primaria.

COMPONENTE: Nmeros y clculoCONTENIDO:Regularidades en la multiplicacinAO DE ESCOLARIDAD:Cuarto grado de primariaOBJETIVO: A travs de la actividad de hacer el clculo interesante, intentar que los/as nios/as puedan explicar de manera lgica sus respuestas y aprecien la alegra de descubrir la regla.

DESCRIPCIN: Utilizacin de mltiplos de tres en tres problemas matemticos como una pistapara introducir los problemas matemticos, dejar un tiempo para pensar solos y luego de tenerlos resultados anotados en tarjetas, invitar a poner en orden e incitar a encontrar la regla.PROCEDIMIENTO:Presentar la siguiente expresin matemtica:

37 x3 = Cul es el resultado?

Solicitar que un estudiante resuelva el ejercicio. Luego copiar la expresin en un cartel. PegarEscribir la siguiente expresin:

37 x 6= Cul ser el resultado?Repetir el anterior procedimiento.

Presentar otra expresin:

37 x9 = Cul ser el resultado?

En este punto de la leccin se pueden formular preguntas que despierten el inters de los alum-nos:

Cul es el prximo nmero que sigue?

Por qu?

Presentar otro ejercicio:

37 x12 = Cul ser el resultado?

Habr otras expresiones?

Podramos encontrarlas? Cmo?

Se puede decir a los/as nios/as: para ayudar a nuestro pensamiento, sera bueno ordenar las

expresiones, (mejor si hay algn estudiante que lo proponga).

La pizarra quedara as:


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Otras expresiones que se pueden formar:

SUGERENCIASDe acuerdo al grado, se sugiere que se inicie con operaciones ms altas por el nivel de los ni-os/as por ejemplo 37 x15, pero ese es un criterio, cada uno hace su clase segn su experiencia,

conocimiento y habilidad.

En la clase se debe conocer la regla y expresarla con diferentes palabras.

Nosotros como docentes queremos encontrar reglas nuestras y a veces decimos que no esta biensi no compartimos algo correcto que el nio indique.

Hay que escuchar a los alumnos. En oca-siones los estudiantes nos dan otras res-puestas, hay otras reacciones, entonces eldocente tiene que tener capacidad acad-mica de escuchar y no solo de ensear.

En el siguiente proceso se puede ofrecer otras secuencias como:

Aplicaciones de la regla:

37 x 42

30 y 12

=37x30+37x12=1110 + 444=1554

37 x 3 = 111

37 x 6 = 222

37 x 9 = 333

37 x 12 =

37 x 15 =

37 x 18 =

37 x 21 = 37 x 27 =

37 x 24 =

Los multiplicadoresson mltiplos de 3

3x 1 el factor3indica las vecesque se repite elproducto

La suma de los dgitosdel resultado da siemprela cifra del multiplicador2 +2 +2 = 6

Es la cifra que se

debe repetir

El multiplicandosiempre es 37

+111

+111

+111

+222

+222

+222

3x1

3x2

3x3

3x4

3x5

37 x 30 = 1110

37 x 33 =1221

37 x 36 =1332

37 x 39 =1443

37 x 42 =1554

37 x 45 =1665


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25Introduccin al estudio de laestadstica en nivel primario

Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA PROMECA,

Me gusta Matemtica, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, ges-


COMPONENTE: Relaciones entre cantidades - Estadstica.CONTENIDO: Estudio de tablas y grficos estadsticos.NIVEL: PrimarioOBJETIVO: Representar en tablas y grficos diferentes tipos de datos numricos; para compren-der mejor su significado a partir de experiencias vividas en un contexto conocido.

DESCRIPCIN: El estudio de la estadstica se puede iniciar desde los primeros aos del nivelprimario e ir afianzando los conceptos necesarios para el nivel secundario, considerando la diver-sidad cultural y social de los estudiantes y el objetivo o contenidos que se quieran desarrollar. En elsiguiente trabajo se presenta de forma general pautas para introducirse en el estudio de la estads-tica; la cual puede ser adaptada para cursos inferiores o superiores.

Se puede trabajar entre todos los estudiantes o en grupos predefinidos considerando como unade las variables el tiempo que disponga el profesor para su clase. En ambos casos deben tomarnota de los datos observados, para posteriormente socializarlos en sala. En este caso, como elcolegio se encuentra cerca de una parada de transporte pblico (micros), se pide a los estudian-tes que vayan analizando el comportamiento de la cantidad de micros que se encuentran en laparada estacionados cada determinado tiempo y posteriormente realizan un anlisis estadsticoen tablas y grficos de barra. De acuerdo a la metodologa empleada esta forma de trabajo esorientada constantemente por el docente.

PRIMERA JORNADAa) Definir la actividad a realizar: Observacin de la cantidad de micros en la parada.b) Determinar los intervalos de tiempo: Cada media hora, de hrs. 9:00 hasta las 14:00.c) Conformar grupos de estudio de acuerdo al nmero de observaciones.d) Realizar las observaciones necesarias y registro de la cantidad de micros que se encuentran

estacionados cada media hora: Cada grupo ver la mejor forma de registrar los datos quevayan observando. Muchos estudiantes se vern en conflicto y no sabrn como comenzar ypedirn un ejemplo de cmo y dnde deben anotar los datos que observen. El profesor debe-

r procurar que sean los estudiantes quienes encuentren la mejor forma. No se les debe darun formato de la tabla de recoleccin de datos, puesto que lo que se busca es que sean elloslos protagonistas en la bsqueda de soluciones a partir del trabajo grupal.

Se sugiere que solamente los grupos asignados salgan del aula a realizar sus observaciones paraparalelamente continuar con el avance de otros contenidos.

SEGUNDA JORNADAa) Cada grupo escribe en la pizarra y socializa el trabajo realizado en la anterior jornada: En

esta etapa tomar en cuenta que cada grupo debe anotar en la pizarra las observacionesrealizadas, adems de explicar la forma en la que registraron los datos en el momento derealizar las observaciones; pero como todava no se les dio el modelo de la tabla el registro

de los datos puede ser de forma numeral, literal o con dibujos. Los grupos pueden escribir dela forma que lo consideren mejor.b) El maestro/a y los estudiantes sistematizan los datos obtenidos.


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SISTEMATIZACIN POR PROFESOR Y ESTUDIANTES

TTULO: Anlisis de datos estadsticos con tablas y grficos de barraOBJETIVO: Representaren tablas y grficos, da-tos numricos; para com-prender el significado a

partir de experienciasvividas en nuestra comu-nidad.

REGISTROESTUDIANTESGrupo A.Mi grupo observ dosmicros a las nueve de lamaana

Grupo C.5 micros a las 10:00

Grupo F.

11: 30

Grupo H.No observamos ningnmicro.

(registrar de los oncegrupos)

PRIMERA OBSERVACINHoras 9:00. Dos micros

CUARTA OBSERVACINHora 10:30. Seis micros

SPTIMA OBSERVACINA las 12:00 Un micro

QUINTA OBSERVACINHora 11:00. Cinco micros

OCTAVA OBSERVACINHora 12:30-13:00 Cero micros

SEXTA OBSERVACINHora 11:30. Cuatro micros

NOVENA OBSERVACINHora 13:30-14:00. Un micro

SEGUNDA OBSERVACINHoras 9: 30. Dos micros

TERCERA OBSERVACINHoras 10: 00. Cinco micros

TABLA TIPOIntermedioTabla de datos

Hora deObservacin

Nmero demicros

9:00 2

9:30 2

10:00 5

10:30 6

11:00 5

11:30 4

12:00 1

12:30 0

13:00 0

13:30 1

14:00 1

TABLA TIPO InicialTabla

de

datos

Hora Micros observados

9:00

9:30

10:00

10:30

11:00

11:30

12:00

12:30

13:0013:30

14:00

A partir de esta u otras formas de registro que hayan realizado los estudiantes el maestro/ajuntamente con los estudiantes buscar una forma adecuada para el llenado de las tablas,aclarando los conceptos de celda, fila, columna, tabla y posteriormente grfico (barra, torta).

Una vez socializado y buscada la mejor forma de registrar los datos, el maestro/a deber haberlogrado que los estudiantes logren realizar una tabla correcta de esas formas son las siguientes,tomando en cuenta en ao de escolaridad.


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PARQUE AUTOMOTOR(Nmero de vehculos)

Particular

Automvil

Camin

Minibs

Particular

Automvil

Camin

Minibs

a)

c)

b)

d)

9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 14:00

GRFICO DE BARRAS. Inicial

Diagrama de barras

9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00

7

6

5

4

3

2

1

0

micros

cantidadde micros

horas

Tabla de datos (cantidad de micros/tiempo)Tiempo 9:00 9.30 10.00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:00 14:00Cantidad de micros 2 2 5 6 5 4 1 0 0 1 1

Cantidad de micros estacionados

GRFICO DE BARRAS. Avanzado

Posteriormente se realiza el vaciado de los datos obtenidos en uno de los grficos que se quieraestudiar en este caso dos formas de vaciar los datos en un grfico de columnas.

TABLA TIPO. Avanzado. (Este tipo tambin se lo realiza a partir del anlisis de losanteriores datos y pude ser aplicado a los ltimos aos del nivel primario).

Intrvalos de tiempo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia acumulada9:00-9:29 2 2/23=0.09 2

9:30-9:59 2 2/23=0.09 4

10:00-10:39 5 5/23=0.22 9

10:30-10:59 6 6/23=0.26 15

11:00-11:29 5 5/23=0.22 20

11:30-11:59 1 1/23=0.04 21

12:30-12:59 0 0/23=0.00 21

13:00-13:29 0 0/23=0.00 21

13:30-13:59 1 1/23=0.04 2214:00-14:30 1 1/23=0.04 23

Total datos 23 1.00

Es estudio de la estadstica o el comportamiento de datos estadsticos en un determinado periodose puede realizar a partir de simples observaciones como:a) El kiosco de la escuela. Cuntas unidades de un producto vende por da? Qu productos

vende ms?b) El jardn de casa o la escuela. Cuntas clases de flores hay?Qu plantas dan ms flores por ao?c) Un video, una fotografa de la ciudad. Cuntos vehculos pasan por hora? Cuntos son

particulares?d) Cuadros de datos. Cuntos automviles particulares hay? Cuntos camiones?


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28 Fracciones equivalentes

Sistematizado por Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de JICA PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, gestin 2009, validado en la U.E.

San Miguel de El Palomar

COMPONENTE: FraccionesCONTENIDO:Fracciones con distinto denominadorAO DE ESCOLARIDAD: Sexto de PrimariaOBJETIVO:Convertir fracciones homogneas y heterogenias a fracciones equivalentesDESCRIPCIN:

Es un juego para dos jugadores.Material:

Dado tetradrico numerado: 2, 3, 4, 6 (Numerador).Dado cbico numerado: 4, 6, 8, 9, 10, 12 (Denominador).Seis fichas para cada jugador.

Reglas:Salida a mayor puntuacin a cara / cruz.Tiradas alternas.Se tiran los dos dados y se anota la fraccin resultante Numerador / Denominador:

a) Se simplifica y se coloca una ficha sobre una casilla que la represente.b) Si no se puede simplificar (2/9, 3/8, 4/9, 3/10) se retira una de las fichas que el jugador

ya tena colocadas.No se puede ocupar casilla que ya tenga ficha.Gana quien antes coloca sus seis fichas.

1 1/6 1/4 1/5 1/2 3/4

1/3 1/2 2/3 1 3/5 2/5

2/3 1/3 1/2 2/5 1/6 3/5

3/4 1/3 2/5 1 1/4 1/3

1/5 3/5 3/4 1/5 1/3 1/4

1/2 1/6 1/2 1 1/2 1/2

1/4 1/3 3/4 1 2/3 2/5


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29Explorando el desarrollo de un prisma

Sistematizado por la Prof. Nlida Lpez Pinto, ex becaria JICA Sapporo,2008, desarrollada con estudiantes de la U.E. La Merced A, durante el III

Encuentro Internacional de PROMECA.

COMPONENTE:FigurasCONTENIDO:Cuerpos slidosAO DE ESCOLARIDAD:Quinto ao de primariaOBJETIVO: Que los estudiantes desarrollen su pensamiento abstracto, al analizar y explicar lascaractersticas de las plantillas de un cuerpo geomtrico y desarrollando diferentes tipos de ellas.DESCRIPCIN: La tcnica consiste en el anlisis del cuerpo concreto (prisma) y de las carac-tersticas de su plantilla elemental, para proceder a la transferencia de sus conocimientos en la

elaboracin de otras plantillas.PROCEDIMIENTO:A manera de retroalimentacin y anclaje con este nuevo contenido, el maestro puede presentardiferentes desarrollos (plantillas) de cubos y preguntar:

Cul de estos desarrollos corresponde a un cubo? por qu?

Una vez que los estudiantes sealen las plantillas que corresponden a un cubo (en este caso,todas), explican las condiciones para serlo: Tiene que tener seis cuadrados de las mismas medi-das y se tiene que poder unir las aristas, no tienen que sobreponerse, porque si no, no se armarael cubo. El maestro invita a los estudiantes a analizar los elementos de un prisma rectangular:

Tiene seis caras paralelasSus lados opuestos son iguales

Sus lados son rectngulos

Posteriormente, solicita que desarmen el prisma rectangular obteniendo as la plantilla (desa-rrollo, patrn o tambin llamado molde), para su anlisis correspondiente.

Los estudiantes concluyen: La plantilla del prisma:

Tiene seis caras paralelas.Tiene seis lados rectangulares.Sus lados son paralelos u opuestos.

En este momento, el maestro debe solicitar ideas de los estudiantes que ayuden a identificar las

caras opuestas del prisma cuando est desarmado.

Algunos estudiantes indicarn, por ejemplo:


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30 Podemos armar el prisma y antes de desarmarlo podemos poner una marca cualquiera

como por ejemplo una X, una Y, o lo que sea Podemos pintar los dos lados que son opuestos, de un mismo color. Se puede poner un punto, un cuadrado, etc. Podemos enumerar cada pareja de lados.

Una vez elegida una de las opciones (u otra), proceder de tal forma que al tener la plantilla sevisualice cada par de caras y analizar sus caractersticas, establecindose:

En una plantilla de prisma, cada par de lados opuestos estn separados por un rectngulo diferente.

Entonces, el maestro/a podr presentar varias plantillas para desafiar el ingenio de los estudian-tes, preguntando:

Cul de estos desarrollos corresponde a un prisma rectangular? Por qu?

a) b) c) d)

Una vez discutidas cules son plantillasde prismas rectangulares (incisos a y d) ypor que?, puede proceder a recortarse estasplantillas y tratar de armar los prismas rec-tangulares.En este punto el maestro/a anima a la clasea elaborar modelos alternativos para el de-sarrollo de prismas rectangulares.

A modo de plantearles mayores desafos presenta otras plantillas con las caractersticas un tan-

to diferentes: Creen que se forme un prisma rectangular con estas plantillas?


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31El tetraedro

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jimnez Ex Becario JICA, Tsukuba

Japn, 2009, validado en sesiones de capacitacin a docentes de pri-maria y en la U.E. Gral. Jos de San Martn.

CONTENIDO:Cuerpos slidosAO DE ESCOLARIDAD:Sexto grado de primariaOBJETIVO: Pensar sobre el nmero de lados en el desarrollo del tetraedro.DESCRIPCIN:Un sobre manila tamao carta, en el que a travs del procedimiento anterior(Dobleces para encontrar el tringulo regular), se encuentran esta vez cuatro tringulos regula-res o cuatro caras de un tetraedro.PROCEDIMIENTO:CONSIGNA: Ahora usando este sobre, encuentren con el mismo procedimiento un tringulo

regular.

Distribuir sobres. Se debe trabajar ms fino.

Esta lnea es importante, hay que resaltar (hacer doblez a uno y al otro lado) Ahora se debe encontrar el otro lado del tringulo:

Este lado tambin hay que resaltar. (Doblar para los dos lados). En Japn a losestudiantes se les dice doblar en forma de montaa, ahora en forma de valle.

Ahora tomando como referencia el vrtice de arriba, vamos a doblar paralelamente con la baseal otro lado.

Ahora tenemos otra vez el tringulo regular.

Analizamos con los estudiantes: El sobre tiene un lado y otro lado; en este lado tenemos untringulo, en el dorso tambin tenemos otro tringulo

En este lado tenemos un tringulomedio de tringulo regular, en eldorso tenemos otro medio de trin-gulo regular, sumados los dos tene-

mos otro tringulo regular.

En este otro lado tambin tene-mos una mitad de tringulo regu-lar medio, y en el dorso existe otrotringulo regular medio, sumados

ambos, hay otro tringulo regular.


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32Entonces: Cuntos tringulos regulares hay?

R. Con este trabajo ya tenemos cuatro tringulos regulares.

Ahora observen:

(Meter la mano dentro del sobre, abrir, resaltar los tringulos regulares o caras. (la parte restantedel sobre doblar contra una de las caras del slido).

Sorpresa!

El estudio del tetraedro se lo hace en primaria superior, pero un tringulo plano aprenden losnios/as de primaria.

Si se amplia su reconocimiento de esta manera con seguridad les va a gustar los estudiantes.


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33Clculos interesantes de sustraccin

Recopilado por la Prof. Nlida Lpez Pinto, ex becaria JICA 2008, de lasexperiencias adquiridas con maestros japoneses, validada en sesiones de

transferencia a docentes de primaria.

COMPONENTE: Nmeros y clculoCONTENIDO: Clculo mental, sustraccin, multiplicacin.AO DE ESCOLARIDAD:Cuarto ao de primariaOBJETIVO:Estimular la capacidad de observacin de los estudiantes, a travs de la resta dedgitos y multiplicacin por 9, para que descubran la regla oculta.DESCRIPCIN: La tcnica consiste en el uso de lotas en los que se anotar ejercicios de sus-traccin de manera divertida. Los resultados sern analizados para descubrir la regla oculta.

PROCEDIMIENTO:El maestro solicita a un estudiante que le dicte su nmero favorito de dosdgitos, uno de los nmeros dados, puede ser por ejemplo: 86

Ahora da la siguiente consigna a todo el curso: Inviertan los dgitos de este nmero y rstenlodel anterior. Por ejemplo:

86 68 = 18

Este ejemplo es anotado en una plantilla rectangular que pone en la pizarra; para posterior-mente solicitar otros y seguir el mismo procedimiento.

Despus de un rato, la pizarra puede presentar la siguiente lista, por ejemplo:

86 68 = 18

43 34 = 9

98 89 = 9

53 35 = 18

62 26 = 36

73 37 = 36

Dirigiendo la observacin a la lista presentada, ya los estudiantes o el mismo maestro puedensolicitar acomodar las lotas de acuerdo al resultado obtenido de la siguiente manera:

43 34 = 9

98 89 = 9

86 68 = 18

53 35 = 18

62 26 = 36

73 37 = 36

Consigna: qu observan en los resultados?Los estudiantes pueden indicar:todos son mltiplos del 9, si esta respuesta no se da, el maestro/apodra orientar hacia la observacin de este detalle.


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34

Entonces: la Regla oculta es:

Restar los dgitos del minuendo y el resultado multiplicarlo por 9.

Comprobando esta regla en cada uno de los ejercicios planteados, se podra concluir con otrosejemplos similares.

4

8

6

3

6

2

9

18

36

9

18

36

3 4 =

9 8 8 9 = 9

5 3 3 5 = 1 8

7 3 3 7 = 3 6

6 8 =

2 6 =

4 3 = 1

8 6 = 2

6 2 = 4

1 x 9 =

2 x 9 =

4 x 9 =

Consigna: Cmo podemos explicar que todos los resultados son mltiplos del 9; pero que notodos son el mismo nmero?

Con esta consigna, se plantea el desafo a los estudiantes, quienes ahora deben analizar cadadetalle de las cantidades propuestas, hasta descubrir la regla oculta, de la siguiente manera:


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35Patrones en la multiplicacin

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jimnez Ex Becario JICA, Tsukuba Japn, 2009, validado en sesiones de capacitacin a docentes de pri-

maria y en la U.E. Gral. Jos de San Martn.

COMPONENTE: Relaciones entre cantidadesCONTENIDO:MultiplicacinAO DE ESCOLARIDAD:Quinto-Sexto grado de primariaOBJETIVO: Resolver situaciones problemticas de multiplicacin a travs de encontrar patro-nes en multiplicaciones que tengan cifras pequeas.DESCRIPCIN:Situacin multiplicativa entre factores que tienen 6 dgitos repetidos, y que conla calculadora hay error en la respuesta, por lo que surge la necesidad de realizar un clculo es-

crito a mano, en el que a travs de ejercicios con cifras pequeas se puede encontrar un patrn,que se aplicar en la solucin del desafo o situacin problemtica.PROCEDIMIENTO:CONSIGNA:Con calculadoras resuelvan lo siguiente:Situacin problemtica o desafo, cunto ser?

Damos un tiempo para que los/as nios/as hagan el clculo (utilizando la calculadora).Nota.- Cuando se hace clculos con una calculadora que tiene 8 dgitos, sta aparece como

error, entonces intencionalmente usamos la calculadora para crear necesidad de reali-zar otro tipo de clculo.

Continuamos; con calculadora no se puede, pero si hacemos el clculo a mano sera muchomejor, para ello empezamos con cifras pequeas:

1 x 1 = 111 x 11 = 121 qu clculo sigue ahora?, esperar la respuesta

111 x 111 =12321 hasta aqu algunos estudiantes ya podran encontrar el pa-trn preguntar por el siguiente clculo.

1111 x 1111 = 1234321Seguir encontrando los otros clculos, hasta el que tenga seisdgitos, pedir que escriban la solucin.

111111 x 111111 = 12345654321

Por qu dieron esta respuesta? Se ve que encontraron el clculo de otra manera. Solicitar a unestudiante que explique:

1 x 1 = 111 x 11 = 121

111 x 111 = 123211111 x 1111 = 1234321

111111 x 111111 = 12345654321

777777 x 999999 =

Se enumera los dgitos: 1, 2 y seretrocede hasta 1 = 121

Cuento 123456 y retrocedo hastauno 54321 = 12345654321


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36Hasta aqu es slo la introduccin, para que los estudiantes, puedan encontrar el patrn.

Si aun no pueden, continuamos averiguando con una ciframs chica:

7 x 9 = 63 ahora qu sigue? 77 x 99 = 7623777 x 999 = 776223

Hasta aqu, ya se puede sacar el patrn

777777 x 999999 = 777776222223

La clase no debe terminar aqu, hay que buscar la explicacin y realizar aplicaciones. Por ejem-plo:

Entonces los estudiantes empezarn a analizar y averiguar cmo se lleg al anterior resultado.

9 7 = 2

777777 x 999999 = 777776222223

Ahora puede resolver el anterior ejercicio:

8 x 9 = 72 ahora qu sigue? 88 x 99 = 8712

888 x 999 = 887112Y aqu ya tiene la regla Cmo resuelve y explica elestudiante?

888888 x 9999999 x 8 = 72

=888887111112

Ahora comprobamos si la regla es correcta con cualquier nmero multiplicado por 9

444444 x 999999 =4 x 9 =36 9-4=5

444443555556

A estas alturas de la clase los nios/as estarn entusiasmados por seguir probando y averiguan-do la eficacia de la regla, es importante que expliquen siempre en cada etapa, el por que dandeterminadas respuestas.

777777 x 999999 =

888888 x 999999 =

Sale demultiplicar7x9=63

Cmo se ex-plica el 8 y 1?

De dndesale el 7 y 2?

Uno sale de restar9 9 =1

Baja aqu


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37Arreglo de puntos

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jimnez Ex Becario JICA, partici-pante del Curso Mtodos de Enseanza de Matemticas para Pases

Suramericanos, 2009. (Presentado por el Prof. Kozo Tsubota Escuela

Anexa a la Universidad de Tsukuba Japn). Validado en la U.E. Gral.

Jos de San Martn y en capacitaciones a docentes.

COMPONENTE:Relaciones entre cantidadesCONTENIDO: Aplicacin del concepto de multiplicacinAO DE ESCOLARIDAD:Quinto Grado de PrimariaOBJETIVO:Encontrar maneras de contar el nmero total de puntos en un cuadrado concuatro puntos en cada lado, y representar cada manera de contar como una expresin.

Interpretar el significado de las expresiones.DESCRIPCIN:En esta clase, los estudiantes encuentran el nmero de puntos en una configuracin (arre-glo) de puntos, y encuentran las maneras de contar el nmero de puntos en el arreglo.Algunos estudiantes representan sus maneras de contar usando expresiones y otros in-terpretan el significado de cada expresin.

PROCEDIMIENTO:CONSIGNA:Voy a sacar unos crculos (desordenados), Cuntos son?Dan diversas respuestas.Por qu no pueden contar exactamente?Si estn ordenadas pueden contarlas?

Ante la respuesta afirmativa, presentar la hoja:Mirando la figura siguiente, piensen: Cuntos puntos hay en lafigura?

Mostrar nuevamente y volver a preguntar.

Confirman que hay 25 puntos.

Piensen en cmo representar la manera de contarlos usando unaexpresin. (agrupando)Los estudiantes representan sus maneras de contar las expresiones, yotros interpretan sus expresiones.

Por que estn desordenadas:

- Muestre la figura a los estudiantesrpidamente, slo por un momento, de modo

que ellos construyan una imagen del arreglo depuntos de la figura.

- Cada estudiante debe tratar de representarmediante una expresin su propia manera decontar.

- Los estudiantes ven las expresiones hechaspor otros estudiantes, y piensan en lasinterpretaciones de esas expresiones.

1 + 3 +5 +7 +5 +3 + 1 = 25


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(3 x 3) +(4 x 4) =25

5 x 5 = 25

Concluyen que hay varias maneras de contar, y que para cada expresin hay variasinterpretaciones posibles.

Otras expresiones: 6 4 + 1 =253 8 + 1 =25112 +3 = 25

Encuentrenformas de contar

Cuntos puntoshay en la figura?

En el centro cuento 3 x 3 yluego agrego 4 veces 4 enlas esquinas4 x 4 = 16

3 x 3 =16 + =

(4 x 4) + (3 x 3) =


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39Aumentando el multiplicador

Sistematizado por la Prof. Nlida Lpez Pinto, ex becaria JICA Sapporo -Japn, 2008, validado en la U.E. La Merced A.

COMPONENTE:Relaciones entre cantidadesCONTENIDO:MultiplicacionesAO DE ESCOLARIDAD:Tercer ao de primariaOBJETIVO:Que los estudiantes descubran la relacin entre los productos de un mismo nmeropor otros, a travs de la manipulacin de material concreto.DESCRIPCIN:Es importante que los estudiantes, antes de memorizar la tabla de multipli-cacin de una determinada cifra, la conceptualicen y entiendan el procedimiento, para ello semanipularn diferentes materiales concretos, planteando un ejercicio sencillo en torno a lo que

se observa y manipula, para posteriormente generalizar la regla que relaciona un nmero conotro.PROCEDIMIENTO: Con diferentes materiales concretos del contexto, por ejemplo bolitas en-sartadas, planteamos la siguiente consigna:

Cul sera la expresin matemtica que representa este ejemplo?

Como cada varilla tiene 3 bolitas y hay cinco va-rillas, entonces expresamos 3 X 5 = 15Entonces: cmo podemos calcular la respuestade 3 X 6?En este punto, los nios/as deben descubrir ellos

mismos la respuesta, el maestro orienta el an-lisis preguntando la diferencia entre un ejercicioque ya saben y otro que todava no saben, los es-tudiantes dan su opinin, pueden decir por ejem-plo:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15,entonces:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

Otra respuesta puede ser aumentando una varillaSon los nios/as deben encontrar esta parteSe recomienda que en 3er grado, se abor-de el cambio de producto, cuando elmultiplicador aumenta de uno en uno, esteconcepto que fue aprendido con el ejemplode las bolitas en la varilla.

3 X 5+ 3 = 3 X 6


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40 Dados y fracciones equivalentes

Sistematizado por Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de JICA PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, gestin 2009, validado en la U.E.

San Miguel de El Palomar

COMPONENTE: Nmeros enterosCONTENIDO: Fracciones con distinto denominadorAO DE ESCOLARIDAD: Sexto de PrimariaOBJETIVO: Convertir fracciones homogneas y heterogenias a fracciones equivalentesDESCRIPCIN: Los Juegos matemticos constituyen una herramienta de ayuda para el tra-tamiento de diversos contenidos del currculum de matemticas, tanto en el nivel primario,Secundaria y en Bachillerato.

Hemos visto la utilidad de los juegos en el tratamiento de la diversidad, como recurso motivadorpara los estudiantes con mayores dificultades y tambin como origen de posibles investigacionespara estudiantes destacados. Tambin hemos apreciado la relacin intrnseca de muchos juegoscon los procesos tpicamente matemticos y con las estrategias de resolucin de problemas.

En particular los juegos permiten potenciar el uso de diversas estrategias como:

PROCEDIMIENTO: Los dados y fracciones equivalentes, es un juego para dos o ms jugadoresy se necesita un dado cbico normal (con caras del 1 al 6) para el numerador de la fraccin, yun dado cbico cuyas caras lleven los valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12, que se utilizar para el deno-

minador.

Cada jugador elige una fraccin y comienza el juego. En su turno, un jugador lanza los dos da-dos y construye la fraccin resultante. Si la fraccin es equivalente a la que el jugador eligi, seanota un punto, si no es as, no se anota nada y pasa el turno al siguiente jugador.

Gana quien tenga ms puntos despus de 15 turnos.

a) Despus de jugar algunas partidas, investiga qu fraccin (o fracciones) merece la penaelegir para tener ms posibilidades de ganar el juego.

b) Volver a jugar despus de haber hecho la investigacin. Te ha ido mejor ahora?


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41Clculo del rea de figuras geomtricas



COMPONENTE: Cantidades y medidaCONTENIDO: Clculo del rea de figuras geomtricas con medidas no convencionales.NIVEL: PrimarioOBJETIVO: Calcular el rea de figuras geomtricas usando medidas no convencionales comounidad de medida. (Cuadrados, rectngulos y tringulos), para poder encontrar reas de nues-tra vida comunitaria.PROCEDIMIENTO:

PRIMERO. Se recuerda con los estudiantes los contenidos aprendidos anteriormente, como sonlas caractersticas de un permetro, cuadrilteros, cuadrados y rectngulos.SEGUNDO. Explicar cul ser el objetivo de la presente jornada o periodo.TERCERO. Se procede a realizar un juego que consiste en ganar el terreno a la otra pareja.

JUEGO EN PAREJAS

Cada integrante de la pareja lanza una vez el dado, y el que obtenga el nmero mayor pinta uncuadriltero de un solo color.Se vuelve a lanzar los dados y nuevamente el que saque el nmero mayor pinta de un solo color uncuadriltero contiguo al anterior pintado.Cada jugador debe pintar de un solo color todos los cuadrilteros.

El ganador es el que haya pintado mayor cantidad de cuadrilteros.

CUARTO. Se presenta en la pizarra varias figuras geomtricas, pidindoles que estimen cualfigura tendr el rea mayor y cul el rea menor en forma oral con todo el curso.

QUINTO. Se presentan, las mismas figuras en hojas individuales y se pide que tambin calculenel rea de estas figuras de forma individual, tomando como unidad de medida un casino.


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MATERIA:............................ FECHA:........................

NOMBRE:..................................................................

Cul de las siguientes figuras tiene mayor rea?Cunto tiene ms?

A B

Respuesta:.............................................................................................................................

A B

Respuesta:.............................................................................................................................

La Paz, agosto 24 de 2007

Nombre:

OBJETIVO DEL DA DE HOYCalcular el rea de figuras geomtricas usandomedidas no convencionales.

AUTOEVALUACIN:

( ) 1. Pude encontrar el rea de las Geomtricas.( ) 2. Expliqu mi procedimiento a mis Compa-

eros.( ) 3. Respet la participacin de mis compae-

ros.

OBJETIVO DE LA SIGUIENTE CLASE

Conocer la unidad oficial del rea (centmetrocuadrado).

COEVALUACIN

Mencionar tres aspectos positivos

Mencionar tres aspectos para mejorar

( ) 1. Encontr el rea correctamente.( ) 2. Explic bien el procedimiento.( ) 3. Respet las opiniones de sus compaeros.

Mis sugerencias para mejorar

Atentamente:

Objetivo

Instrucciones

Ttulo

Sistematizacin de lasituacin didctica

Cuadro o grfico de lasfiguras geomtricas

Evaluacin de la claseTema

siguiente

SEXTO: Se socializa los resultados en la pizarra

SPTIMO. Para verificar su los estudiantes lograron comprender el concepto de rea de formaprctica se les pide que resuelvan de forma individual una hoja donde se les pide que comparenel rea de dos figuras y puedan establecer la relacin entre ambas.OCTAVO. Tambin pedirles que llenes las dos fichas de evaluacin de conocimientos.


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43Dobleces

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jimnez Ex Becario JICA Tsukuba Japn, 2009, validad en la U.E. La Merced A y en sesiones de capacita-

cin a docentes de primaria.

COMPONENTE:FigurasCONTENIDO:Tringulo regularAO DE ESCOLARIDAD: Tercer grado de primariaOBJETIVO: Identificar y caracterizar tringulos regulares, dentro del conjunto de tringulos yreforzar el sentido de los nios/as con respecto a creacin de figurasDESCRIPCIN:Una hoja de papel tamao A4, carta, etc., en la que a travs de dobleces seencuentra lados de un tringulo y se construye un tringulo regular.1

PROCEDIMIENTO:CONSIGNA: Utilizando una hoja de papel, vamos a construir un tringulo regular. (Mostrar ydistribuir a cada estudiante)

Primero, doblemos en la mitad, a lo largo

Marcar la esquina de abajo, y luego el

vrtice superior

Simultneamente trazamos, una lnea per-pendicular

con esto obtenemos tres ngulos igualesmarcar la base y el otro lado obtenido

Tomamos como base

Trazamos:

Teniendo un vrtice en la esquina derecha deabajo, sta tiene que sobreponerse a la lnea

punteada del medio. Hacer el doblez.

La hoja no tiene esta lnea todava, tambintiene que tener ese doblez.Para ello doblar a lo largo del borde y

Hoja de papel Trazo en pizarra

1 Su construccin se aplica para la elaboracin del tetraedro, ya en sexto grado.


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Hacemos lo mismo para encontrar el otrolado:

Con este trabajo se sabe que la lnea de estabase y el lado encontrado son congruentes.

Consideramos otra vez:

La base es congruente con los dos lados en-contrados..

en consecuencia resulta que los tres bordesson iguales.

Hoja de papel Trazo en pizarra


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45La caja proporcional

Sistematizado por la Prof. Nlida Lpez Pinto, ex becaria JICA Sapporo,2008, validado en la U.E. La Merced A.

COMPONENTE: Relaciones entre cantidadesCONTENIDO:ProporcionesAO DE ESCOLARIDAD:Quinto ao de primariaOBJETIVO: Descubrir el significado de las razones y proporciones, a travs de la manipulacinde objetos dentro de una caja, para expresarlas matemticamente.DESCRIPCIN:La tcnica consiste en la manipulacin de objetos dentro de una caja, aumen-tando la cantidad de los mismos; pero manteniendo la proporcin.PROCEDIMIENTO: En una caja colocamos, por ejemplo, tres tipos de vestimenta: 1 cartera, 3

sombreros y 2 zapatillas. A continuacin sumamos los objetos (vestimen-ta), en este caso: 6.

De estos 6 objetos, 1 es una cartera, tres son som-breros y dos son zapatillas, por tanto la propor-cin es: 1 : 3 : 2

A modo de plantear el desafo a los estudiantes, lanzamos la consigna:

Supongamos que esta vestimenta es de una sola persona, consideremos que cada una de laspersonas tiene la misma cantidad de carteras (1), de sombreros (3) y de zapatillas (2), deseamosaumentar el nmero de vestimentas adecuadamente y a la vez seguir manteniendo la mismaproporcin. Si queremos ahora tener 12 vestimentas; pero que se mantenga la misma propor-cin (distribucin).

Al mencionar 12 vestimentas, probablemente los estudiantes razonen utilizando la palabradoble, ya que sabemos que en la caja tenemos 6 vestimentas y ahora queremos 12.

Pero adems, indica el problema que se desea mantener la misma proporcin, entonces l-gicamente se debe doblar la cantidad de carteras, de sombreros y de zapatillas de la siguientemanera:

Entonces se establecen, junto a los estudiantes las siguientes razones o proporciones:

1Proporcin entre carteras y el total de vestimentas en ambas cajas =

8

3Proporcin entre sombreros y el total de vestimentas en ambas cajas = 8

Caja 1

Caja 2


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Proporcin entre zapatillas y el total de vestimenta en ambas cajas = 8

Otra manera de establecer las proporciones es:

TOTAL

1 3 2 6

1 + 3 + 2 = 6

Se ha decidido, como en el ejemplo anterior incrementar la vestimenta de manera proporcionalpara que alcance para dos personas en cunto debe incrementarse cada tipo de vestimenta?

1 3 2 1 3 2 + + = 1 Multiplicamos esta ecuacin por la cantidad requerida 2 + 2 2 = 26 6 6 6 6 6

2 6 4El resultado ser: + + = 2 Vale decir: 2 carteras, 6 sombreros y 4 zapatillas.

6 6 6

Por supuesto que esta segunda forma ser ms til a la hora de realizar clculos con cantidadesms grandes. Veamos:

Tres hermanos deben aportar Bs. 580 para pagar el impuesto de su casa, decidieron hacerlo demanera proporcional al salario de cada uno. Si Pablo gana Bs. 3200, Mara gana Bs. 2560 yFernando gana Bs. 1989 Cunto debe aportar cada uno de ellos?

3200+ 2560 + 1989 = 7749

3200 2560 1989+ + = 17749 7749 7749

3200 2560 1989580 + 580 + 580 = 580

7749 7749 7749

239,515 + 191,612 + 148,873 = 580Pablo Mara Fernando


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47Mltiplos y divisores

Sistematizado por: Prof. Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario deJICA PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, con el Programa Me gusta

Matemtica, gestin 2009, validado en la U.E. San Miguel de El Palomar

COMPONENTE: Nmeros Naturales.CONTENIDO: Multiplicacin y divisin de nmeros naturalesAO DE ESCOLARIDAD:Tercero de PrimariaOBJETIVO:Practicar los conceptos de mltiplo y divisor, manejar divisores comunes a dos n-meros y realizar el Clculo mental.

Descripcin del material de Juego:

Mltiplos y divisores

Baraja formada por 51 cartas:- 48 cartas cada una de las cuales tiene un

nmero desde el 1 hasta el 48.

- 3 comodines, cada uno de ellos sirve parael valor que quiera su poseedor en cada ju-gada.

Reglas del juego

Por medio de esta baraja se pueden trabajarlos conceptos de mltiplo y divisor de muchasmaneras. Presentamos a continuacin dos po-sibilidades, que llamamos Juego 1 y Juego 2,de los cuales daremos las reglas por separado:

JUEGO 1Se utilizan slo las 48 cartas que no son comodines. Puede variar el nmero de jugadores,pero es aconsejable que sea entre 4 y 6.Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: serla llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa.Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte las cartas. Puede colocaruna sola carta a la derecha o a la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algndivisor en comn con ella (divisor que tiene que explicitar al colocarla); asimismo puedecolocar la carta hacia arriba o hacia debajo de la carta muestra si, respectivamente, es ml-tiplo o divisor de la misma.Si no tiene ninguna carta que satisfaga las condiciones del punto anterior, roba una cartadel montn y la coloca si puede. Si no, pasa el turno al jugador de su derecha.El jugador siguiente procede de la misma manera, pero puede hacerlo con cualquiera de lasdos cartas que haya en los extremos horizontales de la cadena que se vaya formando.El ganador del juego es el primer jugador que coloca todas sus cartas o el que menos cartas

tenga en su poder cuando ya nadie pueda colocar cartas.Si la carta muestra que aparece es un nmero primo, las dificultades de colocar cartas sonmayores. En ese caso, adems de las posibilidades descritas, se pueden colocar debajo de


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48la carta muestra, y tapadas por ella, cartas que representen a otros nmeros primos. (Estaregla puede no explicitarse, y nicamente ponerse en circulacin cuando un grupo de juga-dores que puede ser toda la clase comente que hay algunos nmeros que hacen ms difcilel juego, y se llegue a caracterizar que esos son los nmeros primos).

JUEGO 2Se utilizan todas las cartas, incluidos los comodines. Puede variar el nmero de jugadores,pero es aconsejable que sea entre 4 y 6.Un jugador por turno, reparte cinco cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: serla llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa, con laprimera levantada sobre la mesa.El objetivo del juego es lograr agrupar las cinco cartas, bien en un grupo de cinco o en unode tres y otro de dos; en ambos casos con la condicin de que cada uno de los grupos tengaalgn divisor comn con la carta muestra.Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte. Si no tiene todas las car-tas agrupadas, puede elegir entre coger la carta colocada boca arriba o robar la primera delmontn; despus tira boca arriba sobre la mesa una de las seis. A partir de ese momento,

cada jugador tiene la posibilidad de elegir la carta que tira el jugador anterior a l o de robaruna carta del montn.El juego termina cuando uno de los jugadores tiene todas las cartas agrupadas o cuando seacabe el montn. En el primer caso, el jugador que ha agrupado todas recibe 10 puntos; losdems 4, 3, 2 0 puntos, segn el nmero de cartas agrupadas. Si se ha acabado el montn,se punta slo las cartas agrupadas (4, 3, 2 0 puntos).Las partidas se realizan a un nmero prefijado de puntos o de partidas.

Si la carta muestra es un nmero primo, y puesto que las dificultades son mayores, se aadecomo posibilidad para agrupar el que todas las cartas sean nmeros primos, o bien un grupode dos o tres primos y el resto mltiplos del primo que ha aparecido. (Esta regla puede no ex-plicitarse, y nicamente ponerse en circulacin cuando un grupo de jugadores que puede sertoda la clase comente que hay algunos nmeros que hacen ms difcil el juego, y se llegue acaracterizar que esos son los nmeros primos).

Posibles variantesHay muchas posibilidades de realizar juegos con las cartas de esta baraja (o parte de la misma)para trabajar los conceptos de mltiplo y divisor. Una posible variante que permite tratar losrestos potenciales es la siguiente:

Se juega con la misma dinmica del Juego 1, pero para colocar cartas a derecha o izquierdahay que cumplir la condicin de que la suma de los nmeros de las cartas sea mltiplo deun nmero prefijado de antemano para cada partida (y que se podra limitar a que estuvie-ra comprendido entre 2 y 10). Gana el que acaba sus cartas o el que tiene menos cartas al

acabarse el montn. Es conveniente, tras jugar algunas partidas con el mismo nmero (ovarindolos), discutir entre todos cules son las cartas que se quedan en la mano.


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20 X 23 = 46023 X 20 = 460

Multiplicacin con tarjetas numricas

Sistematizado por el: Prof. Oscar Quintana, ex becario PROMECA JICA, Tegucigalpa, Honduras. Proyecto Regional Me gusta matemti-

ca!, gestin 2008.

COMPONENTE: Nmeros NaturalesCONTENIDO: Operacin aritmtica de la multiplicacinAO DE ESCOLARIDAD: Cuarto de primariaOBJETIVO: Conocer la manera de encontrar el resultado de la multiplicacin D00 y C00 (dece-nas y centenas con ceros)DESCRIPCIN:(M) tarjetas numricas: 60 de 1, 40 de 10

(N) las mismas que M. recurso; tabla de multiplicar

PROCEDIMIENTO: Plantear un ejercicio (decena con ceros por otro cualquiera) como el si-guiente: 20 x 23 = 460UVE de Gowin2

PENSAR PREGUNTAR HACERQu es multiplicar?

Multiplicar es encontrar el D0 x DU = CD0producto de dos nmeros 20x 23 = 460llamados Multiplicando y 20 Multiplicadormultiplicando. Suma abreviada x 23 multiplicandode un mismo Nmero 60 suma abreviada de 3

40 suma abreviada de 2460 Producto

TTULO: Multiplicar

El principio del clculo vertical de DU X DU es de su composicin en dos partes; es decir DU X DOy DU X U y luego se suman los dos productos (ejemplo 13 X 21 = 13 X 20 + 13 X 1 = 260 + 13 =273). Por lo tanto, antes de tratar el tipo general del clculo vertical de la multiplicacin por DUX CDU, hay que ensear los casos con DO y COO.

Manera de explicar porqu se agrega 0 si se multiplica por 10

Si se multiplica por 10, se agrega 0 (ejemplo: 3 X 10 = 30), para que este proceso no sea mecni-co, es necesario aclarar el mecanismo. Por ej. 3 X 10 quiere decir: 10 grupos de 3 objetos.

Como 100 = 10 X 10, utilizando la propiedad asociativa tenemos, por ejemplo.

3 X100 = 3 X(10 X 10)=(3 X10)X 10 = 30 X 10 = 300Problema: Si los 20 estudiantes del curso, vamos de excursiones, y cada uno debe pagar Bs. 23por los pasajes, Cuntos Bs. (Bolivianos) se pagarn por los 20 estudiantes?

PLANTEAMIENTO:En el planteamiento, explicamos y conceptualizamos cinco aspectos con-siderados para el anlisis sistemtico de la informacin (problema matemtico).

Datos Grficos Frmula Operacin Respuesta

20 pasajes = x Bs.Cada pasaje = 23 Bs.

20 estudiantes20 x 23DOX DU

20X 23

6040460

Pagamos 460Bs. por los 20 pasajes

2 RAMOS LEANDRO, Anibal, Instrumentos Esquemticos de Aprendizaje, 2002 Editorial El Cerebro Jr. Azangaro N 712 Lima Per


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50DATOS: Luego de la lectura comprensiva del problema a resolver se escriben los datos numri-cos y nominales, tambin la incgnita.GRFICO:Es necesario graficar para focalizar la idea.FRMULA: Debemos comprender y escribir la relacin de operacin de los dato en forma sim-blica y concreta.

OPERACIN:Realizar la operacin de multiplicacin, luego escribir la respuesta.TARJETAS NUMRICAS3

Colocamos sobre el pizarrn dos filas de tarjetas numeradas de 10 y de 1.Ordenamos, diez columnas de tarjetas numeradas de 10 y de 1.Luego observamos y analizando las tarjetas numeradas efectuamos la multiplicacin horizon-tal de cada grupo de tarjetas numeradas y los escribimos debajo de las tarjetas.Hacemos la multiplicacin asociativa.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 110 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 110 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

23x 2=46

23x 2=46

23x 2=46

23x 2=46

23x 2=46

23x 2=46

23x 2=46

23x 2=46

TECNICAS DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS PARA NIVEL PRIMARIA.

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